一 : 2010江苏高考数学最后一题谁会解（题目在下面）快！

2010江苏高考数学最后一题谁会解（题目在下面）快！

已知△ABC的三边长为有理数

（1）求证cosA是有理数

（2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数

能不能顺便帮我讲解下，怎样才能证明一个数为有理数。。。

。www.61k.com)

2010江苏高考数学最后一题谁会解（题目在下面）快！的参考答案

第一题用余弦定理 2bccosA = b^2+c^2-a^2来证明，就是楼上所说的。

第二题用归纳法证明，因为当n = 1时cosnA是有理数不假吧

所以假设 coskx是有理数，现在来证明cos(k+1)x也是有理数

根据和角公式貌似很简单。。。

cos(k+1)x = cos(kx+x) = coskxcosx - sinkxsinx 全都是有理数，因为有理数的四则运算结果还是有理数，这是有理数的基本定理

二 : 2010年江苏高考数学试题(含答案详解

2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析

数学Ⅰ试题

参考公式：锥体的体积公式: V锥体=1Sh，其中S是锥体的底面积，h是高。［www.61k.com） 3

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上.．．

1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a[解析] 考查集合的运算推理。3?B, a+2=3, a=1.

2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。

3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ ▲__.

[解析]考查古典概型知识。p?3?1 62

4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取

了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质

量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率

分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___

根在棉花纤维的长度小于20mm。

[解析]考查频率分布直方图的知识。

1

2010江苏高考数学卷 2010年江苏高考数学试题(含答案详解

100×（0.001+0.001+0.004）×5=30

5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x?R)是偶函数，则实数a[解析]考查函数的奇偶性的知识。（www.61k.com]g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。

x2y2

6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线??1上一点M，点M的横坐标是3，则M到412

双曲线右焦点的距离是___▲_______

[解析]MF4MF=4。 ?e??2，d为点M到右准线x?1的距离，d=2，d2

7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______

[解析]考查流程图理解。1?2?22???24?31?33,输出S?1?2?2???2?63。

8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。 25

在点(ak,ak2)处的切线方程为：y?ak2?2ak(x?ak),当y?0时，解得x?

所以ak?1?ak， 2ak,a1?a3?a5?16?4?1?21。 2

229、在平面直角坐标系xOy中，已知圆x?y?4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的

距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____

[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，

圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，|c|?1，c的取值范围是（-13，13）。 13

10、定义在区间?0,?

????上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作2?

PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。

[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值，

且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=22。线段P1P2的长为 33

?2211、已知函数f(x)??x?1,x?0,则满足不等式f(1?x)?f(2x)的x的范围是__。 x?0?1,

2

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2?1?x?2x[解析]

考查分段函数的单调性。(www.61k.com]??x?(?1) ?2?1?x?0?

x2x3

12、设实数x,y满足3≤xy≤8，4≤≤9，则4的最大值是 ▲ 。yy2

[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。

111x2

2x3x2

21x3

()?[16,81]，2?[,]，4?()?2?[2,27]，4的最大值是27。 xy83yyyyxy

13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，ba??6cosC，则ab

tanCtanC?=____。 tanAtanB

[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。 （方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。

当A=B或a=b时满足题意，此时有：cosC?11?cosC1C2C??，tan?，tan，

321?

cosC22tanA?tanB?1

tanC

2?，tanCtanC?= 4。 tanAtanB

baa2?b2?c23c2

2222226ab??a?b,a?b???6cosC?6abcosC?a?b， ab2ab2

tanCtanCsinCcosBsinA?sinBcosAsinCsin(A?B)1sin2C???????tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB

1c2c2c2

????4 由正弦定理，得：上式=?2cosCab(a2?b2)1?3c

662

14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

2(梯形的周长）S?,则S的最小值是____ 梯形的面积

[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。

3

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22(3?x)设剪成的小正三角形的边长为x

，则：S??(0?x?1) 21?x（方法一）利用导数求函数最小值。（www.61k.com)

(3?x)2(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)，S?(x)? S(x)?222(1?

x)1?

x(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)?2(3x?1)(x?3) ??2222(1?x)(1?x)1S?(x)?0,0?x?1,x?， 3

11当x?(0,]时，S?(x)?0,递减；当x?[,1)时，S?(x)?0,递增； 33

故当x?1时，S

。 3（方法二）利用函数的方法求最小值。 t211112?令3?x?t,t?(2,3),?

(,)，则：S? t32?t?6t?8???1tt

故当?

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

15、（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

(2)设实数t满足(AB?tOC)·OC=0，求t的值。

[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。 1t31,x?时，S

的最小值是。 833

????????（1）（方法一）由题设知AB?(3,5),AC?(?1,1)，则

????????????????AB?AC?(2,6),AB?AC?(4,4).

????????????????所以|AB?AC|?AB?AC|?

4

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故所求的两条对角线的长分别为

。［www.61k.com］

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:

E为B、C的中点，E（0，1）

又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）

故所求的两条对角线的长分别为

BC=

AD=；

????????????（2）由题设知：OC=(－2,－1)，AB?tOC?(3?2t,5?t)。

由(AB?tOC)·OC=0，得：(3?2t,5?t)?(?2,?1)?0，

从而5t??11,所以t??11。 5

|OC|5?????????????????????2????OC11或者：AB·OC ?tOC，AB?(3,5),t?AB2??

16、（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，

AB∥DC，∠BCD=900。

(1)求证：PC⊥BC；

(2)求点A到平面PBC的距离。

[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。

（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC。

由∠BCD=900，得CD⊥BC，

又PD?DC=D，PD、DC?平面PCD，

所以BC⊥平面PCD。

因为PC?平面PCD，故PC⊥BC。

（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：

易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。

又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。

由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，

因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。

易知

DF=，故点A到平面PBC

2

5

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（方法二）体积法：连结AC。(www.61k.com）设点A到平面PBC的距离为h。

因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。

从而AB=2，BC=1，得?ABC的面积S?ABC?1。

由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积V?11S?ABC?PD?。 33

因为PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PD⊥DC。

又PD=DC=1

，所以PC?。

。 由PC⊥BC，BC=1，得?

PBC的面积S?PBC?

由VA?PBC?VP?ABC，S?

PBC?h?V?

故点A到平面PBC

17、（本小题满分14分） 131，得h? 3

某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=?，∠ADE=?。

(1)该小组已经测得一组?、?的值，tan?=1.24，tan?=1.20，请据此算出H的值；

(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d

（单位：m），使?与?之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的

实际高度为125m，试问d为多少时，?-?最大？

[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。

（1HHHh?tan??AD?，同理：AB?，BD?。 tan?ADtan?tan?

