一 : 复数的有关概念
教学目标
（1）掌握，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；
（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．
教学建议
（一）教材分析
1、知识结构
本节首先介绍了，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念．
2、重点、难点分析
（1）正确复数的实部与虚部
对于复数 ，实部是 ，虚部是 ．注意在说复数 时，一定有 ，否则，不能说实部是 ，虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。
说明：对于复数的定义，特别要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。
（2）正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系
分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下：
注意分清复数分类中的界限：
①设 ，则 为实数
② 为虚数
③ 且 。
④ 为纯虚数 且
（3）不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意：
①化为复数的标准形式
②实部、虚部中的字母为实数，即
（4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：
①任何一个复数 都可以由一个有序实数对( )唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对( )叫做复数的．
②复数 用复平面内的点Z( )表示．复平面内的点Z的坐标是( )，而不是( )，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是 ．由于 =0＋1· ，所以用复平面内的点(0，1)表示 时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数 时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位 ，或者 就是纵轴的单位长度．
③当 时，对任何 ， 是纯虚数，所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数．但当 时， 是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．
由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．
④复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写．要学生注意．
（5）关于共轭复数的概念
设 ，则 ，即 与 的实部相等，虚部互为相反数（不能认为 与 或 是共轭复数）．
教师可以提一下当 时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当 时， 与 互为共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行．
（6）复数能否比较大小
教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：
①根据两个复数相等地定义，可知在 两式中，只要有一个不成立，那么 ．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．
②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：
(i)对于任意两个实数a， b来说，a＜b， a=b， b＜a这三种情形有且仅有一种成立；
(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；
(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；
(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向学生讲解)
（二）教法建议
1．要注意知识的连续性：复数 是二维数，其几何意义是一个点 ，因而注意与平面解析几何的联系．
2．注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想．
3．注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答．
教学目标 1．了解复数的实部，虚部； 2．掌握复数相等的意义； 3．了解并掌握共轭复数，及在复平面内表示复数． 教学重点 复数的概念，复数相等的充要条件． 教学难点 用复平面内的点表示复数Ｍ． 教学用具：直尺 课时安排：1课时 教学过程 ： 一、复习提问： 1．复数的定义。 2．虚数单位。 二、讲授新课 1．复数的实部和虚部： 复数 中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。 2．复数相等 如果两个复数 与 的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。 即： 的充要条件是 且 。 例如： 的充要条件是 且 。 例1： 已知 其中 ，求x与y. 解：根据复数相等的意义，得方程组： ∴ 例2：m是什么实数时，复数 , (1) 是实数，(2)是虚数，（3）是纯虚数. 解： (1) ∵ 时，z是实数, ∴ ,或 . (2) ∵ 时，z是虚数, ∴ ，且 (3) ∵ 且 时， z是纯虚数. ∴ 3．用复平面（高斯平面）内的点表示复数 复平面的定义 建立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面． 复数 可用点 来表示．（如图）其中x轴叫实轴，y轴 除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上，不在虚轴上． 4．复数的几何意义： 复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的． 5．共轭复数 （1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数） （2）复数z的共轭复数用 表示．若 ，则： ； （3）实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数． （4）复平面内表示两个共轭复数的点z与 关于实轴对称． 三、练习 1,2,3,4. 四、小结： 1．在理解时应注意： （1）明确什么是复数的实部与虚部； （2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求； （3）弄清复平面与复数的几何意义； （4）两个复数不全是实数就不能比较大小。 2．复数集与复平面上的点注意事项： （1）复数 中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。 （2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。 （3）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。 （4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应： 五、作业 1,2,3,4, 六、板书设计 ： §8,2 1定义： 例1 3定义: 4几何意义: …… …… …… …… 2定义： 例2 5共轭复数: …… …… …… ……
二 : 什么是复数复数的概念
什么是复数
复数的概念
我学的时候好像是这样说的~~
实数和虚数统称复数~~~
三 : 复数的概念
高中数学教案 第三册(选修Ⅱ)第4章复数（第1课时）
课 题： 4．1复数的概念
教学目的：
1.了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位2.3.理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部4.教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第授课类型：新授课课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
?复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复教学过程：
一、复习引入：
数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛 盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理 第 1页（共6页）
高中数学教案 第三册(选修Ⅱ)第4章复数（第1课时）
数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位.二、讲解新课：
1.虚数单位i:
(1)它的平方等于-1，即 i??1;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i!
3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n2
4.复数的定义：形如a?bi(a,b?R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复C表示
3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即z?a?bi(a,b?R)，把复数表示成a+bi4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a?bi(a,b?R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.
