一 : 关于四则混合运算教学的思考及学生常见错误分析与对策

混合运算初步教学阶段，教学由百以内加减法组成的两步式题、由表内乘除法组成的两步式题、很简单的乘加（减）与有小括号的两步式题。在这一环节中，四则混合运算教学有三个特点：一是以 口算为主；二是解题时只要求写出两步式题的最后结果；三是辅助相关知识的教学，如乘加（减）两步式题能 帮助学生了解相邻两句乘法口诀之间的联系。
四则混合运算教学的第二个环节是各种运算顺序的教学，它有两个特点：一是用四句话概括表述了 常用的混合运算顺序；第二个特点是解题时要写出每步计算的结果，以表明运算顺序。
四则混合运算教学的第三个环节是在学生初步掌握混合运算顺序的基础上，教学三步计 算的式题。它也有两个特点：一是由易到难，先教学比较容易的三步式题，如16×4+6×3，然后教学稍难些的 三步式题，如74+100÷5×3；二是式题中有乘、除数是两、三位数的乘、除法，计算比较复杂，容易出现错误 。
学生掌握四则混合运算顺序的过程是先“知道”，再“应用”。
“知道”混合运算顺序的主要思维形式是归纳推理，要在分析、比较的基础上进行抽象概括。如第四册教 学只有同级运算的两步式题时，出示四道题：24+8-6，47-10+5，3×6÷9，28÷7×6。先让学生逐题算出结果 ，再带着“每个算式里含有哪些运算，它们的运算顺序怎样？”这两个问题去观察思考，得出结论。
“应用”混合运算顺序的主要思维形式是演绎推理，思维活动顺次分成三步：观察式题中有没有括号及各 个运算符号→回忆有关的运算顺序→按运算顺序确定计算步骤。如100-(32+540÷18)，看到算式中有括号，立 即想到运算顺序“算式里有括号，要先算括号里面的”，确定应该先算32+540÷18；又看到括号里有加法和除 法，立即想到运算顺序“有除法和加减法，要先算除法”，确定应该先算540÷18。
学生计算四则混合运算式题时常见的错误与分析。
(1)运算顺序错误。如328-76+24=328-100=228，600÷25×4=600÷100=6，60-20÷4=40÷4=10等。发生这 些错误的原因是学生对运算顺序认识不清，他们不是从对算式中各种运算符号的分析中判断运算顺序，而是被 算式中某些数之间的“特殊关系”所干扰。针对这种错误，一要加强“说题→说运算顺序→说先算什么”的训 练；二要让学生在第一步计算的部分下面画“横线”标记；三要把易混易错的题放在一起进行对比，引起学生的注意，如180÷60×3与180-60×3，20×(30-18)与20 ×30-18等。
(2)把第一步算得的结果都写在算式前面的错误，如120-27×4=108-120=12。出现这种错误的原因是学生的思维与动作处于“简单同步”状态，还不能真正协调。针对这种错误要指导学生分析混合运算式题的意义，如 120-27×4是从120里减去27乘以4的积，求差是多少，27乘以4的积是减数。
(3)过失性错误。学生进行四则混合运算时，抄错数或计算错误是极普遍的错误。原因在于学生对四则混合运算缺少兴趣，计算时情绪低沉，造成计算过程中注意力不集中、分配不合理、转移不及时，再加上部分学生 的口算、笔算不过关。为此，在四则混合运算教学中，一要继续重视口算、笔算基本功的训练，尽量提高学生 计算的正确率；二要指导学生用好草稿；三要创造安静的作业环境；四要提高学生对混合运算的热情与信心。

二 : 56四则运算介绍及定律1

计算问题解题原理思维及方法

小学数学中在数的问题有以下3种算术：计数，计算，数论

计数问题有以下方法:加法原理，乘法原理，排列与组合法，捆绑法，插板法，枚举法，排

除法，对应法，树形图法，归纳法，整体法，递推法，容斥原理和几

何图形中的计数；

数论问题有以下方法：奇偶数论，平方数论，费尔马定理，中国剩余定理，韩信点兵原理及

其同余数周期应用，整数拆分；

考虑到现在三年级了，我们这2课主要讲解计算问题：

混合运算，数学计算公式原理，换元法概念，凑整法概念，定义新运算，数的整除余数，速算与巧算。 1.四则运算

?四则运算：加法、减法、乘法和除法，统称为四则运算。其中，加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算.(高级运算如平方，次方，数根，微分，积分等不讲) ?运算顺序：只有一级运算时，从左到右计算；有两级运算时，先乘除，后加减。有括号时，先算括号里的；有多层括号时，先算小括号里的。要是有平方，先算平方。在混合运算中，先算括号内的数 ，括号从小到大。然后从高级到低级。

?表示方法①脱式计算

脱式计算是，即递等式计算，把计算过程完整写出来的运算，也就是脱离竖式的计算。在计算混合运算时，通常是1步计算1个算式(逐步计算，等号不能写在原式上），要写出每1步的过程。一般来说，等号要往前，不与第一行对齐。示例：

1+2×(8-3)÷5×[(14-6)÷8×9]

