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2013海淀一模数学-北京市海淀区2013届高三一模数学理试题

发布时间:2018-01-30 所属栏目:北京市海淀区育英中学

一 : 北京市海淀区2013届高三一模数学理试题

2013年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

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2

3.(5分)(2013?海淀区一模)某程序的框图如图所示,执行该程序,若输入的x值为5,则输出的y值( )

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4.(5分)(2013?海淀区一模)不等式组表示面积为1的直角三角形区域,则

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5.(5分)(2013?甘肃三模)若向量,满足||=||=|+|=1,则?的值为( ) 6.(5分)(2013?海淀区一模)一个盒子里有3个分别标有号码为1,2,3的小球,每次取

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27.(5分)(2013?海淀区一模)抛物线y=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动

点,又点A(﹣1,0),则

的最小值是( )

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8.(5分)(2013?海淀区一模)设l1,l2,l3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4,5,6的直线.给出下列三个结论:

①?Ai∈li(i=1,2,3),使得△A1A2A3是直角三角形;

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②①?Ai∈li(i=1,2,3),使得△A1A2A3是等边三角形;

③三条直线上存在四点Ai(i=1,2,3,4),使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.

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二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.(5分)(2013?海淀区一模)在复平面上,若复数a+bi(a,b∈R)对应的点恰好在实轴上,则b= 0 .

10.(5分)(2013?海淀区一模)等差数列{an}中,a3+a4=9,a2a5=18,则a1a6=

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11.(5分)(2013?海淀区一模)如图,AP⊙O切于点A,交弦DB的延长线于点P,过点B作圆O的切线交AP于点C.若∠ACB=90°,BC=3,CP=4,则弦DB的长为 .

12.(5分)(2013?海淀区一模)在△ABC中,若a=4,b=2,cosA=﹣,则c= 3 ,sinC=

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13.(5分)(2013?海淀区一模)已知函数f(x)=有三个不同的零点,则实数a的取值范围是 <a≤1 .

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14.(5分)(2013?海淀区一模)已知函数f(x)=sinx,任取t∈R,定义集合:At={y|y=f(x),点P(t,f(t)),Q(x,f(x))满足|PQ|≤}.设Mt,mt分别表示集合At中元素的最大值和最小值,记h(t)=Mt﹣mt.则

(1)函数h(t)的最大值是 2 ;

(2)函数h(t)的单调递增区间为 (2k﹣1,2k),k∈Z .

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三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

215.(13分)(2013?海淀区一模)已知函数f(x)=2﹣(sinx﹣cosx).

(Ⅰ)求f()的值和f(x)的最小正周期;

,]上的最大值和最小值. (Ⅱ)求函数f(x)在区间[﹣

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16.(13分)(2013?海淀区一模)在某大学自主招生考试中,所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.

(I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数;

(II)若等级A,B,C,D,E分别对应5分,4分,3分,2分,1分.

(i)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;

(ii)若该考场共有10人得分大于7分,其中有2人10分,2人9分,6人8分.从这10人中随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望.

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17.(14分)(2013?海淀区一模)在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又PA=AB=4,∠CDA=120°,点N在线段PB上,且PN=.

(Ⅰ)求证:BD⊥PC;

(Ⅱ)求证:MN∥平面PDC;

(Ⅲ)求二面角A﹣PC﹣B的余弦值.

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18.(13分)(2013?海淀区一模)已知函数f(x)=lnx+ax+bx(其中a,b)为常数且a≠0)在x=1处取得极值.

(I)当a=1时,求f(x)的单调区间;

(II)若f(x)在(0,e]上的最大值为1,求a的值.

2

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19.(14分)(2013?海淀区一模)已知圆M:(x﹣)+y=r=r(r>0).若椭圆C:2222+=1(a>b>0)的右顶点为圆M的圆心,离心率为.

(I)求椭圆C的方程;

(II)若存在直线l:y=kx,使得直线l与椭圆C分别交于A,B两点,与圆M分别交于G,H两点,点G在线段AB上,且|AG|=|BH|,求圆M半径r的取值范围.

