一 : 弦切角

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：定理是本节的重点也是本章的重点内容之一，它在证明角相等、线段相等、线段成比例等问题时，有重要的作用；它与圆心角和圆周角以及直线形角的性质构成了完美的角的体系，属于工具知识之一．

难点：定理的证明．因为在证明过程中包含了由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想，虽然在圆周角定理的证明中应用过，但对学生来说是生疏的，因此它是教学中的难点．

2、教学建议

（1）教师在教学过程 中，主要是设置学习情境，组织或引导学生发现问题、分析问题、研究问题和归纳结论，应用知识培养学生的数学能力；在学生主体参与的学习过程中，让学生学会学习，并获得新知识；

（2）学习时应注意：（Ⅰ）的识别由三要素构成：①顶点为切点，②一边为切线，③一边为过切点的弦；（Ⅱ）在使用定理时，首先要根据图形准确找到和它们所夹弧上的圆周角；（Ⅲ）要注意定理的证明，体现了从特殊到一般的证明思路．

教学目标 ：

1、理解的概念；

2、掌握定理及推论，并会运用它们解决有关问题；

3、进一步理解化归和分类讨论的数学思想方法以及完全归纳的证明方法．

教学重点：定理及其应用是重点．

教学难点 ：定理的证明是难点．

教学活动设计：

（一）创设情境，以旧探新

1、复习：什么样的角是圆周角?

2、的概念：

电脑显示：圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A  旋转至与圆相切时，得∠BAE．

引导学生共同观察、分析∠BAE的特点：

(1)顶点在圆周上； (2)一边与圆相交； (3)一边与圆相切．

的定义：

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做。

3、用反例图形剖析定义，揭示概念本质属性：

判断下列各图形中的角是不是，并说明理由：

以下各图中的角都不是．

图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；

图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；

图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；

图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件．

通过以上分析，使全体学生明确：定义中的三个条件缺一不可。

（二）观察、猜想

1、观察：（电脑动画，使C点变动）

观察∠P与∠BAC的关系．

2、猜想：∠P=∠BAC

（三）类比联想、论证

1、首先让学生回忆联想：

(1)圆周角定理的证明采用了什么方法?

(2)既然可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证明呢?

2、分类：教师引导学生观察图形，当固定切线，让过切点的弦运动，可发现一个圆的有无数个．

如图．由此发现，可分为三类：

(1)圆心在角的外部；

(2)圆心在角的一边上；

(3)圆心在角的内部．

3、迁移圆周角定理的证明方法

先证明了特殊情况，在考虑圆心在的外部和内部两种情况．

组织学生讨论：怎样将一般情况的证明转化为特殊情况．

如图 (1)，圆心O在∠CAB外，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠BAQ-∠l＝∠APQ-∠2＝∠APC．

如图 (2)，圆心O在∠CAB内，作⊙O的直径AQ．连结PQ，则∠BAC＝∠QAB十∠1＝∠QPA十∠2＝∠APC，

（在此基础上，给出证明，写出完整的证明过程)

回顾证明方法：将情形图都化归至情形图1，利用角的合成、对三种情况进行完    全归纳、从而证明了上述猜想是正确的，得：

定理：等于它所夹的弧对的圆周角．
4．深化结论．

练习1 直线AB和圆相切于点P，PC，PD为弦，指出图中所有的以及它们所夹的弧．

练习2 如图，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O 的弦，若＝，那么∠DAB和∠EAC是否相等?为什么?

分析：由于 和 分别是两个∠OAB和∠EAC所夹的弧．而 ＝ ．连结B，C，易证∠B＝∠C．于是得到∠DAB＝∠EAC．

由此得出：

推论：若两所夹的弧相等，则这两个也相等．

（四）应用

例1如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O 切于点C，AD⊥CE，垂足为D

求证：AC平分∠BAD．

思路一：要证∠BAC＝∠CAD，可证这两角所在的直角三角形相似，于是连结BC，得Rt△ACB，只需证∠ACD＝∠B．

证明：(学生板书)

组织学生积极思考．可否用前边学过的知识证明此题?由学生回答，教师小结．

思路二，连结OC，由切线性质，可得OC∥AD，于是有∠l＝∠3，又由于∠1＝∠2，可证得结论。

思路三，过C作CF⊥AB，交⊙O于P，连结AF．由垂径定理可知∠1＝∠3，又根据定理有∠2＝∠1，于是∠2=∠3，进而可证明结论成立．

练习题

1、如图，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，则∠ECA＝______度．

2、AB切⊙O于A点，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为3:1，则夹劣弧的∠BAC＝________

3、如图，经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C．

求证：∠ATC＝∠TBC．

(此题为课本的练习题，证明方法较多，组织学生讨论，归纳证法．)

