一 : 北京市海淀区2013届高三一模数学理试题
2013年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
2
3.(5分)(2013?海淀区一模)某程序的框图如图所示,执行该程序,若输入的x值为5,则输出的y值( )
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4.(5分)(2013?海淀区一模)不等式组表示面积为1的直角三角形区域,则
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5.(5分)(2013?甘肃三模)若向量,满足||=||=|+|=1,则?的值为( ) 6.(5分)(2013?海淀区一模)一个盒子里有3个分别标有号码为1,2,3的小球,每次取
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27.(5分)(2013?海淀区一模)抛物线y=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动
点,又点A(﹣1,0),则
的最小值是( )
8.(5分)(2013?海淀区一模)设l1,l2,l3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4,5,6的直线.给出下列三个结论:
①?Ai∈li(i=1,2,3),使得△A1A2A3是直角三角形;
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②①?Ai∈li(i=1,2,3),使得△A1A2A3是等边三角形;
③三条直线上存在四点Ai(i=1,2,3,4),使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.
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二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.(5分)(2013?海淀区一模)在复平面上,若复数a+bi(a,b∈R)对应的点恰好在实轴上,则b= 0 .
10.(5分)(2013?海淀区一模)等差数列{an}中,a3+a4=9,a2a5=18,则a1a6=
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11.(5分)(2013?海淀区一模)如图,AP⊙O切于点A,交弦DB的延长线于点P,过点B作圆O的切线交AP于点C.若∠ACB=90°,BC=3,CP=4,则弦DB的长为 .
12.(5分)(2013?海淀区一模)在△ABC中,若a=4,b=2,cosA=﹣,则c= 3 ,sinC=
.
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13.(5分)(2013?海淀区一模)已知函数f(x)=有三个不同的零点,则实数a的取值范围是 <a≤1 .
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14.(5分)(2013?海淀区一模)已知函数f(x)=sinx,任取t∈R,定义集合:At={y|y=f(x),点P(t,f(t)),Q(x,f(x))满足|PQ|≤}.设Mt,mt分别表示集合At中元素的最大值和最小值,记h(t)=Mt﹣mt.则
(1)函数h(t)的最大值是 2 ;
(2)函数h(t)的单调递增区间为 (2k﹣1,2k),k∈Z .
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三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
215.(13分)(2013?海淀区一模)已知函数f(x)=2﹣(sinx﹣cosx).
(Ⅰ)求f()的值和f(x)的最小正周期;
,]上的最大值和最小值. (Ⅱ)求函数f(x)在区间[﹣
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16.(13分)(2013?海淀区一模)在某大学自主招生考试中,所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.
(I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数;
(II)若等级A,B,C,D,E分别对应5分,4分,3分,2分,1分.
(i)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;
(ii)若该考场共有10人得分大于7分,其中有2人10分,2人9分,6人8分.从这10人中随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望.
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17.(14分)(2013?海淀区一模)在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又PA=AB=4,∠CDA=120°,点N在线段PB上,且PN=.
(Ⅰ)求证:BD⊥PC;
(Ⅱ)求证:MN∥平面PDC;
(Ⅲ)求二面角A﹣PC﹣B的余弦值.
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18.(13分)(2013?海淀区一模)已知函数f(x)=lnx+ax+bx(其中a,b)为常数且a≠0)在x=1处取得极值.
(I)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(II)若f(x)在(0,e]上的最大值为1,求a的值.
2
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19.(14分)(2013?海淀区一模)已知圆M:(x﹣)+y=r=r(r>0).若椭圆C:2222+=1(a>b>0)的右顶点为圆M的圆心,离心率为.
(I)求椭圆C的方程;
(II)若存在直线l:y=kx,使得直线l与椭圆C分别交于A,B两点,与圆M分别交于G,H两点,点G在线段AB上,且|AG|=|BH|,求圆M半径r的取值范围.
