一 : 简单的线性规划中,如何找最点？
简单的线性规划中,如何找最点?
就是如何去找那个最值所在的点,或者说最值所在的点都具有什么特征?
先画出满足条件的可行域在坐标图里的范围,然后再看所求函数那条直线,经过平移,如果取最大值时该直线和可行域交于一点,即那就是最点,如果和可行域边界重合,那最值点就是重合部分的点都满足,即是条直线或线段,如果取不到想要的函数值,那么就没有满足条件的最值点
二 : 简单的线性规划（二）
线性规划教学设计方案（二）
教学目标
巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值．
重点难点
理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点．
如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点．
教学步骤
【新课引入】
我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．
【线性规划】
先讨论下面的问题
设 ，式中变量x、y满足下列条件
①
求z的最大值和最小值．
我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中 内部且包括边界．点（0，0）不在这个三角形区域内，当 时， ，点（0，0）在直线 上．
作一组和 平等的直线
可知，当l在 的右上方时，直线l上的点 满足 ．
即 ，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t最大，以经过点 的直线 ，所对应的t最小，所以
在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件．
是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于 又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数 在线性约束条件①下的最大值和最小值问题．
线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．
【应用举例】
例1 解下列线性规划问题：求 的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解：先作出可行域，见图中 表示的区域，且求得 ．
作出直线 ，再将直线 平移，当 的平行线 过B点时，可使 达到最小值，当 的平行线 过C点时，可使 达到最大值．
通过这个例子讲清楚线性规划的步骤，即：
第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；
第二步：在可行域内找出最优解所对应的点；
第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值．
例2 解线性规划问题：求 的最大值，使式中的x、y满足约束条件．
解：作出可行域，见图，五边形OABCD表示的平面区域．
作出直线 将它平移至点B，显然，点B的坐标是可行域中的最优解，它使 达到最大值，解方程组 得点B的坐标为（9，2）．
∴
这个例题可在教师的指导下，由学生解出．在此例中，若目标函数设为 ，约束条件不变，则z的最大值在点C（3，6）处取得．事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数 所确定的直线 的斜率 有关．就这个例子而言，当 的斜率为负数时，即 时，若 （直线 的斜率）时，线段BC上所有点都是使z取得最大值（如本例）；当 时，点C处使z取得最大值（比如： 时），若 ，可请同学思考．
随堂练习
1．求 的最小值，使式中的 满足约束条件
2．求 的最大值，使式中 满足约束条件
答案：1． 时， ．
2． 时， ．
总结提炼
1．线性规划的概念．
2．线性规划的问题解法．
布置作业
1．求 的最大值，使式中的 满足条件
2．求 的最小值，使 满足下列条件
答案：1．
2．在可行域内整点中，点（5，2）使z最小，
探究活动
利润的线性规划［问题］某企业1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为81元，请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预2001年企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万？
［分析］首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息：“1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为8万元”，在确定这三点坐标后，如何运用这三点坐标，是仅用其中的两点，还是三点信息的综合运用，运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为预测直线等等．
建立平面直角坐标系，设1997年的利润为5万元对应的点为 （0，5），1998年的利润为 7万元及1999年的利润为 8万元分别对应点 （1，7）和 （2，8），那么
①若将过 两点的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为13万元．
②若将过 两点的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为11万元．
③若将过 两点的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为10万元．
④若将过 及线段 的中点 的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为11．667万元．
⑤若将过 及 的重心 （注： 为3年的年平均利润）的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为11．667万元．
⑥若将过 及 的重心 的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为10．667万元．
⑦若将过 且以线段 的斜率 为斜率的直线作为预测直线，则预测直线 的方程为： ，这样预测2001年的利润为9万元．
⑧若将过 且以线段 的斜率 为斜率的直线作为预测直线，则预测直线 的方程为： ，这样预测2001年的利润为11.5万元.
