一 : 2015各区北京中考数学一模及答案

北京市西城区2015年初三一模试卷

数 学 2015. 4

一、选择题(本题共30分，每小题3分)

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．的相反数是

A.1311B.? C.3 D.?3 3 3

2．据市烟花办相关负责人介绍，2015年除夕零时至正月十五24时，全市共销售烟花爆竹 约196 000箱，同比下降了32%．将196 000用科学记数法表示应为

A.1.96?105 B.1.96?104 C.19.6?104 D. 0.196?106

3．下列运算正确的是

A. 3a?3b?6ab 63232B.a

?a?

a

C.?a2??a6 D.a?a?a 3

4．如图是一个几何体的直观图，则其主视图是

5．甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机 抽签的方式决定各自的跑道．若甲首先抽签，则甲抽到1号跑道的概率是

A. 1 B. 111

C.

D.234

6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

7．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，如果∠BOC=70°，

那么∠BAD等于

A. 20° B. 30°

C. 35° D.70°

8．在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P在反比例函数的图象上，如果点P的纵坐 标是3，OP=5，那么该函数的表达式为 1212 B. y?? xx

1515C. y? D. y?? xxA. y?

9．为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿

者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时

间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．这

组数据的众数和中位数分别是

A. 6，4 B. 6，6

C. 4，4 D. 4，6

10．如图，过半径为6的⊙O上一点A作⊙O的切线l，P为⊙O上

的一个动点，作PH⊥l于点H，连接PA．如果PA=x，AH=y，

那么下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是

二、填空题(本题共18分，每小题3分)

11．如果分式1有意义，那么的取值范围是 ． xx?5

12．半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为cm2．

213．分解因式：12m?3=．

14．如图，△ABC中，AB=AC，点D，E在BC边上，当

△ABD≌△ACE．（添加一个适当的条件即可）

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15．如图是跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，以O

为横板AB的中点，AB绕点O上下转动，横板AB ．．

的B端最大高度h是否会随横板长度的变化而变化

呢？一位同学做了如下研究：他先设AB=2 m，

OC=0.5 m，通过计算得到此时的h1，再将横板AB

换成横板A′B′，O为横板A′B′的中点，且A′B′=3m，此时B′点的最大高度为h2，由此得 到h1与h2的大小关系是：h1 h2（填“＞”、“＝”或“＜”）．可进一步得出，h随横板的长度的变化而 （填“不变”或“改变”）．

16．如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左

移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点 A2向左移动9个单位长度至点A3，?，按照这种移动方式进行下去，点A4表示的数 是 ，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是

三、解答题(本题共30分，每小题5分)

17

?π?2008??()?1?6tan30?．

18．如图，∠C=∠E，∠EAC=∠DAB，AB=AD．

求证：BC=DE． 012

??2?x?0，19．解不等式组 ? ??3?5x?1??4x?8.

a2?3aa?31??20．先化简，再求值：2，其中a?2． a?2a?1a?1a?1

21．从北京到某市可乘坐普通列车或高铁．已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行

驶路程是520千米．如果高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且乘坐高铁比 乘坐普通列车少用3小时．求高铁的平均速度是多少千米/时．

22．已知关于x的一元二次方程x2?2(m?1)x?m(m?2)?0.

（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；

（2）若x??2是此方程的一个根，求实数m的值．

四、解答题(本题共20分，每小题5分)

23．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，

E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．

（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；

（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．

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24．在北京，乘坐地铁是市民出行时经常采用的一种交通方式．据调查，新票价改革政策的

实施给北京市轨道交通客流带来很大变化．根据2015年1月公布的调价后市民当时乘 坐地铁的相关调查数据，制作了以下统计表以及统计图．

根据以上信息解答下列问题：

（1）补全扇形图；

（2）题目所给出的线路中，调价后客流量下降百分比最高的线路是 ，调价后 里程x（千米）在范围内的客流量下降最明显．对于表中客流量不降 反增而且增长率最高的线路，如果继续按此变化率增长，预计2016年1月这条线 路的日均客流量将达到万人次；（精确到0.1）

（3）小王同学上学时，需要乘坐地铁15.9公里到达学校，每天上下学共乘坐两次．问 调价后小王每周（按5天计算）乘坐地铁的费用比调价前多支出 元．（不 考虑使用市政一卡通刷卡优惠，调价前每次乘坐地铁票价为2元）

25．如图，AB为⊙O的直径，M为⊙O外一点，连接MA与⊙O

交于点C，连接MB并延长交⊙O于点D，经过点M的直线l

与MA所在直线关于直线MD对称．作BE⊥l于点E，连接

AD，DE．

（1）依题意补全图形；

（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与∠BED相等

的角，并加以证明．

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26．阅读下面的材料：

小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：

11，tan??，求???的度数． 23

小敏是这样解决问题的：如图1，把?，?放在正方形网格中，使得?ABD??， ?CBE??，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC，可证得△ABC是等腰直角三角形，因此可求得???=∠ABC = °. 如果α，β都为锐角，且tan?? 请参考小敏思考问题的方法解决问题：

3

5

出的锐角α，画出∠MON=???，由此可得???=______°

. 如果?，?都为锐角，当tan??4，tan??时，在图2的正方形网格中，利用已作

五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)

27． 已知二次函数y1?x2?bx?c的图象C1经过(?1,0)，(0,?3)两点．

（1）求C1对应的函数表达式；

（2）将C1先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，

得到抛物线C2，将C2对应的函数表达式记为

y2?x2?mx?n，求C2对应的函数表达式；

（3）设y3?2x?3，在（2）的条件下，如果在

?2≤x≤a内存在某一个x的值，使得y2≤y3 ．．

28． △ABC中，AB=AC．取BC边的中点D，作DE⊥AC于点E，取DE的中点F

，连 成立，利用函数图象直接写出a的取值范围．

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接BE，AF交于点H．

（1）如图1，如果?BAC?90?，那么?AHB??，

（2）如图2，如果?BAC?60?，猜想?AHB的度数和

（3）如果?BAC??，那么AF? ； BEAF的值，并证明你的结论； BEAF

（用含?的表达式表示） ?

29． 给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1

上任一点，点Q为G2上任一点，

如果

线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．

（1）点A的坐标为A(1,0)，则点B(2,3)和射线OA之间的距离为________，点C(?2,3) 和射线OA之间的距离为________；

（2）如果直线y=x和双曲线y?

行研究）

（3）点E的坐标为(1,3)，将射线OE绕原点O逆时针旋转60?，得到射线OF，在坐

标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．

① 请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域

时可以用阴影表示）

② 将射线OE，OF组成的图形记为图形W，抛物线y?x2?2与图形M的

公共部分记为图形N，请直接写出图形W和图形N之间的距离．

kk；（可在图1中进 x

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北京市西城区2015年初三一模试卷

数学试卷参考答案及评分标准 2015. 4

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

17． =3．

18 ∴ △ABC≌△ADE．?????????????????????? 4分 ∴ BC = DE．?????????????????????????? 5分 19．

?2．???????????????????5分

20 =

a?1

．??????????????????????????4分 a?1

2?11

?．?????????????????????5分 2?13

当a?2时，原式=

21．解：设普通列车的平均速度为x千米/时．????????????????? 1分 则高铁的平均速度是2.5x千米/时．

400520

．???????????????????? 2分 ?3?

2.5xx

解得 x?120．??????????????????????????3分 经检验，x?120是原方程的解，且符合题意．???????????? 4分 所以 2.5x?300．

依题意，得

答：高铁的平均速度是300千米/时.??????????????????? 5分 22．（1）证明： ????2(m?1?)

2

∵ 8m≥0，

2

?)8m2?4．??????1分 ?m4m(? 2

2

∴ 8m?4＞0．????????????????????????2分

∴ 方程总有两个不相等的实数根． ??????????????? 3分

（2）解：∵ x??2是此方程的一个根，

2

∴ (?2)?2?(?2)(m?1)?m(m?2)?0．

整理得 m2?2m?0．

解得 m1?0，m2?2．????????????????????? 5分

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四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23．（1）证明：∵ ?ADE??BAD，

∴ AB∥ED．??????????????? 1分 ∵ BD垂直平分AC，垂足为F，

∴ BD?AC，AF=FC．

又∵ AE?AC，

∴ ?EAC??DFC?90?．

∴AE∥BD．

∴ 四边形ABDE是平行四边形．????????????????2分

（2）解：如图2，连接BE交AD于点O．

∵ DA平分∠BDE，

∴ ∠ADE=∠1．

又∵ ?ADE??BAD，

∴ ∠1=∠BAD． ∴ AB= BD．????????????3分

∴

ABDE是菱形．

∵ AB=5，AD=6，

∴ BD=AB=5，AD?BE，OA?1AD?3． 2

在Rt△OAB中，OB?4．

11AD?OB?BD?AF， 22

∴ 6?4?5AF．

解得 AF?4.8． ??????????4分 ∵ SVABD?

∵ BD垂直平分AC，

∴ AC?2AF?9.6．????????5分

注：其他解法相应给分．

24．解：（1）补全扇形图如图3所示．???????1分

（2）2号线，52＜x

≤72 ，22.2．（各1分）

???????????????? 4分

（3）30．??????????????? 5分

25．解：（1）依题意，补全图形如图4．?????? 1分

（2）

?BAD．?????????????? 2分

证明：如图5，连接BC，CD．

∵ 直线l与直线MA关于直线MD对称，

∴ ?1??2．?????????3分

∵ AB为⊙O的直径，

∴ ?ACB?90?，即BC?MA．

又∵ BE?l，

∵ MC?MB?cos?1，ME?MB?cos?

2∴ MC=ME．

又∵ C，E两点分别在直线MA与直线l

可得C，E两点关于直线MD对称．

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∴ ?3??BED． ??????? 4分

又∵ ?3??BAD，

∴ ?BAD??BED． ?????? 5分

26．解：45． ???????????????????1分

画图见图6． ???????????????3分

45．??????????????????? 5分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

27．解：（1）∵ 二次函数y1?x2?bx?c的图象C1经过(?1,0)，

∴ 抛物线C1的函数表达式为y1?x2?2x?3．

（2）∵ y1?x

2?2x?3=(x?1)2?4， ∴ 抛物线C1的顶点为(1,?4)．?? 4分

∴ 平移后抛物线C2的顶点为(0,0)，它对应的函

数表达式为y2?x2．? 5分

（3）a≥?1（见图7）．????????????????????????7分

1．??????????????????????????? 2分 2

AF? （2）结论：?AHB?90?，． BE证明：如图8，连接AD．

∵ AB=AC，∠BAC=60°，

∴ △ABC是等边三角形．

∵ D为BC的中点，

∴ AD⊥BC．

∴ ∠1+∠2=90°．

又∵ DE⊥AC，

∴ ∠DEC=90°．

∴ ∠2+∠C=90°．

∴ ∠1=∠C=60°．

设AB=BC=k（k?0）， 28．解：（1）90，

则CE?CD?1

2k． ，DE?4

∵ F为DE的中点，

1DE?，AD?AB?． 2ADDF?∴， BCCE∴ DF?

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∴ ADDF．??????????????????????3分 ?BCCE

又∵ ∠1=∠C，

∴ △ADF∽△BCE ．??????????????????? 4分

AFAD??，??????????????????? 5分 BEBC∠3=∠4．

又∵ ∠4+∠5=90°，∠5=∠6，

∴ ∠3+∠6=90°．

∴ ?AHB?90?．?????????????????????6分 ∴

（3）tan（90??）．????????????????????????7分 2

1?cos? 注：写或其他答案相应给分． 2sin?12?

