一 : 平方差公式

《平方差公式》说课稿

各位老师，大家好!

我说课的内容是义务教育课程标准实验教科书(北师大《)数学》七年级下册第一章第7节《平方差公式》的第一课时，内容主要是对公式的推导理解和简单应用。我将从设计理念、教材分析、目标分析、过程分析、教法分析、评价与反思这几个部分进行陈述。

一、教材分析

1．学习任务分析

平方差公式是多项式乘法的后续学习及再创造活动的结果，体现教材从特殊——一般的意图，它在整式乘法，因式分解，分式运算及其它代数式的变形中起着十分重要的作用，因此它是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应数学技能的重要内容，它是让学生感悟换元思想，感受数学的再创造性的好素材。教材为学生在数学活动中“获得数学”的思想方法、能力素质提供了良好的契机，是学生感受数学再创造的好素材，同时对平方差公式在整式乘法、因式分解及其代数运算中起着举足轻重的作用，是今后学习的坚实基础。

2．学生情况分析

学生已经对多项式的乘法能够熟练运算，对本节课探索平方差公式提供了有力的保证，但学生从算式中抽象出来的公式，它不像有关面积公式那样有一个形象作为思维的依托，并且学生对字母的代表性还处于低层次的认识，很难对平方差公式的结构有实质性的理解，在运用公式时，认清结构不易，而且本课节所学的公式运用仅是局部的，因此，教学时不可拔高要求追求一步到位，而应在今后滚动式逐步达到灵活运用的目的，使之与学生的知识结构同步发展完善

二、目标分析

根据课标要求，我确定本节课的教学目标有三条，其中知识目标、能力目标、情感目标互相渗透，不可分割。

（1）经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；

（2）会推导验证平方差公式，能说出平方差公式的结构特征，会用平方差公式进行简单运算；培养学生的语言表达能力，逻辑思维能力。

（3）通过数学活动建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用，培养学生的数学建模能力，抽象思维能力，在合作、交流和讨论中发掘知识，并体验学习的乐趣。注意学生的学习积极性、主动性性的调动，增强学生学习数学的信心。

三、教学重难点分析

重点：1．弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点；

2．会用平方差公式进行简单运算。

难点：推导平方差公式及从广泛意义上理解公式中的字母含义。

关键是“认清结构，找准a、b”

四、教法分析

在课堂教学过程中，加强知识发生过程的教学，充分调动学生思维的主动性、积极性， 1

根据这样的原则和所要完成的教学目标，我采用如下的教学方法和手段：

1．教学方法：启发式、讨论式、小组合作相结合的教学方法。 启发、引导学生积极地思考并对学生的思维进行调控，帮助学生优化思维过程，在此基础上，提供学生交流讨论的机会，学生学会对自己的数学思想进行组织和澄清，并能清楚地、准确地表达自己的数学思想，能通过对其他人的思维和策略的考察，扩展自己的数学知识和使用数学语言的能力，学生会自觉地、主动地、积极地学习，以“问”之方式来启发学生深思，以“变”之方式诱导学生灵活善变，以“梳”

之方式引导学生归纳总结。

在整个数学过程中加强学法指导。指导学生深刻思考，细心观察，把实际问题转化为数学模型，养成认真思考、细心观察的好习惯。指导学生在解题时，一切从习题特点出发，根据习题特点寻找最佳解题方法，具体在运用公式计算时，要认清结构，找准a、b。鼓励学

生合作交流实现思维优势互补，相互学习。

2．教学手段：利用多媒体等教学手段，利用多媒体帮助学生突破难点，另外也提高了教学效率，节省时间，激发学生的兴趣。

五、教学过程

本节课我的设计理念是：遵循“教学、学习、研究”同步协调的原则，重组教材，将课本第二课时的面积问题理解平方差公式、利用平方差公式进行一些算式的简便运算设置到本节课中，恰当地创设情境、激发学生对数学的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断发现和提出问题，分析并创造性地解决问题，教师为学生构建开放的学习环境引导学生体验探索、研究的过程，通过学生的再发现、再创造活动，体验“数学化”的过程，使学生在领悟数学对象本质的同时，真正经历知识的“生长过程”。

