一 : 一次函数的性质的教学设计
§18.3一次函数
第三课时一次函数的性质
教材分析：
函数是中学数学中非常重要的内容，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型。它贯穿于整个初中阶段的始终，同时也是历年中考的内容之一。初二数学中的函数又是中学函数知识的开端，是学生正式从常量世界进入变量世界，因此，努力上好初二函数部分的内容显得尤为重要。
一次函数的性质是在明确了一次函数的图象是一条直线后，进1步结合图象研究一次函数的性质，从而使学生对一次函数有了从“数”到“形”、从“形”到“数”的两方面理解，从而展开了1个“数形结合”的新天地。而且这节课的研究也为学生今后进1步学习反比例函数的性质和二次函数的性质打下良好的基础。
目标设计：
（1）知识与能力：
1、在认识一次函数图象的基础上，探索一次函数y=kx+b(k≠0)的性质。
2、观察图象，体会一次函数k、b的取值和图象的关系，提高数形结合的思想。
（2）过程与方法：
1、让学生学会观察图象，能从一次函数的图象中更好地理解函数的2个变量x、y之间的关系。
2、启发学生对所取的值和所画一次函数图象进行探究观察，并对所得的结论进行总结，最后形成一次函数的性质。
（3）情感态度与价值观：
让学生全身心的投入到学习活动中去，能积极与同伴合作交流，并能进行探索的活动，发展实践能力与创新精神。
教学重点:
比较和观察一次函数的图象，总结出一次函数的性质，并会加以运用。逐步培养学生从特殊到一般、数形结合等数学思想。
教学难点:
一次函数性质的探索、语言的准确描述、归纳总结及应用。
教学关键:
引导学生正确理解一次函数性质及其对应关系；教会学生学会观察探索函数图象，最后由性质又回归函数关系式。
教法方法：探究式、启发式
学习方法：自主学习、合作交流
方法设计：
（一）复习巩固，导入新课：1、一次函数的图象是怎样的？确定图象时经过哪些特殊点？
2、让学生动手画一次函数y=x+1和y=3x-2的图象,并进行观察探索，得出一次函数图象的分布特征，然后提出问题：为什么一次函数的图象会有这种分布特征，由哪些因素来决定？图象的点是否也会随着自变量x的变化而有规律地发生变化呢？本课我们就将一起来研究这个问题。
板书课题：一次函数的性质
出示教学目标：
1、在认识一次函数的图象的基础上，探索一次函数y=kx+b(k≠0)的性质。
2、观察图象，体会一次函数k、b的取值和图象的关系，提高数形结合的思想。
（二）探究新知：
1、自主学习，整体感知：
学生自己看书，整体感知本节课的学习内容，围绕目标学习，圈点出难点、疑点。
2、小组讨论，合作交流：
（1）（用列表法）当x取-2、-1、0、1、2时，一次函数y=x+1和y=3x-2的值分别是多少？并观察y随x的变化情况；
（2）并观察你自己画的一次函数的图象，探索以下问题：
①当自变量x从小到大逐渐增大时，各x在同一支图象上的对应点在直线上作何变化？
②关系式中的b究竟影响到图象的哪个方面？
（3）再画出函数y=-x+2和y=- x-1的图象，做类似的研究，这2个函数有什么共同特征？它与前面2个函数有什么不同？
（4）从对以上4个函数的研究结果中，你能概括出关于一次函数的一般结论吗？
3、展示反馈：
抽小组代表将各小组内交流的结果展示给大家，不足之处先交给学生处理，若学生处理不好或不当，教师再点拨指导，教师对在这个环节表现好的同学给予评价，适当鼓励学生，调动大家的积极性。
学生明确：
一次函数y=kx+b(k≠0)的性质：
当k＞0时，y随x的增大而增大，函数图象必过一、三象限，从左到右上升;
当k＜0时，y随x的增大而减小，函数图象必过二、四象限，从左到右下降。
练习设计：
1、做游戏：
任意抽几名同学各说出1个一次函数，其他小组抢答这个一次函数的性质，展开竞赛，看哪个小组说的又对又快，实行加分制。
2、做一做：画出函数y=-2x+2的图象，结合图象回答下列问题：
（1）这个函数中，随着x的增大，y将增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？
（2）当x取何值时，y=0？当y取何值时，x=0？
（3）当x取何值时，y>0？
（4）函数的图象不经过哪个象限？
课堂小结：
1、学生谈谈本节课的收获？
2、教师强调一次函数的性质，y=kx+b(k≠0)中k、b的取值对一次函数的影响：
（1）k的取值←→y随x的增大而增大(减小)←→函数图象从左到右上升(下降)←→函数图象过一、三象限（二、四象限）。
（2）b的取值←→函数图象与轴的交点情况。
课后作业：