29．解：（1）3

．（每空各1分）???????????????????? 2分

（2）?1．????????????????????????????? 4分

（3）①如图9，过点O分别作射线OE、OF的垂线OG、OH，则图形M为：y轴

正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（图中的阴影部分）．

?????????????????????????????? 7

分

说明：（画图2分，描述1分）（图形M也可描述为：y轴正半轴，直线

y?33x下方与直线y??x下方重叠的部分（含边界）） 33

②

4．????????????????????????????8分 3

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海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习

数 学

2015．5

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．

1．2015年北京市实施能源清洁化战略，全市燃煤总量减少到15 000万吨左右，将15 000用科学记数法表示应为

A． 0.15?105 B．1.5?104 C．1.5?105 D．15?103

2．右图是某几何体的三视图，该几何体是

A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D.正方体

3．如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数为

A．?1 B．1 C．?2 D．2

4．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为

1445A． B． C． D． 2599

5．如图，直线a与直线b平行，将三角板的直角顶点放在直线a上，

若∠1=40°，则∠2等于

A． 40° C．60° B．50° D

．140°

2

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6．如图，已知∠AOB．小明按如下步骤作图：

（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于点E．

（2）分别以D，E为圆心，大于1DE的长为半径画弧，两弧在∠2AOB的内部相交于点C．

（3）画射线OC．

根据上述作图步骤，下列结论正确的是

A．射线OC是?AOB的平分线 B．线段DE平分线段OC

C．点O和点C关于直线DE对称 D．OE=CE

7．某次比赛中，15名选手的成绩如图所示，则

这15名选手成绩的众数和中位数分别是

A．98，95 B．98，98

C．95，98 D．95，95

8. 甲骑车到乙家研讨数学问题，中途因等候红灯停止了一分钟，之后又骑行了1.2千米到达了乙家．若甲骑行的速度始终不变，从出发开始计时，剩余的路程S（单位：千米）与时间t（单位：分钟）的函数关系的图象如图所示，则图中a等于

A．1.2 B．2 C．2.4 D．6

9．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E.若?B?60?，AC=3，则CD的长为

A． 6 B

． C

D．3

S/千米

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10．小明在书上看到了一个实验：如右图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动.小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t以及容器内水面的高度h，并画出表示h与t的函数关系的大致图象.如左下图所示.小明选择的物体可能是

A B C D

二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：a3?ab2?____________．

12．写出一个函数y?kx（k?0），使它的图象与反比例函数y?个函数的解析式为___________．

1

的图象有公共点，这x

13．某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别.在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复.下表是由试验得到的一组统计数据：

从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为 ．（结果精确到0.1）

14．如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA?AB，AD?

1，BD?BC的长为__________． 15． 在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：

“四边形ABCD 中，AD∥BC，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形”．经过思考，小明说“添加AD=BC”，小红说“添加AB=DC” ．你同意 的观点，

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理由是 ．

16．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角.已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为 .

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

17

．计算：2?2?2cos60o??(3.14?π)0．

?3x?4?5x?2，?18．解不等式组：? 14x≥x?.?33?

19．已知4x?3y，求代数式(x?2y)2?(x?y)(x?y)?2y2的值．

20．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=FC，

∠A=∠F，∠EBC=∠FCB．

求证： BE=CD．

21.已知关于x的方程kx2?x?2?0 (k?0). k

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数k的值．

22．列方程或方程组解应用题:

为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小李建议每位同学都践行“双面打印，节约用纸”．他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，总质量为160克.已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求例子中的A4厚型纸每页的质量.（墨

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的质量忽略不计）

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23．如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC

的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．

24．根据某研究中心公布的近几年中国互联网络发展状况统计报告的部分相关数据，绘制的统计图表如下：

根据以上信息解答下列问题：

（1）直接写出扇形统计图中m的值；

（2）从2011年到2014年，中国网民人数每年增长的人数近似相等，估算2015年中国网民的人数约为 亿；

（3）据某市统计数据显示，2014年末全市常住人口为476.6万人，其中网民数约为210万人．若2014年该市的网民学历结构与2014年的中国网民学历结构基本相同，请你估算2014年末该市网民学历是大专的约有 万人．

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25．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点

C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O

的直径.

（1） 求证：OD⊥CE；

（2） 若DF=1， DC=3，求AE的长．

26．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．

小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

图1 图2 图3

请回答：BC+DE的值为_______．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，已知□ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．

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五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?12x?x?2与y轴交于点A，顶点为点B，点C2

与点A关于抛物线的对称轴对称．

（1）求直线BC的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t?0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．

28．在菱形ABCD中，?ADC?120?，点E是对角线AC上一点，连接DE，?DEC?50?，将线段BC绕点B逆时针旋转50?并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G．

（1）依题意补全图形；

DDAECAEC

B B

备用图

（2）求证：EG?BC；

（3）用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：_____________________________．

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29．在平面直角坐标系xOy中，对于点P(a,b)和点Q(a,b?)，给出如下定义：

?b,a≥1若b???，则称点Q为点P的限变点．例如：点?2,3?的限变点的坐标是?2,3?，点

??b,a?1

??2,5?的限变点的坐标是??2,?5?．

（1

）①点

的限变点的坐标是___________；

2

图象上某一个点的限变点， x

?

②在点A??2,?1?，B??1,2?中有一个点是函数y?

这个点是_______________；

（2）若点P在函数y??x?3(?2≤x≤k,k??2)的图象上，其限变点Q的纵坐标b?的取值范围是?5≤b?≤2，求k的取值范围；

（3）若点P在关于x的二次函数y?x2?2tx?t2?t的图象上，其限变点Q的纵坐标b?的取值范围是b?≥m或b??n，其中m?n．令s?m?求s关于t的函数解析式及s的取值范围． n，

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海淀区九年级第二学期期中练习

数学试卷答案及评分参考

2015．5

一、 选择题（本题共30分，每小题3分）

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

17. (本小题满分5分)

11

解：原式=?2??1 ………………………………………………………4分

42

?

1

? ………………………………………………………………5分 4

18. (本小题满分5分) 解： ?3x?4?5x?2，①

??14

x≥x?. ②?33?

由不等式①得 x?3． ……………………………………………………2分

由不等式②得 x≥?2． ……………………………………………………4分

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

∴不等式组的解集为?2≤x?3． ……………………………………………………5分

19. (本小题满分5分)

解： (x?2y)2?(x?y)(x?y)?2y2

?x2?4xy?4y2?(x2?y2)?2y2………………………………………………2分 ??4xy?3y2 ……………………………………………………………………3分 ??y?4x?3y?．…………………………………………………………………4分 ∵4x?3y，

∴原式= 0． ………………………………………………………………………5分

20. (本小题满分5分)

证明：∠EBC=∠FCB，

??ABE??FCD． …………………………………………………………1分

在△ABE与△FCD中，

??A??F,

? ?AB?FC,

??ABE??FCD,? ??ABE≌?FCD．………………………………………………………………4分 ?BE=CD． ………………………………………………………………………5分

21. (本小题满分5分)

（1）证明：k?0， 2?kx?x?2?0 是关于x的一元二次方程． k

2??(?1)2?4k(?) ……………………………………………………1分 k

?9?0．

?方程总有两个不相等的实数根． ………………………………………2分

（2）解：由求根公式，得

x?． ?x1?

21,x2??． …………………………………………………………4分 kk方程的两个实数根都是整数，且k是整数，

? k??1或k?1．…………………………………………………………5分

22. (本小题满分5分)

解： 设例子中的A4厚型纸每页的质量为x克．………………………………………1分

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

由题意，得 400160． ………………………………………………2分 ?2?xx?0.8

解得 x?4． ………………………………………………………3分 经检验， x?4为原方程的解，且符合题意． ………………………………4分 答：例子中的A4厚型纸每页的质量为4克． …………………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23. (本小题满分5分)

（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，

?AD//BC．

?∠DAF=∠F．

∠F=45°，

．………………………………………1分 ?∠DAE=45°

AF是∠BAD的平分线， ??EAB??DAE?45．

??DAB?90． 又四边形ABCD是平行四边形， ?四边形ABCD是矩形． …………………………2分

（2）解：过点B作BH?AE于点H，如图．

四边形ABCD是矩形，

?AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠D=90°．

AB=14，DE=8，

? CE=6．

在Rt△ADE中，∠DAE=45°，

?∠DEA=∠DAE=45°．

? AD=DE=8．

? BC=8．

在Rt△BCE中，由勾股定理得

BE??10． ……………………………………………3分 在Rt△AHB中，∠

HAB=45°，

?BH?AB?sin45? ． …………………………………………4分

在Rt△BHE中，∠BHE=90°，

?sin∠AEB=BH?． ……………………………………………5分 BE24. (本小题满分5分)

（1）36． ……………………………………………………………………………1分

（2）6.70?0.01． ……………………………………………………………………3分

（3）21． ……………………………………………………………………………5分

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

25. (本小题满分5分) （1）证明：

⊙O与边AB相切于点E，且 CE为⊙O的直径．

?CE⊥AB．

AB=AC，AD⊥BC，

?BD?DC． ………………………………1分

又 OE=OC，

?OD∥EB．

? OD⊥CE．………………………………2分

（2）解：连接EF．

CE为⊙O的直径，且点F在 ⊙O上， ． ? ∠EFC=90° CE⊥AB， ． ?∠BEC=90°

． ??BEF+∠FEC??FEC?∠ECF=90°

??BEF??ECF．

?tan?BEF?tan?ECF． ?BF?EF． EFFC

又DF=1， BD=DC=3， ? BF=2， FC=4．

?EF?． ………………………………………………… 3分 ∵∠EFC=90°， ∴∠BFE=90°．

由勾股定理，得BE ……………………4分 EF∥AD， BEBF2???．

EAFD1

?AE? ……………………………………………………5分

26. (本小题满分5分)

解：BC＋DE

． ……………………………………………………2分

解决问题：

连接AE，CE，如图．

∵四边形ABCD是平行四边形，

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

∴．

∵四边形ABEF是矩形， ∴，BF＝AE． ∴．

∴四边形DCEF是平行四边形． ………………………………………………3分 ∴ ． ∵AC＝BF＝DF， ∴AC＝AE＝CE．

∴△ACE是等边三角形． …………………………………………………………4分 ∴∠ACE＝60°． ∵CE∥DF，

∴∠AGF＝∠ACE＝60°． …………………………………………………………5分

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. (本小题满分7分)

解：（1）∵抛物线y?1x2?x?2与y轴交于点A

，

2

∴点A的坐标为（0，2）． …………………………………………1分 ∵y?1x2?x?2?1(x?1)2?3，

2

2

2

3

∴抛物线的对称轴为直线x?1，顶点B的坐标为（1，）． …………2分

2

又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，

∴点C的坐标为(2，2)，且点C在抛物线上．

设直线BC的解析式为y?kx?b． 3

∵直线BC经过点B（1，）和点C(2，2)，

213??

?k?，?k?b?，

∴?2 2 解得?

???b?1.?2k?b?2.

