换底公式-对数换底公式

发布时间：2017-08-10 所属栏目：对数公式

一 : 对数换底公式

　　首先可以通过实例研究当一个对数式的底数改变时，整个对数式会发生什么变化?

　　如求设，写成指数式是，取以为底的对数得

　　即．

　　在这个等式中，底数3变成后对数式将变成等式右边的式子．

　　一般地

　　关于对数换底公式的证明方法有很多，这里可以仿照刚才具体的例子计算过程证明对数换底公式，证明的基本思路就是借助指数式．

　　换底公式的意义是把一个对数式的底数改变可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则．

　　如换底公式可以解决如下问题：

　　(1) ． (2) ．(

二 : 换底公式课件

一、从对数的运算性质说起
?

则有： ? 1，M ? 0，N ? 0，如果a ? 0， a ?

(1) loga (M ) ? loga (N ) ? loga (MN ); （加法）
(2) loga (M ) ? loga (N ) ? loga (MN ); （减法）
?1

(3) n loga M ? loga M , (n ? R );
n

（数乘）

?注意：1.在实际解题过程中以上三式从左向右运算

不必考虑 M ，N 是否非负；但是从右向左运算时必须保证 M ，N 非负；2.两端的底数必须相同这就是说利用对数的运算性质只能解决同底数的对数运算 .

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计算

32 log5 3 2log3 2 ? log3 ? log3 8 ? 5 9
－１

二、换底公式
1、利用计算器计算 lg15 和 lg 2 ；

2、利用计算器计算 ln15和
结果：1、 lg15 ? 1.7, 2、 ln15 ? 2.7,

ln 2

.

lg 2 ? 0.3;

ln 2 ? 0.7.

说明：第1题中是两个常用对数，它们的底数都是10；第2题中是两个自然对数，它们的底数都是e.利用科学计算器可以直接计算常用对数和自然对数.

问题1 可否利用计算器求出 log2 15 的值呢？我们可设log 2 15 ? x ，从而有

2 ? 15
x

对上式两边同取以10为底的对数可得

log10 2 ? log10 15，即
x

lg 2 ? lg15 ? x lg 2 ? lg15 ? lg15 lg15 x? ，即 log 2 15 ? lg 2 lg 2
x

lg15 ? x ? log 2 15 ? lg 2

? 3.91.

lg15 抽象推广到一般情况可得重要由 log 2 15 ? lg 2

的对数转换公式：

换底公式

loga N logb N ? (其中a，b ? 0，a，b ? ? 1，N ? 0) loga b
说明：对数换底公式的证明方法并不唯一，前面对log 2 15 的求值过程实际上就是一种证明方法，可类似证明对数换底公式，现在请同学们写出证明过程，并思考如何将以 b为底 N 的对数转换为以 a为底的对数的比值.

对数换底公式

log a N ?a, b ? 0, a, b ? 1, N ? 0?. log b N ? log a b

证明: 设x=logbN,根据对数定义,有 N=bx. 换底公式好神奇两边取以a为底的对数,得换成新底可任意 logaN=logabx. 原底加底变分母而logabx=xlogab,所以真数加底变分子 logaN=xlogab. log a N x ? . 由于b≠1,则logab≠0,解出x得
log a b

因为x=logbN,所以

log a N log b N ? . log a b

三、推论
令N

log a N 则 logb N ? ?a， log a b
1 log b a ? log a b

就变形为

推论1

n 推论2 log am b ? m log a b
n

注：实际上由换底公式直接可得推论2，请同学们自己推导.
n log b n ? log a b n a log am b n ? ? log a b m ? log a a m m

直接利用换底公式

推论3

log a b ? logb c ? log c d ? log a d

lg b lg c lg d lg d 证明左边? ? ? ? lg a lg b lg c lg a

? log

a

d

?右边

四、应用
例1 计算：

(1) log9 27 ； (2) log8 9 ? log 27 32

log 3 27 3 解 ?1? log 9 27 ? ? log 3 9 2 lg 9 lg 32 2 lg 3 ? 5 lg 2 ? 10 ?2?log8 9 ? log 27 32 ? ? ? lg 8 lg 27 3 lg 2 3 lg 3 9

例2

用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）：
log8? ;
=

lg ? lg 8

log 2 48 ； log3 10 ;
lg 48 lg 2 1.7 ? 0.3 ?
lg10 ? lg 3

log5 50 ;

log1.082 2

1 ? 0.48

?

