一 : 一次方程组的应用

（第一课时）

一、素质教育目标

（一）知识教学点

会列二元一次方程组解简单的应用题，并能检查结果是否正确、合理．

（二）能力训练点

培养学生分析问题、解决问题的能力．

（三）德育渗透点

1．体会代数方法的优越性．

2．向学生进一步渗透把未知转化为已知的思想．

3．向学生进行理论联系实际的教育．

（四）美育渗透点

学习列方程组解应用题时，若能在错综复杂的关系中抓住问题的关键，就能迅速通过相等求解，从而渗透解题的简捷性的数学美，以及解题的奇异美．

二、学法引导

1．教学方法：尝试指导法、观察法、讲练结合法．

2．学生学法：本节主要学习列二元一次方程组和三元一次方程组解应用题的方法，尤其重点要掌握列出二元一次方程组解应用题，其分析方法和解题步骤都与前面学过的列一元一次方程解应用题类似，可在学习中进行类比从而加强理解．

三、重点·难点·疑点及解决办法

（一）重点与难点

根据简单应用题的题意列出二元一次方程组．

（二）疑点

正确找出表示应用题全部含义的两个相等关系，并把它们表示成两个方程．

（三）解决办法

通过反复读题、审题，分析出题目中存在的两个相等关系是列方程组的关键．

四、课时安排

一课时．

五、教学具学具准备

投影仪、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．通过提问，复习列一元一次方程解应用题的步骤，尤其相等关系的寻找问题．

2．师生共同探索新知识—列二元一次方程组解应用题的一般步骤．

3．通过反馈练习，检查学生掌握知识的情况，以便有针对性地进行差漏补缺．

七、教学步骤 

（一）明确目标

本节课主要学习列二元一次方程组解应用题．

（二）整体感知

列二元一次方程组解应用题的关键在于通过准确的审题迅速寻找出两个正确的相等关系来列二元一次方程组．

（三）教学过程 

1．创设情境、导入  新课

（1）根据下列条件设适当的未知数，列出二元一次方程．

①甲、乙两数的和是10．

②甲地的人数比乙地的人数的2倍还多70．

③买4支铅笔、3支圆珠笔共花了1.6元．

（2）甲、乙两工人师傅制作某种工件，每天共制作12件．已知甲每天比乙多制作2件，求甲、乙每人每天可制作几件？

①列出一元一次方程和二元一次方程组解题．

②比较一下，两种方法得到的结果是否相同？是列一元一次方程容易，还是列二元一次方程组容易？

学生活动：第（1）题口答，第（2）题在练习本上完成．

【教法说明】第（1）题为根据相等关系列二元一次方程打下了基础；第（2）题通过两种解法的比较，让学生体会列方程组的优越性，这样引入课题，可以引起学生学习新知识的兴趣．

2．探索新知，讲授新课

例1  小华买了80分与2元的邮票共16枚，共花了18元8角，80分与2元的邮票各买了多少枚？

分析：（1）题中有几个未知数？分别是什么？

（2）题中有几个相等关系？分别是什么？

学生活动：观察、分析后回答．

未知数：80分邮票枚数与2元的邮票枚数．

相等关系（1）80分邮票枚数＋2元邮票枚数＝总枚数．

（2）80分邮票总价＋2元邮票总价＝全部邮票总价．

学生活动：设未知数、根据相等关系列方程．

解：设共买 枚80分邮票， 枚2元邮票，根据题意得

解这个方程组，得

答：80分邮票买了11枚，2元邮票买了5枚．

强调：（1）选定几个未知数，根据问题中的条件找几个相等关系，这几个相等关系正好表示了应用题的全部含义．

（2）列方程组解应用题时，解方程组过程在练习本上完成．

（3）得到结果后，要检验是不是原方程组的解，是不是符合应用题的实际意义，然后再写答句．

反馈练习：P35  1，2．（只列不解）

例2  小兰在玩具工厂劳动，做4个小狗、7个小汽车用去3小时42分；做5个小狗、6个小汽车用去3小时37分．平均每1个小狗与1个汽车各用多少时间？

仿照刚才分析例1的方法，分析问题．

学生活动：拟题、自由提问，其他学生抢答．

教师根据学生的拟题板书．

两个未知数：平均做1个小狗的时间与1个小汽车的时间

（1）做4个小狗的时间＋做7个小汽车的时间＝3时42分

（2）做5个小狗的时间＋做6个小汽车的时间＝3时37分

解题过程由学生完成，一个学生板演．

解：设平均做1个小狗用 分，做1个小汽车有 分，根据题意，得

解这个方程组，得

答：平均做一个小狗用17分，做1个小汽车用22分．

【教法说明】例2用拟题训练的方法让学生自己去尝试分析问题，不但能活跃课堂气氛，而且能促进学生积极思维，培养学生分析问题、解决问题的能力．

反馈练习：P35 3，4．

学生活动：口答、设未知数、列方程组．

3．变式训练，培养能力

用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有150张白铁皮，用多少张制盒身、多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？