本教学过程以情境问题为导引，通过生活的问题，调动学生学习和探究的积极性，从而使学生有了问题的发现与提出的自觉意识，在这里我呈现的不仅仅是静态的数学知识，与学生已有的数学知识的发展水平相适应，让整节课体现的数学情境里数学问题产生的土壤，本课给予学生充足的时间和空间，师生互动，放手让学生带着问题运算、探究，使学生的能力

培养情感产生与知识的形成相伴而行。

让学生在探究合作交流的过程中，展示思维过程，让学生的思维全过程得到充分暴露，学生在再发现、再发明的过程中，思维火花发生强烈碰撞，数学结论的发现、生成为自然的事情。

（一）、创设情景，导出问题

（媒体展示一生活情景问题）王捷同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王捷就说出应付99.6元，结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员很惊讶地说：“你好象是个神童，怎么算得这么快？”王捷同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式。”你知道王捷同学用的是一个什么样的公式吗? 通过今天的课堂探索你将自己得到这个公式。

意图：以学生身边的实际问题为例，激发学生对数学学习的兴趣，并自然引出本节课的 2

主要内容。

（二）、激发兴趣，合作探究

1、[议一议]我们已经学过了多项式的乘法，两个二项式相乘，在合并同类项前应该有几项？合并同类项后，积可能会是三项吗？积可能是二项吗？

意图：为下面两个满足特殊条件的二项式相乘其结果还是二项式做伏笔，让学生在下面的操作中体会特殊二项式的特征。

2、[做一做] 计算：(x+2)(x-2)=x+2x-2x-4=x-4

(1+3a)(1-3a)=1-9a

(x+5y)(x-5y)=x-25y

(y+3z)(y-3z)=y-9z

它们的结果有什么共同特点？你知道为什么吗？

[猜一猜] (a+b)(a-b)=______

意图做一做：进一步理解掌握多项式乘以多项式的性质，观察上述这四个式子及其运算结果，你发现了什么规律？通过让学生对式子运算特征的概括，引出“平方差”这一概念和研究课题。

3、你能验证你的猜想是正确的吗？

(a+b)(a-b)=a–ab+ab+b= a–b2222 2222222

意图：让学生完整的经历“猜想—验证—证明”的过程。若从代数的角度，运用多项式乘法的法则计算出结果，进一部明确平方差公式的运算本质。

4、 [归 纳] 平方差公式：（a+b）(a-b)= a–b

用文字语言怎么表述？

即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

意图：你能用最简洁和最有代表性的式子表示出你的发现吗？你能用文字描述出你的发现吗？让学生运用自己的文字语言对公式进行描述，得出平方差公式的乘法法则，提高学生的归纳、表达能力。

5、[想一想] 公式中的a,b可以表示什么？

[点 拨] 公式中a,b可以表示数，单项式，多项式甚至更复杂的代数式。

（三）应用迁移，巩固提高

例1 运用平方差公式计算：

（3x+2）(3x-2)

分析：可以把3x看成a,把2看成b,即

3 22

（3x+2）（3x-2）=（3x）-2

22

（a + b）(a-b)= a

– b

22

[想一想] 下列两个多项式相乘，哪些可以用平方差公式？哪些不能用？ (1)(2x-3y)(3y-2x) (2)(-2x+3y)(2x+3y) (3)(2x-3y)(2x-3y) (4)(2x+3y)(2x-3y)

(5)(-2x-3y)(2x-3y) (6)(2x+3y)(-2x-3y)

指导学生发现公式的特点：

1，左边为两数的和乘以两数的差，即在左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项(a)完全相同，另一项(b与-b)互为相反数。右边为这两个数的平方差即完全相同的项的平方减去符号相反的平方。

2，公式中的a,b不仅可以表示具体的数字，还可以是单项式，多项式等代数式。 填表：

例2 [想一想] 开头的情景问题，你能解释吗？你还有其它的方法吗？ [做一做] 计算： 103×97

意图：加深对公式认识，在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算

[探 究] 边长为a的正方形板缺了一个边长为b的正方形角，经裁剪后拼成了一个长方形。 （1）你能分别表示出裁剪前后的的纸板的面积吗？ （2）你能得到怎样的一个结论？