（五）归纳小结

教师组织学生归纳：

(1)这节课我们主要学习的知识；

(2)在学习过程中应用哪些重要的数学思想方法？

（六）作业 ：教材P13l习题7．4A组l(2)，5，6，7题．

探究活动

一个角的顶点在圆上，它的度数等于它所夹的弧对的圆周角的度数，试探讨该角是否圆周角？若不是，请举出反例；若是圆周角，请给出证明．

提示：是圆周角（它是定理的逆命题）．分三种情况证明（证明略）．

二 : 弦切角定理怎样用图加公式表示

弦切角定理

弦切角定理怎样用图加公式表示

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请看下面（点击放大）：

三 : 弦切角定理PPT课件

C . O A B

C C .O .O B A B

A

顶点在圆上，并且一边和圆相交、 顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边 一边和圆相交 和圆相切的角叫做 和圆相切的角叫做

弦切角。

已知：如图， 切 于点A,AC与⊙O 已知：如图，AB切⊙O于点 于点 与

相交， 相交，
是弦切角。 即： ∠CAB是弦切角。 是弦切角

观察辨析
B C B A 切点） （切点） A D C 切点） （切点） B A m

C

A C

（切点） 切点） B A D

B A 切点） （切点）

m B C

概念应用
B A C O E 图一

1、 这是一个定滑轮装置示意 、 指出图中有哪几个弦切角。 图，指出图中有哪几个弦切角。 D 口答） （口答）

O A 图二 B

2、 AB与⊙O切于 ，请同 、 切于A 与 切于 学们画出三个以A为顶点的 学们画出三个以 为顶点的 弦切角， 弦切角，使它们所夹的弧分 别为180o、270o、90o。 别为 、 、 。

动手实验，猜想命题 动手实验，
通过测量得到弦切角度数。 通过测量得到弦切角度数。 C O A 甲 180o B C O A 乙 270o B O A 丙 90o B C

所夹弧 的度数

弦切角 的度数

90o

135o

45o

猜想： 猜想： 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

圆心在弦切角的一 边上 C O A 甲 m B C

圆心在弦切角 的内部 D O A 乙 m

圆心在弦切角的外部 D C m O A 丙 B

B

如图3， 与 的外接圆⊙ 例1 如图 ，AC与△ABD的外接圆⊙O 的外接圆 相切于A. 相切于A. (1)若弦切角∠ (1)若弦切角∠BAC=30o ，则 若弦切角 ⌒ AB = 度,∠AOB= ∠ 度,∠ABD= (2)若已知⊙ 的半径为3cm， ⌒长为 (2)若已知⊙O的半径为3cm，AB长为 若已知 3cm 的度数。 πcm，求弦切角∠BAC的度数。 ，求弦切角∠ 的度数 (3)若 ⊥ ，垂足为C (3)若AC⊥BC，垂足为 ，AC= BC= 2 , 求扇形 求扇形OAB的面积。 的面积。 的面积

D O

A

C
B

度;

图3

6

，

A 如图， 是 例2 如图，AD是 △ABC中∠BAC的平分 中 的平分 经过点A的 线，经过点 的⊙O与BC 与 切于点D，与AB、AC分 切于点 ， 、 分 别相交于E、 。 求证： 别相交于 、F。 求证： EF∥BC。 ∥ 。 证明：连结DF. 证明：连结DF. ∵AD是∠BAC的角平分线 是 的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC ∴∠ ∠ ∵∠EFD=∠BAD 又∵∠ ∠ ∴∠EFD=∠DAC ∴∠ ∠ ∵⊙O切 于 又∵⊙ 切BC于D ∴∠FDC=∠DAC ∴∠ ∠ ∴∠FDC=∠DAC ∴∠ ∠ ∴ EF∥BC ∥ O E B D F C

变式练习1 如图4，连结DE、 ， 变式练习 如图 ，连结 、DF， 你能找出图中有哪些相等-www.61k.com-的角， 你能找出图中有哪些相等的角， 哪些相似三角形。 哪些相似三角形。

动动脑筋

C o

B

问：弦切角 与所夹的弧、 与所夹的弧、 及所夹的弧 所对的圆心 角、圆周角 有何关系？ 有何关系？

A

P

弦切角及其性质是证明相等的重

要依据， 弦切角及其性质是证明相等的重要依据，它常常 与圆周角、圆心角等性质联合应用来进行证明、 与圆周角、圆心角等性质联合应用来进行证明、 计算。圆心角、圆周角、 计算。圆心角、圆周角、弦切角是与圆有关的三 种角，三者之间关系如图， 切 种角，三者之间关系如图，PA切⊙O于A，则有： ，则有： m ⌒ ∠PAB= ∠ ACB= 1/2∠ BOA= AB ∠

1.如图，AC是⊙O的弦，BD切⊙O于C，则 如图， 是 的弦， 切 如图 ， 图中弦切角有 4 个 。 若上题， 若上题， ∠ AOC=120,则 则 度 . ∠ ACD = 120度 2.如图，直线MN切⊙O于C，AB是⊙O的 如图，直线 AB是 如图 切 直径， 直径，若∠ BCM=40度，则∠ ABC等 度 等 于（ B ） A: 40度 度 B: 50度 度 C: 45度 D:60度 度 度