1、课后练习1、2题。
2、课本习题17.3中的第8题。
板书设计：
1、复习：
一次函数的图象是什么形状？如何画一次函数的图象？(板演要点)
2、问题引入
请同学们在1个平面直角坐标系内画一次函数的图象（学生板演）；
3、一次函数的性质：(板演要点)
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大，函数图象过一、三象限，从左到右上升。
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小，函数图象过二、四象限，从左到右下降。
（3）b决定了图象与y轴的交点位置（即b>0时，图象与y轴的交点在x轴的上方；b<0时，图象与y轴的交点在x轴的下方。）
二 : 《一次函数的图像》教学设计说明
教材上海教育出版社八年级第二学期第二十章《一次函数》中20.2《一次函数的图像》
一、教材分析
(www.61k.com)这节课的内容是八年级(第二学期)第二十章“一次函数”的第二节“一次函数的图像”的第三课时,内容是结合一次函数图像研究一次函数与一元一次方程以及一元一次不等式之间的关系.
一次函数解析式实际上也是二元一次方程，若已知y的值，则可得关于x的一元一次方程．若已经y大于（或小于）某个常数，则可得关于x的一元一次不等式．因此一次函数与一元一次方程、不等式有密切的关系．
学生在本节课之前已经学习过一次函数及其图像，一元一次方程，一元一次不等式，通过本节的教学，可加强这些知识间的联系，发挥函数对相关内容的统领作用，能用一次函数可以把以前学习的方程和不等式等不同的数学概念统一起来，从而深化学生对方程与不等式的理解，使新旧知识融会贯通，促进学生良好知识结构的形成.同时也为进一步学习“三个二次之间的关系”打下基础.
二、教学目标分析
1．能借助一次函数的图像认识一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，理解一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的内在联系.
2．经历由具体到抽象、由直观感知到得出一般结论的认知过程，体会数形结合的数学思想，提高由图像获取有用信息的能力以及分析与解决问题的能力.
3．经历探索三个“一次”之间的内在联系的过程，感受知识之间的普遍联系，体会等与不等的辩证关系，更好地认识和掌握事物运动和变化的规律．
教学重点、难点
能以函数的观点认识一元一次方程的解、一元一次不等式的解集.
三、教学问题诊断
在学习本课内容时,学生已经掌握了一元一次方程,一元一次不等式,一次函数等知识,会画一次函数的图像,会用代数方法解一元一次不等式.大部分的学生正在艰难的由形象思维向抽象思维发展.观察力偏重于第一印象，仍用自己原有的认识与知识结构作出判断，不会自觉利用直角坐标系从函数的这种数形对应角度出发考虑，很难利用图像中的信息分析和解决问题.基于上述情况，预测学生在理解一次函数与一元一次不等式之间的关系时会产生困难.
四、教法特点
1．突出数形结合的数学思想
由于数和形是数学中主要研究对象，它们各有所长，因此若能将二者结合起来，则可发挥各自的优势．正如著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．本节课内容是渗透数形结合思想的良好载体，因此在教学设计过程中，我们力求让学生充分体会这一数学思想方法．
本节课首先从引入情景出发，由两个已知点，既可直接画出一次函数的图像，引入课题；呈现问题一之后，由于有了图像，学生容易从图像角度考虑问题，但从图像只能得出近似值（这里体现了“形缺数时难入微”），要得出精确值必须采用代数方法，从而想到应从数的角度来考虑问题．
在一次函数与一元一次方程关系讨论结束之后提出问题二，在问题一讨论的基础上，学生已经知道一次函数图像与x轴交点的横坐标，因此从形的角度马上可以直观地得出结果，这里的求解过程又体现了数形结合思想（先用代数方法求出交点坐标，然后根据图形得出结论）；从形的角度讨论结束之后，再提出还有没有其它方法，学生自然会想到从数的角度来考虑．
在以上探究过程中，教师有意识地渗透，学生亲历与感悟，尤其是方法的选择注重合理自然、水到渠成，可以使学生进一步明晰数与形各自的优点，从而使学生充分体会数形结合思想．
2．创设实际问题情景
数学来源于生活，数学应用于生活.世博是今年大家十分关注的一个话题，许多学生已经是多次进入园区参观，大温度计上的数学问题来自于学生真实的日常生活，有利于激发学生学习数学的兴趣，大家在不知不觉中进入了今天学习的内容.