AD—AB=DB，故得HHhhtan?4?1.24????124。，解得：H? tan?tan?tan?tan??tan?1.24?1.20因此，算出的电视塔的高度H是124m。

（2）由题设知d?AB，得tan??HHhH?h,tan????，

dADDBd

6

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HH?h?tan??tan?hdh tan(???)???2?1?tan??tan?1??d?H(H?h)d?

ddd

H(H?h)d??，（

当且仅当d?取等号）

d

故当d?tan(???)最大。(www.61k.com) 因为0??????

2，则0?????

?

2，所以当d??-?最大。

故所求的d

是m。

18、（本小题满分16分）

x2y2

??1的左、右顶点为A、B，右焦点为在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆95

F。设过点T（t,m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2)，其中m>0,y1?0,y2?0。

（1）设动点P满足PF?PB?4,求点P的轨迹；

（2）设x1?2,x2?221，求点T的坐标； 3

（3）设t?9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐

标与m无关）。

[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。

（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。

2222由PF?PB?4，得(x?2)?y?[(x?3)?y]?4, 化简得x?229。 2

故所求点P的轨迹为直线x?

（2）将x1?2,x2?9。 215120分别代入椭圆方程，以及y1?0,y2?0得：M（2）、N（，?） 3339

1y?0x?3直线MTA方程为：，即y?x?1，

?3?02?3

3

7

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直线NTB 方程为：55y?0x?3，即y?x?。(www.61k.com) ?20162??0?393

?x?7?联立方程组，解得：?10， y??3?

所以点T的坐标为(7,10)。 3

（3）点T的坐标为(9,m)

y?0x?3m?(x?3)， ，即y?m?09?312

y?0x?3m?直线NTB 方程为：，即y?(x?3)。 m?09?36直线MTA方程为：

x2y2

??1联立方程组，同时考虑到x1??3,x2?3， 分别与椭圆95

3(80?m2)40m3(m2?20)20m,)N(,?)。 解得：M(、222280?m80?m20?m20?m

20m3(m2?20)y?x?22（方法一）当x1?x2时，直线MN ?2240m20m3(80?m)3(m?20)??22280?m20?m80?m20?m2

令y?0，解得：x?1。此时必过点D（1，0）； 当x1?x2时，直线MN方程为：x?1，与x轴交点为D（1，0）。 所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。

240?3m23m2?60?（方法二）若x1?x2，则由及m?

0，得m? 2280?m20?m

此时直线MN的方程为x?1，过点D（1，0）。 若x1?

x2，则m?MD的斜率kMD40m210m， ??240?3m240?m2

?1280?m

直线ND的斜率kND?20m2?10m，得k?k，所以直线MN过D点。 ?MDND3m2?6040?m2

?120?m2

因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）。

8

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19、（本小题满分16分）

设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，已知2a2?a1?a3，数列

的等差数列。（www.61k.com]

（1）求数列?an?的通项公式（用n,d表示）；

（2）设c为实数，对满足m?n?3k且m?n的任意正整数m,n,k，不等式Sm?Sn?cSk都成立。求证：c的最大值为S?是公差为dn9。 2

[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。

（1）由题意知：d?0，

?(n?1)d?(n?1)d

2a2?a1?a3?3a2?S3?3(S2?S1)?

S3，d)2?a1]2?2d)2,

化简，得：a1?d?d2??d,a1?

d2

?d?(n?1)d?nd,Sn?n2d2，

当n?2时，an?Sn?Sn?1?n2d2?(n?1)2d2?(2n?1)d2，适合n?1情形。 故所求an?(2n?1)d2

（2）（方法一）

m2?n2

恒成立。 Sm?Sn?cSk?md?nd?c?kd?m?n?c?k， c?k2222222222

m2?n29?， 又m?n?3k且m?n，2(m?n)?(m?n)?9k?2k22222

故c?99，即c的最大值为。

22

?

d?(n?1)d，得d?0，Sn?n2d2。

于是，对满足题设的m,n,k，m?n，有

(m?n)2

29229Sm?Sn?(m?n)d?d?dk?Sk。 222222

9

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9。[www.61k.com］ 2

339另一方面，任取实数a?。设k为偶数，令m?k?1,n?k?1，则m,n,k符合条件，222

31222223222且Sm?Sn?(m?n)d?d[(k?1)?(k?1)]?d(9k?4)。 222所以c的最大值cmax?

于是，只要9k?4?

2ak，即当k?22122时，Sm?Sn?d?2ak?aSk。 2所以满足条件的c?因此c的最大值为

99，从而cmax?。 229。 2

20、（本小题满分16分）

设f(x)是定义在区间(1,??)上的函数，其导函数为f'(x)。如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，使得f'(x)?h(x)(x2?ax?1)，则称函数f(x)具有性质P(a)。

(1)设函数f(x)?lnx?b?2(x?1)，其中b为实数。 x?1

(i)求证：函数f(x)具有性质P(b)； (ii)求函数f(x)的单调区间。

(2)已知函数g(x)具有性质P(2)。给定x1,x2?(1,??),x1?x2,设m为实数， ??mx1?(1?m)x2，??(1?m)x1?mx2，且??1,??1，

若|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|，求m的取值范围。

[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。

（1）(i)f'(x)?1b?21??(x2?bx?1) 22x(x?1)x(x?1)

1?0恒成立， x(x?1)2∵x?1时，h(x)?

∴函数f(x)具有性质P(b)；

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b2b2

(ii)（方法一）设?(x)?x?bx?1?(x?)?1?，?(x)与f'(x)的符号相同。（www.61k.com］ 24

b2

?0,?2?b?2时，?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增； 当1?42

当b??2时，对于x?1，有f'(x)?0，所以此时f(x)在区间(1,??)上递增；

当b??2时，?(x)图像开口向上，对称轴x?b??1，而?(0)?1， 2

对于x?1，总有?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增；

（方法二）当b?2时，对于x?1，?(x)?x2?bx?1?x2?2x?1?(x?1)2?0

所以f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增；

当b?2时，?(x)图像开口向上，对称轴x?b?1，方程?(x)?0的两根为

：2

b?b

??(0,1) 22

当x?时，?(x)?0，f'(x)?0，故此时f

(x)在区间 上递减；同理得：f

(x)在区间??)上递增。 综上所述，当b?2时，f(x)在区间(1,??)上递增；

当b?2时，f

(x)在上递减；f

(x)在??)上递增。 (2)（方法一）由题意，得：g'(x)?h(x)(x?2x?1)?h(x)(x?1)