=1+2×5÷5×[16÷8×9]

=1+2×1×[2×9]

=1+2×18

=1+36

=37

②横式计算 示例：

1+2×(8-3)÷5×[(14-6)÷8×9] =1+2×5÷5×[16÷8×9] =1+2×1×[2×9] =1+2×18 =1+36=37

?运算意义和运算规律

?口算引入：①8＋3×7 ②9×2＋4×3 ③6×（50－46）和6×50-6×46 ④36÷3－5

⑤63÷9×6 ⑥（48＋32）＋5 ⑦（48＋32）×5和5×48+5×32 ⑧（25×4）

×5和25×5×4 ⑨60÷4÷5和60÷（5×4）

向孩子提问：以上各式中都含有哪些运算？它们的运算顺序是什么？

使孩子明确：当只有加减或乘除法时，按从左到右的顺序计算；

当既有乘除法又有加减法，要先算乘法或除法，再算加法或减法；

如果有小括号，先算括号内后算括号外。明确运算法则！！！

?学习新知：

1.例1：计算74＋100÷5×3向孩子提问：

①这道题包含哪些运算？

②按照以前学习的运算顺序应该先算什么？再算什么？

③你能按照这道题的运算顺序读题吗？

提示：7 4加10 0除以5所得的商再乘3的积，和是多少？

④将上题变成74十100× 3÷5和74— 100 × 3 ÷5两题

提问：谁能按照运算顺序读出题来？该先算什么再算什么？为什么？

⑤先说出下面每道题的运算顺序，再计算。

65－6×4÷2 38+56÷7×3

引导孩子思考：通过演算这几道混合运算式题，你有什么发现？

使学生明确：在一道既有乘除法又有加减法的混合式题里，应先算乘除法，后算

加减法；乘除连在一起，或加减连在一起，要从左往右依次计算。

2.例2：计算（440－280）×（300—260）（加深难度

440×300-440×260－280×300＋280×260,让孩子总结出来）

①孩子自读题目：440减280的差乘300减260的差，积是多少？

②引导孩子思考：这道题含有哪些运算，与前边的习题比较有什么不同？

应该怎样计算？

③学生试做。可能出现2种不同解法，板贴出来：

（440－280） ×（300—260） （440－280）×（300－260）

=160×（300－260） =160×40

=160×40 =6400

=6400（引入440×300-440×260－280×300＋280×260计算）

让孩子比较评议以上2种解法，哪种解法更简便？

提问：看到这道题的简便解法你联想到什么吗？

④教师让学生先按照运算顺序用数学用语读题再独立完成。

（59+21）×（96÷8） （220－100）÷（15×2）

提问：通过计算这些道题，你又有什么新的发现吗？

?巩固提高：

①计算下面各题（试着用术语读出下面各题）

700－8×5×4 （275－35）÷（17＋43）

480÷（96÷16＋6） （15×40—360）÷6

注意强调运算顺序和书写格式。要明确：括号里有两级运算，同样先算乘除法，

后做加减法，小括号要照抄下来。

?课堂小结：要完成一道混合运算，它的计算步骤是：

①审题，看清运算符号、数字、有没有小括号，确定先算什么，再算什么。

②计算。

③检验，包括运算顺序，计算是否正确。

?布置作业 ①14+16×4－50 ②74+（96÷6－8）③72－45+121÷11

④2520÷18×（806－799）（没有学过多位除法的用分解法）

⑩教学目标

①使学生进1步掌握含有二级运算的混合式题的运算顺序，学会计算含有

乘除混合以及带有小括号的3步式题。

②培养学生迁移类推的能力，提高计算能力。

③培养学生的学习兴趣和敢于探索的科学精神，训练学生养成认真审题、

仔细验算的良好习惯。

教学重点

使学生掌握混合运算顺序，能熟练地进行计算。

教学难点

帮助学生利用知识的迁移，探索混合运算的运算顺序。

2.小学数学运算法则：

?整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位

进一。（说明引入十进制和二进制区别，以及60进制区别）

?整数减法计算法则：相同数位对齐，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，

和本位上的数合并在一起，再减。

?整数乘法计算法则：先用1个因数每一位上的数分别去乘另1个因数各个数位上的数，

用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把

各次乘得的数加起来。（示例1234×4321）

?整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如

果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的

上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数

要小于除数。（示例1313÷13）

?小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积

的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。（示

例0.11×0.12，也可以用人民币的钱数引入）

?除数是整数的小数除法计算法则：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数

的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就

在余数后面添“0”，再继续除。（示例0.1÷5，同

样可以引入人民币钱数）

?除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向

右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整

数的除法法则进行计算。（只作简单说明，有兴趣可以深

讲）

?同分母分数加减法计算方法: 同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。（示例

1111 和 2222

?异分母分数加减法计算方法:先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。

3131 （示例 ＋ 和－ ） 4242

?带整数分数加减法的计算方法:整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起

5335来。(示例1＋2和2 －1 ) 6446

⑴分数乘法的计算法则:分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；

分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

335 （示例×12和× ） 446

⑵分数除法的计算法则:甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数

35 （示例 ÷ ） 46

3.数学运算定律：

?加法交换律：2个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。

?加法结合律：3个数相加，先把前2个数相加，再加上第3个数；或者先把后2个数相加，再和第1个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c) 。