在温度计的背景下，提出温度的两种度量制度.围绕这一情景提出了如下三个问题：第一个问题是画出一次函数图像，这既复习了旧知，又为新知的学习创造了条件；第二个问题是当华氏度为0时，摄氏度为多少？对这一问题从“数”与“形”两个方面入手分析研究，得出了这个一次函数与相应一元一次方程之间的关系，然后推广到一般情形；第三个问题是当华氏度大于（小于0）时，相应摄氏度应在什么范围内取值？对这一问题的研究得出了这个一次函数与相应一元一次不等式之间的关系.
3．充分展现知识的形成过程
本节课的教学设计遵从由特殊到一般、由具体到抽象、由直观感知到得出一般结论这样的认识过程.关于一次函数与一元一次方程关系的探讨，先从实际问题入手，从形与数两个角度进行研究，然后根据这一研究过程得出对于特殊的一次函数，它与一元一次方程的关系，然后将这一结论推广到一般情形.关于一次函数与一元一次不等式关系的探讨，也采用类似的处理方法.在本节课的教学设计中，尤其注重生成性，体现出数学内在的合谐与自然.对于函数与方程关系的讨论，由于有了图像但没有给出函数解析式，先形后数自然而然；而对于函数与不等式的关系，在前面研究的基础上，函数图像与x轴交点横坐标已经知道，从形的角度考虑也非常自然；若无前面这一基础，显然应该从数的角度来加以讨论更为自然．
4．通过问题驱动来激发思维
首先，由问题引发学生的思考，体会一次函数与一元一次方程之间的关系.这一部分的学习，比较多的学生能够通过观察得出具体的结论：一次函数图像与x轴交点坐标的横坐标就是此函数对应的一元一次方程的解.反之亦然.这一部分内容的学习不仅是本节课的重点之一，为接下来的难点突破打下了基础.
接下来，继续由问题引发学生的思考，这一部分的教学是本节课的重难点，相比较前一部分（一次函数与一元一次方程之间的关系）这部分的内容对于学生来说更抽象，更难以理解.为了帮助学生理解这部分内容，我设计了这几个环节：
（1）通过思考问题2，学生找到图像中符合条件的那一部分，为下面的从具体到抽象提供载体；在这里问题的设计具有层次性，学生在问题中得到适当的引导与启发，学生的积极性会很高，对于他们的回答我也都将给予充分的肯定与表扬.
扩展：一次函数图像教学视频 / 一次函数图像教学反思 / 一次函数的图像和性质
（2）从具体问题入手，讨论一次函数图像与一元一次不等式之间的关系.为了使得学生深入理解这一问题且考虑到学生群体学习能力的参差不齐，利用几何画板动态演示，追踪符合条件的点的轨迹，使学生从图像上直观获取符合条件的点的横坐标的取值范围这一信息.
（3）在最后抽象到一般时采用先小组讨论再全班交流的形式，这样安排使学生形成自己对数学知识的理解并且进行了有效的学习，培养了学生数形结合的思想以及在交流中发展学生的合作意识和交流能力.
五、预期效果分析
总之，本节课采用观察、探究、交流、归纳等多种教学方式，并配合多媒体操作演示、师生互动，给学生以充分展示自我的机会和平台，从而调动学生主动参与课堂教学的积极性，激发学生学习数学的热情，培养了学生自主探究的能力，使之真正成为了学习的主人.然而，如何很好地调控学生，激发每一位同学的学习潜能，在今后的教学中还有待努力去探索.