又h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，

所以对任意的x?(1,??)都有g?(x)?0，g(x)在(1,??)上递增。

又????x1?x2,????(2m?1)(x1?x2)。 当m?221,m?1时，???，且??x1?(m?1)x1?(1?m)x2,??x2?(1?m)x1?(m?1)x2，

2

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综合以上讨论，得：所求m的取值范围是（0，1）。(www.61k.com）

（方法二）由题设知，g(x)的导函数g'(x)?h(x)(x2?2x?1)，其中函数h(x)?0对于任

2意的x?(1,??)都成立。所以，当x?1时，g'(x)?h(x)(x?1)?0，从而g(x)在区间

(1,??)上单调递增。

①当m?(0,1)时，有??mx1?(1?m)x2?mx1?(1?m)x1?x1，

??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，得??(x1,x2)，同理可得??(x1,x2)，所以由g(x)的单调性知g(?)、g(?)?(g(x1),g(x2))，

从而有|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|，符合题设。

②当m?0时，??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，

??(1?m)x1?mx2?(1?m)x1?mx1?x1，于是由??1,??1及g(x)的单调性知g(?)?g(x1)?g(x2)?g(?)，所以|g(?)?g(?)|≥|g(x1)?g(x2)|，与题设不符。 ③当m?1时，同理可得??x1,??x2，进而得|g(?)?g(?)|≥|g(x1)?g(x2)|，与题设不符。

因此综合①、②、③得所求的m的取值范围是（0，1）。

数学Ⅱ（附加题）

21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

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若多做，则按作答的前两题评分。[www.61k.com］解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A． 选修4-1：几何证明选讲

（本小题满分10分）

AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交

AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。

[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证

能力。

（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，

又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，

∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，

所以∠DCO=300，∠DOC=600，

所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。

（方法二）证明：连结OD、BD。

因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。

因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。

又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，

于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。

即2OB=OB+BC，得OB=BC。

故AB=2BC。

B． 选修4-2：矩阵与变换

（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=??k0??01?,N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，????01??10?

△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。

[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。 解：由题设得MN???k0??01??0k?

???????01??10??10?

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2010江苏高考数学卷 2010年江苏高考数学试题(含答案详解

由??0k??0?2?2??00k?，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（k，-2）。［www.61k.com） ???????10??001??0?2?2?

计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|?2?1?2。 所以k的值为2或-2。

C． 选修4-4：坐标系与参数方程

（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。

[解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。 解：?2?2?cos?，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x2?y2?2x,(x?1)2?y2?1，

直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x?4y?a?0，

D． 选修4-5：不等式选讲

（本小题满分10分） ?1,解得：a?2，或a??8。

设a、b

是非负实数，求证：a3?b3?a2?b2)。

[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。

（方法一）证明：a3?b3a2?b2)?a?b

?5?

5]

?24?3?22?3?4]

因为实数a、b≥0

，2?4?3?22?3?4]?0 所以上式≥0

。即有a3?b3?a2?b2)。

（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得

a3?b3a2?b2)?a?

b?5?5]

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2010江苏高考数学卷 2010年江苏高考数学试题(含答案详解

当a?

b?

5?

5，得5?5]?0； 当a?

b?

5?

5，得5?5]?0；

所以a3?b3?a2?b2)。［www.61k.com）

[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时．．．．．．．

应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22、（本小题满分10分）

某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。

（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；

（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。

[解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。

解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且

P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18，

P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。

由此得X的分布列为：

（2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4?n件。

由题设知4n?(4?n)?10，解得n?

又n?N，得n?3，或n?4。

3?0.83?0.2?0.84?0.8192 所求概率为P?C414， 5

答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。

23、（本小题满分10分）

已知△ABC的三边长都是有理数。

（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。

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2010江苏高考数学卷 2010年江苏高考数学试题(含答案详解

[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。［www.61k.com）满分10分。

b2?c2?a2

（方法一）（1）证明：设三边长分别为a,b,c，cosA?，∵a,b,c是有理数， 2bc

b2?c2?a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性， b2?c2?a2

∴必为有理数，∴cosA是有理数。 2bc

（2）①当n?1时，显然cosA是有理数；

当n?2时，∵cos2A?2cos2A?1，因为cosA是有理数， ∴cos2A也是有理数； ②假设当n?k(k?2)时，结论成立，即coskA、cos(k?1)A均是有理数。

当n?k?1时，cos(k?1)A?coskAcosA?sinkAsinA，

1cos(k?1)A?coskAcosA?[cos(kA?A)?cos(kA?A)]， 2

11cos(k?1)A?coskAcosA?cos(k?1)A?cos(k?1)A， 22

解得：cos(k?1)A?2coskAcosA?cos(k?1)A

∵cosA，coskA，cos(k?1)A均是有理数，∴2coskAcosA?cos(k?1)A是有理数， ∴cos(k?1)A是有理数。

即当n?k?1时，结论成立。

综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。

（方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知

AB2?AC2?BC2

cosA?是有理数。 2AB?AC

（2）用数学归纳法证明cosnA和sinA?sinnA都是有理数。

①当n?1时，由（1）知cosA是有理数，从而有sinA?sinA?1?cosA也是有理数。 ②假设当n?k(k?1)时，coskA和sinA?sinkA都是有理数。

当n?k?1时，由cos(k?1)A?cosA?coskA?sinA?sinkA， 2

sinA?sin(k?1)A?sinA?(sinA?coskA?cosA?sinkA)?(sinA?sinA)?coskA?(sinA?sinkA)?cosA， 及①和归纳假设，知cos(k?1)A和sinA?sin(k?1)A都是有理数。

即当n?k?1时，结论成立。

综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。

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三 : 2015年江苏高考数学考试说明(含最新试题)

2015年江苏省高考说明－数学科

一、命题指导思想

普通高等学校招生全国统一考试是由合格的高中毕业生和具有同等学历的考生参加的选拔性考试。[www.61k.com]高等学校根据考生考试成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取。因此，高考试卷应具有较高的信度、效度以及必要的区分度和适当的难度。

根据普通高等学校对新生文化素质的要求，2015年普通高等学校招生全国统一考试数学学科（江苏卷）命题将依据中华人民共和国教育部颁发的《普通高中数学课程标准（实验）》，参照《普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》，结合江苏普通高中课程教学要求，既考查中学数学的基础知识和方法，又考查进入高等学校继续学习所必须的基本能力.