∴直线BC的解析式为

1

y?x?1．…………………………3分 2

（2） ∵抛物线y?1x2?x?2中，

2

当x?4时，y?6，

∴点D的坐标为(4，6)． ………………4分

1

∵直线y?x?1中，

2

当x?0时，y?1，

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

当x?4时，y?3，

∴如图，点E的坐标为(0，1)，

点F的坐标为(4，3)．

设点A平移后的对应点为点A'，点D平移后的对应点为点D'．

当图象G向下平移至点A'与点E重合时， 点D'在直线BC上方，

此时t=1；…………………………………………………………5分

当图象G向下平移至点D'与点F重合时，点A'在直线BC下方，此时t=3．

……………………………………………………………………………………6分 结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1?t≤3．……………………………7分

28. (本小题满分7分)

（1）补全图形，如图1所示．…………………………………………………………1分

F

F

G

D

DG

AEC

AEC

B

图

图2

（2）方法一：

证明：连接BE，如图2．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC．

?ADC?120?，

??DCB?60?． AC是菱形ABCD的对角线， 1 B

∴?DCA?1?DCB?30?． ……………………………………………………………2分 2

??EDC?180???DEC??DCA?100?．

由菱形的对称性可知，

?BEC??DEC?50?，

……………………………………………………………………3分 ?EBC??EDC?100?．

??GEB??DEC??BEC?100?．

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

??GEB??CBE．

?FBC?50?，

??EBG??EBC??FBC?50?．…………………………………………………………4分 ??EBG??BEC．

在△GEB与△CBE中，

??GEB??CBE,? ?BE?EB,

??EBG??BEC,?

∴△GEB≌△CBE．

?EG?BC． ………………………………………………………………………………5分 方法二：

证明：连接BE，设BG与EC交于点H，如图3．

F ∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC． G?ADC?120?， D

??DCB?60?． AC是菱形ABCD的对角线， ∴?DCA?1?DCB?30?． ………………………2分 2

??EDC?180???DEC??DCA?100?． AEHC由菱形的对称性可知，

?BEC??DEC?50?，?EBC??EDC?100?． B……………………………………………3分

?FBC?50?， 图3 ??EBG??EBC??FBC?50???BEC． ………………………………………………4分 ?BH?EH．

在△GEH与△CBH中，

??GEH??CBH,? ?EH?BH,

??EHG??BHC,?

∴△GEH≌△CBH．

?EG?BC． ………………………………………………………………………………5分

（3

）AE?BG?． …………………………………………………………………7分

29．(本小题满分8分)

解：（1）①

； ……………………………………………………………………1分

② 点B． ………………………………………………………………………2分

??x?3,x≥1（2）依题意，y??x?3(x≥?2)图象上的点P的限变点必在函数y??的x?3,?2≤x?1?

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

图象上．

?b?≤2，即当x?1时，b?取最大值2．

当b???2时，?2??x?3．

?x?5． ………………………………………3分 当b???5时，?5?x?3或?5??x?3．

?x??2或x?8． ………………………………4分 ?5≤b?≤2，

由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．

……………………………………………5分 （3）

y?x2?2tx?t2?t?(x?t)2?t，

?顶点坐标为(t,t)．………………………………………………………………6分

若t?1，b?的取值范围是b?≥m或b?≤n，与题意不符． 若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m?t；

当x?1时，y的值小于?[(1?t)2?t]，即n??[(1?t)2?t]．

?s?m?n?t?(1?t)2?t?t2?1．

2

?s关于t的函数解析式为 s?t． ……………………………7分 ?1 (t?1)

当t=1时，s取最小值2．

?s的取值范围是s≥2． ………………………………………………………8分

北京市怀柔区2015年高级中等学校招生模拟考试（一）

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．1．把8000用科学计数法表示是

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

A．80?10 B．8?10 C．0.8?10 D．8?10 2．数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值相等的点是 A.点A与点D B. 点A与点C C. 点B与点C D. 点B与点D

2344

3

．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A B C D 4. 小华的老师让他在无法看到袋

子里小球的情形下，从袋子里

模出一个小球. 袋子里各种颜色小球的数量统计如表所示.小华模到褐色小球的概率为 A．

1111

B． C． D．

42510

5. 如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，

则∠C为

A．30° B．60° C．80° D．120°

6．如图，已知⊙O的半径为10，弦AB长为16，则点O到AB的距离是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

7．某校在“中国梦.我的梦”演讲比赛中，有11名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前6名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这11名学生成绩的

A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方

A

差

8．如图，已知正方形ABCD中，G、P分别是DC、BC上的点，E、F分别 是AP、GP的中点，当P在BC上从B向C移动而G不动时， 下列结论成立的是

A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小

DGB

P

C

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定

9．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），

则不等式2x≥ax+4的解集为

A．x≥

10．如图1，在等边△ABC中，点E、D分别是AC，BC边的中点，点P为AB边上的一个动

点，连接PE，PD，PC，DE．设AP=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的

B. x≤3 C． x≤ D．x≥3 APEBD图1 CA．线段PD B．线段PC C．线段PE D．线段DE

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．函数y=1中自变量x的取值范围是_________________． x-3

12．请写出一个过一、三象限的反比例函数的表达式_________________．

13．下面有五个图形，与其它图形众不同的是第 个.

① ② ③ ④ ⑤

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

14．如图，在矩形ABCD中，=，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E．若AE?ED=16，则矩形ABCD的面积为 ．

15．当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，

我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”．

如果一个“半角三角形”的“半角”为20°，那么这个

“半角三角形”的最大内角的度数为__________．

16．2014年5月1日开始，北京市开始实施居民用水阶梯水价.

具体方案如下：户年用水量180立方米（含）内，每立方米5元；

181立方米至260立方米（含）内，每立方米7元；260立方米以上，每立方米9元.阶梯水价以日历年（每年1月1日到12月31日）为周期计算.

小王家2014年4月30日抄表示数550立方米，5月1日起实施阶梯水价，6月抄表时

因用户家中无人未见表，8月12日抄表示数706立方米，那么小王家本期用水量为 立方米，本期用水天数104天，日均用水量为 立方米. 如果按这样每日用水量计算，小李家今后每年的水费将达到 元（一年按365天计算）.

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

17．如图，点C，D在线段BF上，AB∥DE，AB?DF，?A??F．

求证：BC?DE．

0AECDF18.

计算：(2015?2014)?2cos45??() 1

2?1

?2x?4?0,19．解不等式组：? 3(x?1)?x?2.?

20．已知

21．列方程或方程组解应用题:

为了培育和践行社会主义核心价值观，引导学生广泛阅读古今文学名著，传承优秀传统文化,我区某校决定为初三学生购进相同数量的名著《三国演义》和《红岩》.其中《三国演义》的单价比《红岩》的单价多28元.若学校购买《三国演义》用了1200元，购买《红岩》用了400元，求《三国演义》和《红岩》的单价各多少元. ab4a?3b?，求代数式2(a?3b)的值. 232a?9b

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22．已知:关于x的一元二次方程错误！未找到引用源。［www.61k.com］（错误！未找到引用源。是整数）.

(1)求证:方程有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求k的值.

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23. 如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC,AB上，且DE∥AB，BE=AF．

（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；

（2）若∠ABC=60°，BD=4，求平行四边形ADEF的面积．

24．某公司有5个股东，每个股东的利润相同，有100名工人，每名工人的工资相同.2015年第一个季度工人的工资总额与公司

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

的股东总利润情况见右表：

该公司老板根据表中数据，作出了图1，并声称股东利润和工人工资同步增长，公司和工人做到了“有福同享”.

总额个人收入

图

1 图2

针对老板的说法，解决下列问题：

（1）这三个月工人个人的月收入分别是 万元；

（2）在图2中，已经做出这三个月每个股东利润统计图，请你补出这三个月工人个人月收入

的统计图；

（3）通过完成第（1），（2）问和对图2的观察，你如何看待老板的说法？（用一两句话概括）

25. 如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，D是⊙O的

切线CN上一点，BD交AC于点E，且BA= BD．

（1）求证：∠ACD=45°； （2）若OB=2，求DC的长．

26．阅读下面材料：

小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC中，

∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6

求BC的长.

A

DCBEC

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小聪思考：因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE. 这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）.

请回答：（1）△BDE是_________三角形.

（2）BC的长为__________.

参考小聪思考问题的方法，解决问题： 如图3，已知△ABC中，AB=AC, ∠A=20°，

BD平分∠ABC,BD=2.3,BC=2.

C求AD的长. B五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

227．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=（a-1）x+2x+1与x轴有交点，a为正整数.

（1）求a的值. 2（2）将二次函数y=（a-1）x+2x+1的图象向右平移m个单位，

2向下平移m+1个单位，当 -2≤x≤1时，二次函数有最小值-3

求实数m的值.

27题图

28．在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD,CD，其中CD交直线AP

于点E．

（1）依题意补全图1；

（2）若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

（3）如图2，若60°<∠PAB <120°，判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.

C

BP B

29. 对某种几何图形给出如下定义： 符合一定条件的动点所形成的图形，叫做符合这个条

件的点的轨迹.例如,平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆.

（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，A(0，2)，B是x轴上一动点，当点B在

x轴上运动时，点C在坐标系中运动，点C运动形成的轨迹是直线DE，且DE⊥x

轴AC

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于点G.

则直线DE的表达式是 .

（2）当△ABC是等边三角形时，在（1）的条件下，动点C形成的轨迹也是一条直线.

①当点B运动到如图2的位置时，AC∥x轴，则C点的坐标是 .

②在备用图中画出动点C形成直线的示意图，并求出这条直线的表达式.

③设②中这条直线分别与x,y轴交于E,F两点，当点C在线段EF上运动时，点H在线段OF上运动，（不与O、F重合），且CH=CE,则CE的取值范围是 .

怀柔区2014—2015学年度中考模拟练习（一）

数学试卷答案及评分参考

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．（本小题满分5分） 证明：∵ AB∥DE

∴ ∠B = ∠EDF；

在△ABC和△FDE中

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

??A??F?

??????????3分 ?AB?DF

??B??EDF?

∴△ABC≌△FDE(ASA)，???????4分 ∴BC=DE. ?????????????5分 18.解：原式=1+?2??????????????4分 =1+5分 19. 解①得：x<2，??????????????????????2分

1

，????????????????????4分 2

1

所以不等式组的解集为：-≤x<2. ???????????5分

2

4a?3b

(a?3b) 20． 解：2

a?9b2

4a?3b?(a?3b) (a?3b)(a?3b)

解②得：x≥-

4a?3b

?????????????????3分

a?3bab∵?， 32

∴2a?3b. ??????????????????4分 ?

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

∴原式＝6a??6. ??????????????5分 a?2a

21.解：设《红岩》的单价为x元，则《三国演义》的单价为(x+28)元. ?????1分. 由题意，得1200400???????????????3分. x?28x

解得x=14. ??????????????4分.

经检验，x=14是原方程的解，且符合题意.

∴x+28=42.

答：《红岩》的单价为14元，《三国演义》的单价为42元. ????????5分.

22．（1）证明：△错误！未找到引用源。(www.61k.com）

错误！未找到引用源。·???????????????1分.

∵错误！未找到引用源。是一元二次方程，∴k≠0，

∵k是整数 ∴错误！未找到引用源。即错误！未找到引用源。.

∴△错误！未找到引用源。

∴方程有两个不相等的实数根. ???????????????2分

（2

）解方程得：x?3分. ∴错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。???????????????4分

∵错误！未找到引用源。是整数，方程的根都是整数，∴错误！未找到引用源。=1或-1?????????????5分.

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23. （1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠DBE，

∵DE∥AB， ∴∠ABD=∠BDE，

∴∠DBE =∠BDE，∴BE=DE;

∵BE=AF，∴AF=DE;

∴四边形ADEF是平行四边形. ???????????????2分

（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，

∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠EBD=30°，

∴DG=BD=×4=2，???????????????3分

∵BE=DE，∴BH=DH=2，

∴BE=

DE

，???????????????4分

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

∴四边形ADEF的面积为：DE?DG

5分 个人收入24. 解：（1）0,28,0.3,0.32. ???????????3分

（2）补图如右图：????????????4分 （3）答案不唯一.?????????????5分

25. （1）证明：∵C是弧AB的中点，∴弧AC=弧BC,

∴AC=BC.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°,∴∠BAC=∠CBA=45°, 连接OC, ∵OC=OA, ∴∠AC0=45°. ∵CN是⊙O切线，∴∠OCD=90°,

∴∠ACD=45°. ????????????2分.