扩展：一次函数图像教学视频 / 一次函数图像教学反思 / 一次函数的图像和性质
三 : 对数函数教学设计
对数函数教学设计
南郑中学 李霏
教学设计思想：
本节是在学生已经学过对数，与常用对数以及指数函数的基础上，借助生活中典型实例引出对数函数的概念，借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让学生通过分析、推理、归纳、类比等活动过程，从中了解和体验对数函数图象和性质。因而让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。
教材分析 ：
对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的确定的实际问题引入的，既说明对数函数的概念来自实践，又便于学生接受。在教学中，学生往往容易忽略对数函数的定义域，因此在进行定义教学时，要结合指数式强调说明对数函数的定义域，加强对对数函数定义域的理解。在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图象和性质，是本节的教学重点，而理解底数的值对于函数值变化的影响（即对对数函数单调性的影响）是教学的一个难点，教学时要充分利用图象，数形结合，帮助学生理解。
对数函数是高中数学必修1第三章重点内容，以指数函数作为基础知识。本节课的主要任务是抓住对数函数与指数函数的互为反函数的关键，掌握对数函数的概念、图像性质并由对数函数的图像归纳出性质，能运用性质解决比较对数值大小。为了能使学生理解和掌握教学内容，培养学生自主学习能力和数学建构思想，本节课使用多媒体教学，通过计算机辅助教学课件和网络系统良好的交互性能，适时得到学生的反馈信息，实现教学目标。
课目内容分解表
课目名称 | 知识点 | 学习水平 | ||
知识 | 理解 | 应用 | ||
对数函数 | 1、对数函数概念 | √ | √ | |
2、对数函数图像 | √ | √ | ||
3、对数函数的性质 | √ | √ | ||
学习水平描述
知识点 | 学习水平 | 描述语句 | 行为动词 |
1 | 知识 | 明确对数底数的取值范围 | 分 析 |
理解 | 能讲出对对数函数的定义域 | 理解、记忆 | |
2 | 理解 | 能够利用互为反函数图像的对称性作出对数函数图像 | 分 析 |
应用 | 观察对数函数图像特征 | 观察、归纳 | |
3 | 理解 | 能从观察图像特征中归纳出对数函数的性质通过对数函数性质的学习，掌握同底对数值大小比较 | 归纳、比较、 掌握 |
应用 | 寻找过渡媒介比较不同底对数值的大小 | 寻找、比较 |
教学目标
1.知识目标：在指数函数及反函数概念的基础上，使学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图像，掌握对数函数的性质，并初步应用性质解决简单问题。
2.能力目标：培养学生观察能力、逻辑思维能力，发展学生探究和解决问题的能力，并渗透数形结合、分类讨论等数学思想，提高学生的应用意识和创新能力。
通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想．
3.情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣，对学生进行对称美、抽象美等数学审美教育。
教学重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数图像和性质。
教学难点：是由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质。
教学方法
启发研讨式
教学用具
多媒体
教法和学法的分析：
1、通过探究式创造性思维教学方法充分利用现实情景，尽可能的增加教学过程的趣味性、实践性。利用多媒体课件和flash动画等丰富学生的学习资源，生动活泼的展示图形，强调学生动手操作和主动参与。
2教师是学生的学习的组织者、促进着、合作者，在本节课的备课和教学过程中，为学生的动手实践，自主探索与合作交流的机会搭建平台，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题解决问题，通过恰当的教学方式使得学生学会自我调适，自我选择。
教学过程
一、回顾交流，适时引入新课
前几课，我们一起学习了指数函数以及指数函数的图像和性质，请大家回顾一下：（打开课件，让学生们口答指数函数的性质）
1、情境：我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题.某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=2x表示.