分析：此题的相等关系不明显，应启发学生认真思考，找到第二个相等关系．

相等关系：（1）制盒身铁皮张数＋制盒底铁皮张数＝150张．

（2）盒底总数＝2×盒身总数．

解：设用 张铁皮制盒身， 张铁皮制盒底，可以制成整套缺头盒．根据题意，得

（四）总结、扩展

我们这节课学习了二元，你能简单归纳出列二元一次方程组解应用题的步骤吗？

学生发言后，老师适当补充、纠正．

八、布置作业 

（一）必做题：P39 1，2，3．

（二）选做题：P41 B组2．

（三）补充题：给定两数5和3，编一道列出二元一次方程组求解的应用题，使得这个方程组的解就是给定的两数．

参考答案

（一）1．到甲地130人，到乙地70人．

2．有28个队参加篮球赛，20个队参加排球赛．

3．长38㎝，宽16㎝．

（二）解：设一辆大车、一辆小车一次分别可运货 吨、 吨，根据题意，得

解得

∴4×3＋2.5×5＝24.5（吨）

九、板书设计 

投影幕	例1 例2 练习 小结：

二 : 数学教案－一次方程组的应用

（第一课时）

一、素质教育目标

（一）知识教学点

会列二元一次方程组解简单的应用题，并能检查结果是否正确、合理．

（二）能力训练点

培养学生分析问题、解决问题的能力．

（三）德育渗透点

1．体会代数方法的优越性．

2．向学生进一步渗透把未知转化为已知的思想．

3．向学生进行理论联系实际的教育．

（四）美育渗透点

学习列方程组解应用题时，若能在错综复杂的关系中抓住问题的关键，就能迅速通过相等求解，从而渗透解题的简捷性的数学美，以及解题的奇异美．

二、学法引导

1．教学方法：尝试指导法、观察法、讲练结合法．

2．学生学法：本节主要学习列二元一次方程组和三元一次方程组解应用题的方法，尤其重点要掌握列出二元一次方程组解应用题，其分析方法和解题步骤都与前面学过的列一元一次方程解应用题类似，可在学习中进行类比从而加强理解．

三、重点·难点·疑点及解决办法

（一）重点与难点

根据简单应用题的题意列出二元一次方程组．

（二）疑点

正确找出表示应用题全部含义的两个相等关系，并把它们表示成两个方程．

（三）解决办法

通过反复读题、审题，分析出题目中存在的两个相等关系是列方程组的关键．

四、课时安排

一课时．

五、教学具学具准备

投影仪、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．通过提问，复习列一元一次方程解应用题的步骤，尤其相等关系的寻找问题．

2．师生共同探索新知识—列二元一次方程组解应用题的一般步骤．

3．通过反馈练习，检查学生掌握知识的情况，以便有针对性地进行差漏补缺．

七、教学步骤 

（一）明确目标

本节课主要学习列二元一次方程组解应用题．

（二）整体感知

列二元一次方程组解应用题的关键在于通过准确的审题迅速寻找出两个正确的相等关系来列二元一次方程组．

（三）教学过程 

1．创设情境、导入  新课

（1）根据下列条件设适当的未知数，列出二元一次方程．

①甲、乙两数的和是10．

②甲地的人数比乙地的人数的2倍还多70．

③买4支铅笔、3支圆珠笔共花了1.6元．

（2）甲、乙两工人师傅制作某种工件，每天共制作12件．已知甲每天比乙多制作2件，求甲、乙每人每天可制作几件？

①列出一元一次方程和二元一次方程组解题．

②比较一下，两种方法得到的结果是否相同？是列一元一次方程容易，还是列二元一次方程组容易？

学生活动：第（1）题口答，第（2）题在练习本上完成．

【教法说明】第（1）题为根据相等关系列二元一次方程打下了基础；第（2）题通过两种解法的比较，让学生体会列方程组的优越性，这样引入课题，可以引起学生学习新知识的兴趣．