1．突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查

对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点，注重知识内在联系的考查，注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查.

2．重视数学基本能力和综合能力的考查

数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力.

（1）空间想象能力的考查要求是:能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图

形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合.

（2）抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究,发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断.

（3）推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，

运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性.

（4）运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或近似计算.

（5）数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题.

数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用有关的知识与方法，解决较为困难的或综合性的问题.

3．注重数学的应用意识和创新意识的考查

数学的应用意识的考查，要求能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决.

创新意识的考查要求是:能够综合，灵活运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题.

二、考试内容及要求

数学试卷由必做题与附加题两部分组成.选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题

部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答.必做题部分考

查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容；附加题部分考查的内容是选修系列2（不

含选修系列1）中的内容以及选修系列4中专题4-1《几何证明选讲》、4-2《矩阵与变换》、

4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容（考生只需选考其中两

个专题）.对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、

C表示）.

了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.

理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.

掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.

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江苏考试 2015年江苏高考数学考试说明(含最新试题)

具体考查要求如下： 1

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江苏考试 2015年江苏高考数学考试说明(含最新试题)

2

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江苏考试 2015年江苏高考数学考试说明(含最新试题)

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江苏考试 2015年江苏高考数学考试说明(含最新试题)

三、考试形式及试卷结构

（一）考试形式

闭卷、笔试，试题分必做题和附加题两部分.必做题部分满分为160分，考试时间120分钟；附加题部分满分为40分，考试时间30分钟.

（二）考试题型

1．必做题 必做题部分由填空题和解答题两种题型组成.其中填空题14小题，约占70分；解答题6小题，约占90分.

2．附加题 附加题部分由解答题组成，共6题.其中，必做题2小题，考查选修系列2（不含选修系列

1）中的内容；选做题共4小题，依次考查选修系列4中4-1、4-2、4-4、4-5这4个专题的内容，考生只须从中选2个小题作答.

填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（三）试题难易比例

必做题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大

致为4：4：2.

附加题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大

致为5：4：1.

四、典型题示例

A.必做题部分

1. 设复数i满足(3?4i)z?|4?3i|（i是虚数单位），则z的虚部为_____

【解析】本题主要考查复数的基本概念,基本运算.本题属容易题.

【答案】4 5

22. 设集合A?{?1,1,3},B?{a?2,a?4},A?B?{3}，则实数a的值为【解析】本题主要考查集合的概念、运算等基础知识.本题属容易题.

【答案】1. 3. 右图是一个算法流程图，则输出的k的值是

【解析】本题主要考查算法流程图的基础知识， 本题属容易题.

【答案】5

ln(x?1)的定义域为 4. 函数f(x)?x?1

【解析】本题主要考查对数函数的单调性，本题属容易题.

【答案】(?1,1)?(1,??) 第5页 共16页

江苏考试 2015年江苏高考数学考试说明(含最新试题)

5.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中

随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤

维的长度是棉花质量的重要指标），所得数

据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图

如图所示，则在抽测的100根中，有_ _根

棉花纤维的长度小于20mm.

【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计.本题属容易题.

【答案】由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于20mm的频率为

0.04?5?0.01?5?0.01?5?0.3,故频数为0.3?100?30.

6. 盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球.若从中随机摸出两支球，则他们颜色不同的概率是______.

【解析】本题主要考察古典概型等基础知识.本题属容易题.

【答案】1 2

7. 已知函数y?cosx与y?sin(2x??)(0?x??)，它们的图像有一个横坐标为?的交点，则?的值是________. 3

【解析】本题主要考察特殊角的三角函数值，正弦函数、余弦函数的图像与性

质等基础知识，考察数形结合的思想，考察分析问题、解决问题的能力.本题属容易题.

【答案】

8.在各项均为正数的等比数列?an?中，若a2?1,a8?a6?a4,则a6的值是______.

【解析】本题主要考察等比数列的通项公式等基础知识，考察运算求解能力.本题属容易题.

【答案】4.

9.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?3cm， ?. 6

AA1?2cm，则四棱锥A?BB1D1D的体积为．

【解析】本题主要考查四棱锥的体积，考查空间想象能力

和运算能力.本题属容易题.

【答案】6.

10.设直线y?3DA11 B1 C 1x?b是曲线y?lnx(x?0)的一条切线，则实数b的值2

是 .

【解析】本题主要考查导数的几何意义、切线的求法.本题属中等题.

【答案】ln2?1.

11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程x2?y2?8x?15?0，若直线y?kx?2上至少存在一点，使得以该

点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ．

【解析】本题主要考查圆的方程、圆与圆的位置关系、点到直线的距离等基础知识，考查灵活运用相关知识解决问题的能力．本题属中等题

【答案】4 3

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江苏考试 2015年江苏高考数学考试说明(含最新试题)

12. 如图,在平行四边形ABCD中,已知AB?8,AD?5,?3,??2,则?的值是

_________.

【解析】本题主要考察平面向量共线、平面向量基本定理、向量的运

算、向量的数量积等基础知识，考察数形结合和等价转换思想，考察

运算求解能力.本题属中等题.

【答案】22. （第12题） a2

13. 设a为实常数，y=（是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?9x??7．若f(x)?a?1对fx）x

一切x?0成立，则a的取值范围是 ．

【解析】本题主要考查函数的单调性和奇偶性,简单不等式的解法,以及数形结合与分类讨论的思想；考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力. 本题属难题.

8【答案】a??． 7

b14. 已知正数a，b，c满足：5c?3a≤b≤4c?a，clnb≥a?clnc，则的取值范围是 ． a

【解析】本题主要考查代数形式的变形和转化能力，考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力.本题属难题.

【答案】[e,7]

二、解答题

15．在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a?3，b?26，B?2A.

（1）求cosA值；

（2）求c的值.

【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力.

本题属容易题.

【参考答案】

（1）在?ABC中，因为a?3，b?26，B?2A，

故由正弦定理得3262sinAcosA2，于是. ??sinAsin2AsinA3

所以cosA?6. 3

62.所以sinA??cosA?. 3

1. 3(2)由(1)得cosA?2又因为B?2A，所以cosB?cos2A?2cos?1?

从而sinB

??cosB?222. 3

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A?B?C??， 在?ABC中，因为

所以sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?