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高中数学教案 第三册(选修Ⅱ)第4章复数（第1课时）
6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b= 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”如果两个复
7. 复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系
中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对由此可知，复数集与平面直角坐标系中
的点集之间可以建立一一对应的关系.
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系
来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做实轴上的点都表示
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等.
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.
三、讲解范例： 112?3i,?3?i,?i,?3?i的实部和虚部，有没有例1请说出复数23
纯虚数？
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高中数学教案 第三册(选修Ⅱ)第4章复数（第1课时） 答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－;虚部分别是3，
111，－，－;－——www.61k.com——i是纯虚数. 332
例2 复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？
答：实部是3.14，虚部是－2.
易错为：实部是－2，虚部是3.14！
例3实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是:
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
［分析］因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.
解：(1)当m－1=0，即m=1时，复数z是实数；
(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；
(3)当m+1=0，且m－1≠0时，即m=－1时，复数z 是纯虚数.
例4 已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y.
解：根据复数相等的定义，得方程组??2x?1?y,5，所以x=，y2?1??(3?y)
四、课堂练习：
1.设集合C=｛复数｝，A=｛实数｝，B=｛纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确的是( )
A.A∪B=C B. CSA=B C.A∩CSB=? D.B∪CSB=C
2.复数(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i为虚数，则实数x满足( )
A.x=－11 B.x=－2或－ C.x≠－2 D.x≠1且x≠－2 22
3.已知集合M=｛1，2，(m2－3m－1)+(m2－5m－6)i｝，集合P=｛－1，3｝.M∩P=｛3｝，则实数m的值为( )
A.－1 B.－1或4 C.6 D.6或－1
4.满足方程x2－2x－3+(9y2－6y+1)i=0的实数对(x，y)表示的点的个数是______.
5.复数z1=a+｜b｜i，z2=c+｜d｜i(a、b、c、d∈R)，则z1=z2的充要条件是______.
6.设复数z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，如果z是纯虚数，求m的值.
7.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值. 第 4页（共6页）
高中数学教案 第三册(选修Ⅱ)第4章复数（第1课时）
8.已知m∈R，复数z=m(m?2)+(m2+2m－3)i，当m为何值时， m?1
1+4i. 2(1)z∈R; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z=
答案：1.-http://www.61k.com-D 2.D 3. 解析：由题设知3∈M，∴m2－3m－1+(m2－5m－6)i=3
?m2?3m?1?3?m?4或m??1∴?，∴?∴m=－1，故选A. 2?m?6或m??1?m?5m?6?0
?x?3或x??1?x2?2x?3?0,?4. 解析：由题意知?∴? 12y??9y?6y?1?0,?3?
∴点对有(3，11)，(－1，)共有2个.答案：2 33
?a?c?a=c且b2=d2.答案：a=c且b2=d2
?|b|?|d|5. 解析：z1=z2??
2?m?3m?3?12?log2(m?3m?3)?0,?6.解：由题意知?∴?3?m?1
?log2(3?m)?0,?3?m?0?
?m2?3m?4?0?m?4或m??1∴?∴?，∴m=－1.
?m?3且m?2?m?2且m?3
2?x?mx?2?027. 解：方程化为(x+mx+2)+(2x+m)i=0.∴?，
?2x?m?0
m2mm??2?0,∴m2=8，∴m=±22. ∴x=－，∴422
?m2?2m?3?0,8. 解：(1)m须满足?解之得：m=－3. m?1?1.?
(2)m须满足m2+2m－3≠0且m－1≠0，解之得：m≠1且m≠－3. 第 5页（共6页）
高中数学教案 第三册(选修Ⅱ)第4章复数（第1课时）
?m(m?2)?0,?(3)m须满足?m?1解之得：m=0或m=－2.
?m2?2m?3?0.?
?m(m?2)1??(4)m须满足?m?12解之得：m∈? ?m2?2m?3?4.?
五、小结 ：这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及
六、课后作业：
七、板书设计
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四 : 复苏的念头
雪漫舞飘零
飞往希望与温暖
却在梦中消融
化为一片冰凉
溶有无限心酸
梦的种子
降临在一片片雪茫中
终被这冷的
化为了冰晶
可心却从未落下
梦想依守护着她
他也记恋着她
从未放下
就等这冷，这寒，这忘却的希望
冒起复苏的念头
她就一崛起而起
再不放弃
初三:曹炳霞
五 : 复数的有关概念
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