2．探索新知，讲授新课

例1  小华买了80分与2元的邮票共16枚，共花了18元8角，80分与2元的邮票各买了多少枚？

分析：（1）题中有几个未知数？分别是什么？

（2）题中有几个相等关系？分别是什么？

学生活动：观察、分析后回答．

未知数：80分邮票枚数与2元的邮票枚数．

相等关系（1）80分邮票枚数＋2元邮票枚数＝总枚数．

（2）80分邮票总价＋2元邮票总价＝全部邮票总价．

学生活动：设未知数、根据相等关系列方程．

解：设共买 枚80分邮票， 枚2元邮票，根据题意得

解这个方程组，得

答：80分邮票买了11枚，2元邮票买了5枚．

强调：（1）选定几个未知数，根据问题中的条件找几个相等关系，这几个相等关系正好表示了应用题的全部含义．

（2）列方程组解应用题时，解方程组过程在练习本上完成．

（3）得到结果后，要检验是不是原方程组的解，是不是符合应用题的实际意义，然后再写答句．

反馈练习：P35  1，2．（只列不解）

例2  小兰在玩具工厂劳动，做4个小狗、7个小汽车用去3小时42分；做5个小狗、6个小汽车用去3小时37分．平均每1个小狗与1个汽车各用多少时间？

仿照刚才分析例1的方法，分析问题．

学生活动：拟题、自由提问，其他学生抢答．

教师根据学生的拟题板书．

两个未知数：平均做1个小狗的时间与1个小汽车的时间

（1）做4个小狗的时间＋做7个小汽车的时间＝3时42分

（2）做5个小狗的时间＋做6个小汽车的时间＝3时37分

解题过程由学生完成，一个学生板演．

解：设平均做1个小狗用 分，做1个小汽车有 分，根据题意，得

解这个方程组，得

答：平均做一个小狗用17分，做1个小汽车用22分．

【教法说明】例2用拟题训练的方法让学生自己去尝试分析问题，不但能活跃课堂气氛，而且能促进学生积极思维，培养学生分析问题、解决问题的能力．

反馈练习：P35 3，4．

学生活动：口答、设未知数、列方程组．

3．变式训练，培养能力

用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有150张白铁皮，用多少张制盒身、多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？

分析：此题的相等关系不明显，应启发学生认真思考，找到第二个相等关系．

相等关系：（1）制盒身铁皮张数＋制盒底铁皮张数＝150张．

（2）盒底总数＝2×盒身总数．

解：设用 张铁皮制盒身， 张铁皮制盒底，可以制成整套缺头盒．根据题意，得

（四）总结、扩展

我们这节课学习了二元一次方程组的应用，你能简单归纳出列二元一次方程组解应用题的步骤吗？

学生发言后，老师适当补充、纠正．

八、布置作业 

（一）必做题：P39 1，2，3．

（二）选做题：P41 B组2．

（三）补充题：给定两数5和3，编一道列出二元一次方程组求解的应用题，使得这个方程组的解就是给定的两数．

参考答案

（一）1．到甲地130人，到乙地70人．

2．有28个队参加篮球赛，20个队参加排球赛．

3．长38㎝，宽16㎝．

（二）解：设一辆大车、一辆小车一次分别可运货 吨、 吨，根据题意，得

解得

∴4×3＋2.5×5＝24.5（吨）

九、板书设计 

投影幕	例1 例2 练习 小结：

三 : 一次方程组的应用 第三课时

（第三课时）

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．会列出三元一次方程组解简单的应用题．

2．会用待定系数法解题．

（二）能力训练点

培养学生分析问题、解决问题的能力．

（三）德育渗透点

1．使学生进一步了解代数方法的优越性、实用性．

2．渗透特定系数法这一重要的思想方法．

3．了解我国古数学的光辉成就．

（四）美育渗透点

学习列三元一次方程组及用待定系数法解题，渗透解题的简捷性与奇异的数学美．

二、学法引导

1．教学方法：讲解法、谈话法、师生共同分析、发现问题．

2．学生学法：列三元一次方程组解应用题的关键在于迅速寻找出三个相等关系，故尖增强分析问题的能力．

三、重点·难点·疑点及解决办法

（一）重点

1．根据简单应用题的题意列出三元一次方程组．

2．用待定系数法解题的方法．

（二）难点

正确找出表示应用题全部含义的三个相等关系，并把它们表示成三个方程．

（三）疑点

如何正确地寻找相等关系．

（四）解决办法

反复读题、审题，用简洁的语言概括出相等关系．

四、课时安排

一课时

五、教具学具准备

投影仪或电脑、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．通过提问，复习列二元一次方程组解应用题的步骤．