因此由正弦定理得c?53. 9asinC?5. sinA

16．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1?A1C1，D，（点D 不同于点C），E分别是棱BC,CC1上的点

且AD?DE,F为B1C1的中点．

求证：（1）平面ADE?平面BCC1B1；

（2）直线A1F//平面ADE．

【解析】本题主要考查直线与平面、平面与平面的

位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．

本题属容易题

【参考答案】

证明：（1）∵ABC?A1B1C1是直三棱柱，∴CC1?平面ABC，

又∵AD?平面ABC，∴CC1?AD.

又∵AD?DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1DE?E，

∴AD?平面BCC1B1,又∵AD?平面ADE，∴平面ADE?平面BCC1B1.

（2）∵A1B1?A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F?B1C1.

又∵CC1?平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，∴CC1?A1F.

又∵CC1， B1C1?平面BCC1B1，CC1B1C1?C1，∴A1F?平面A1B1C1.

由（1）知，AD?平面BCC1B1，∴A1F∥AD.

又∵AD?平面ADE, A1F?平面ADE，∴直线A1F//平面ADE.

x2y2

17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的直线交椭圆??1 42

于P,A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，

并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

（1）当k?2时，求点P到直线AB的距离；

（2）对任意k?0，求证：PA?PB.

【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力．本题属中等题

【参考答案】

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x24x22(1)直线PA的方程为y?2x,代入椭圆方程得??1,解得x?? 3

4

242423?1, 因此P(,),A(?,?),于是C(,0),直线AC的斜率为2233333?33

2故直线AB的方程为x?y??0. 30?

242??|?22. 因此，点P到直线AB的距离为32?12|

2x2y2

(2)解法一：将直线PA的方程y?kx代人 ??1,解得x??242?2k记??2

?2k2,则P(?,?k),A(??,??k),于是C(?,0),从而直线AB的斜率为

0??kkk?,其方程为y?(x??). 2???2

代入椭圆方程得(2?k)x?2?kx??(3k?2)?0,解得x?22222?(3k2?2)

2?k2

或x???.因此B(?(3k2?2)

2?k2,?k22?k2),于是直线PB的斜率

??k2k3?k(2?k2)1,因此k1k??1 k1????222k?(3k?2)3k?2?(2?k)??2?k2

所以PA?PB

解法二：设P(x1,y1),B(x2,y2),则x1?0,x2?0,x1??x2,A(?x1,?y1), ?k2C(x1,0),且y1?k.设直线PB，AB的斜率分别为k1,k2. x1

0?(?y1)yk?1?? x1?(?x1)12因为C在直线AB上，所以k2?

从而k1k?1?2k1k2?1?2y2?y1y2?(?y1).?1 x2?x1x2?(?x1)

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2222y2?2y12(x2?2y2)?(x12?2y12)4?4??1???0. 222222x2?x1x2?x1x2?x1

因此k1k??1,所以PA?PB

18. 如图：为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，

同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC与河岸

AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC

相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任一点的距离均

不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，

点C位于点O正东方向170m处，（OC为河岸），

4。（www.61k.com) 3

（1）求新桥BC的长；

（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？ tan?BCO?

【解析】本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力..

【参考答案】

解法一：

(1) 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.

由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，

直线BC的斜率k BC=－tan∠BCO=－4. 3

3. 4

b?04b?603??, k AB=?, 设点B的坐标为(a,b)，则k BC=a?1703a?04又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k AB=

解得a=80，b=120. 所以BC

?150.

因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60).

由条件知，直线BC的方程为y??4(x?170)，即4x?3y?680?0 3

|3d?680|680?3d?. 55由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r?

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

?680?3d?d≥80??r?d≥80?5所以?即?解得10≤d≤35 680?3dr?(60?d)≥80???(60?d)≥80?5?

故当d=10时,r?680?3d最大，即圆面积最大. 5

所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大

.

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解法二:(1)如图，延长OA, CB交于点F.

443.所以sin∠FCO=，cos∠FCO=. 355

680因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=. 3

OC850500?CF=,从而AF?OF?OA?. cos?FCO33

4因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==， 5

400又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB==，从而BC=CF－BF=150. 3因为tan∠BCO=

因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半

径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).

因为OA⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，

故由(1)知，sin∠CFO =680?3dMDMDr3. ???,所以r?5MFOF?OM680?d5

3

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

?680?3d?d≥80??r?d≥80?5所以?即?解得10≤d≤35

?r?(60?d)≥80?680?3d?(60?d)≥80?5?

故当d=10时,r?680?3d最大，即圆面积最大. 5

32所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大. 19. 已知a,b是实数，函数f(x)?x?ax,g(x)?x?bx, f?(x)和g?(x)是f(x),g(x)的导函数，若

f?(x)g?(x)?0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致

（1）设a?0，若函数f(x)和g(x)在区间[?1,??)上单调性一致,求实数b的取值范围；

（2）设a?0,且a?b，若函数f(x)和g(x)在以a,b为端点的开区间上单调性一致，求|a?b|的最大值

【解析】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数

形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．本题属难题．

2【参考答案】f?(x)?3x?a,g?(x)?2x?b.

(1)由题意知f?(x)g?(x)?0在[?1,??)上恒成立，因为a?0，故3x2?a?0，

进而2x?b?0，即b??2x在区间[?1,??)上恒成立，所以b?2

因此b的取值范围是[2,??).

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江苏考试 2015年江苏高考数学考试说明(含最新试题)

(2)令f?(x)?0,解得x???a,若b?0,由a?0得0?(a,b) 3

又因为f?(0)g?(0)?ab?0,所以函数f(x)和g(x)在(a,b)上不是单调性一致的．

因此b?0,现设b?0.

当x?(??,0)时,g?(x)?0；当x?(??,??a)时,f?(x)?0. 3

因此，当x?(??,??a)时,f?(x)g?(x)?0 3

故由题设得a???