2、问题：现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞？
这个问题就相当于已知y=2x中的y求x，我们将y=2x改写成对数式为y=log2x，对于每一个给定的y值，都有唯一的x值与之相对应。把y看作自变量，分裂次数x就是细胞个数y的函数。这样就得到了一个新的函数。习惯上，仍用x表示自变量，用y表示它的函数。上面的这个函数就写成y=log2x。
二、新课讲授
1、介绍新概念：一般地，我们把函数y=logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中a为常量。
师：这里为什么规定a＞0且a≠1。
(学生探究，相互合作交流，分组讨论，师参与探究活动并予以指导。只要说的正确予以肯定。)
生A：a为底数，根据对数的定义a＞0且a≠1
生B：解析式y=logax可以变成指数式x=ay，由指数的定义，a＞0且a≠1
（师充分予以表扬。）
师：由这个解析式，大家能看出它的部分性质吗？
(学生活动：合作交流探究，师参与探究并予以点评、指导。)
生C：根据对数的定义，自变量在真数的位置，故定义域为(0，+∞)。
生D：把它变成指数式x=ay可知，故值域为(-∞，+∞)
师：函数 （a＞0且a≠1）与函数（a＞0且a≠1）的定义域、值域之间有什么关系？
生：函数 （a＞0且a≠1）的定义域、值域分别是函数（a＞0且a≠1）的值域和定义域
师：非常好，该函数的性质到底是怎样的？下面我们来探讨一下，通常我们研究函数的性质要借助于一件工具，这个工具是什么？
生：图象。
师：和指数函数性质一样，我们分a＞1和0＜a＜1。由特殊到一般，这里a＞1取a=2，0＜a＜1取a=1/2。
2、性质的探究
①a＞1，函数y=log2x的图象和性质
师：请同学们将幻灯片上的表格填完整。
（学生活动：填表格）
师：大家观察表格，自上而下，x是怎样变化的？
生：逐渐增大。
师：y的变化趋势呢？
生：逐渐增大。
师：由此你能预测y=log2x的单调性吗？
生：在整个定义域内单调递增。
师：到底是不是，我们请图象告诉大家。
（师生共同操作，画出图象。）具体操作时，将学生分为四个小组，分别画出对数函数 和 的图象
学生在笔记本完成具体操作以后，教师在运用多媒体把两对数图像的形成用动画演示一遍，画出 和的图像．(此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内)如图：
教师画完图后再利用电脑将 和 的图像画在同一坐标系内，如图：
教师说明：对数函数 的图像大致有两种，它们也是随底a的范围 和的不同而不同的，故我们在研究对数函数性质时，也应分两种情况来讨论，下面：
A、各小组根据图像总结图像特征和函数性质；
．学生探究，分组讨论，交流合作，大胆猜想，教师参与探究活动，并回答学生的问题，予以指导。只要学生说得有道理，均应予以及时表扬、鼓励。函数的性质以学生归纳总结为主，教师点评。）
B、各小组派代表向全体同学汇报探究成果；
C、师生共同整理汇总对数函数的图像和性质。
图 象 |
|
| |||
性 质 | ①定义域：（0，+∞） | ||||
②值域：R | |||||
③过点（1，0），即当 时， | |||||
④ 时 时 | 时 时 | ||||
当 且 时，有 ；当 且 时，有 | |||||
⑤在（0，+∞）上是增函数 | 在（0，+∞）上是减函数 | ||||
在讲完性质④以后可以追问学生对数函数有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正?学生看着图可以答出应有两种情况：
当 且 时，有 ；当 且 时，有 ．
学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法：当底数与真数在1的同侧时函数值为正，当底数与真数在1的两侧时，函数值为负，并把它当作第⑥条性质板书记下来．
最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图．且应将其性质与指数函数的性质对比记忆．(特别强调它们单调性的一致性)
对图像和性质有了一定的了解后，一起来看看它们的应用．
三．简单应用 (板书)
1. 研究相关函数的性质
例1. 求下列函数的定义域：
（1）（2） （ ）
（3）
先由学生依次列出相应的不等式，其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制．
2. 利用单调性比较大小 (板书)
例2. 比较下列各组数的大小
（1） 与（2） 与 （ ）
（3） 与（4） 与 与
让学生先说出各组数的特征与比较方法，最后总结一下比较两对数值的常用方法：（1）若底数为同一常数，则直接根据对数函数的单调性来比较；（2）若底数为同一字母，则根据对数函数的单调性对字母进行分类讨论；（3）若底数不同，则可找出0或±1等第三数来比较。
3. 思考题
对数函数的底与对数函数的图像间有什么关系呢？不妨以下列函数为例作出它们的图像：（1） （2） （3） （4），并据此得出对数函数的底与对数函数的图像间的关系。
四．小结
本节课我们讲了：
（1）对数函数的定义；（2）对数函数的图像和性质；（3）比较两个对数值大小的方法
五．作业 （略）
六 课后反思
本节课自始至终都运用了新课标理念，按照创设情境――组织探索――知识应用――知识拓展的基本模式展开教学，整个课堂显得生机勃勃。
1、将教学科研融入教学中，改变学生的学习方式
探究式创造性思维教学法是新课程理念下的一个科研课题。本节课就是以这一理论为指导，借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。如，对数函数的图象和性质是这节课的重点，为了解决这一重点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个个flash动画入手，从观察每幅动画这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验对数函数性质的形成过程，变静态教学为动态教学。鼓励学生创新，从而也实现了以学生为主，为学生服务的宗旨。