?乘法交换律：2个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。

?乘法结合律：3个数相乘，先把前2个数相乘，再乘以第3个数；或者先把后2个数相乘，再和第1个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c)

?乘法分配律：2个数的和与1个数相乘，可以把2个加数分别与这个数相乘再把2个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。

?减法的性质：从1个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。

4.A速算与技巧：

例1 2×4×5×25×54=(2×5)×(4×25)×54 (利用了交换律和结合律)

=10×100×54=54000

例2 54×125×16×8×625=54×(125×8)×(625×16) (利用了交换律和结合律) =54×1000×10000=540000000

例3 5×64×25×125 （将64分解为2、4、8的连乘积是关键1步）

=5×(2×4×8)×25×125=(5×2)×(4×25)×(8×125)=10×100×1000=1000000 例4 37×48×625=37×(3×16)×625（注意37×3=111）=(37×3)×(16×625) =111×10000=1110000

例5 27×25+13×25，=(27+13)×25（逆用乘法分配律这样做叫提公因数）=40×25=1000 例6 123×23+123+123×76=123×23+123×1+123×76=123×(23×1+76)=123×100 =12300（注意123=123×1;再提公因数123）

例7 81+991×9(把81改写叫分解因数，为9×9是为了下1步提出公因数9)

=9×9+991×9=(9+991)×9 =1000×9=9000

例8 111×99=111×(100-1)=111×100-111=11100-111=10989

例9 23×57-48×23+23=23×(57-48+1)=23×10=230

例10 求1+2+3+?+24+25的和. 解：此题是求自然数列前25项的和.

方法1：利用上一讲得出的公式 和=(首项+末项)×项数÷2 1+2+3+?+24+25 =(1+25)×25÷2=26×25÷2=325

56四则运算介绍及定律1_四则运算法则

方法2：把2个和式头尾相加(注意此法多么巧妙

!)

想一想，这种头尾相加的巧妙求和方法和前面的“拼补法”有联系吗?

例11 求8+16+24+32+?+792+800的和. 解：可先提公因 8+16+24+32+?+792+800 =8×(1+2+3+4+?+99+100)=8×(1+100)×100÷2=8×5050=40400

例12 某剧院有25排座位，后一排都比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，问这个剧院一共有多少个座位?

解：由题意可知，若把剧院座位数按第1排、第2排、第3排、?、第25排的顺序写出来，必是1个等差数列.那么第1排有多少个座位呢?因为：第2排比第1排多两个座位，2=2×1第3排就比第1排多四个座位，4=2×2第4排就比第1排多六个座位，6=2×3这样，第25排就比第1排多4八个座位，48=2×24.所以第1排的座位数是：70-48=22.再按等差数列求和公式计算剧院的总座位数：和=(22+70)×25÷2=92×25÷2=1150. B速算与巧算

5.趣味数学数数与计算解析1

56四则运算介绍及定律1_四则运算法则

数数与计算解析2-----等式加减法

例1 大、小二数之和等于10，之差等于2，求二数.解：依题意，列等式，并把等式两边分别相加

.

得：大数=12÷2=6 小数=6-2=4.

例2 已知：□+△=10 □-△=2 求：□=?△=?

解：根据等式两边分别相加，结果仍相等，有

得：□=12÷2=6 再将□代入(1)式 得：6+△=10

①[注]+)表示等式两边分别相加.∴ △=10-6=4

例3 已知：□+□+△=16 □+△+△=14 求：□=?△=?

解：根据等式两边分别相加，结果仍相等，有

或3×(□+△)=30 得□+△=10. (3)

根据等式两边分别相减，结果仍相等，有

进1步(3)式+(4)式即

得□=12÷2=6 把□的值代入(4)式： 得6-△=2 得△=6-2=4.

例4 已知：□+□+△+△+△=21 □+□+△+△+△+△+△=27 求△=?

解：将2个等式改写为 2×□+3×△=21 (1) 2×□+5×△=27 (2)

(2)-(1)得： 2×△=27-21=6 得△=6÷2=3.

例5 小明买1支铅笔和2块橡皮共用去2角4分钱，又知1支铅笔比2块橡皮贵4分钱.问小明买的铅笔每支多少钱?

解：先列出下列等式：1支铅笔+2块橡皮=24 (1) 1支铅笔-2块橡皮=4 (2)

(1)+(2)： 2支铅笔=28 1支铅笔=14(分)=1角4分.

例6 在一次数学考试中，小玲和小军的成绩加起来是195分，小玲和小方的成绩加起来是198分，小军和小方的成绩加起来是193分.问他们三人各得多少分?

解：列出下列等式：小玲+小军=195 (1) 小玲+小方=198 (2) 小军+小方=193 (3)将3个等式的左边和右边各项分别相加，得：2×(小玲+小军+小方)=586

即小玲+小军+小方=293 (4) 由(4)式-(1)式得 小方=293-195=98

由(4)式-(2)式得 小军=293-198=95 由(4)式-(3)式得 小玲=293-193=100 可见小方得98分，小军得95分，小玲得100分.