2．通过例6的审题，让学生分析出如何求三种球的相等关系．教师规范板书过程以便学生的模仿．

3．通过反馈练习，强化对列三元一次方程组解应用题的训练，以便能掌握相关的一些变式训练．

七、教学步骤 

（一）明确目标

本节课主要学习列三元一次方程组解应用题．

（二）整体感知

列三元一次方程组解应用题的关键在于寻找出正确的相等关系，因而应仔细审题，合理分析，以达迅速求解的目的．

（三）教学过程 

1．开门见山，导入  新课

前面，我们学习了列二元一次方程组解应用题，哪位同学能简单说一下列二元一次方程组解应用题的步骤？

（设、找、列、解、答）

实际上，有的应用题中未知数的个数不只两个，这节课，我们来学习三元一次方程组的应用．

2．探索新知，讲授新课

例6  学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2：3，三种球共41个，求三种球各有多少？

题中有几个未知数？要找到几个相等关系？用简洁的语言概括相等关系．

学生活动：分析、思考、回答老师的问题；有三个未知数、三个相等关系．

相等关系：（1）篮球数＝2×排球数－3

（2）足球数：排球数＝2：3即：2×排球数＝3×足球数

（3）三种球数的和＝总球数

学生活动：根据刚才的分析解答例1，一个学生板演．

解：设篮球有 个，排球有 个，足球有 个，根据题意

得

①代入③，得 ④

由④，得 ⑤

把⑤代入②，得

把 分别代入①、⑤，得

∴

答：篮球有21个，排球有12个，足球有8个．

强调：（1）解方程组的过程可以写在练习本上．

（2）得到结果检验是否正确、合理．

【教法说明】例6采用与二元一次方程组类似的方法进行分析，学生接受不会感到困难．通过比较，可使学生进一步了解代数方法的优越性．

尝试反馈：P38 1、2．两个学生板演．

3．变式训练，培养能力

P41  17．在公式 中，当 时， ；当 时， ，求当 时， 的值．

【教法说明】教师首先介绍这个公式的实际意义，再启发学生根据已知条件先求待定系数 、 ，然后把 代入，求 ．

（四）总结、扩展

列三元一次方程组解应用题的步骤、关键是什么？

八、布置作业 

（一）必做题：P40～P41 14，16．

（二）选做题：P41 B组1，4．

（三）思考题：课本第42页“想一想”

（四）复习本章内容

参考答案

略．

九、板书设计 

5.5  一次方程组的应用（三）

例5

变式

练习

十、背景知识与课外阅读

一个水池装有甲、乙进水管和丙出水管，若打开甲管4小时，乙管2小时和丙管2小时，则水池中余水5吨；若打开甲管2小时，乙管3小时，丙管1小时，则池中余水1吨，求打开甲管22小时，乙管5小时，丙管11小时，池中余水多少吨？

分析和解：设甲、乙、丙三管每小时的流水量分别为 吨，依题意得

通过观察分析方程组的特有形式，可用独特的整体相乘，整体相减法求解

①×7－②×3得

．

四 : 一次方程组的应用 第二课时

（第二课时）

一、素质教育目标

（一）知识教学点

会列二元一次方程组解简单的应用题，并能检查所得结果是否正确、合理．

（二）能力训练点

培养学生分析问题、解决问题的能力．

（三）德育渗透点

1．进一步渗透化未知为已知的思想．

2．通过应用题的内容，进行理论联系实际的教育．

（四）美育渗透点

学习列二元一次方程解应用题，通过深入挖掘隐含的条件，渗透解题的简捷性的数学美以及准确的设元，发挥解题的创造性的数学美．

二、学法引导

1．教学方法：观察法、谈话法、尝试指导法．

2．学生学法：通过行程问题中的三个量路程、速度、时间结合题意得出两个正确的相等关系是关键，通过反复训练并思考总结出一般性、规律性的知识．

三、重点·难点·疑点及解决办法

（一）重点难点

根据简单应用题的题意列出二元一次方程组．

（二）疑点

正确找出表示应用题全部含义的两个相等关系，并把它们表示成两个方程．

（三）解决办法

反复读题、审题，提高分析问题及解决问题的能力．

四、课时安排

一课时．

五、教具学具准备

投影仪、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．复习列二元一次方程组解应用题的一般步骤，让学生在熟练掌握它的基础上研究新的问题．