因此|a?b|?aa11且b???,从而??a?0,于是??b?0. 333311且当a??,b?0时等号成立, 33

11又当a??,b?0时,f?(x)g?(x)?6x(x2?) 39

11从而当x?(?,0)时,f?(x)g?(x)?0,故函数f(x)和g(x)在(?,0)上单调性一致. 33

1因此|a?b|的最大值为. 3

20. 设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1?1，前n项和为Sn，已知对任意整数k属于M，当n>k时，Sn?k?Sn?k?2(Sn?Sk)都成立。（www.61k.com）

（1）设M=｛1｝，a2?2，求a5的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列{an}的通项公式。

【解析】本题以等差数列、等比数列为平台，主要考查学生的探索与推理能力．本题属难题．

【参考答案】

（1）k?1,??n?1,Sn?1?Sn?1?2(Sn?S1),?Sn?2?Sn?2(Sn?1?S1)即：an?2?an?2an?1 所以，n>1时，?an?成等差，而a2?2，S2?3,S3?2(S2?S1)?S1?7,?a3?4,?a5?8;

（2）由题意：?n?3,Sn?3?Sn?3?2(Sn?S3),(1);?n?4,Sn?4?Sn?4?2(Sn?S4),(2)， ?n?4,Sn?4?Sn?2?2(Sn?1?S3),(3);?n?5,Sn?5?Sn?3?2(Sn?1?S4),(4);

当n?5时，由（1）（2）得：an?4?an?3?2a4,(5)

由（3）（4）得： an?5?an?2?2a4,(6)

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由（1）（3）得：an?4?an?2?2an?1,(7);

由（2）（4）得：an?5?an?3?2an?1,(8);

由（7）（8）知：an?4,an?1,an?2,成等差，an?5,an?1,an?3,成等差；设公差分别为：d1,d2, 由（5）（6）得：an?5?an?3?2d2?an?4?2a4?2d2,(9);an?4?an?2?2d1?an?5?2a4?2d1,(10); 由（9）（10）得：an?5?an?4?d2?d1,2a4?d1?d2,an?2?an?3?d2?d1;??an?(n?2)成等差，设公差为d,

在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：2a1+6a2?15d?2(2a1?5a2?5d),即4a2?5d??2; 2a1?8a2?28d?2(2a1?7a2?9d),即3a2?5d??1，?a2?3,d?2,?an?2n?1.

B．附加题部分

1．选修4?1 几何证明选讲

如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过点D作圆O的切线交AB的延长线于点C,若DA?DC,求证:AB?2BC.

【解析】本题主要考查三角形与圆的一些基础知识，如三角形的外接圆、圆的切线性质等,考查推理论证能力．本题属容易题．

【参考答案】连结OD,BD,因为AB是圆O的直径，所以?ADB?90?,AB?2OB因为DC是圆O的切线，所以?CDO?90?,又因为DA?DC.所以?A??C.于是?ADB≌?CDO.从而AB?CO.即2OB?OB?BC.得OB?BC.故AB?2BC.

2．选修4?2矩阵与变换

??10??12??1已知矩阵A??，B??，求AB． ???02??06?

【解析】本题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力．本题属容易题．

【参考答案】

设A的逆矩阵为??ab???10??ab??10???a?b??10?，则，即???02??cd??01??2c2d???01?，故a??1，b?0，cd????????????

??10???10??12???1?2?1?1?1????A?AB???c?0，d?，从而A的逆矩阵为，所以，． 11???0??0??06??03?2??2??2?

3．选修4?4坐标系与参数方程

在极坐标中，已知圆C

经过点P?

????，圆心为直线?sin????与极轴的交点，求圆C的极坐标34???

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方程．

【解析】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力。(www.61k.com)本题属容易题．

【参考答案】

???∵圆C

圆心为直线?sin????与极轴的交点，

3??

???∴在?sin????中令?=0，得??1。 3??

∴圆C的圆心坐标为（1，0）。

∵圆C

经过点P??，∴圆C的半径为

PC?4?。

∴圆C经过极点。∴圆C的极坐标方程为?=2cos?。

4．选修4?5不等式选讲

已知a,b是非负实数，求证：a3?b3?ab(a2?b2)?

【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法. 考查推理论证能力，本题属容易题．

【参考答案】

由a,b是非负实数，作差得

a3?b3?ab(a2?b2)?a2a(a?b)?b2b(b?a

?(a?b)((a)?(b))

当a?b时，a?

当a?b时，a?

所以a3?b3?55 b,从而(a)5?(b)5,得(a?b)((a)5?(b)5)?0 b,从而(a)5?(b)5,得(a?b)((a)s?(b)5)?0. ab(a2?b2).

5. 如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2,AB?1，点N是BC的中点，

点M在CC1上，设二面角A1?DN?M的大小为?.

（1）当??

900时，求AM的长；

（2）当cos??时，求CM的长。 【解析】本题主要考查空间向量的基础知识，考查运用空间

向量解决问题的能力．本题属中等题．

【参考答案】

建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz。

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设CM?t(0?t?2)，则各点的坐标为A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),M(0,1,t) 所以DN?(,1,0)，DM?(0,1,t),DA1?(1,0,2).设平面DMN的法向量为 121

2

n1?(x1,y1,z1)，则n1?DN?0,n1?DM?0,

即x1?2y1?0,y1?tz1?0，令z1?1,则y1??t,x1?2t.

所以n1?(2t,?t,1)是平面DMN的一个法向量.

设平面A1DN的法向量为n2?(x2,y2,z2),则n2?DA1?0,n2?DN?0

即x2?2z2?0,x2?2y2?0,令z2?1,则x2??2,y2?1

所以n2?(?2,1,1)是平面A1DN的一个法向量,从而n1?n2??5t?1

(1)因为??90?,所以n1?n2??5t?1?0解得t?

所以AM?1?1?()?2211,从而M(0,1,) 551

551? 5

(2)因为|n1|?5t2?1,|n2|?6 所以cos?n1,n2????5t?1

65t?12

因为?n1,n2???或???,所以

根据图形和(1)的结论可知t??5t?165t2?1??61,解得t?0或t?. 6211,从而CM的长为. 22

6. 已知函数f0(x)?sinx(x?0)，记fn(x)为fn?1(x)的导数，n?N?． x

（1）求2f1???f2?的值； 222

（2）证明：对任意的n?N?，等式nfn?1???fn??成立． 444【解析】本题主要考查简单的复合函数的导数、导数的运算法则及数学归纳法等基础知识。［www.61k.com］考察探究能力及推理论证能力.本题属难题.

【参考答案】 ???????

?

sinx??cosxsinx??2, (1)解：由已知，得f1(x)?f0?(x)????xx?x?

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cosx???sinx??sinx2cosx2sinx??????, 于是f2(x)?f1?(x)????2?23xxx?x??x?

所以f1()???

2?216???,f()???,2f()?f()??1. 故21223?2??2224

(2)证明：由已知，得xf0(x)?sinx,等式两边分别对x求导，得f0(x)?xf0?(x)?cosx， 即f0(x)?xf1(x)?cosx?sin(x??)，类似可得 2

2f1(x)?xf2(x)??sinx?sin(x??)，

3f2(x)?xf3(x)??cosx?sin(x?3?)， 4f3(x)?xf4(x)?sinx?sin(x?2?). 下面用数学归纳法证明等式nfn?1(x)?xfn(x)?sin(x?n?)对所有的n?N*都成立. 2

(i)当n=1时，由上可知等式成立.