⒍计算问题解题原理、思维以及方法

1.数学计算公式-常用公式

2.换元法的概念

解数学题时，把某个式子看成1个整体，用1个变量式去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。还原的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移值新对象的只是背景中去研究，从而使非标准型问题标准化，复杂问题简单化，变得容易处理

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元、等值非等值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用1个字母来代替它从而简化问题，当然有的时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

A.局部换元法：例 计算11+12+13+1+11+12+13+2+11+12+13+3(利用局部换元) 11+12+13=26=a 1+2+3=6=b

3×a+b=3×26+6=78+6=84

其余换元法在初高中使用，这里不讲！

3.凑整法的概念

3.1加减法中的凑整法概念

加减法的速算与巧算中主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千?的数，再将各组的结果求和（差）。主要涉及的几种计算方法：（1）分组凑整法 （2）加补凑整法 （3）基准数法 （4）位值原理法

A.分组凑整法：例1.3125+5431+2793+6875+4569

解：原式=(3125+6875)+(4569+5431)+2793=22793

B.加补凑整法: 例 198+2999+39997=（200+3000+40000）-（2+1+3）=43200-6=43194

C.基准数法：例 （4942+4943+4938+4939+4941+4943）÷6=4941 （基准数是4940）

D.位置原理法：例 123+234+345+456+567+678+789

=(100+20+3)+(200+30+4)+(300+40+5)+(400+50+6)+(500+60+7)+(600+70+8)+(700+80+9) =（100+200+300+400+500+600+700）+（20+30+40+50+60+70+80）+（3+4+5+6+7+8+9）

=2800+350+42=3192

3.2乘除法中的凑整法

在乘除法当中，我们首先要熟练的掌握乘除运算定律、性质和运算中积商的变化规律，其次要了解题目的特点，创造条件、选用合理、灵活的计算方法。计算方法：（1）拆并法（2）特殊数的速算

A.拆并法：例 ①16×75×45=（75×8）×（2×45）=600×90=54000

②329×125=329×(125×8)÷8=329×1000÷8=329000÷8=41125

3.3凑整（特殊数的速算概念）

被乘数与乘数的十位数字相同，个位数字互补，这类式子我们成为“头相同、尾互补”型 被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同、这类式子我们成为“头互补、尾相同”型 对于计算这2类题目，有非常简捷的速算方法，分别为“同补”速算法和“补同”速算法 “同补”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×（头+1）”

“补同”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×头+尾”

两位数速算技巧：

原理：设两位数是分别是:10A+B, 10C+D，其中积为S，根据多项式展开得如下：

（10A+B）×(10C+D)=10A×10C+10A×D+10C×B+B×D 而所谓速算，就是根据其中一些相等或互补（相加为十）的关系简化式子，从而快速得出结果。

注：下文中：“- -”代表十位和个位，因为两位数的十位数得数后面是2个零，请孩子不要忘了，前积就是前2位，后积就是后2位，中积就是中间2位，满十前一，不足补零。

A乘法速算

一:前数相同的

1.1 十位数是1，个位互补，即A=C=1 ,B+D=10 S=(10+B+D)×10+B×D

方法:百位为2，个位相乘得数为后积，满十前一；

例：13×17=221（其中13+7=20，3×7=21）

1.2十位数是1，个位不互补，即A=C=1 ,B+D≠10 S=(10+B+D)×10+B×D

方法:乘数的个位与被乘数相加,得数位前积;两数的个位相乘,得数为后积;满十前一.

56四则运算介绍及定律1_四则运算法则

例: 15×17=255(其中15+7=22，5×7=35,划线上2和3相加)

1.3 十位相同，个位互补，即A=C ,B+D=10 S=A×(A+1)×10+B×D

方法：十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积；个位数相乘，得数为后积。 例：56×54=3024（其中（5+1）×5=30，6×4=24）

1.4十位相同，个位互补，即A=C ,B+D≠10 S=A×(A+1)×10+B×D

方法1：十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积；尾乘尾，得数为后积；尾尾相加，看比十大几或小几，大几就加几个头乘10，反之小几，就是小几就减几个头乘10.

例：67×64=4288（其中（6+1）×6=42，4×7=28，7+4=11，11-10=1，1×6=6，6×10=60，4228+60=4288）

方法2：头头相乘，得数为前积；两尾数和与头相乘，得数为中积，满十前一；两尾数相乘，得数为后积。

例： 67×64=4288（其中6×6=36,(7+4)×6=66,7×4=28）

二：后数相同的

2.一个位是1，十位互补，即B=D=1,A+C=10,S=10A×10C+101

方法：十位与十位相乘，得数为前积；加上101，划线1要前进1.

例：81×21=1701（其中8×2=16,101,划线1要前进1）

2.两个位是1，十位不互补，即B=D=1,A+C≠10,S=10A×10C+10A+10C+1

方法：十位数乘积，加上十位数之和，得数是前积；个位为1.