(2) 解：作BH⊥DC于H点，??????????3分. ∵∠ACD=45°,∴∠DCB=135°, ∴∠BCH=45°, ∵OB=2，∴

BA= BD=4,AC= BC=． ∵

BC=∴BH= CH=2， 设DC=x,在Rt△DBH中，

利用勾股定理：（x?2)?2?4，???4分. 解得：

x=?2?（舍负的），∴

x=?2?， ∴DC

的长为：?2?5分.

2

22

26．解：（1）△BDE是等腰三角形. ?????????1分. （2）BC的长为5.8.????????????2分. ∵△ABC中，AB=AC, ∠A=20°， ∴∠ABC=∠C= 80°，∵BD平分∠B. ∴∠1=∠2= 40°，∠BDC= 60°，.

在BA边上取点E，使BE=BC=2，连接DE，. ?????????3分 则△DEB≌△DBC，∴∠BED=∠C= 80°， ∴∠4=60°，∴∠3=60°，

在DA边上取点F，使DF=DB，连接FE，??????????4分 则△BDE≌△FDE，∴∠5=∠1= 40°，BE=EF=2, ∵∠A=20°，∴∠6=20°，∴AF=EF=2,

∵BD=DF=2.3, ∴AD = BD+BC=4.3.??????????5分.

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

2

27.解：（1）∵二次函数y=（a-1）x+2x+1与x轴有交点，

2

令y=0，则（a-1）x+2x+1=0，

∴?=4-4(a-1)?0，解得a≤2. ?????????????1分.

FE

B

DC

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

∵a为正整数. ∴a=1、2

2又∵y=（a-1）x+2x+1是二次函数，∴a-1≠0，∴a≠1，

∴a的值为2. ???????????????2分

2（2）∵a=2，∴二次函数表达式为y=x+2x+1，

22 将二次函数y=x+2x+1化成顶点式y=（x+1）

2二次函数图象向右平移m个单位，向下平移m+1个单位

22后的表达式为y=（x+1-m）-（m+1）.

2此时函数的顶点坐标为（m-1, -m-1）. ?????????????4分

当m-1＜-2，即m＜-1时， x=-2时，二次函数有最小值-3，

∴-3=（-1-m）-（m+1），解得m??223且符合题目要求. ????????????5分 2

2当 -2≤m-1≤1,即-1≤m≤2,时，当 x= m-1时，二次函数有最小值-m-1=-3，

解得m?.

∵m?-1≤m≤2的条件，舍去.

∴m?.??????????????6分

当m-1＞1，即m＞2时，当 x=1时，二次函数有最小值-3，

∴-3=（2-m）-（m+1），解得m?223,不符合m＞2的条件舍去. 2

综上所述，m的值为?

3??????????????7分 2

28．解：（1）补全图形，如图1所示. ??????????? 1分

（2）连接AD，如图2.∵点D与点B关于直线AP对称，∴AD=AB，∠DAP = ∠BAP=30°.

∵AB=AC, ∠BAC=60°. ∴AD=AC, ∠DAC=120°.

∴2∠ACE+60°+60°=180°∴∠ACE=30°??????????? 3分

CACA

E

D DBB

（3）线段AB,CE,ED可以构成一个含有60°角的三角形. ??????????? 4分 证明：连接AD，EB，如图3.

∵点D与点B关于直线AP对称，

∴AD=AB，DE=BE，

D

E

F

PC

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

可证得∠EDA= ∠EBA.

∵AB=AC,AB=AD.

∴AD=AC, ∴∠ADE= ∠ACE.

∴∠ABE= ∠ACE.设AC，BE交于点F,

又∵∠AFB= ∠CFE.∴∠BAC= ∠BEC=60°.

∴线段AB,CE,ED可以构成一个含有60°角的三角形.???7分

29. 解：（1）x=2. ??????????1分.

（2）①C点坐标为

: ??????????3分. ）②由①C点坐标为

: ）再求得其它一个点C

1），或（0，-2）等

??b=-2??k?

代入表达式y=kx+b

，解得?

∴直线的表达式是y??2.?????????5分.

动点C运动形成直线如图所示. ?????6分.

?EC???????????8分. 2015年北京市房山区中考数学一模试卷

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

1．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示2的相反数的点是（ ） A

-4-3-2-1B0C123456

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

A．点A B．点B C．点C D．点D

2.据海关统计，2015年前两个月，我国进出口总值为37900亿元人民币，将37900用科学记数法表示为（ ）

A．3.79×102 B．0.379×105 C．3.79×104 D．379×102

3.一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是（ ）

A.4331B.C.D. 7 7 4 3

4.如图，直线a,b, a∥b,点C在直线b 上，∠DCB=90°，若∠1=70°，

则∠2的度数为（ ）

A．20° B． 25° C．30° D． 40°

5. 右图是某几何体的三视图,该几何体是（ ）

A. 圆柱 B.正方体 C. 圆锥 D.长方体

6.某地为了缓解旱情进行了一场人工降雨，现测得6个面积相等区域的降雨量如下表所示

:

则这6个区域降雨量的众数和平均数分别为（ ）

A.13，13.8 B.14，15 C.13，14 D.14，14.5

7.小强骑自行车去郊游，9时出发，15时返回．右图表示他距家的距离y（千米）与相应的时刻x（时）之间的函数关系的图象．根据这个图象，小强14时距家的距离是（ ） A.13 B.14 C.15 D.16

8. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，∠BOC＝70°，则

∠D等于（ ）

A．25° B．35° C．55° D．70°

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

9.如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离CE=8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA=30°，旗杆底部B的俯角∠ECB=45°，那么，旗杆AB的高度是（ ）

A．(82?8)m B．(8?83)m

C．(82?883)m)m D．(8?

10.如图，已知抛物线y?x2+2x?3，把此抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点??2,0?,?2,0?且平行于y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为s，平移的距离为m,则下列图象中，能表示s与m的函数关系的图象大致是（ ）

A B C D

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11. 分解因式：a3?4a＝________________.

12.把代数式x2?4x?1化成 (x?h)2?k的形式，其结果是_____________．

13.请写出一个y随x的增大而增大的反比例函数的表达式: ________________.

14.甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次．已知他们的平均成绩相同，方差

22分别是S甲?3，那么甲、乙两人成绩较为稳定的是________________. =2.6，S乙

15.随着北京公交票制票价调整，公交集团更换了新版公交站牌，乘客在乘车时可以通过新版公交站牌计算乘车费用.新版站牌每一个站名上方都有一个对应的数字，将上下车站站名所对应数字相减取绝对值就是乘车路程，再按照其所在计价区段，参照票制规则计算票价.具体来说：

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

另外，一卡通普通卡刷卡实行5折优惠，学生卡刷卡实行2.5折优惠.

小明用学生卡乘车，上车时站名上对应的数字是5，下车时站名上对应的数字是22，那么，小明乘车的费用是________________元.

16.如图,在平面直角坐标系中放置了5个正方形，点B1（0，2）在y轴上，点C1，E1，E2，

C2，E3，E4，C3在x轴上，C1的坐标是（1，0）,B1C1∥B2C2∥B3C3．则点A1到x轴的距

离是________________，点A2到x轴的距离是________________，点A3到x轴的距离是________________．

B1122343

第16题图

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

1

17

2tan60??()?1?(?2015)0．

3

18.解不等式1?

x?21+x

≤，并把它的解集在数轴上表示出来． 23

19.如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB．求证：DE=AB．

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

B

第19题图

20.已知x2?2x?8?0，求代数式1x?11的值. ??22x?1x?2x?1x?1

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（0，﹣2），

B（1，0）两点，与反比例函数y?m（m≠0）的图象在第一象限内交于点M，若△OBMx

的面积是2．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）若点P是x轴上一点，且满足△AMP是以AM为直角边的直角三角形,请直接写出

点P的坐标．

22.列方程或方程组解应用题

为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费）.规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费．下图是张磊家2014年3月和4月所交电费的收据： 第21题图

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请问该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度多少元？

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、

BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．

（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；

（2）若AB=4，CF=1，∠ABC=60°，求sin?DEO的值．

24. 某校开展“人人读书”活动.小明为调查同学们的阅读兴趣，抽样调查了40名学生在本校图书馆的借阅情况（每人每次只能借阅一本图书），绘制了统计图1. 并根据图书馆各类图书所占比例情况绘制了统计图2,已知综合类图书有40本.

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

（1）补全统计图1；

（2）该校图书馆共有图书________________本；

（3）若该校共有学生1000人，试估算，借阅文学类图书的有______________人. ．．．．．

25．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过

点D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E. 过点A作⊙O的切线交ED的延

长线于点G.

（1）求证：GE是⊙O的切线； （2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长

26.小明遇到这样一个问题：

如图1，在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，求证：∠AFE=∠ACB.

小明是这样思考问题的：如图2，以BC为直径做半⊙O，则点F、E在⊙O上，

∠BFE+∠BCE=180°，所以∠AFE=∠ACB.

请回答：若∠ABC=40，则∠AEF的度数是 .

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，求证：∠BDF=∠CDE.

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图1 图2 图3

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

27. 在平面直角坐标系中，抛物线y?ax2?bx?3与x轴的两个交点分别为A（-3，0）, B（1，0），顶点为C.

(1) 求抛物线的表达式和顶点坐标；

(2) 过点C作CH⊥x轴于点H，若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标.

28．如图1，已知线段BC=2，点B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且ED=BD，连接DE，BE.

(1) 依题意补全图1，并证明：△BDE为等边三角形；

(2) 若∠ACB=45°，点C关于直线BD的对称点为点F，连接FD、FB.将△CDE绕点D 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△C'DE'，点E的对应点为E′，点C的对应点为点C′.

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

①如图2，当α=30°时，连接BC'．证明：EF=BC'；

②如图3，点M为DC中点，点P为线段CE上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围？

''

29.【探究】如图1，点N?m,n?是抛物线y1?12x?1上的任意一点，l是过点?0,?2?且与x4

轴平行的直线，过点N作直线NH⊥l，垂足为H.

①计算: m=0时，NH= ; m=4时，NO= .

②猜想: m取任意值时，NO NH(填“＞”、“＝”或“＜”).

【定义】我们定义：平面内到一个定点F和一条直线l（点F不在直线l上）距离相等的点的集合叫做抛物线，其中点F叫做抛物线的“焦点”，直线l叫做抛物线的“准线”.如图1中的点O即为抛物线y1的“焦点”，直线l:y??2即为抛物线y1的“准线”.可以发现“焦点”F在抛物线的对称轴上.

【应用】（1）如图2，“焦点”为F(-4，-1)、“准线”为l的抛物线y2?12?x+4??k与y4

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

轴交于点N（0，2），点M为直线FN与抛物线的另一交点.MQ⊥l于点Q，直线l交y轴于点H.

①直接写出抛物线y2的“准线”l： ；

11②计算求值：MQNH =；

（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，半径为1的⊙O与x轴分别交

3于A、B两点（A在B的左侧），直线y= 3x+n与⊙O只有一个公共点F，求以F为“焦点”、

x轴为“准线”的抛物线y3?ax2?bx?

c的表达式.