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20.(13分)(2013?海淀区一模)设A(xA,yA),B=(xB,yB)为平面直角坐标系上的两点,其中xA,yA,xB,yB∈Z.令△x=xB﹣xA,△y=yB﹣yA,若|△x|?|△y|≠0,则x|+|△Y|=3,且|△
称点B为点A的“相关点”,记作:B=i(A).已知0(x0,y0)(x0y0∈Z)为平面上一个定点,平面上点列{Pi}满足:Pi=i(Pi﹣1),且点Pi的坐标为(xiyi),其中i=1,2,3,…n. (Ⅰ)请问:点p0的“相关点”有几个?判断这些“相关点”是否在同一个圆上,若在同一个圆上,写出圆的方程;若不在同一个圆上,说明理由;
(Ⅱ)求证:若P0与Pn重合,n一定为偶数;
(Ⅲ)若p0(1,0),且yn=100,记T=,求T的最大值.
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二 : 2013海淀中考一模数学答案
2013海淀中考一模数学参考答案
数学试卷答案及评分参考
三、解答题(本题共30分,每小题5分) 13?2cos30??1)0?()?1 .
81
解:原式?2?
2
?1?8 ………………………4分
??7.………………………5分
解:由①得 x??2.………………………2分 由②得 x?1.………………………4分
则不等式组的解集为?2?x?1.………………………5分
1?x?1?
15.先化简,再求值:?1?,其中x?3. ??
x?22x?4??
2
解:原式? ?
?
x?2?12x?4
?2 ………………………2分
x?2x?1
x?1x?2
?
2(x?2)(x?1)(x?1)
………………………3分
2x?1
. ………………………4分
2x?1
?12
当x?3时,原式=.………………………5分
16.证明:?AB∥EC,
∴?A??DCE. ………………………1分 在△ABC和△CDE中, ??B??EDC,?
??A??DCE, ?AC?CE,?
E
A
B
D
C
∴△ABC≌△CDE.………………………4分 ∴BC?DE. ………………………5分
1
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17.解:(1)∵ 点A(?1,n)在反比例函数y??2
x的图象上,
∴ n?2. ………………………1分
∴ 点A的坐标为(?1,2).
∵ 点A在一次函数y?kx?k的图象上,
∴2??k?k.
∴k??1.………………………2分
∴ 一次函数的解析式为y??x?1.………………………3分
(2)点P的坐标为(-3,0)或(1,0).………………………5分 (写对一个给1分)
18.解:设原计划每天加工x顶帐篷. ………………………1分
1500?300
x?1500?300
2x?4.………………………3分
解得 x?150. ………………………4分
经检验,x?150是原方程的解,且符合题意.
答:原计划每天加工150顶帐篷. ………………………5分
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
19. 解:过点A作AF⊥BD于F.
∵∠CDB=90°,∠1=30°,
∴∠2=∠3=60°. ………………………1分
在△AFB中,∠AFB=90°.
∵∠4=45
°,AB?,
∴AF=BF
………………………2分
在△AFE中,∠AFE=90°.
∴EF?1,AE?2.………………………3分
在△ABD中,∠DAB=90°.
∴DB?
∴DE?DB?BF?EF?1.………………………4分
∴S11
?ADE?2DE?AF?2?1)??2.………………………5分
20.(1)证明:连接OD. ………………………1分 ∵AB=AC,
∴?B??C.
又∵OB?OD,
∴?B??
1.
2
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∴?C??1.
∴OD∥AC.
∵DE⊥AC于E,
∴DE⊥OD.
∵点D在⊙O上,
∴DE与⊙O相切. ………………………2分
(2)解:连接AD.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵AB=6,sinB=5
5,
∴AD?AB?sinB=65
5.………………3分
∵?1??2??3??2?90?,
∴?1??3.
∴?B??3.
在△AED中,∠AED=90°.