⑨若将过点 且以线段 的斜率 为斜率的直线，作为预测直线，则预测直线 的方程为； ，这样预测2001年的利润为12万元．
⑩若将过 且以线段 的斜率 与线段 的斜率 的平均数为斜率的直线作为预测直线，则预测直线 的方程为： ，这样预测2001年的利润为12万元．
如此这样，还有其他方案，在此不—一列举．
［思考］（1）第⑤种方案与第④种方案的结果完全一致，这是为什么？
（2）第⑦种方案中， 的现实意义是什么？
（3）根据以上的基本解题思路，请你思考新的方案．如方案⑥中，过 的重心 ，找出以 为斜率的直线中与 两点的距离的平方和最小的直线作为预测直线．
（4）根据以上结论及你自己的答案估计一下利润的范围，你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理，使之得到的利润预测更为有效？如果不要求用线性预测，你能得出什么结果？
三 : 简单的线性规划（一）
教学目标
（1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；
（2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；
（3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
（4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；
（5）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．
教学建议
一、知识结构
教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域．再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法－图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用．
二、重点、难点分析
本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域．
对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次：
（1）二元一次不等式表示平面区域．首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念．明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）．其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线．
（2）二元一次不等式组表示平面区域．在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分．这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础．
难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答．
对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键．
对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题．另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法．
三、教法建议
（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念
（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论．
（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的．
（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的．
（5）对作业 、思考题、研究性题的建议：①作业 主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维．
（6）若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．
如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可．
（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
线性规划教学设计方案（一）
教学目标
使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域．
重点难点
了解二元一次不等式表示平面区域．
教学过程
【引入新课】
我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？
【二元一次不等式表示的平面区域】
1．先分析一个具体的例子
我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程 的解为坐标的点的集合 是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l（如图）那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式） 的解为坐标的点的集合 是什么图形呢？
在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：①在l上；②在l的右上方的平面区域；③在l的左下方的平面区域（如图）取集合A的点（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我们发现这些点都在l的右上方的平面区域，而点（0，0）、（－1，－1）等等不属于A，它们满足不等式 ，这些点却在l的左下方的平面区域．
由此我们猜想，对直线l右上方的任意点 成立；对直线l左下方的任意点 成立，下面我们证明这个事实．
在直线 上任取一点 ，过点P作垂直于y轴的直线 ，在此直线上点P右侧的任意一点 ，都有 ∴
于是
所以
因为点 ，是L上的任意点，所以，对于直线 右上方的任意点 ，
都成立
同理，对于直线 左下方的任意点 ，
都成立
所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式 的解为坐标的点的集点．
是直线 右上方的平面区域（如图）
类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式 的解为坐标的点的集合 是直线 左下方的平面区域．
2．二元一次不等式 和 表示平面域．
（1）结论：二元一次不等式 在平面直角坐标系中表示直线 某一侧所有点组成的平面区域．
把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式 就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．
（2）判断方法：由于对在直线 同一侧的所有点 ，把它的坐标 代入 ，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点 ，以 的正负情况便可判断 表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当 时，常把原点作为此特殊点．
【应用举例】
例1 画出不等式 表示的平面区域
解；先画直线 （画线虚线）取原点（0，0），代入 ，
∴ ∴ 原点在不等式 表示的平面区域内，不等式 表示的平面区域如图阴影部分．
例2 画出不等式组
表示的平面区域
分析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