2．师生共同探究行程问题中三者的关系，并学会如何通过题意以路程、速度、时间作为等量关系来列二元一次方程组．

七、教学步骤 

（一）明确目标

本节课主要学习列二元一次方程组解行程问题的应用题．

（二）整体感知

利用路程、速度、时间的三者关系解关于相遇、追及以及顺、逆流航行的应用题，关键在于寻找以路程或时间为主的等量关系．

（三）教学过程 

1．复习提问，导入  新课

（1）上节课我们学习了二元一次方程组的应用，列二元一次方程组解应用题的步骤是什么？

（2）列方程组解应用题的关键是哪两步？

学生活动：回答老师提出的问题．

这节课，我们接着学习列二元一次方程组解应用题．

2．探索新知，讲授新课

例3  甲、乙二人相距6㎞，二人同时出发，同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇，二人的平均速度各是多少？

提问：（1）题中有几个未知数？分别是什么？

（2）题中的两个相等关系分别是什么？

学生活动：观察、分析后回答．

未知数：甲、乙各自的平均速度

相等关系：（1）同向而行：甲的行程＝乙的行程＋6㎞

（2）相向而行：甲行程＋乙行程＝6㎞

学生活动：设未知数，根据相等关系列出方程组．

解：设甲的平均速度是每小时行 ㎞，乙的平均速度是每小时行 ㎞，根据题意，得

解这个方程组，得

答：平均第小时甲行4㎞，乙行2㎞．

注意：检验．

反馈练习：P37 1，2．

例4  甲、乙两码头相距60千米，某船往返两地，顺流时用3小时，逆流时用3小时45分，求船在静水中的航速及水流速度．

分析：复习船在顺流航行及逆流航行中的速度与船在静水中的速度、水流速度的关系．

顺流航行的船速＝在静水中的船速度＋水流速度

逆流航行的船速＝在静水中的船速度－水流速度

师生共同分析两个相等关系：

（1）顺流航行的速度×3＝60千米

（2）逆流航行的速度× ＝60千米

解：设船在静水中的速度为 千米/时，水流速度为 千米/时．

由题意得

答：略．

练习：P48 7．

例5  某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口将增加1%，求这个市现在的城镇人口与农村人口．

提问：（1）题中的两个未知数分别是什么？

（2）题中的相等关系是什么？

学生活动：回答老师提出的问题．

教师根据学生回答板书．

未知数：城镇人口与农村人口

相等关系：（1）城镇人口＋农村人口＝总人口

（2）城镇人口增加数＋农村人口增加数＝总人口增加数

学生活动：根据分析设未知数、列方程组，一个学生板演．

解：设城镇人口是 万，农村人口是 万，得

解这个方程组，得

答：城镇人口是14万，农村人口是28万．

注意：②式中的42也可以写成（ ）．

【教法说明】例3、例4采用了与例1相同的分析方法，这样分析，可以使学生学会列方程组解应用题的分析方法．如果学生的基础较好，也可以采用拟题训练法让学生分析，培养学生的自学能力．

3．变式训练，培养能力

、 两地之间的路为20千米，甲从 地，乙从 地同时出发，相向而行，2小时后在 点相遇，相遇后甲原速返回 地，乙仍向 地前进．甲回到 地时，乙离 地还有2千米，求甲、乙两人的时速．

学生活动：独立分析、思考、找相等关系，一个学生板演．

解：设甲速为每小时 千米，乙速为每小时 千米，根据题意，

得：

解得

答：甲速为每小时5.5千米，乙速为每小时4.5千米．

【教法说明】找相等关系时，相向而行的比较简单，为甲、乙二人的行程（20千米），在找同向而行的相等关系时，教师可画出直线型示意图进行分析：

甲、乙二人从 点同向而行，甲回到 地的时间是2小时，在相同时间内，乙到达 点，距 地还有2千米，从而可得相等关系：

甲行程－乙行程＝2千米

此题可培养学生分析问题、解决问题的能力．

（四）总结、扩展

这节课我们又学习了二元一次方程组的应用，我们在解题时，一定要认真分析，找准相等关系，列出方程组．

八、布置作业 

P39～P40 4，7，8，9，10，11．

参考答案

略．

九、板书设计 

5.5  一次方程组的应用（二）

例3

例4

例5

本文标题：二元一次方程组的应用-一次方程组的应用
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