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2015年房山区初中毕业会考试卷

数学参考答案和评分参考

一、选择题（本题共30分，每小题3分，）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题．．意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．

1．A 2．C 3．B 4．A 5． D 6．C 7．C 8．B 9．D 10．B

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．a(a+2)(a?2) 12．(x?2)2?3 13．y??1（答案不唯一） x

14．甲 15．1 16．3,

17.4 18．x≥2

19 33， 24

?DCE≌ACB ???????????????4分 ?DE?AB ???????????????5分

20.原式==?2

?x?1????????????????3分

=?2 x2?2x?1

x2?2x?8?0?x2?2x?8 ???????????????4分

?原式=?2???????????????5分 9

21.(1)一次函数解析式：y?2x?2 ?2分 反比例函数解析式：y?

（2）P?11,0?或P??4,0??5分 123分 x

22.设第一阶梯电价每度x元，第二阶梯电价每度y元，由题意可得：

?x?0.5 ???????????????5分 ?M

y?0.6?

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23．（1）证明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA=OC，OB=OD， ∴∠AEO=∠CFO，

∴△AEO≌△CFO（AAS）

∴OE=OF， ???????????????1分 又∵OB=OD，

∴四边形BFDE是平行四边形； ???????????????2分

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（2）

菱形ABCD,?ABC?60

∴BD?ACAB?BC?AD?DC?4

?ADO??CDO?30

AO?

∴

ADC为等边三角形

1

AD?22,

∴OD?1

AD?22OM? 分

作OM?AD于M

AO?

∴

∴AM??1 ∴EM?2

∴OE?

Rt?

EOM中，sin?DEO??5分

7

24．

（1）如图所示???????????????1分 (2) 800 ???????????????3分 （3）300 ?????????????5分 25．（1） 证明：连接OD

C=∠ODC ∵OC=OD，∴∠∵OC⊥AB∴∠COF=90° ???1分

∴∠OCD+∠CFO=90°∴∠ODC+∠CFO=90°

∵∠EFD=∠FDE ∠EFD=∠CDE ∴∠CDO+∠CDE=90°

E

∴DE为⊙O的切线????????????2分

（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，

∴OF=1，∵∠EFD=∠EDF， ∴EF=ED，

G

在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，

∵OD2+DE2=OE2，∴32+x2=（x+1）2，解得x=4????????3分 ∴DE=4，OE=5，∵AG为⊙O的切线， ∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°， 而∠OED=∠GEA，

∴Rt△EOD∽Rt△EGA， 4分∴∴AG=6．????5分

ODDE34

??，即， AGAEAG3?5

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26. （1）

40 ????????1分

（2）如图

由题意：∵?AEB??ADB?90,

∴点A、E、D、B在以AB为直径的半圆上∴∠BAE+∠BDE=180°??????3分 又∵∠CDE+∠BDE=180°∴∠CDE=∠BAE ????????4分

同理：点A、F、D、C在以AC为直径的半圆上.

∴∠BDF=∠BAC∴∠BDF =∠CDE ????????5分

五、解答题（本题22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

27.抛物线的解析式为y=-x2-2x+3 ………………………2分

顶点C的坐标为（-1，4） ?????????3分

（2）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH. 延长CP交x轴于M，∴AM=CM，∴AM2=CM2.

设M（m，0），则( m+3)2=42+(m+1)2，∴m=2，即M（2，0）.

设直线CM的解析式为y=k1x+b1，

??k1?b1?484则?， 解之得k1??，b1?. 33?2k1?b1?0

∴直线CM的解析式y??48x?.?????????????4分 33

48x???x2?2x?3， 33

201120解得x1?，x2??1 (舍去).y1?. ∴P(). ??5分 9339?

②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH. 过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N.

CACH??2， AFAH

FNNAAF1由△FNA∽△AHC得???. AHHCCA2

∴AN?2，FN?1, 点F坐标为（-5,1）.

??k2?b2?4319设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则?，解之得k2?,b2?. ?5k?b?14422? 由△CFA∽△CAH得

319x?.??????????????6分 44

3197755x???x2?2x?3，解得x1??，x2??1 (舍去).∴P(?). 444416

120755∴满足条件的点P坐标为()

或(?)

∴直线CF的解析式y?

（图①） （图②）

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

28.

解：（1）补全图形，如图1所示；

证明：由题意可知：射线CA垂直平分BD ∴EB=ED 又∵ED=BD

∴EB=ED=BD

图1

∴△EBD是等边三角形 ??????2分

（2）①证明：如图2：由题意可知∠BCD=90°，BC=DC 又∵点C与点F关于BD对称 ∴四边形BCDF为正方形，

∴∠FDC=90°,CD?FD ∵∠CDC?α?30 ∴∠FDC?60 由（1）△BDE为等边三角形 ∴∠EDB?∠FDC?60,ED=BD

∴∠EDF?∠BDC ???????3分 又∵△EDC是由△EDC旋转得到的 ∴CD?CD?FD

∴△EDF≌△DBC?SAS?

'

'?

'?

图2

'?

'

图3（1）

''

'

图3（1）

∴EF?BC ??????????4分

②线段PM的取值范围是：设射线CA交BD于点O，

I：如图3（1）

'

1≤PM≤1；

P）

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

当EC⊥DC, MP⊥EC，D、M、P、C共线时，PM有最小值. 此时DP=DO=2 ，DM=1

∴PM=DP-DM=2-1 ?????????5分

II：如图3（2）

当点P与点E重合，且P、D、M、C共线时，PM有最大值. 此时DP=DE′=DE=DB2 ，DM=1

∴PM= DP+DM

2+1 ?????????6分 '''''

1≤PM≤1 ∴线段PM29.

解：【探究】① 1 ; 5 ; ……………2分

② ＝ . …………………3分

【应用】（1）①y??3； ????????4分

②

. ????????5分

（2）如图3，设直线y??n与x轴相交于点C

由题意可知直线CF切⊙O于F，连接OF.

∴∠OFC=90° ∴∠COF=60° 又∵OF=1，∴OC=2 ∴C??2，0?

?? ∴“焦点”F1?1,、F2??1.?2?2?????? ∴抛物线y3的顶点为?1,或??1. ?2????2?

??①当“焦点”为F1?1,，顶点为?1,，C?2，0? 时， ?2?2????

x 过点A作AM⊥x轴，交直线CF1于点M. 易得直线CF1：y?

∴MA?MF1 ∴M?1在抛物线y3上. ?1?，将M点坐标代入可求得： 设抛物线y3?a?a?x???2??2

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

1?27分

∴y3?x??x??2???②当“焦点”为F2?1，顶点为??1，C??2，0?时， ?2?2??

??

由中心对称性可得：

2

1?2 ??????????8分

y3?x+?x??2?综上所述：抛物线y3?222或y3?. x

x北京市西城区2015年初三一模试卷

数 学 2015. 4

一、选择题(本题共30分，每小题3分)

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．的相反数是

A.1311B.? C.3 D.?3 3 3

2．据市烟花办相关负责人介绍，2015年除夕零时至正月十五24时，全市共销售烟花爆竹 约196 000箱，同比下降了32%．将196 000用科学记数法表示应为

A.1.96?105 B.1.96?104 C.19.6?104 D. 0.196?106

3．下列运算正确的是

A. 3a?3b?6ab 63232B.a

?a?

a

C.?a2??a6 D.a?a?a 3

4．如图是一个几何体的直观图，则其主视图是

5．甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

抽签的方式决定各自的跑道．若甲首先抽签，则甲抽到1号跑道的概率是

A. 1 B. 111 C. D.234

6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

7．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，如果∠BOC=70°，

那么∠BAD等于

A. 20° B. 30°

C. 35° D.70°

8．在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P在反比例函数的图象上，如果点P的纵坐 标是3，OP=5，那么该函数的表达式为 1212 B. y?? xx

1515C. y? D. y?? xxA. y?

9．为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿

者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时

间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．这

组数据的众数和中位数分别是

A. 6，4 B. 6，6

C. 4，4 D. 4，6

10．如图，过半径为6的⊙O上一点A作⊙O的切线l，P为⊙O上

的一个动点，作PH⊥l于点H，连接PA．如果PA=x，AH=y，

那么下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是

二、填空题(本题共18分，每小题3分

)

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

11．如果分式1有意义，那么的取值范围是 ． xx?5

12．半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为cm2．

213．分解因式：12m?3= ．

14．如图，△ABC中，AB=AC，点D，E在BC边上，当

△ABD≌△ACE．（添加一个适当的条件即可）

15．如图是跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，以O

为横板AB的中点，AB绕点O上下转动，横板AB ．．

的B端最大高度h是否会随横板长度的变化而变化

呢？一位同学做了如下研究：他先设AB=2 m，

OC=0.5 m，通过计算得到此时的h1，再将横板AB

换成横板A′B′，O为横板A′B′的中点，且A′B′=3m，此时B′点的最大高度为h2，由此得 到h1与h2的大小关系是：h1 h2（填“＞”、“＝”或“＜”）．可进一步得出，h随横板的长度的变化而 （填“不变”或“改变”）．

16．如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左

移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点 A2向左移动9个单位长度至点A3，?，按照这种移动方式进行下去，点A4表示的数 是 ，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是

三、解答题(本题共30分，每小题5分)

17

?π?2008??()?1?6tan30?．

18．如图，∠C=∠E，∠EAC=∠DAB，AB=AD．

求证：BC=DE． 012

??2?x?0，19．解不等式组 ? 35x?1?4x?8.????

a2?3aa?31??20．先化简，再求值：2，其中a?2． a?2a?1a?1a?1

21．从北京到某市可乘坐普通列车或高铁．已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行

驶路程是520千米．如果高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且乘坐高铁比 乘坐普通列车少用3小时．求高铁的平均速度是多少千米/时．

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

22．已知关于x的一元二次方程x2?2(m?1)x?m(m?2)?0.

（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；

（2）若x??2是此方程的一个根，求实数m的值．

四、解答题(本题共20分，每小题5分)

23．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，

E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．

（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；

（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．

24．在北京，乘坐地铁是市民出行时经常采用的一种交通方式．据调查，新票价改革政策的

实施给北京市轨道交通客流带来很大变化．根据2015年1月公布的调价后市民当时乘 坐地铁的相关调查数据，制作了以下统计表以及统计图．

根据以上信息解答下列问题：

（1）补全扇形图；

（2）题目所给出的线路中，调价后客流量下降百分比最高的线路是 ，调价后 里程x（千米）在范围内的客流量下降最明显．对于表中客流量不降 反增而且增长率最高的线路，如果继续按此变化率增长，预计2016年1月这条线 路的日均客流量将达到万人次；（精确到0.1）

（3）小王同学上学时，需要乘坐地铁15.9公里到达学校，每天上下学共乘坐两次．问

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

调价后小王每周（按5天计算）乘坐地铁的费用比调价前多支出 元．（不 考虑使用市政一卡通刷卡优惠，调价前每次乘坐地铁票价为2元）

25．如图，AB为⊙O的直径，M为⊙O外一点，连接MA与⊙O

交于点C，连接MB并延长交⊙O于点D，经过点M的直线l

与MA所在直线关于直线MD对称．作BE⊥l于点E，连接

AD，DE．

（1）依题意补全图形；

（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与∠BED相等

的角，并加以证明．

26．阅读下面的材料：

小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：

11，tan??，求???的度数． 23

小敏是这样解决问题的：如图1，把?，?放在正方形网格中，使得?ABD??， ?CBE??，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC，可证得△ABC是等腰直角三角形，因此可求得???=∠ABC = °. 如果α，β都为锐角，且tan?? 请参考小敏思考问题的方法解决问题：

3

5

出的锐角α，画出∠MON=???，由此可得???=______°

. 如果?，?都为锐角，当tan??4，tan??时，在图2的正方形网格中，利用已作

五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)

30． 已知二次函数y1?x2?bx?c的图象C1经过(?1,0)，(0,?3)两点．

（1）求C1对应的函数表达式；

（2）将C1先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，

得到抛物线C2，将C2对应的函数表达式记为

y2?x2?mx?n，求C2对应的函数表达式；

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

（3）设y3?2x?3，在（2）的条件下，如果在

?2≤x≤a内存在某一个x的值，使得y2≤y3 ．．

31． △ABC中，AB=AC．取BC边的中点D，作DE⊥AC于点E，取DE的中点F，连

接BE，AF交于点H．

（1）如图1，如果?BAC?90?，那么?AHB??，

（2）如图2，如果?BAC?60?，猜想?AHB的度数和

（3）如果?BAC??，那么 成立，利用函数图象直接写出a的取值范围． AF? ； BEAF的值，并证明你的结论； BEAF

（用含?的表达式表示） ?