∵sin?3?AE
AD
5?5,
∴AE?AD?5?5?6
5. ………………………4分
又∵OD∥AE,
∴△FAE∽△FOD. ∴FA
FOOD
∵AB?6,
FA2?AE. ∴OD?AO?3. ∴FA?35
∴AF?2. ………………………5分 ?.
21.(1)1
3.………………………1分
(2)∵(3?3?18)?80%?30,
∴被小博同学抽取的监测点个数为30个. ………………………2分
………………………3分
3
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(3)设去年同期销售x万箱烟花爆竹.
(1?35%)x?37. 解得x?56
∴5612
131213.………………………4分 1213?20. ?37?19
答:今年比去年同期少销售约20万箱烟花爆竹. ……………………… 5分
22.(1
………………………2分
(2)①如图:
(答案不唯一) ………………………4分
………………………5分
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)
23.解:(1)依题意,可得抛物线的对称轴为x???2m
2m?1.………………………1分
∵抛物线与x轴交于A、B两点,点A的坐标为(?2,0),
∴点B的坐标为 (4,0).………………………2分
(2)∵点B在直线y= 1x+4m+n上, 2
∴0?2?4m?n①.
∵点A在二次函数y?mx-2mx?n的图象上,
∴0?4m?4m?n②. ………………………3分 由①、②可得m?1
2,n??4. ………………………4分
112∴ 抛物线的解析式为y=x2?x?4,直线的解析式为y=x?2. ……………5分 22
(3)?5
2?d?0. ………………………7分
24.(1)AE?2.………………………1分
(2)线段AE、CD之间的数量关系为AE?2CD.………………………2分 证明:如图1,延长AC与直线l交于点G.
4
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依题意,可得∠1=∠2. ∵∠ACB=90?, ∴∠3=∠4.
∴BA?BG.
∴CA=CG.………………………3分 ∵AE⊥l,CD⊥l, ∴CD∥AE. ∴△GCD∽△GAE. ∴ CD
AE=GC
GA?1
2.
∴AE?2CD.………………………4分
(3)解:当点F在线段AB上时,如图2, 过点C作CG∥l交AB于点H,交AE于点G.∴∠2=∠HCB. ∵∠1=∠2,
∴∠1=∠HCB. ∴CH?BH. ∵∠ACB=90?,
∴∠3+∠1=∠HCB+∠4 =90?. ∴∠3=∠4.
∴CH?AH?BH. ∵CG∥l,
∴△FCH∽△FEB. ∴ CFCH5
EF=EB?6.
设CH?5x,BE?6x,则AB?10x. ∴在△AEB中,∠AEB=90?,AE?8x. 由(2)得,AE?2CD. ∵CD?4,
∴AE?8.
∴x?1.
∴AB?10,BE?6,CH?5. ∵CG∥l,
∴△AGH∽△AEB. ∴HG
BE?AH
AB?1
2.
图
2 图
3
5
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∴HG?3.………………………5分
∴CG?CH?HG?8.
∵CG∥l,CD∥AE,
∴四边形CDEG为平行四边形.
∴DE?CG?8.
∴BD?DE?BE?2.……………………6分
当点F在线段BA的延长线上时,如图3,
同理可得CH?5,GH?3,BE?6.
∴DE=CG?CH?HG?2.
∴ BD?DE?BE?8.
∴BD?2或8.……………………7分
25.解:(1)?y?x2?2mx?m2?m??x?m?2?m,……………………1分 ∴顶点坐标为C(m,m).……………………2分
(2)①?y?x?2与抛物线y?x2?2mx?m2?m交于A、B两点, ∴x?2?x2?2mx?m2?m.
解方程,得x1?m?1,x2?m?2.……………………4分
?点A在点B的左侧,
∴A(m?1,m?1),B(m?2,m?4).
∴AB?……………………5分
?直线OC的解析式为y?x,直线AB的解析式为y?x?2, ∴AB∥OC,两直线AB、OC之间距离h=
∴S1
?APB?2AB?h?1
2??3.………………………6分
……………………8分
(注:本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分)
6
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