(ii)假设当n=k时等式成立, 即kfk?1(x)?xfk(x)?sin(x?k?). 2

?因为[kfk?1(x)?xfk(x)]??kfk??1(x)?fk(x)?xfk(x)?(k?1)fk(x)?fk?1(x),

[sin(x?k?)]??cos(x?k?)?(x?k?)??sin[x?(k?1)?]， 所以(k?1)fk(x)?fk?1(x)?sin[x?

所以当n=k+1时,等式也成立. (k?1)?]. 综合(i),(ii)可知等式nfn?1(x)?xfn(x)?sin(x?n?)对所有的n?N*都成立. 令x??，可得nfn?1(?)??fn(?)?sin(??n?)(n?N*).

444424

所以nfn?1(?)??fn(?)?(n?N*).

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四 : 江苏高考数学引发网上吐槽 疑似命题人葛军走红

人民网北京6月8日电（欧兴荣）今年高考的语文、数学科目已结束，各地的试题引发了网友广泛热议，而“江苏高考数学试卷”甫一曝光，就迅速上升为微博热度榜前列，类似热度已经超过高考作文题之类的，网友纷纷吐槽：“太难了！”、“完全是用大学高数知识欺负高中生嘛。［www.61k.com）”“我想问，是葛军大帝命的题吗？”

据考生反映，今年江苏高考数学卷仍然是没有选择题，前面小题尚适中，但后面的三个大题难度很高，涉及了函数，数列和解析几何等知识点，如果用大学的高数知识很容易解答，但用高中数学知识解题还是难度不小的。

而被广大网友吐槽的疑似命题人葛军迅速走红，简历也随即曝光，与他相关段子在网上层出不穷。

据网上简历，葛军，南京师范大学副教授，硕士生导师，网称“数学帝”。历任2003年和2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学科命题人之一。2010年，葛军为江苏高考副组长，和同为南通人的姚天行出了“史上最难的2010江苏高考数学卷”。考试后，两篇名为《2010，江苏数学帝葛军，一个人秒杀江苏52万考生》和《数学帝葛军，你做人太数学了》的帖子在网上迅速走红。

节选几个网友吐槽的帖子：

伴客FJ：葛军，一个闻风丧胆的名字！每年都会因为他江苏数学高考闻名全国，出卷难度让你惊悚！然而你以为今天上午被江苏语文作文，下午数学刷屏就是全部了吗！不，明天还有难度pk六级的英语！我们大江苏的考生这两年高考上70的，四级裸考妥妥的500+ 不说了~大家好运，加油！

飞翔的朱梦婷：一点都不奇怪了，哪里有葛军哪里上热搜，希望江苏省平均分再创新低咯！

游戏你大爷啊：知道是葛军出题我就放心了！

她城无他XTJ：一种不断给考生希望，又不断毁灭希望的心理折磨~为什么说数学是江苏考生的生命线呢？因为他就是上天派来给你折寿的！不能再对。

WangMingXi阿：考完数学会发现语文哭早了，明天下午还有英语，江苏高考是“看着简单一做不会”！说那些考300多是垃圾的人真不知道是怎么想的，我们总分才480好吧！

狐羽唯一：突然想起，既然今年的考生都怀疑试卷是葛军出的，那么明年是不是就不会是他出的，然后简单一点？

(原标题：江苏高考数学引发网上吐槽疑似命题人葛军走红)

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五 : 江苏07年高考考试说明出炉 数学难题占三成

      江苏2007年高考《考试说明》终于出炉了。昨天，记者就变动较大的几门学科的《考试说明》，分别约请了南京市中学资深教师进行解读。据分析，因为2007年是江苏新课改前最后一次高考，今年高考命题上总体保持平稳，并表现出向新课标靠拢的趋势。据悉，《考试说明》下周一将会发到南京各中学，与广大教师和学生见面。

　　语文：错别字扣分力度加大

　　南京一位资深语文教师昨天在看到《考试说明》后表示，今年的语文命题从总体上看变化很小，主要有四个方面的变化。

　　变化之一是语言运用方面的。大纲把原来的“语文基础知识”和“语文基础知识的运用”两部分合并成“语言文字的运用”。这样一来，语言运用方面的题量减少了一道，合并以后，由原来的27分减少到24分。估计减少的是字形题，因为今年作文扣错别字加大力度，因此去掉字形题可以使卷子看得 
更均衡一些。

　　变化之二是古诗文方面的。今年大纲在名篇默写的要求后面附了一个目录，共有13篇古诗文，包括古代散文、古代诗词，有《劝说》片段、《赤壁赋》全文、《离骚》片段、《阿房宫赋》全文等，还有一些唐诗宋词。这13篇都是原来的教材和现在高中语文新课标教材都提到的篇目，体现了今年命题向新课标靠拢。值得一提的是，今年对常用文言虚词的规定，在去年的10个的基础上，又加了“与”和“焉”两个，其中“焉”比较难理解一点，难度有所增加。

　　变化之三是现代文的阅读方面。今年在鉴赏、评价方面把原来的要求细化了。增加了“品位语言”、“领悟内涵”、“理解作品的艺术表现力”等方面，这种具体的表述，对学生有利，便于操作。现代文阅读今年还增加了一道3分的选择题。

　　变化之四是作文方面。尽管今年在作文要求方面有几处词句的改动。但总体上说没什么变化。唯一的较大的变化就是，今年对错别字的扣分力度加大，由原来的错3个字扣1分，变成现在的错1个字扣1分，重复不计，扣满5分为止。这一点在作文基础等级的最后一条，谈到书写时给了明确规定。可以说，今年对学生写字的要求提高了，希望每个考生写作时一定要细心，不能马虎。从现在起，错别字多的同学，应该用一段时间强化错别字的训练。

　　这位老师建议，在看到《考试说明》后，学生应该立即认真学习，逐条对照，务必把每个考点的复习落到实处。要加强现代文阅读的训练，因为今年的分值加大了，考生复习要强化一些，特别是要对照《考试说明》细化的要求，进行针对性的复习。

　　数学：难题比例占三成

　　南京一中高三数学老师孔繁海说，就今年的高考《考试说明》看，数学学科的考查范围和题型等基本没有变化。2007年数学高考题型依旧为选择题，填空题和简答题3种。其中选择题共10题，每题5分，填空题6题，每题5分，简答题5题，共50分。数学考查范围和去年不变。另外试卷的难易比例为中等难度以下的题占70％，中等难度以上的题占30％。