32． 给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1

上任一点，点Q为G2上任一点，

如果

线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．

（1）点A的坐标为A(1,0)，则点B(2,3)和射线OA之间的距离为________，点C(?2,3) 和射线OA之间的距离为________；

（2）如果直线y=x和双曲线y?

行研究）

（3）点E的坐标为(1,3)，将射线OE绕原点O逆时针旋转60?，得到射线OF，在坐

标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．

③ 请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域

时可以用阴影表示）

④ 将射线OE，OF组成的图形记为图形W，抛物线y?x2?2与图形M的

公共部分记为图形N，请直接写出图形W和图形N之间的距离． kk；（可在图1中进 x

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

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北京市西城区2015年初三一模试卷

数学试卷参考答案及评分标准 2015. 4

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

17． =3．

18 ∴ △ABC≌△ADE．?????????????????????? 4分 ∴ BC = DE．?????????????????????????? 5分 19．

?2．???????????????????5分

20 =

a?1

．??????????????????????????4分 a?1

2?11

?．?????????????????????5分 2?13

当a?2时，原式=

21．解：设普通列车的平均速度为x千米/时．????????????????? 1分 则高铁的平均速度是2.5x千米/时．

400520

．???????????????????? 2分 ?3?

2.5xx

解得 x?120．??????????????????????????3分 经检验，x?120是原方程的解，且符合题意．???????????? 4分 所以 2.5x?300．

依题意，得

答：高铁的平均速度是300千米/时.??????????????????? 5分 22．（1）证明： ????2(m?1?)

2

∵ 8m≥0，

2

?)8m2?4．??????1分 ?m4m(? 2

2

∴ 8m?4＞0．????????????????????????2分

∴ 方程总有两个不相等的实数根． ??????????????? 3分

（2）解：∵ x??2是此方程的一个根，

2

∴ (?2)?2?(?2)(m?1)?m(m?2)?0．

整理得 m2?2m?0．

解得 m1?0，m2?2．????????????????????? 5分

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四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23．（1）证明：∵ ?ADE??BAD，

∴ AB∥ED．??????????????? 1分 ∵ BD垂直平分AC，垂足为F，

∴ BD?AC，AF=FC．

又∵ AE?AC，

∴ ?EAC??DFC?90?．

∴AE∥BD．

∴ 四边形ABDE是平行四边形．????????????????2分

（2）解：如图2，连接BE交AD于点O．

∵ DA平分∠BDE，

∴ ∠ADE=∠1．

又∵ ?ADE??BAD，

∴ ∠1=∠BAD． ∴ AB= BD．????????????3分

∴

ABDE是菱形．

∵ AB=5，AD=6，

∴ BD=AB=5，AD?BE，OA?1AD?3． 2

在Rt△OAB中，OB?4．

11AD?OB?BD?AF， 22

∴ 6?4?5AF．

解得 AF?4.8． ??????????4分 ∵ SVABD?

∵ BD垂直平分AC，

∴ AC?2AF?9.6．????????5分

注：其他解法相应给分．

24．解：（1）补全扇形图如图3所示．???????1分

（2）2号线，52＜x

≤72 ，22.2．（各1分）

???????????????? 4分

（3）30．??????????????? 5分

25．解：（1）依题意，补全图形如图4．?????? 1分

（2）

?BAD．?????????????? 2分

证明：如图5，连接BC，CD．

∵ 直线l与直线MA关于直线MD对称，

∴ ?1??2．?????????3分

∵ AB为⊙O的直径，

∴ ?ACB?90?，即BC?MA．

又∵ BE?l，

∵ MC?MB?cos?1，ME?MB?cos?

2∴ MC=ME．

又∵ C，E两点分别在直线MA与直线l

可得C，E两点关于直线MD对称．

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

∴ ?3??BED． ??????? 4分

又∵ ?3??BAD，

∴ ?BAD??BED． ?????? 5分

26．解：45． ???????????????????1分

画图见图6． ???????????????3分

45．??????????????????? 5分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

27．解：（1）∵ 二次函数y1?x2?bx?c的图象C1经过(?1,0)，

∴ 抛物线C1的函数表达式为y1?x2?2x?3．

（2）∵ y1?x

2?2x?3=(x?1)2?4， ∴ 抛物线C1的顶点为(1,?4)．?? 4分

∴ 平移后抛物线C2的顶点为(0,0)，它对应的函

数表达式为y2?x2．? 5分

（3）a≥?1（见图7）．????????????????????????7分

1．??????????????????????????? 2分 2

AF? （2）结论：?AHB?90?，． BE证明：如图8，连接AD．

∵ AB=AC，∠BAC=60°，

∴ △ABC是等边三角形．

∵ D为BC的中点，

∴ AD⊥BC．

∴ ∠1+∠2=90°．

又∵ DE⊥AC，

∴ ∠DEC=90°．

∴ ∠2+∠C=90°．

∴ ∠1=∠C=60°．

设AB=BC=k（k?0）， 28．解：（1）90，

则CE?CD?1

2k． ，DE?4

∵ F为DE的中点，

1DE?，AD?AB?． 2ADDF?∴， BCCE∴ DF?

北京一模 2015各区北京中考数学一模及答案

∴ ADDF．??????????????????????3分 ?BCCE

又∵ ∠1=∠C，

∴ △ADF∽△BCE ．??????????????????? 4分

AFAD??，??????????????????? 5分 BEBC∠3=∠4．

又∵ ∠4+∠5=90°，∠5=∠6，

∴ ∠3+∠6=90°．

∴ ?AHB?90?．?????????????????????6分 ∴

（3）tan（90??）．????????????????????????7分 2

1?cos? 注：写或其他答案相应给分． 2sin?12?

29．解：（1）3

．（每空各1分）???????????????????? 2分

（2）?1．????????????????????????????? 4分

（3）①如图9，过点O分别作射线OE、OF的垂线OG、OH，则图形M为：y轴

正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（图中的阴影部分）．

?????????????????????????????? 7

分

说明：（画图2分，描述1分）（图形M也可描述为：y轴正半轴，直线

y?33x下方与直线y??x下方重叠的部分（含边界）） 33

②

4．????????????????????????????8分 3

二 : 2015北京高考数学文科试题及答案

2015年北京高考数学考试于6月7日下午15:00—17:00举行，具体其它科目考试时间请查看全国各地2015年高考时间安排。

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三 : 2010年北京市中考数学试卷(word版含解析答案)

2010年北京市中考数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）

1．（2011?孝感）﹣2的倒数是（ ）

A．2 B．﹣2 C． D．

2．（2010?北京）2010年6月3日，人类首次模拟火星载人航天飞行试验“火星﹣500”正式启动．包括中国志愿者王跃在内的6名志愿者踏上了为期12480小时的“火星之旅”．将12 480用科学记数法表示应为（ ）

3543 A．12.48×10 B．0.1248×10 C．1.248×10 D．1.248×10

3．（2010?北京）如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（ ）

A．3 B．4 C．6 D．8

4．（2010?北京）菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（ ）

A．24 B．20 C．10 D．5

5．（2010?北京）从：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（ ）

6．（2010?北京）将二次函数y=x﹣2x+3化为y=（x﹣h）+k的形式，结果为（ ）

2222 A．y=（x+1）+4 B．y=（x﹣1）+4 C．y=（x+1）+2 D．y=（x﹣1）+2

cm）如下表所示：

2222A． B． C． D． 设两队队员身高的平均数依次为甲，乙，身高的方差依次为S甲，S乙，则下列关系中完全正确的是（ ）

22222222 A．甲=乙，S甲＞S乙 B．甲=乙，S甲＜S乙 C．甲＞乙，S甲＞S乙 D．甲＜乙，S甲＜S乙

8．（2010?北京）美术课上，老师要求同学们将如图所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部份围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是（ ）

2010北京中考数学 2010年北京市中考数学试卷(word版含解析答案)

A． B． C．

D．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

9．（2011?綦江县）若

10．（2010?北京）分解因式：m﹣4m= _________ ．

11．（2010?北京）如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE=．

3有意义，则x的取值范围是．

12．（2010?北京）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即

A?B?C?D?C?B?A?B?C?…的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是 _________ ；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是 _________ ；当字母C第2n+1次出现时（n为正整数），恰好数到的数是 _________ （用含n的代数式表示）．

三、解答题（共13小题，满分72分）

13．计算：

14．（2010?北京）解分式方程：． ．

15．（2010?北京）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC． 求证：∠ACE=∠DBF．

2010北京中考数学 2010年北京市中考数学试卷(word版含解析答案)

16．（2010?北京）已知关于x的一元二次方程x﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．

17．（2010?北京）列方程或方程组解应用题：

2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米？

18．（2010?北京）如图，直线y=2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP=2OA，求△ABP的面积．

2

19．（2010?北京）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=4．求∠B的度数及AC的长．

20．（2010?北京）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°．

（1）求证：直线AC是圆O的切线；

（2）如果∠ACB=75°，圆O的半径为2，求BD的长．

21．（2010?北京）根据北京市统计局的2006﹣2009年空气质量的相关数据，绘制统计图如下：

2010北京中考数学 2010年北京市中考数学试卷(word版含解析答案)

（1）由统计图中的信息可知，北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数与上一年相比，增加最多的是

（2）表1是根据《中国环境发展报告（2010）》公布的数据绘制的2009年十个城市供气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比的统计表，请将表1中的空缺部分补充完整（精确到1%）．

（3）根据表1中的数据将十个城市划分为三个组，百分比不低于95%的为A组，不低于85%且低于95%的为B组，低于85%的为C组．按此标准，C组城市数量在这十个城市中所占的百分比为 _________ %；请你补全右边的扇形统计图．

22．（2010?北京）阅读下列材料：

小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着AB边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着BC边夹角为45°的

方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45°的方向作直线运动，…，如图1所示，

问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路径的总长是多少．小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A1B1CD，由轴对称的知识，发现P2P3=P2E，P1A=P1E． 请你参考小贝的思路解决下列问题：

（1）P点第一次与D点重合前与边相碰 _________ 次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是 _________ cm；

（2）近一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD＞AB，动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上．若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB：AD的值为 _________ ．

23．（2010?北京）已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣，1）．

（1）试确定此反比例函数的解析式；

（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；

（3）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n﹣22n+9的值．

2010北京中考数学 2010年北京市中考数学试卷(word版含解析答案)

24．（2010?北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x+2x+m﹣3m+2与x轴的交点分别为原点O和2

点A，点B（2，n）在这条抛物线上．

（1）求点B的坐标；

（2）点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E．延长PE到点D．使得ED=PE．以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）j当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；k若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F．延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点，N点也随之运动）．若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．

25．（2010?北京）问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA．探究∠DBC与∠ABC度数的比值．

请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．

（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图；

观察图形，AB与AC的数量关系为 _________ ；当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为 DBC与∠ABC度数的比值为；

（2）当∠BAC＜90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

2010北京中考数学 2010年北京市中考数学试卷(word版含解析答案)