解：不等式 表示直线 上及右上方的平面区域， 表示直线 上及右上方的平面区域， 上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分．
课堂练习
作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域．
（1） （2） （3）
（4） （5）
总结提炼
1．二元一次不等式表示的平面区域．
2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．
3．二元一次不等式组表示的平面区域．
布置作业
1．不等式 表示的区域在 的（ ）．
A．右上方 B．右下方 C．左上方 D．左下方
2．不等式 表示的平面区域是（ ）．
3．不等式组 表示的平面区域是（ ）．
4．直线 右上方的平面区域可用不等式 表示．
5．不等式组 表示的平面区域内的整点坐标是 ．
6．画出 表示的区域．
答案：
1．B 2．D 3．B 4． 5．（－1，－1）
6．
四 : 简单的线性规划（二）
线性规划教学设计方案（二）
教学目标
巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值．
重点难点
理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点．
如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点 ．
教学步骤
【新课引入】
我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．
【线性规划】
先讨论下面的问题
设 ，式中变量x、y满足下列条件
①
求z的最大值和最小值．
我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中 内部且包括边界．点（0，0）不在这个三角形区域内，当 时， ，点（0，0）在直线 上．
作一组和 平等的直线
可知，当l在 的右上方时，直线l上的点 满足 ．
即 ，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t最大，以经过点 的直线 ，所对应的t最小，所以
在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件．
是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于 又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数 在线性约束条件①下的最大值和最小值问题．
线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．
【应用举例】
例1 解下列线性规划问题：求 的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解：先作出可行域，见图中 表示的区域，且求得 ．
作出直线 ，再将直线 平移，当 的平行线 过B点时，可使 达到最小值，当 的平行线 过C点时，可使 达到最大值．
通过这个例子讲清楚线性规划的步骤，即：
第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；
第二步：在可行域内找出最优解所对应的点；
第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值．
例2 解线性规划问题：求 的最大值，使式中的x、y满足约束条件．
解：作出可行域，见图，五边形OABCD表示的平面区域．
作出直线 将它平移至点B，显然，点B的坐标是可行域中的最优解，它使 达到最大值，解方程组 得点B的坐标为（9，2）．
∴
这个例题可在教师的指导下，由学生解出．在此例中，若目标函数设为 ，约束条件不变，则z的最大值在点C（3，6）处取得．事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数 所确定的直线 的斜率 有关．就这个例子而言，当 的斜率为负数时，即 时，若 （直线 的斜率）时，线段BC上所有点都是使z取得最大值（如本例）；当 时，点C处使z取得最大值（比如： 时），若 ，可请同学思考．
随堂练习
1．求 的最小值，使式中的 满足约束条件
2．求 的最大值，使式中 满足约束条件
答案：1． 时， ．
2． 时， ．
总结提炼
1．线性规划的概念．
2．线性规划的问题解法．
布置作业
1．求 的最大值，使式中的 满足条件
2．求 的最小值，使 满足下列条件
答案：1．
2．在可行域内整点中，点（5，2）使z最小，
探究活动 利润的线性规划 ［问题］某企业1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为81元，请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预2001年企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万？ ［分析］首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息：“1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为8万元”，在确定这三点坐标后，如何运用这三点坐标，是仅用其中的两点，还是三点信息的综合运用，运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为预测直线等等． 建立平面直角坐标系，设1997年的利润为5万元对应的点为 （0，5），1998年的利润为 7万元及1999年的利润为 8万元分别对应点 （1，7）和 （2，8），那么 ①若将过 两点的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为13万元． ②若将过 两点的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为11万元． ③若将过 两点的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为10万元． ④若将过 及线段 的中点 的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为11．667万元． ⑤若将过 及 的重心 （注： 为3年的年平均利润）的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为11．667万元． ⑥若将过 及 的重心 的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为10．667万元． ⑦若将过 且以线段 的斜率 为斜率的直线作为预测直线，则预测直线 的方程为： ，这样预测2001年的利润为9万元． ⑧若将过 且以线段 的斜率 为斜率的直线作为预测直线，则预测直线 的方程为： ，这样预测2001年的利润为11.5万元. ⑨若将过点 且以线段 的斜率 为斜率的直线，作为预测直线，则预测直线 的方程为； ，这样预测2001年的利润为12万元． ⑩若将过 且以线段 的斜率 与线段 的斜率 的平均数为斜率的直线作为预测直线，则预测直线 的方程为： ，这样预测2001年的利润为12万元． 如此这样，还有其他方案，在此不—一列举． ［思考］（1）第⑤种方案与第④种方案的结果完全一致，这是为什么？ （2）第⑦种方案中， 的现实意义是什么？ （3）根据以上的基本解题思路，请你思考新的方案．如方案⑥中，过 的重心 ，找出以 为斜率的直线中与 两点的距离的平方和最小的直线作为预测直线． （4）根据以上结论及你自己的答案估计一下利润的范围，你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理，使之得到的利润预测更为有效？如果不要求用线性预测，你能得出什么结果？
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