2

2

2

2

解：（1）裁剪前的纸板的面积为a-b，裁剪后拼成的长方形纸板的面积为(a+b)(a-b); （2）(a+b)(a-b)= a-b

4

意图：让学生完整的经历“猜想—验证—证明”的过程。若从几何的角度，使平方差公式更具直观性，避免对公式的死记硬背，使平方差公式的学习更有意义。学生学习数学是与具体实践活动分不开的，重视动手操作，是发展学生思维，培养学生数学能力最有效地恶途径之

一。设计这个环节，不仅使学生获得知识更容易，而且有利于提高学生的逻辑思维能力。通过让学生了解平方差公式的几何背景，进一步了解平方差公式的意义。

（三）、巩固提高

1、计算：

（1）（a+b）（-b+a）

（2）（-a-b）（a-b）

（3）（a+2b+2c）（a+2b-2c）

（4）（a-b）（a+b）（a+b）

2、2000-1999x2001

（四）总结反思平方差公式 (a+b)(a-b)=a-b22 222

特征：（1）两个二项式相乘时， 有一项相同，另一项符号相反，积等于相同项的平方减去相反数项的平方。

（2）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式。

注意：一定要记住公式的特点，及灵活运用。

意图：适时地总结，有助于学生对问题的深刻认识，同时养成严谨的学习习惯。

（五）课后作业：

1、基础作业：书后习题

2、选作作业：

（1）证明两个连续偶数的平方差能够被4整除；

2（2）计算 (20062?2005)(20042?20032)??(22?12)

意图：巩固本节课所学知识，并满足不同水平学生的需要。

5

二 : 请你用平方差公式求（1-1/2^2)*(1-1/3^2)*(1-?

请你用平方差公式求（1-1/2^2)*(1-1/3^2)*(1-1/4^2)*...*(1-1/99

请你用平方差公式求（1-1/2^2)*(1-1/3^2)*(1-1/4^2)*...*(1-1/99^2）*（1-1/100^2)

---

（1-1/2^2)*(1-1/3^2)*(1-1/4^2)*...*(1-1/99^2）*（1-1/100^2)

=(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3)……(1-1/100)(1+1/100)

=(1/2)*(3/2)*(2/3)*(4/3)*(3/4)*(5/4)*……*(100/99)*(99/100)*(101/100)

=(1/2)*(101/100)

=101/200

三 : 1.7　平方差公式(二)

教学目的

进一步使学生理解掌握平方差公式，并通过小结使学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异．

教学重点和难点：公式的应用及推广．

教学过程：

一、复习提问

1．（1）用较简单的代数式表示下图纸片的面积．

（2）沿直线裁一刀，将不规则的右图重新拼接成一个矩形，并用代数式表示出你新拼图形的面积．

讲评要点：

沿hd、gd裁开均可，但一定要让学生在裁开之前知道

hd＝bc＝gd＝fe＝a－b，

这样裁开后才能重新拼成一个矩形．希望推出公式：

a2－b2＝(a＋b)(a－b)

2．（1）叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式；

（2）试比较公式的两种表达式在应用上的差异．

说明：平方差公式的数学表达式在使用上有三个优点．（1）公式具体，易于理解；（2）公式的特征也表现得突出，易于初学的人“套用”；（3）形式简洁．但数学表达式中的a与b有概括性及抽象性，这样也就造成对具体问题存在一个判定a、b的问题，否则容易对公式产生各种主观上的误解．

依照公式的文字表达式可写出下面两个正确的式子：

经对比，可以让人们体会到公式的文字表达式抽象、准确、概括．因而也就“欠”明确（如结果不知是谁与谁的平方差）．故在使用平方差公式时，要全面理解公式的实质，灵活运用公式的两种表达式，比如用文字公式判断一个题目能否使用平方差公式，用数学公式确定公式中的a与b，这样才能使自己的计算即准确又灵活．