也可以这样说：头头相乘是前积；头头相加是中积，满十前一；个位数是1。 例：71×91=6461（其中7×9=63，7+9=16，划线1进上去，个位数是1）

2.3 个位是5，十位互补，即B=D=5,A+C=10,S=10A×10C+25

方法：十位数乘积，加上个位数，得数为前积，25为后积

例:35×75=2625

2.四个位是5，十位不互补，即B=D=5,A+C≠10,S=10A×10C+525

方法：头头相乘，得数为前积；两十位数和与个位相乘，得数为中积，满十进一；

两尾数相乘，得数为后积。

例：75×95=7125（其中7×9=63；(7+9)×5=80,划线8上进；5×5=25）

2 2.五个位相同，十位互补，即B=D,A+C＝10,S=10A×10C+100B+B

方法：头头相乘，加上尾数，得数是前积；尾尾相乘，得数是后积.

例：86×26=2236 （其中8×2+6=22，6×6=36）

2 2.六个位相同，十位不互补，即B=D,A+C≠10,S=10A×10C+100B+100D+B

方法1：头头相乘，加上尾数，得数是前积；尾尾相乘，得数是后积；再看看

头头相加比十大几或小几，大几就加上几个尾乘10，小几反之亦然。

方法2：头乘头是前积；两头之和乘尾乘10，与尾乘尾（尾平方）之和，得数

是后积。

例：73×43=3139（其中7×4+3=31；3×3=9，7+4-10=1，1×3×10=30，30+9=39，

划线部分组成了后积）

另解释:70×40=2800 (7+4)×3×10+3×3=339,2800+339=3139 三：特殊类型：

3.11个数头尾相同，另1个数头尾互补

方法：互补的那个数头加1之和与另1个数（头尾相同的数）的头（尾也可以）

乘积，得数为前积；两尾乘积，得数为后积,没有十位用0补。

例：66×37=2442（其中（3+1）×6=24;6×7=42）

例：11×37=407（其中（3+1）×1=4;1×7=7,没有十位用0补）

3.21个数头尾相同，另1个数头尾不互补

方法：非互补的那个数头加1之和与另1个数（头尾相同的数）的头（尾也可以）

乘积，得数为前积；两尾乘积，得数为后积；没有十位用0补，再看看

那个非互补那个数头尾相加之和比十大几或小几，大几就加上几个相同

数（头尾相同的数）的数字乘10，反之亦然。

例：38×44=1632+40=1672（其中（3+1）×4=16；8×4=32；（3+8-10）×4

×10=40;1632+40=1672）

3.31个数头尾不相同，另1个数头尾互补

方法：头尾互补数的头数加1之和与头尾不相同数的头相乘，得数为前积；

两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补；再看看头尾不同的数尾比头大几或小几，大几就加几个互补数的头乘10，反之亦然。

例:46×75=3530-80=3450(其中(4+1)×7=35;5×6=30;5-7=-2,意思是尾比

头少了2，2×4×10=80，多了几加上，少了几减去，3530-80=3450)

3.4 1个数头比尾少1，另1个数头尾之和是9

方法：头比尾少1数的头与凑9数的尾数的补数相乘，得数为前积；凑9

数的头数加1的和与头比尾小1的数的尾数的补数之积，得数为后积，

没有十位用0补。

例：67×36=2412（其中6×（10-6）=24，10-6就是36尾数6的补数；（3+1）

×（10-7）=12，3+1是36的头数加1，10-7就是67的尾数7的补数。）

3.5 2个数头头不同，尾尾互补（要先确定乘数与被乘数）

方法：被乘数的头加1的和与乘数的头之积，得数是前积；尾与尾之积，

得数为后积；再看被乘数头比乘数的大几或小几，大几就加几个乘数

的尾乘10，反之亦然。

例：74×56=4024+（7-5）×6×10=4144（其中（7+1）×5=40；4×6=24）

3.6 两数头头差1，尾尾互补

方法：大数的头和大数头之积与1的差，得数为前积；大数的尾和大数的

尾之积，它们积的整百补数就是后积。

例：24×36=864（其中3×3-1=8；100-6×6=64）

3.7 近100的两位数算法（确定乘数与被乘数）

方法：被乘数与乘数的整百补数之差，得数为前积；两数整百补数之积，得

数为后积，没有满十补0，满100进1）

例：93×91=8463（其中93-（100-91）=84；（100-93）×（100-91）=63）

3.8 头互补，尾不同（确定乘数与被乘数）

方法：头头之积与乘数尾之和，得数为前积；尾尾之积，得数为后积，没有

满10补0，再看看被乘数尾比乘数的尾大几或小几，小几就减去几个

乘数头乘10，反之亦然。

例：22×81=1702+80=1782

4.定义新运算

基本概念:定义1种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路:严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后

按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

5.数的整除

一、基本概念和符号：

1、整除：如果1个整数a，除以1个自然数b，得到1个整数商c，而且没有余数，

a那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a（或 ）。 b

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；

二、整除判断方法：

1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5. 能被7整除:①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7