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20.(13分)(2013?海淀区一模)设A(xA,yA),B=(xB,yB)为平面直角坐标系上的两点,其中xA,yA,xB,yB∈Z.令△x=xB﹣xA,△y=yB﹣yA,若|△x|?|△y|≠0,则x|+|△Y|=3,且|△

称点B为点A的“相关点”,记作:B=i(A).已知0(x0,y0)(x0y0∈Z)为平面上一个定点,平面上点列{Pi}满足:Pi=i(Pi﹣1),且点Pi的坐标为(xiyi),其中i=1,2,3,…n. (Ⅰ)请问:点p0的“相关点”有几个?判断这些“相关点”是否在同一个圆上,若在同一个圆上,写出圆的方程;若不在同一个圆上,说明理由;

(Ⅱ)求证:若P0与Pn重合,n一定为偶数;

(Ⅲ)若p0(1,0),且yn=100,记T=,求T的最大值.

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二 : 2013海淀中考一模数学答案

2013海淀中考一模数学参考答案

数学试卷答案及评分参考

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三、解答题(本题共30分,每小题5分) 13?2cos30??1)0?()?1 .

81

解:原式?2?

2

?1?8 ………………………4分

??7.………………………5分

解:由①得 x??2.………………………2分 由②得 x?1.………………………4分

则不等式组的解集为?2?x?1.………………………5分

1?x?1?

15.先化简,再求值:?1?,其中x?3. ??

x?22x?4??

2

解:原式? ?

?

x?2?12x?4

?2 ………………………2分

x?2x?1

x?1x?2

?

2(x?2)(x?1)(x?1)

………………………3分

2x?1

. ………………………4分

2x?1

?12

当x?3时,原式=.………………………5分

16.证明:?AB∥EC,

∴?A??DCE. ………………………1分 在△ABC和△CDE中, ??B??EDC,?

??A??DCE, ?AC?CE,?

E

A

B

D

C

∴△ABC≌△CDE.………………………4分 ∴BC?DE. ………………………5分

1

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17.解:(1)∵ 点A(?1,n)在反比例函数y??2

x的图象上,

∴ n?2. ………………………1分

∴ 点A的坐标为(?1,2).

∵ 点A在一次函数y?kx?k的图象上,

∴2??k?k.

∴k??1.………………………2分

∴ 一次函数的解析式为y??x?1.………………………3分

(2)点P的坐标为(-3,0)或(1,0).………………………5分 (写对一个给1分)

18.解:设原计划每天加工x顶帐篷. ………………………1分

1500?300

x?1500?300

2x?4.………………………3分

解得 x?150. ………………………4分

经检验,x?150是原方程的解,且符合题意.

答:原计划每天加工150顶帐篷. ………………………5分

四、解答题(本题共20分,每小题5分)

19. 解:过点A作AF⊥BD于F.

∵∠CDB=90°,∠1=30°,

∴∠2=∠3=60°. ………………………1分

在△AFB中,∠AFB=90°.

∵∠4=45

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°,AB?,

∴AF=BF

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………………………2分

在△AFE中,∠AFE=90°.

∴EF?1,AE?2.………………………3分

在△ABD中,∠DAB=90°.

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∴DB?

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∴DE?DB?BF?EF?1.………………………4分

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∴S11

?ADE?2DE?AF?2?1)??2.………………………5分

20.(1)证明:连接OD. ………………………1分 ∵AB=AC,

∴?B??C.

又∵OB?OD,

∴?B??

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1.

2

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∴?C??1.

∴OD∥AC.

∵DE⊥AC于E,

∴DE⊥OD.

∵点D在⊙O上,

∴DE与⊙O相切. ………………………2分

(2)解:连接AD.

∵AB为⊙O的直径,

∴∠ADB=90°.

∵AB=6,sinB=5

5,

∴AD?AB?sinB=65

5.………………3分

∵?1??2??3??2?90?,

∴?1??3.

∴?B??3.

在△AED中,∠AED=90°.