3．判断正误：

（1）(4x＋3b)(4x－3b)＝4x2－3b2；(×)（2）(4x＋3b)(4x－3b)＝16x2－9；(×)

（3）(4x＋3b)(4x－3b)＝4x2＋9b2；(×)（4）(4x＋3b)(4x－3b)＝4x2－9b2；(×)

二、新课

例1　运用平方差公式计算：

（1）102×98；                                    （2）(y＋2)(y－2)(y2＋4)．

解：（1）102×98                                   （2）(y＋2)(y－2)(y2＋4)

＝(100＋2)(100－2)                       ＝(y2－4)(y2＋4)

＝1002－22＝10000－4                    ＝(y2)2－42＝y4－16．

＝9996；

2．运用平方差公式计算：

（1）103×97；                             （2）(x＋3)(x－3)(x2＋9)；

（3）59.8×60.2；                         （4）(x－ )(x2＋ )(x＋ )．

3．请每位同学自编两道能运用平方差公式计算的题目．

例2　填空：

（1）a2－4＝(a＋2)(　　)；（2）25－x2＝(5－x)(　　)；（3）m2－n2＝(　　)(　　)；

思考题：什么样的二项式才能逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积？

（某两数平方差的二项式可逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积）

练习

填空：

1．x2－25＝(　　)(　　)；

2．4m2－49＝(2m－7)(　　)；

3．a4－m4＝(a2＋m2)(　　)＝(a2＋m2)(　　)(　　)；

例3　计算：

（1）(a＋b－3)(a＋b＋3)；                （2）(m2＋n－7)(m2－n－7)．

解：（1）(a＋b－3)(a＋b＋3)            （2）(m2＋n－7)(m2－n－7)

＝[(a＋b)－3][(a＋b)＋3]              ＝[(m2－7)＋n][(m2－7)－n]