整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6. 能被11整除:①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能

被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7. 能被13整除:①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能

被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

三、整除的性质：

1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

6.余数及其应用

基本概念:对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q??r，且0<R<B,那么R叫做A

除以B的余数，Q叫做A除以B的不完全商。< q =“”> 0＜R<B,那么R

叫做A除以B的余数，Q叫做A除以B的不完全商。

余数的性质:①余数小于除数。

②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除

以c的余

④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以

c的余数。

7.19.余数、同余与周期

一、同余的定义:①若2个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知3个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作

a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。

二、同余的性质:①自身性：a≡a(mod m)；

②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；

③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；

④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，

a-c≡b-d(mod m)；

⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；

⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则a≡b(mod m)；

⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；

三、关于乘方的预备知识:①若A=a×b，则M=MAa×bnn=（M） ②若B=c+d则M=M=M×M abBc+dcd

四、被3、9、11除后的余数特征：

①1个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或

（mod 3）；

②1个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个

偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；

五、费尔马小定理:如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则a≡1(mod p)。中国剩余定理，费尔马小定理及韩信点兵原理属于数论概念，这里不进行详细探讨！ p-1

56四则运算介绍及定律1_四则运算法则

练习题

1. 速算与巧算（例题特别多，方法已经说明，自己练习）

一、直接写出计算结果：

① 1000-547

② 100000-85426

③ 11111111110000000000-1111111111

④ 78053000000-78053

二、用简便方法求和：

①536+（541+464）+459

② 588＋264＋148

③ 8996＋3458＋7546

④567+558+562＋555＋563

三、用简便方法求差：

① 1870-280-520

② 4995-（995-480）

③ 4250-294＋94

④ 1272-995

四、用简便方法计算下列各题：

① 478-128+122-72

② 464-545＋99+345

③ 537-（543-163）-57

④ 947+（372-447）-572

五、巧算下列各题： ① 996＋599-402

② 7443＋2485＋567＋245 ③ 2000-1347-253+1593

④3675-（11+13+15＋17＋19）

三 : [转帖] Poisson分布函数的计算过程以及在足球分析中的运用案

[转帖] Poisson分布函数的计算过程以及在足球分析中的运用案例 [复制链接]

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合买大厅 <> 过关统计 <> 比分直播

昨天看一铁，铁中提到Poisson分布函数，我不懂，数学学的不好:hithead::hithead::hithead:于是上网搜索有关资料，找到一段，但看了以后编了公式却对不上号，所以请教函数高手来参解一下具体的计算过程！:em20::em20::em20::em20::em20:好东西啊，感兴趣的跟贴讨论啊，不信找不到函数高手:cool::cool::cool:

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--作者：coral

--发布时间：2005-3-20 15:19:32

--[转帖] Poisson分布函数的计算过程.

Poisson分布函数是二项分布的一种特殊形式;它和布朗函数構成了兩種最基本的隨機過程。

[转贴]二项分布与柏松分布

一、二项分布的概念及应用条件1. 二项分布的概念:

如某实验中小白鼠染毒后死亡概率P为0.8,则生存概率为=1-P=0.2，故

对一只小白鼠进行实验的结果为：死（概率为P）或生（概率为1-P）

对二只小白鼠（甲乙）进行实验的结果为：甲乙均死（概率为P2）、甲死乙生[概率为P(1-P)]、乙死甲生[概率为(1-P）P]或甲乙均生[概率为(1-P）2]，概率相加得P2+P(1-P)+(1-P）P+(1-P）2=[P+(1-P)]2

依此类推，对n只小白鼠进行实验，所有可能结果的概率相加得Pn+cn1P(1-P)n-1+...+cnxPx(1-P)n-x+...+(1-P)x=[P+(1-P)]n 其中n为样本含量,即事件发生总数，x为某事件出现次数,cnxPx(1-P)n-x为二项式通式，cnx=n!/x!(n-x)!, P为总体率。

因此，二项分布是说明结果只有两种情况的n次实验中发生某种结果为x次的概率分布。其概率密度为：

P(x)=cnxPx(1-P)n-x, x=0,1,...n。

2. 二项分布的应用条件:

医学领域有许多二分类记数资料都符合二项分布(传染病和遗传病除外)，但应用时仍应注意考察是否满足以下应用条件：(1) 每次实验只有两类对立的结果；(2) n次事件相互独立；(3) 每次实验某类结果的发生的概率是一个常数。

3. 二项分布的累计概率

二项分布下最多发生k例阳性的概率为发生0例阳性、1例阳性、...、直至k例阳性的概率之和。至少发生k例阳性的概率为发生k例阳性、k+1例阳性、...、直至n例阳性的概率之和。

4. 二项分布的图形

二项分布的图形有如下特征：(1)二项分布图形的形状取决于P 和n 的大小；(2) 当P=0.5时，无论n的大小，均为对称分布；(3) 当P<>0.5 ,n较小时为偏态分布,n较大时逼近正态分布。