2010年北京市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）

1．（2011?孝感）﹣2的倒数是（ ）

A．2 B．﹣2 C． D．

考点：倒数。［www.61k.com］

分析：根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

解答：解：∵﹣2×（）=1，∴﹣2的倒数是﹣．

故选D．

点评：主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．

2．（2010?北京）2010年6月3日，人类首次模拟火星载人航天飞行试验“火星﹣500”正式启动．包括中国志愿者王跃在内的6名志愿者踏上了为期12480小时的“火星之旅”．将12 480用科学记数法表示应为（ ）

3543 A．12.48×10 B．0.1248×10 C．1.248×10 D．1.248×10

考点：科学记数法—表示较大的数。

专题：应用题。

n分析：科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，

小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

解答：解：12 480用科学记数法表示应为1.248×10．故选C．

n点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示

时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（2010?北京）如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（ ）

4

A．3 B．4 C．6 D．8

考点：平行线分线段成比例。

专题：几何图形问题。

分析：首先由DE∥BC可以得到AD：AB=AE：AC，而AD：AB=3：4，AE=6，由此即可求出AC．

解答：解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴AD：AB=AE：AC，

而AD：AB=3：4，AE=6，

∴3：4=6：AC，

∴AC=8．

故选D．

2010北京中考数学 2010年北京市中考数学试卷(word版含解析答案)

点评：本题主要考查平行线分线段成比例定理，对应线段一定要找准确，有的同学因为没有找准对应关系，从而导致错选其他答案．

4．（2010?北京）菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（ ）

A．24 B．20 C．10 D．5

考点：菱形的性质；勾股定理。[www.61k.com]

分析：菱形的边长和对角线的一半组成直角三角形，根据勾股定理求得其边长，从而求出菱形的周长即可． 解答：解：如图，∵AC=8，BD=6，

∴OA=4，BO=3，

∴AB=5，

∴这个菱形的周长是20．

故选B．

点评：此题主要考查菱形的基本性质及勾股定理的运用．

5．（2010?北京）从：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（ ）

A． B． C． D．

考点：概率公式。

分析：让是3的倍数的数的个数除以数的总个数即为所求的概率．

解答：解：∵1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数中，3的倍数的有3、6、9共3个数，

∴取出的数是3的倍数的概率是：．

故选B．

点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

6．（2010?北京）将二次函数y=x﹣2x+3化为y=（x﹣h）+k的形式，结果为（ ）

2222 A．y=（x+1）+4 B．y=（x﹣1）+4 C．y=（x+1）+2 D．y=（x﹣1）+2

考点：二次函数的三种形式。

分析：本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可．

222解答：解：y=x﹣2x+3=x﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）+2．

故选D．

点评：二次函数的解析式有三种形式：

2（1）一般式：y=ax+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；

2（2）顶点式：y=a（x﹣h）+k；

（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．

cm）如下表所示：

22

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设两队队员身高的平均数依次为甲，乙，身高的方差依次为S甲，S乙，则下列关系中完全正确的是（ ）

22222222 A．甲=乙，S甲＞S乙 B．甲=乙，S甲＜S乙 C．甲＞乙，S甲＞S乙 D．甲＜乙，S甲＜S乙

考点：方差；算术平均数。(www.61k.com]

专题：计算题；图表型。

分析：先用平均数公式计算甲乙的平均数，再利用方差公式分别计算甲乙的方差，然后根据计算结果判断． 解答：解：

2甲22=（177+176+175+172+175）=175， 22222S甲=[（177﹣175）+（176﹣175）+（175﹣175）+（172﹣175）+（175﹣175）]=2.8．

乙=（170+175+173+174+183）=175，

222222S乙=[（170﹣175）+（175﹣175）+（173﹣175）+（174﹣175）+（183﹣175）]=18.8．

故选B．

点评：考查了平均数和方差的计算．计算时要认真仔细．

8．（2010?北京）美术课上，老师要求同学们将如图所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部份围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是（ ）

A． B． C．

D．

考点：展开图折叠成几何体。

分析：动手操作看得到小正方体的阴影部分的具体部位即可．

解答：解：动手操作折叠成正方体的形状放置到白纸的阴影部分上，所得正方体中的阴影部分应紧靠白纸，故选B． 点评：本题考查学生的空间想象能力，也可动手操作得到答案．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

9．（2011?綦江县）若有意义，则x的取值范围是

．

考点：二次根式有意义的条件。

分析：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．

解答：解：要是

则2x﹣1≥0，

解得x≥．

故答案为：x≥． 有意义，

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点评：本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

10．（2010?北京）分解因式：m﹣4m= m（m﹣2）（m+2） ．

考点：提公因式法与公式法的综合运用。（www.61k.com］

分析：当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

3解答：解：m﹣4m，

2=m（m﹣4），

=m（m﹣2）（m+2）．

点评：本题考查提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，要注意分解因式要彻底．

11．（2010?北京）如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE= 2 ．

3

考点：垂径定理；勾股定理。

分析：根据垂径定理可以得到CE的长，在直角△OCE中，根据勾股定理即可求得．

解答：解：∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．

∴CE=CD=4．

在直角△OCE中，OE===3．

则AE=OA﹣OE=5﹣3=2．

点评：此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．

12．（2010?北京）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即

A?B?C?D?C?B?A?B?C?…的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是当字母C第201次出现时，恰好数到的数是 603 ；当字母C第2n+1次出现时（n为正整数），恰好数到的数是 （用含n的代数式表示）．

考点：规律型：数字的变化类。

分析：规律是：前六个字母为一组，后边不断重复，12除以6，由余数来判断是什么字母．

每组中C字母出现两次，字母C出现201次就是这组字母出现100次，再加3．

字母C出现2n+1次就是这组字母出现n次，再加3．

解答：解：通过对字母观察可知：前六个字母为一组，后边就是这组字母反复出现．

当数到12时因为12除6刚好余数为零，则表示这组字母刚好出现两次，所以最后一个字母应该是B．

当字母C第201次出现时，由于每组字母中C出现两次，则这组字母应该出现100次后还要加一次C字母出现， 而第一个C字母在第三个出现，所以应该是100×6+3=603．

当字母C第2n+1次出现时，则这组字母应该出现n次后还要加一次C字母出现，所以应该是n×6+3=6n+3．

点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

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三、解答题（共13小题，满分72分）

13．计算：．

考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂。［www.61k.com)

专题：计算题。

分析：根据负指数幂、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值进行化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 解答：解：原式==．

点评：本题主要考查了负指数幂、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值的性质及实数运算，难度适中．

14．（2010?北京）解分式方程：．

考点：解分式方程。

专题：计算题。

分析：观察方程可得最简公分母是：2（x﹣2），两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答． 解答：解：去分母，得3﹣2x=x﹣2，

整理，得3x=5，

解得x=．

经检验，x=是原方程式的解．

所以原方程式的解是x=．

点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要验根．

15．（2010?北京）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC． 求证：∠ACE=∠DBF．

考点：全等三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：因为EA⊥AD，FD⊥AD，AB=DC，AE=DF，所以△EAC≌△FDB，则∠ACE=∠DBF．

解答：证明：∵AB=DC，BC=BC，

∴AC=DB．

∵EA⊥AD，FD⊥AD，

∴∠A=∠D=90°．

又∵AE=DF，

∴△EAC≌△FDB（SAS），

∴∠ACE=∠DBF．

点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．证明角、边相等常常运三角形全等来证明．

16．（2010?北京）已知关于x的一元二次方程x﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 考点：根的判别式。 2

2010北京中考数学 2010年北京市中考数学试卷(word版含解析答案)

分析：首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根． 解答：解：由题意可知△=0，即（﹣4）﹣4（m﹣1）=0，解得m=5．

2当m=5时，原方程化为x﹣4x+4=0．解得x1=x2=2．

所以原方程的根为x1=x2=2．

点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0?方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0?方程没有实数根．

17．（2010?北京）列方程或方程组解应用题：

2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米？

考点：一元一次方程的应用。(www.61k.com）

专题：应用题。

分析：等量关系为：居民家庭用水=生产运营用水的3倍+0.6．

解答：解：设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水（5.8﹣x）亿立方米．

依题意，得5.8﹣x=3x+0.6，

解得：x=1.3，

∴5.8﹣x=5.8﹣1.3=4.5．

答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．

点评：解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系．本题也可根据“生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米”来列等量关系．

18．（2010?北京）如图，直线y=2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP=2OA，求△ABP的面积．

2

考点：一次函数综合题。

专题：综合题。

分析：（1）由函数解析式y=2x+3，令y=0求得A点坐标，x=0求得B点坐标；

（2）有两种情况，若BP与x轴正方向相交于P点，则AP=3OA；若BP与x轴负方向相交于P点，则AP=OA，由此求得△ABP的面积．

解答：解：（1）令y=0，得x=﹣，

∴A点坐标为（﹣，0），

令x=0，得y=3，

∴B点坐标为（0，3）；

（2）设P点坐标为（x，0），依题意，得x=±3，

∴P点坐标分别为P1（3，0）或P2（﹣3，0）．

∴S△ABP1=×（+3）×3=

∴△ABP的面积为或 ，S△ABP2=×（3﹣）×3=，

2010北京中考数学 2010年北京市中考数学试卷(word版含解析答案)

点评：此题主要考查了函数图象中坐标的求法以及面积的求法．

19．（2010?北京）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=4．求∠B的度数及AC的长．

考点：梯形；解直角三角形。［www.61k.com］

分析：解法一：分别作AF⊥BC，DG⊥BC，F、G是垂足，把梯形转换成矩形和两个直角三角形，首先利用梯形的性质和已知条件证明Rt△AFB≌Rt△DGC，然后在Rt△AFB中解直角三角形即可求出所求线段；

解法二：过A点作AE∥DC交BC于点E，把梯形的问题转换成平行四边形和等边三角形，然后利用等边三角形的性质和三角函数的定义即可求出所求线段．

解答：解：解法一：分别作AF⊥BC，DG⊥BC，F、G是垂足，

∴∠AFB=∠DGC=90°，

∵AD∥BC，

∴四边形AFGD是矩形．

∴AF=DG，

∵AB=DC，

∴Rt△AFB≌Rt△DGC．

∴BF=CG，

∵AD=2，BC=4，

∴BF=1，

在Rt△AFB中，

∵cosB==，

∴∠B=60°，

∵BF=1，

∴

AF=，

∵FC=3，

由勾股定理，

得AC=2，

∴∠B=60°，AC=2．

解法二：过A点作AE∥DC交BC于点E，

∵AD∥BC，

∴四边形AECD是平行四边形．

∴AD=EC，AE=DC，

∵AB=DC=AD=2，BC=4，

∴AE=BE=EC=AB，

∴△BAC是直角三角形，△ABE是等边三角形，

∴∠BAC=90°，∠B=60°．

在Rt△ABC中，

AC=ABtan∠B=AB?tan60°=2，

∴∠B=60°，AC=2．

2010北京中考数学 2010年北京市中考数学试卷(word版含解析答案)

点评：此题主要考查了梯形的常用辅助线：作梯形的高和平移腰，把梯形的问题转换成直角三角形或等边三角形的问题，然后利用解直角三角形的知识和等边三角形的性质解决问题．

20．（2010?北京）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°．

（1）求证：直线AC是圆O的切线；

（2）如果∠ACB=75°，圆O的半径为2，求BD的长．

考点：切线的判定。［www.61k.com)

专题：几何综合题。

分析：（1）证明OC⊥AC即可．根据∠DOC是等腰直角三角形可得∠DCO=45°．又∠ACD=45°，所以∠ACO=90°，得证；

（2）如果∠ACB=75°，则∠ACD=30°；又∠B=∠O=45°，解斜三角形BCD求解．所以作DE⊥BC，把问题转化到解直角三角形求解．先求CD，再求DE，最后求BD得解．