　　孔繁海说，虽然今年和去年的高考说明内容没什么变化。但需要提醒广大考生注意的是，今年的高考数学肯定会有一定的难度，考生要有心理准备。孔繁海说，高考是一种选拔性考试，是为高校选拔人才服务的，因此肯定有区分度，而在高考其他科目近年难度下降的情况下，高考数学就成了拉开考生总分的主要学科。而且估计今年的数学难题不会仅在简答题中出现一两题，而是会层层把关，填空选择题里都会出现一两题难题。

　　孔繁海提醒，有难题并不意味就是出现偏题怪题。考生也不要有心理负担，还是要在重视基础的前提下逐步提高。

　　英语：难度不会高于06年

　　金陵中学英语高级教师彭昆湘说，各省的自主命题都是根据全国高考考试大纲的，江苏省也不例外。

　　今年高考，对考生词汇量的要求是3500个，命题时不少于2000个。今年英语对考生时态的考查，“由8进10”，原来是8个时态，现在是10个，增加了将来进行时和现在完成进行时。

　　除了时态考查个数增加外，语法的考查个数也由21项增加到24项，增加的3项语法为省略、强调、虚拟语气。

　　今年英语高考对考生的考查层次更高，涉及的面更广更深。比如，“功能意念项目表”，有11个方面68项，非常细。功能意念的考查渗透在听力、对话、文章阅读等等题型中。高兴、惊奇、满意、责备、抱怨、恐惧、愿望、愤怒等等，是常见的功能意念，今年新增了“冷淡”和“判断与评价”。

　　再比如，话题项目表列了24项，比去年多了6项。过去考查的话题有购、饮食、天气、人际关系等，今年新增的有自然、世界与环境、科普知识与现代技术、热点话题、社会、文学与艺术。

　　今年的题型和去年相比，没有什么变化，去年新增了“对话填空”，实际上难度是降低了，从考试的总体要求看，高考难度有降低的趋势。去年，江苏省英语平均分是97分，今年只做减法不做加法，难度不会高于去年。

　　今年英语高考要考查考生的观察、发现、探究能力，这对08年高考也有启示。由于今年时态和语法都有所增加，08年高考考生用的是牛津版的，其中有5项语法有待补充，词汇量也不够，考生要补。

　　历史：难度系数0。65左右

　　南京一中历史教研组长郭东辉说，因为2007年是新课改前的最后一年高考，因此从总体上看，今年历史变化不大。这几年的趋势也是这样，每年仅有一点小调整，比较稳定，没有大起大伏。今年的试卷从风格到题型、结构等方面，都比较稳定。考生完全可以根据这两年高考试卷的风格进行复习。

　　今年历史卷的难度如何？郭老师分析，今年的难度和去年应该差不多，难度系数在0。6-0。65左右。也就是说，100分的试卷，考生平均拿65分，150分试卷，考生平均拿97分左右。可以说，自从江苏自主命题以来，历史考试难度在下降。今年仍然强调以基础为主，兼顾能力。并且，知识的组合、命题思路等都向新课标靠拢。事实上，这两年高考命题已经体现了这种趋向。

　　郭老师强调，时政方面的热点考生仍应关注，特别是这一两年来出现的新问题。比如，科学发展观，大国崛起，建立和谐社会、和谐世界，尤其是中央的一些新提法，会在历史卷中有所反映。一般来说，历史这门科目就是要求从现实角度去关注它。

　　郭老师建议，考生在复习时一定要注意对历史知识的深入掌握，不能死记硬背，重在理解，同时要注意辩证、全面地认识问题。

　　物理：首次增加选做题

　　与去年相比，今年物理考试说明体现出较大变化。

　　物理老师崔卫国认为，今年的物理考试说明总体上来说，增加了一些新课程的理念，比如，明确提出了“探究能力”，而在往年的考试说明中，这一能力并没有被提及。

　　今年物理高考考查的知识点个数减少，静电屏蔽、磁电式电流表等知识点今年不再考查。实验个数也有所减少，由19个实验减少到16个。油膜法测定分子直径、双缝干涉法测波长、电场中等势线的描绘，这三个实验今年不作为考查对象。

　　今年物理考卷还有一个很大的变化，就是首次在计算题中增加了选做题。选做题的分值相等，难度也基本相等。崔老师认为，选做题的出现，体现了考试的公平和民主，考生要是第一道题不会做，还有第二道题可以选择，这样也有利于选拔考生。

　　“探究能力”和选做题的出现，可以说是迎接2008年高考的一个过渡性的安排。不过，今年的考生也不用担心，尽管增加了新课程的理念，但是出题人会很好地把握“度”，过渡会比较平稳，考生不会感觉题目过新。

　　化学：增加例题要重点关注

　　南京市化学学科带头人冯建农认为，今年的化学卷变化不大，只是有点变动而已，总体上是微调。

　　今年试卷一个很重要的特点是，向2008年高考平稳过渡，指导思想是对学生的探究能力有所侧重。考试内容的要求上增加了“理解化学学科，形成信息素养，学会实验探究，解决化学问题”。表明今年命题注重探究，向2008年靠拢，推进高中课改的进程。

　　今年的指导思想还多了个“有利于引导化学教学”，体现高考指挥棒的效应，希望通过高考对中学的教学有个正确的引导。引导的方向便是：加强基础教育，回归教材，回归探究意识，培养化学实际应用能力。

　　冯老师还指出，今年大纲给的例题变化较大。去年只给了13题，今年则给了20道题。这20题里，只有2道是简单的，15道中等难度题，3道较难题，其中实验题和计算题较难。另外，今年大纲首次强调“高考是选拔性考试，有一定区分度，应具有一定难度”。因此，可以预见的是，今年的化学不会比去年简单，但也不会象前年那么难。

　　冯老师建议，拿到《考试说明》后，老师应该带着学生仔细阅读，把考纲例题多研究研究。中等难度的题占了60%，因此是主抓方向。另外，还要抓高考的热点和基本点，这在增加的例题中有所体现。今年增加的例题突出化学基础知识的运用和化学主干知识的考查，有离子方程式的正误判别、热化学方程式中反应热大小的比较、原子结构和元素性质规律性变化等。这些增加的例题高考肯定要考，考生要高度关注。

本文标题：2010江苏高考数学试题-2010江苏高考数学最后一题谁会解（题目在下面）快！
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