5. 二项分布的均数和标准差

二项分布的均数&micro;=np，当用率表示时&micro;=p

二项分布的标准差为np(1-p)的算术平方根，当用率表示时为p(1-p)的算术平方根。

二、二项分布的应用二项分布主要用于符合二项分布分类资料的率的区间估计和假设检验。当P=0.5或n较大，nP及n(1-P)均大于等于5时，可用(p-u0.05sp,p+u0.05sp)对总体率进行95%的区间估计。当总体率P接近0.5，阳性数x较小时，可直接计算二项分布的累计概率进行单侧的假设检验。当P=0.5或n较大，nP及n(1-P)均大于等于5时，可用正态近似法进行样本率与总体率，两个样本率比较的u检验。

三、Poisson分布的概念及应用条件1. Poisson分布的概念:

Poisson分布是二项分布n很大而P很小时的特殊形式，是两分类资料在n次实验中发生x次某种结果的概率分布。其概率密度函数为：P(x)=e-&micro;*&micro;x/x!x=0,1,2...n，其中e为自然对数的底，&micro;为总体均数，x为事件发生的阳性数。

2. Poisson分布的应用条件:

医学领域中有很多稀有疾病(如肿瘤,交通事故等）资料都符合Poisson分布，但应用中仍应注意要满足以下条件：（1) 两类结果要相互对立；（2) n次试验相互独立；（3) n应很大, P应很小。

3. Poisson分布的概率

Poisson分布的概率利用以下递推公式很容易求得：

P(0)=e-&micro;

P(x+1)=P(x)*&micro;/x+1, x=0,1,2,...

4. Poisson分布的性质:

(1) Poisson分布均数与方差相等；

(2) Poisson分布均数&micro;较小时呈偏态,&micro;>=20时近似正态；

(3) n很大, P很小，nP=&micro;为常数时二项分布趋近于Poisson分布；

(4) n个独立的Poisson分布相加仍符合Poisson分布

四、Poisson分布的应用 Poisson分布也主要用于符合Poisson分布分类资料率的区间估计和假设检验。当&micro;>=20时，根据正态近似的原理，可用（x-u0.05*x的算术平方根，x+u0.05*x的算术平方根）对总体均数进行95%的区间估计。同样，也可通过直接计算Poisson分布的累计概率进行单侧的假设检验，在符合正态近似条件时，也可用u检验进行样本率与总体率，两个样本率比较的假设检验。

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--作者：coral

--发布时间：2005-3-20 15:21:35

--

Poisson分布函数在足球运动中的简单计算方法

在这里:如果主队在主场的平均进球率=A;客队在客场的平均进球率=B

球队预期进球的概率=POWER[主队（或客队）主场（或客场）历史平均进球数，预期进球数]*POWER[2.718,-主队（或客队）主场（或客场）历史平均进球数]/FACT(预期进球数)

P(H)=(((POWER(A,X))*POWER(2.718,-A))/FACT(X)) X=主队的预期入球数

P(A)=(((POWER(B,Y))*POWER(2.718,-B))/FACT(Y)) Y=客队的预期入球数

因为主队进球和客队进球是两个独立事件，所以针对某一比分如X：Y发生的概率

=主队预期进球的概率*客队预期进球的概率

P(e)=P(H)*P(A)

如果用Excel,公式为:

P(H)=POISSON(X,A,0) P(A)=POISSON(Y,B,0)

本文属网络转载，不代表任何个人见解。

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--作者：庾公之斯

--发布时间：2005-3-23 21:13:57

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CORAL，在MSO看过很多关于泊松函数在菠菜应用的理论，其中一点，加权。。是否符合足球的规律，非常值得深思，足球结果并不是简单的数理统计，归纳，其中的客观，主观因素，在下愚见，立博，威廉能把握到60%已经是难能可贵，遑论我等爱好者。。又，埃罗预测的三种方法。。。在双选效果上，60%。。

如果从单纯的数学角度分析足球，无异于，“缘木求鱼”，不若，从“形而上”探求菠菜赔率，道理很简单，菠菜们花费了，换算了，综合了各种“权”，给出了赔率，或者“价格”，有现成的，与其花大力气分析所谓的“本质”，不若就”赔率“就事论事，虽然我们无从知晓资金流向，但，没关系，赔率自有规律。。有”指向“。。。

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--作者：coral

--发布时间：2005-3-23 21:43:37

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对于模型偶自己也只是在探索阶段，目的是可以找到一个可以进可能衡量比赛差距的东东。对于转贴的内容和现在网上较流行的一些预测方法或正在试图做的东东偶个人并不赞同。

加权在某种程度上反映乐一个状态的延续性，就想牛顿定律一样，在没有外力的干扰下会延原状态继续下去。加权的种类很多但他们有个共同的特性就是在出现拐点的时候有滞后性，这一点在股票中已经得到验证。

在经济学里，有句老话--市场反映一切信息，并且有他的自我调节性。看股票不能不看盘，但又不能依赖于盘。偶认为足球也一样。赔率不能不看，但不能过分依赖。举个例子，意甲上上轮AC打桑扑多。客队名列三甲，当时亚盘开一球，可如果反开历史AC打尤文，国米，罗马等传统强队时都没有让一球，这时我们就要有一个可以衡量两队实力的东东来辨析他的差距性乐。