解答：（1）证明：∵OD=OC，∠DOC=90°，

∴∠ODC=∠OCD=45°．

∵∠DOC=2∠ACD=90°，

∴∠ACD=45°．

∴∠ACD+∠OCD=∠OCA=90°．

∵点C在圆O上，

∴直线AC是圆O的切线．

（2）解：方法1：∵OD=OC=2，∠DOC=90°，

∴CD=2．

∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，

∴∠BCD=30°，

作DE⊥BC于点E，则∠DEC=90°，

∴DE=DCsin30°=．

∵∠B=45°，

∴DB=2．

方法2：连接BO

∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，

2010北京中考数学 2010年北京市中考数学试卷(word版含解析答案)

∴∠BCD=30°，∴∠BOD=60°

∵OD=OB=2

∴△BOD是等边三角形

∴BD=OD=2．

点评：此题考查了切线的判定方法和解直角三角形，内容单一，难度不大．注意：解斜三角形通常通过作垂线把问题转化为解直角三角形求解．

21．（2010?北京）根据北京市统计局的2006﹣2009年空气质量的相关数据，绘制统计图如下：

（1）由统计图中的信息可知，北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数与上一年相比，增加最多的是 年，增加了天；

（2）表1是根据《中国环境发展报告（2010）》公布的数据绘制的2009年十个城市供气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比的统计表，请将表1中的空缺部分补充完整（精确到1%）．

（3）根据表1中的数据将十个城市划分为三个组，百分比不低于95%的为A组，不低于85%且低于95%的为B组，低于85%的为C组．按此标准，C组城市数量在这十个城市中所占的百分比为 30 %；请你补全右边的扇形统计图．

考点：扇形统计图；折线统计图。［www.61k.com)

2010北京中考数学 2010年北京市中考数学试卷(word版含解析答案)

专题：图表型。[www.61k.com）

分析：（1）此题求的是增加最多的年数，结合折线统计图，即可找到变化趋势最明显的一年；

（2）根据折线统计图得2009年北京空气质量达到二级和好于二级的天数是285天，进一步求得所占的百分比即可；

（3）根据统计表，得C组的有3个城市，占3÷10=30%．

解答：解：

（1）根据折线统计图，得

增加最多的一年是2008年；274﹣246=28（天）；

（2）285÷365≈78%；

（3）3÷10=30%．

点评：此题综合考查了折线统计图和扇形统计图，能够根据要求熟练求得各部分所占的百分比．

22．（2010?北京）阅读下列材料：

小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着AB边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着BC边夹角为45°的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45°的方向作直线运动，…，如图1所示，

问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路径的总长是多少．小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A1B1CD，由轴对称的知识，发现P2P3=P2E，P1A=P1E． 请你参考小贝的思路解决下列问题：

（1）P点第一次与D点重合前与边相碰 5 次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是

cm；

（2）近一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD＞AB，动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上．若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB：AD的值为 4：5 ．

考点：轴对称的性质；矩形的性质。

专题：探究型。

分析：（1）此题可通过动手画图来得到所求的结论，需要掌握的规律是相邻的两个P点与矩形顶点所构成的都是等腰直角三角形，如：△ABP1、△P1P2C、△P2DP3等．由图分析可知P点第一次与D点重合前与边相碰5次，所经过的路径的长=4AB=24．

（2）根据题（1）的规律，可设AB=x，BC=y，那么根据规律可知：AB=BP1=x，CP1=CP2=y﹣x，DP2=DP3=x﹣（y﹣x）=2x﹣y，

AP3=AP4=y﹣（2x﹣y）=2y﹣2x，…依次类推，AP7=AB=4y﹣4x；由于AB=x，则4y﹣4x=x，即4y=5x，故x：y=4：5；因此当P点第一次与B点重合前相碰7次，那么AB：AD=4：5．

解答：解：（1）5；（2）24；解题思路示意图：

2010北京中考数学 2010年北京市中考数学试卷(word版含解析答案)

（2）AB：AD=4：5．

点评：解决此题的关键在与掌握P点的运动规律，能够理解每两个相邻P点与矩形顶点所构成的三角形是等腰直角三角形，是解答此题的关键．

23．（2010?北京）已知反比例函数

y=的图象经过点A（﹣，1）．

（1）试确定此反比例函数的解析式；

（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；

（3）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n﹣2

考点：反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；旋转的性质。[www.61k.com]

专题：综合题。

分析：（1）由于反比例函数y=的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式； 2n+9的值．

（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；

（3）把点P（m，m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n﹣2

解答：解：（1）由题意得1=

∴反比例函数的解析式为y=﹣2n+9的值． ，解得k=﹣， ；

（2）过点A作x轴的垂线交x轴于点C．

在Rt△AOC中，OC=，AC=1，

∴OA==2，∠AOC=30°，

∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，

∴∠AOB=30°，OB=OA=2，

∴∠BOC=60°．

过点B作x轴的垂线交x轴于点D．

在Rt△BOD中，BD=OB?sin∠BOD=

∴B点坐标为（﹣1，

将x=﹣1代入y=﹣

∴点B（﹣1，

）， 中，得

y=， 的图象上． ，OD=OB=1， ）在反比例函数y=﹣

2010北京中考数学 2010年北京市中考数学试卷(word版含解析答案)

（3）由y=﹣

∵点P（m，得xy=﹣， 的图象上，其中m＜0， m+6）在反比例函数y=﹣

∴m（m+6）=﹣，

2∴m+2m+1=0，

∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．

∵△OQM的面积是， ∴OM?QM=，

∵m＜0，∴mn=﹣1，

∴mn+2mn+n=0，

2∴n﹣2n=﹣1，

2∴n﹣2n+9=8．

2222

点评：本题综合考查了运用待定系数法求反比例函数的解析式，旋转的性质，三角函数的定义，求代数式的值等知识，尤其是在最后一问中，没有必要求出n的具体值，而是将mn=﹣1作为一个整体代入，有一定的技巧性，使计算简便．

24．（2010?北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x+2x+m﹣3m+2与x轴的交点分别为原点O和2

点A，点B（2，n）在这条抛物线上．

（1）求点B的坐标；

（2）点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E．延长PE到点D．使得ED=PE．以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）j当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；k若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F．延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点，N点也随之运动）．若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．

考点：二次函数综合题。［www.61k.com）

专题：综合题。

2010北京中考数学 2010年北京市中考数学试卷(word版含解析答案)

分析：（1）由抛物线y=﹣x+2x+m﹣3m+2与x轴的交点分别为原点O，令x=0，y=0，解得m的值，点B2

（2，n）在这条抛物线上，把该点代入抛物线方程，解得n．

（2）设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为y=2x，由A点是抛物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标，设P点的坐标为（a，0），根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1．可求得点C的坐标，进而求出OP的值，依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，求出直线AB的解析式，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况，解出各种情况下的时间t． 解答：解：（1）∵抛物线y=﹣

∴m﹣3m+2=0，

解得m1=1，m2=2，

由题意知m≠1，

∴m=2，

∴抛物线的解析式为y=﹣x+x，

∵点B（2，n）在抛物线y=﹣x+x上，

∴n=4，

∴B点的坐标为（2，4）．

（2）设直线OB的解析式为y=k1x，

求得直线OB的解析式为y=2x，

∵A点是抛物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为（10，0），

设P点的坐标为（a，0），

则E点的坐标为（a，2a），

根据题意作等腰直角三角形PCD，

如图1，可求得点C的坐标为（3a，2a），

由C点在抛物线上，

得：2a=﹣′（3a）+′3a， 即a﹣

解得a1=

∴OP=． 22222x+2x+m﹣3m+2经过原点， 2a=0， ，a2=0（舍去），

依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，

由点A（10，0），点B（2，4），求得直线AB的解析式为y=﹣x+5，

当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：

第一种情况：CD与NQ在同一条直线上．

如图2所示．可证△DPQ为等腰直角三角形．此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位．

∴PQ=DP=4t，

∴t+4t+2t=10，

∴t=．

第二种情况：PC与MN在同一条直线上．如图3所示．可证△PQM为等腰直角三

角形．此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位．

∴OQ=10﹣2t，

2010北京中考数学 2010年北京市中考数学试卷(word版含解析答案)

∵F点在直线AB上，

∴FQ=t，

∴MQ=2t，

∴PQ=MQ=CQ=2t，

∴t+2t+2t=10，

∴t=2．

第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示．此时OP、

AQ的长可依次表示为t、2t个单位．

∴t+2t=10，

∴t=．

，2，

综上，符合题意的t值分别为

点评：本题是二次函数的综合题，要会求抛物线的解析式，讨论分类情况，此题比较繁琐，做题多加用心．

25．（2010?北京）问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA．探究∠DBC与∠ABC度数的比值．

请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．

（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图；

2010北京中考数学 2010年北京市中考数学试卷(word版含解析答案)

观察图形，AB与AC的数量关系为 相等 ；当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为 15° ；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为 1：3 ；

（2）当∠BAC＜90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

考点：等腰梯形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质。［www.61k.com］

专题：压轴题。

分析：（1）利用题中的已知条件，计算出∠ACB=∠ABC，所以AB=AC（等角对等边）；由等腰三角形的性质知∠BAD=∠BDA=75°，再根据三角形内角和是180°，找出图中角的等量关系，解答即可；

（2）根据旋转的性质，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连接DK，构建四边形ABKC是等腰梯形，根据已知条件证明△KCD≌△BAD（SAS），再证明△DKB是正三角形，最后根据是等腰梯形与正三角形的性质，求得∠ABC与∠DBC的度数并求出比值．

解答：解：（1）①当∠BAC=90°时，

∵∠BAC=2∠ACB，

∴∠ACB=45°，

在△ABC中，∠ABC=180°﹣∠ACB﹣∠BAC=45°，

∴∠ACB=∠ABC，

∴AB=AC（等角对等边）；

②当∠DAC=15°时，

∠DAB=90°﹣15°=75°，

∵BD=BA，

∴∠BAD=∠BDA=75°，

∴∠DBA=180°﹣75°﹣75°=30°，

∴∠DBC=45°﹣30°=15°，即∠DBC=15°，

∴∠DBC的度数为15°；

③∵∠DBC=15°，∠ABC=45°，

∴∠DBC=15°：∠ABC=45°=1：3，

∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．

（2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中结论相同．

证明：如图2，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连接DK．

∴四边形ABKC是等腰梯形，

∴CK=AB，

∵DC=DA，

∴∠DCA=∠DAC，

∵∠KCA=∠BAC，

∴∠KCD=∠3，

∴△KCD≌△BAD，

∴∠2=∠4，KD=BD，

∴KD=BD=BA=KC．

∵BK∥AC，

∴∠ACB=∠6，

∵∠BAC=2∠ACB，且∠KCA=∠BAC，

∴∠KCA=2∠ACB，

∴∠5=∠ACB，

2010北京中考数学 2010年北京市中考数学试卷(word版含解析答案)

∴∠5=∠6，

∴KC=KB，

∴KD=BD=KB，

∴∠KBD=60°，

∵∠ACB=∠6=60°﹣∠1，

∴∠BAC=2∠ACB=120°﹣2∠1，

∵∠1+（60°﹣∠1）+（120°﹣2∠1）+∠2=180°，

∴∠2=2∠1，

∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．

点评：本题综合考查了是等腰梯形的判定与性质、正三角形的性质、全等三角形的判定以及三角形的内角和．

本文标题：2012北京中考数学试题及答案-2015各区北京中考数学一模及答案
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