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∵sin?3?AE

AD

5?5,

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∴AE?AD?5?5?6

5. ………………………4分

又∵OD∥AE,

∴△FAE∽△FOD. ∴FA

FOOD

∵AB?6,

FA2?AE. ∴OD?AO?3. ∴FA?35

∴AF?2. ………………………5分 ?.

21.(1)1

3.………………………1分

(2)∵(3?3?18)?80%?30,

∴被小博同学抽取的监测点个数为30个. ………………………2分

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………………………3分

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3

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(3)设去年同期销售x万箱烟花爆竹.

(1?35%)x?37. 解得x?56

∴5612

131213.………………………4分 1213?20. ?37?19

答:今年比去年同期少销售约20万箱烟花爆竹. ……………………… 5分

22.(1

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………………………2分

(2)①如图:

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(答案不唯一) ………………………4分

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………………………5分

五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)

23.解:(1)依题意,可得抛物线的对称轴为x???2m

2m?1.………………………1分

∵抛物线与x轴交于A、B两点,点A的坐标为(?2,0),

∴点B的坐标为 (4,0).………………………2分

(2)∵点B在直线y= 1x+4m+n上, 2

∴0?2?4m?n①.

∵点A在二次函数y?mx-2mx?n的图象上,

∴0?4m?4m?n②. ………………………3分 由①、②可得m?1

2,n??4. ………………………4分

112∴ 抛物线的解析式为y=x2?x?4,直线的解析式为y=x?2. ……………5分 22

(3)?5

2?d?0. ………………………7分

24.(1)AE?2.………………………1分

(2)线段AE、CD之间的数量关系为AE?2CD.………………………2分 证明:如图1,延长AC与直线l交于点G.

4

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依题意,可得∠1=∠2. ∵∠ACB=90?, ∴∠3=∠4.

∴BA?BG.

∴CA=CG.………………………3分 ∵AE⊥l,CD⊥l, ∴CD∥AE. ∴△GCD∽△GAE. ∴ CD

AE=GC

GA?1

2.

∴AE?2CD.………………………4分

(3)解:当点F在线段AB上时,如图2, 过点C作CG∥l交AB于点H,交AE于点G.∴∠2=∠HCB. ∵∠1=∠2,

∴∠1=∠HCB. ∴CH?BH. ∵∠ACB=90?,

∴∠3+∠1=∠HCB+∠4 =90?. ∴∠3=∠4.

∴CH?AH?BH. ∵CG∥l,

∴△FCH∽△FEB. ∴ CFCH5

EF=EB?6.

设CH?5x,BE?6x,则AB?10x. ∴在△AEB中,∠AEB=90?,AE?8x. 由(2)得,AE?2CD. ∵CD?4,

∴AE?8.

∴x?1.

∴AB?10,BE?6,CH?5. ∵CG∥l,

∴△AGH∽△AEB. ∴HG

BE?AH

AB?1

2.

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2 图

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3

5

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∴HG?3.………………………5分

∴CG?CH?HG?8.

∵CG∥l,CD∥AE,

∴四边形CDEG为平行四边形.

∴DE?CG?8.

∴BD?DE?BE?2.……………………6分

当点F在线段BA的延长线上时,如图3,

同理可得CH?5,GH?3,BE?6.

∴DE=CG?CH?HG?2.

∴ BD?DE?BE?8.

∴BD?2或8.……………………7分

25.解:(1)?y?x2?2mx?m2?m??x?m?2?m,……………………1分 ∴顶点坐标为C(m,m).……………………2分

(2)①?y?x?2与抛物线y?x2?2mx?m2?m交于A、B两点, ∴x?2?x2?2mx?m2?m.

解方程,得x1?m?1,x2?m?2.……………………4分

?点A在点B的左侧,

∴A(m?1,m?1),B(m?2,m?4).

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∴AB?……………………5分

?直线OC的解析式为y?x,直线AB的解析式为y?x?2, ∴AB∥OC,两直线AB、OC之间距离h=

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∴S1

?APB?2AB?h?1

2??3.………………………6分

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……………………8分

(注:本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分)

6

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