四 : 分数的四则运算

【教学内容】p97页分数四则运算，练习十九1—5。【教学要求】1、复习分数四则运算的意义，理解分数四则运算的意义与整小数四则运算意义的联系与区别。2、复习分数四则运算的计算法则，能正确运用四则运算的计算法则进行计算。3、复习分数四则混合运算。【教学重点】分数四则运算的意义与法则。【教学难点】分数四则运算的意义。【教学过程】一、计算。    —+—      12×—      —×——-—      12÷—      —÷—1、说说分数加、减法的意义，并说说前两式意义。2、怎样进行分数加减法计算。3、说说分数乘法的意义，整理如下：分数乘以整数  —×12  表示12个—是多少。整数乘以真分数  12×—  表示12的—是多少。分数乘以真分数  —×—  —的—是多少。一个数乘以带分数  —×1—  表示—的1—倍是多少。4、说说分数除以的意义。5、说说分数加、减法的计算法则。同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。异分母分数相加减，先通分，再按同分母方法计算。6、说说分数乘除法计算方法。分数乘法，分子相乘作分子，分母相乘作分母。分数除法，乘以除数的倒数。二、口算。    —+—      —－—　　  24×—    —×——+1—     2－1—      —×—    1÷—1—+0.25   4—－1.6　　 3.2×—    —÷0.51+10%      1-1%         0.1×20%   —÷25%三、先说说运算顺序，再计算。    2—－1—＋1.5          17÷4.25－—×—(—＋1—×—) ÷2—    8.2－[1—+（0.75－—）]四、下面的计算应用了哪些运算定律。    3×（—+—）+2—= 3×—+3×—+2—= 1—+1—+1—= 1—+2—+1—= 4+1—= 5—五、作业练习十九1—5题。

五 : 分数四则混合运算（一）

课题一：分数四则混合运算（一）（a）

教学内容

教科书第59页的例1、例2及相应的“做一做”，练习十五的第1～5题．

教学目的

使学生掌握分数四则混合运算的顺序，会进行分数四则混合运算．

教具准备

投影仪．

教学过程

一、复习

计算下面各题．

（1）207＋25×16　　　　（2）314－〔（98＋168）÷34〕

先让学生独立计算，同时指定两名学生在黑板上板演．完成后进行评定，并说说自己是怎么算的．

然后再提问：整数四则混合运算的运算顺序是什么？

通过复习，使学生明确：在整数四则混合运算中，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算；如果有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的．

二、新课

1．导入．

教师：刚才我们复习了整数四则混合运算．今天我们进一步学习分数四则混合运算．（板书课题．）

然后指出：在分数四则混合运算中，它的运算顺序和整数四则混合运算相同．

2．教学例1．

出示例题：计算＋÷．

教师：这个算式里含有几级运算？（有两级运算．）

应该先算什么，再算什么？

指名回答，使学生明确应该先算除法，再算加法．

然后教师引导学生进行计算．

板书算式：＋÷

教师：第一步要先算除法“÷”应该怎么办？

指名学生回答：根据分数除法的计算法则，除以一个数等于乘这个数的倒数．

接着让全体学生共同叙述，教师在原式的下面板书：＝＋×．

教师设问：接下来该怎么算？

然后让学生打开教科书，继续把例1做完，完成后．集体订正．

3．教学例2．

出示例题：计算÷[（＋）×]．

提问：在含有括号的算式中，应该怎样计算？

学生：应该先算小括号里面的，再算中括号里面的．

教师引导学生进行计算．

板书算式：÷[（＋）×]．

教师：第一步要算什么？

学生：要算小括号里面的“＋”．

让学生说算式，教师板书：＝÷[（＋）×]．

然后引导学生根据运算顺序，求出小括号里面的数，于是得到第二步：

＝÷[×]．

教师设问：下面该怎样算呢？

然后让学生打开教科书，继续把例2做完．

在学生计算时，教师应注意巡视，随时发现问题，给予个别的辅导和纠正，完成后，进行集体订正．

4．做第76页上半部分的“做一做”．

教师：第一小题含有几级运算？应该先算什么，后算什么．

指名学生回答：这道题含有两级运算，应该先算乘法，后算减法．

教师：第二小题含有中括号和小括号，应该怎样计算？

指名学生回答：应该先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的．

然后，让学生各自在练习本上计算．教师注意巡视，随时发现问题，随时给予指导．做完后集体订正．

三、课堂练习

1．做练习十五的第1题．

让学生独立做在各自的练习本上，教师行间巡视．完成后集体订正．

2．做练习十五的第4题．

可以让学生根据框图，先分步列式计算，再列成一个综合算式．通过这样的练习渗透一些程序思想．

3．做练习十五的第5题．

先引导学生复习所示图形的名称及其表面积计算公式，然后让学生做在练习本上，教师巡视．完成后集体订正．

四、作业

练习十五的第2、3题． 本文标题：分数的四则混合运算及应用-关于四则混合运算教学的思考及学生常见错误分析与对策
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