O B

A

C D

.O B M C

A D N

3.已知⊙O是△ABC的内切圆，D,E,F为切点， 已知⊙ 的内切圆， 为切点， 已知 的内切圆 为切点 若∠ A: ∠ B: ∠ C=4:3:2，则∠DEF = 50 度， ， ∠FBC= 70 度。

四 : 弦切角定理：弦切角定理-弦切角定义，弦切角定理-弦切角定理

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 与圆相切的直线，同圆内弦相交所形成的夹角叫做弦切角。

弦切角定理_弦切角定理 -弦切角定义

弦切角定理

如图所示，线段PT所在的直线切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。

弦切角定理_弦切角定理 -弦切角定理

概念及其证明

上图

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。

等于它所夹的弧的圆周角度数。

如上图，已知：直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦。

求证：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

证明：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵PC2=PB×AP

∴PC/AP=PB/PC

又∵∠CPB=∠BPC

∴△CAP∽△BCP

∴∠CAP=∠BCP

∴∠TCB=∠BAC

∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

综上所述：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

衍生问题及其证明

已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧CmA是弦切角∠BAC所夹的弧.

求证：弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半

弦切角定理

证明：分3种情况：

（1）圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径

∴弧CmA=弧CA

∵弧CA为半圆,

∴弧CmA的度数为180°

∵AB为圆的切线

∴∠CAB=90°

∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半

（2）圆心O在∠BAC的内部.

弦切角定理

过A作直径AD交⊙O于D,在优弧m所对的劣弧上取一点E，

连接EC、ED、EA。则

∵弧CD=弧CD

∴∠CED=∠CAD

∵AD是圆O的直径

∴∠DEA=90°

∵AB为圆的切线

∴∠BAD=90°

∴∠DEA=∠BAD

∴ ∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC

又∠CEA的度数等于弧CmA的度数的一半

∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半

弦切角定理

（3）圆心O在∠BAC的外部

过A作直径AD交⊙O于D，连接CD

∵AD是圆的直径

∴∠ACD=90°

∴∠CDA+∠CAD=90°

∵AB是圆O的切线

∴∠DAB=90°

∴∠BAC+∠CAD=90°

∴∠BAC=∠CDA

∵∠CDA的度数等于弧CmA的度数的一半。

∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

弦切角定理逆定理

定理：以三角形任意一条边为邻边，在三角形外部作1个角等于该边的对角，那么所作角的另一边与三角形外接圆相切，切点为所作角的顶点。

几何描述：设△ABP的外接圆为⊙O，在△ABP外部作∠BAC=∠BPA，则AC切⊙O于A。

注意定理的描述，所作角必须在三角形的外部，且该角与三角形有公共的边。

该定理的等价描述为：角的度数等于所夹弧所对圆周角的角为弦切角。

几何描述：设直线AC与圆相交于A，AB是圆的一条弦，P是圆上与A,B不重合的点。若∠BAC=∠BPA，则∠BAC是弦切角，即AC与圆相切于A。

弦切角定理

证明：如图，同样分类讨论

（1）当∠BPA=90°时，AB为直径。

∠BAC=∠BPA=90°，即AB⊥AC

经过直径的一端，并且与直径垂直的直线是圆的切线，∴AC是⊙O的切线，切点为A。

（2）当∠BPA<90°时，作直径AD，连接PD，则∠DPA=90°

∵∠BAC=∠BPA,∠DAB=∠DPB

∴∠BAC+∠DAB=∠BPA+∠DPB

即∠DAC=∠DPA=90°

由（1）得AC与⊙O切于A

（3）当∠BPA>90°时，作直径AD,连接PD,则∠DPA=90°

∵∠BAC=∠BPA,∠BAD=∠BPD

∴∠BAC-∠BAD=∠BPA-∠BPD

即∠DAC=∠DPA=90°

由（1）得AC切⊙O于A

弦切角定理_弦切角定理 -推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等，则这2个弦切角也相等。

应用举例

弦切角定理

例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交于点C，求证：∠CAB=∠CBA。

解：∵AC、BC是⊙O的两条切线，

∴AC=BC（切线长定理）。

∴∠CAB=∠CBA。（等腰三角形“等边对等角”）。

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的圆与BC相切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.

弦切角定理

求证：EF//BC.

证明：连接DF

∵AD是∠BAC的平分线

∴∠BAD=∠CAD

∵∠EFD=∠BAD

∴∠EFD=∠CAD

∵⊙O切BC于D

∴∠FDC=∠CAD

∴∠EFD=∠FDC

∴EF∥BC

弦切角定理

例3:如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，

求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.

证明：∵AB是⊙O直径

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠A+∠B=∠A+∠DCA

∴∠ACD=∠B，

∵MN切⊙O于C

∴∠MCA=∠B，

∴∠MCA=∠ACD，

即AC平分∠MCD，

同理：BC平分∠NCD。

本文标题：弦切角定理-弦切角
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