＝(a＋b)2－9＝a2＋2ab＋b2－9．   ＝(m2－7)2－n2

＝m4－14m2＋49－n2．

三、小结

1．什么是平方差公式？一般两个二项式相乘的积应是几项式？

2．平方差公式中字母a、b可以是那些形式？

3．怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式？

四、布置作业

1．运用平方差公式计算：

（1）(a2＋b)(a2－b)；（2）(－4m2＋5n)(4m2＋5n)；

（3）(x2－y2)(x2＋y2)；（4）(9a2＋7b2)(7b2－9a2)．

2．运用平方差公式计算：

（1）69×71；     （2）53×47；     （3）503×497；  （4）40 ×39 ．

教后记：

四 : 平方差公式

教学建议 一、知识结构 二、重点、难点分析 本节教学的重点是掌握公式的结构特征及正确运用公式．难点是公式推导的理解及字母的广泛含义．是进一步学习完全平方公式、进行相关代数运算与变形的重要知识基础． 1．是由多项式乘法直接计算得出的： 与一般式多项式的乘法一样，积的项数是多项式项数的积，即四项．合并同类项后仅得两项． 2．这一公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差．公式中的字母可以表示具体的数（正数和负数），也可以表示单项式或多项式等代数式． 只要符合公式的结构特征，就可运用这一公式．例如 在运用公式的过程中，有时需要变形，例如，变形为，两个数就可以看清楚了． 3．关于的特征，在学习时应注意： （1）左边是两个二项式相乘，并且这两上二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． （2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． （3）公式中的和可以是具体数，也可以是单项式或多项式． （4）对于形如两数和与这两数差相乘，就可以运用上述公式来计算． 三、教法建议 1．可以将“两个二项式相乘，积可能有几项”的问题作为课题引入，目的是激发学生的学习兴趣，使学生能在两个二项式相乘其积可能为四项、三项、两项中找出积为两项的特征，上升到一定的理论认识，加以实践检验，从而培养学生观察、概括的能力． 2．通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳，得出为什么有的两个二项式相乘，其积为两项，因为其中两项是两个数的平方差，而另两项恰是互为相反数，合并同类项时为零，即 (a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2． 这样得出，并且把这类乘法的实质讲清楚了． 3．通过例题、练习与小结，教会学生如何正确应用．这里特别要求学生注意公式的结构，教师可以用对应思想来加强对公式结构的理解和训练，如计算(1+2x)(1-2x)， (1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2 ↓ ↓ ↓ ↓ ↑ ↑ (a + b)(a - b)=a2- b2． 这样，学生就能正确应用公式进行计算，不容易出差错． 另外，在计算中不一定用一种模式刻板地应用公式，可以结合以前学过的运算法则，经过变形后灵活应用公式，培养学生解题的灵活性．   教学目标  1．使学生理解和掌握，并会用公式进行计算； 2．注意培养学生分析、综合和抽象、概括以及运算能力． 教学重点和难点 重点：的应用． 难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式． 教学过程 设计 一、师生共同研究 我们已经学过了多项式的乘法，两个二项式相乘，在合并同类项前应该有几项？合并同类项以后，积可能会是三项吗？积可能是二项吗？请举出例子． 让学生动脑、动笔进行探讨，并发表自己的见解．教师根据学生的回答，引导学生进一步思考： 两个二项式相乘，乘式具备什么特征时，积才会是二项式？为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是两项呢？而它们的积又有什么特征？ (当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式．这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了．而它们的积等于乘式中这两个数的平方差) 继而指出，在多项式的乘法中，对于某些特殊形式的多项式相乘，我们把它写成公式，并加以熟记，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算．以后经常遇到(a+b)(a-b)这种乘法，所以把(a+b)(a-b)=a2-b2作为公式，叫做乘法的． 在此基础上，让学生用语言叙述公式． 二、运用举例  变式练习 例1  计算(1+2x)(1-2x)． 解：(1+2x)(1-2x) =12-(2x)2 =1-4x2． 教师引导学生分析题目条件是否符合特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么． 例2  计算(b2+2a3)(2a3-b2)． 解：(b2+2a3)(2a3-b2) ＝(2a3+b2)(2a3-b2) ＝(2a3)2-(b2)2 ＝4a6-b4． 教师引导学生发现，只需将(b2+2a3)中的两项交换位置，就可用进行计算． 课堂练习 运用计算： (l)(x+a)(x-a)； (2)(m+n)(m-n)； (3)(a+3b)(a-3b)； (4)(1-5y)(l+5y)． 例3  计算(-4a-1)(-4a+1)． 让学生在练习本上计算，教师巡视学生解题情况，让采用不同解法的两个学生进行板演． 解法1：(-4a-1)(-4a+1) =[-(4a+l)][-(4a-l)] =(4a+1)(4a-l) =(4a)2-l2 =16a2-1． 解法2：(-4a-l)(-4a+l) =(-4a)2-l =16a2-1． 根据学生板演，教师指出两种解法都很正确，解法1先用了提出负号的办法，使两乘式首项都变成正的，而后看出两数的和与这两数的差相乘的形式，应用，写出结果．解法2把-4a看成一个数，把1看成另一个数，直接写出(-4a)2-l2后得出结果．采用解法2的同学比较注意的特征，能看到问题的本质，运算简捷．因此，我们在计算中，先要分析题目的数字特征，然后正确应用，就能比较简捷地得到答案． 课堂练习 1．口答下列各题： (l)(-a+b)(a+b)； (2)(a-b)(b+a)； (3)(-a-b)(-a+b)； (4)(a-b)(-a-b)． 2．计算下列各题： (1)(4x-5y)(4x+5y)； (2)(-2x2+5)(-2x2-5)； 教师巡视学生练习情况，请不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法． 三、小结 1．什么是？ 2．运用公式要注意什么？ (1)要符合公式特征才能运用； (2)有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形． 四、作业  1．运用计算： (l)(x+2y)(x-2y)； (2)(2a-3b)(3b+2a)； (3)(-1+3x)(-1-3x)； (4)(-2b-5)(2b-5)； (5)(2x3+15)(2x3-15)； (6)(0.3x-0.l)(0.3x+l)； 2．计算： (1)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x+y)； (2)(2a-b)(2a+b)-(2b-3a)(3a+2b)； (3)x(x-3)-(x+7)(x-7)； (4)(2x-5)(x-2)+(3x-4)(3x+4)．

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