0.5 0.9

? 2.1

? 0.56

2.431

8.795

? 5.67

补充练习已知lg2=a,lg3=b,请用a,b表示下列各式的值.
lg 6 lg 2 ? lg 3 a ? b ? ? 1.log36= lg 3 lg 3 b
1 1 ? 2.log210= lg 2 a 10 lg lg 5 1 ? lg 2 1 ? a 2 3.log35= ? ? ? lg 3 lg 3 lg 3 b

2 lg 3 ? 2 lg 2 2a ? 2b 4.log1236= ? lg 3 ? 2 lg 2 2a ? b

例3: 若lg2=m， lg 3 ? n，求log5 12的值.
lg12 lg 4 ? lg 3 解：log5 12 ? ? 10 lg 5 lg 2

lg 4 ? lg 3 ? lg10 ? lg 2

2lg 2 ? lg 3 ? 1 ? lg 2

2m ? n ? 1? m

例4：一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%,估计约经过多少年,该物质的剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).

解设最初的质量是1,经过x年,剩留量是y.则经过1年,剩留量是y=0.84; 经过2年,剩留量是y=0.842; ...... 经过x年,剩留量是y=0.84x

例4：一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%,估计约经过多少年,该物质的剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字). 方法一根据函数关系式列表
x y=0.84x 0 1 1 0.84 2 3 5 ... ...
1
0.8 0.6 y

0.71 0.59 0.42

描点画出函数图像
从图中观察,y=0.5时对应的 x=4

y=0.84x

0.4
0.2 O 1 2 34 5 6 x

例4：一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%,估计约经过多少年,该物质的剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).

方法二依题意得0.84x=0.5,用科学计算器计算得

ln 0.5 x ? log 0.84 0.5 ? ? 3.98, ln 0.84
即约经过4年,该物质的剩留量是原来的一半.

思考：给你一张厚度为0.01cm 的薄纸（长任意），你知道要对折多少次，顺着它的高度就可以爬上珠穆朗玛峰吗？（8844.43m)

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例5：20世纪30年代,里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大.这就是我们常说的里氏地震M,其计算公式为 M= lg A ? lg A0, 其中,A是被测地震的最大振幅,A0是”标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差). (1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是 0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1); (2)5级地震给人的震感已经比较明显,计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1)

解： (1)

20 M ? lg 20 ? lg 0.001 ? lg 0.001 ? lg 20000 ? lg 2 ? lg 10 4 ? 4.3

因此，这是一次约为里氏4.3级的地震。 (2)由 M ? lg A ? lg A 0 可得 A A M ? lg ? ? 10 M ? A ?A 0 ?10 M A0 A0 当M＝7.6时，地震的最大振幅为 A1?A 0 ?10
7.6

;

当M＝5时，地震的最大

振幅为 A 2 ?A 0 ?10 .
5

所以，两次地震的最大振幅之比是

A1 A 0 ?10 7.6 2.6 ? ? 10 ? 398 . 5 A2 A 0 ?10

练习：
一、利用对数的换底公式化简下列各式

(1) log a c ? log c a ( 2) log 2 3 ? log 3 4 ? log 4 5 ? log 5 2 ( 3)(log 4 3 ? log 8 3)(log 3 2 ? log 9 2)

二、计算： log 4 8 ? log 1 3 ? log
9 2

4

解： log 4 8 ? log 1 3 ? log
9

2

4

log 3 3 log 2 8 log 2 4 ? ? ? log 2 4 log 1 log 2 2 3 9 3 1 2 ? ? ? 2 ( ?2) ( 1 ) 2 3 1 ? ? ? 4 ? ?2 2 2

五、小结
log a N logb N ? (其中a，b ? 0，a，b ? ? 1，N ? 0) 1.换底公式： log a b

2.推论：（） 1 logb a ?
n

1 loga b

n （） 2 logam b ? loga b m

（） 3 loga b ? logb c ? logc d ? loga d