2、渗透数学思想方法重在平时
当学生有一天不再学习数学了，我们给孩子们留下了什么？我想应该是学生遇到具体问题时那种思考问题的方式，和解决问题的方法。本节课始终是引导学生观察对数函数图象后研究对数函数性质，即数形结合思想。华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”因此在平时教学时，要注意渗透数学思想方法的教学。
3、信息技术走进课堂
本节课在对数函数的图象和性质教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉快的动画演示，化抽象为形象，创设了直观的课堂教学效果，突出知识重点，化解了知识的难点。
4、课堂上教师怎样引导学生是值得我们深思的一个问题，在完成知识拓展时，课堂上开始还不能很好的完成题目的变化，经教师的指导，学生逐渐地掌握了方法。
不足：在对数函数的图象和性质的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚了学生的思维，还没有放开。还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。
四 : 二次函数第一课时教学设计 - 宝坻教研网 35
读书时，我愿在每一个美好思想的面前停留，就像在每一条真理面前停留一样。——爱默生《二次函数》教学设计一、教材分析： 《二次函数》选自义务教育课程标准试验教科书（五四学制）《数学》（人教版）九年级上册第二十一章，这章是在学生学习了一次函数与反比例函数，对于函数已经有所认识，从一次函数和反比例函数的学习大家已经知道学习函数大致包括以下内容：1．通过具体的事例认识这种函数；2．探索这种函数的图像和性质；3．利用这种函数解决实际问题；4．探索这种函数与相应方程等的关系。本章"二次函数"的学习也是从以上几个方面展开。首先让学生认识二次函数，掌握二次函数的图像和性质，然后让学生探索二次函数与一元二次方程的关系，从而得出用二次函数的图像求一元二次方程的方法。最后让学生运用二次函数的图像和性质解决一些实际问题。 本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）： 21．1 二次函数 （6课时） 21．2用函数的观点看一元二次方程 （1课时） 21．3实际问题与二次函数 （3课时） 数学活动 小结 （2课时）21．1 二次函数教学时间约为 6课时，下面是第一课时的教学设计，此时学生对函数的相关知识已经很陌生，第一课时应对上学段学的一次函数和反比例函数的知识做一个回顾，让学生重温学习函数应该从以下四个内容入手：认识函数；研究图像及其性质；利用函数解决实际问题；函数与相应方程的关系。再通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系．并能利用尝试求值的方法解决实际问题．二、教学目标： 知识技能： 1．探索并归纳二次函数的定义； 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系． 数学思考： 1．感悟新旧知识间的关系，让学生更深地体会数学中的类比思想方法； 2．经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系． 解决问题： 1．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系；2. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．进一步体会数学与生活的联系，增强用数学意识。 情感态度： 1．把数学问题和实际问题相联系,从学生感兴趣的问题入手，能使学
生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；2．使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用；3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．三、教学重点、难点：教学重点：1．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得二次函数的定义。2．能够表示简单变量之间的二次函数关系． 教学难点：经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验．四、教学方法：教师引导--自主探究--合作交流。五：教具、学具：教学课件六、教学媒体：计算机、实物投影。七、教学过程： [活动1] 温故知新，引出课题。 师：对于"函数"这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗?生：学过正比例函数，一次函数，反比例函数．师：那函数的定义是什么，大家还记得吗?生：记得，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．师：能把学过的函数回忆一下吗?生：可以。一次函数y=kx+b （其中k、b是常数，且k≠0）正比例函数y＝kx （k是不为0的常数） 反比例函数y= （k是不为0的常数） 师：学习这些函数的时候，大家还记得我们从哪几个方面探究的吗? 生： 定义、函数的一般形式、函数的图像和性质、函数在实际问题中的应用、函数与方程与不等式的关系等。师：很好，从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢?本节课我们将揭开它神秘的面纱．师生行为：教师提出问题，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，对于一些概括性较强的问题，教师要进行适当引导。设计意图：由复习回顾旧知识入手，通过回顾已经学过的函数的相关知识，对要探究的新的函数有个明确的方向，让学生由旧知识中寻找新知识的生长点，符合认识新事物的规律，由浅入深，由表及里，逐渐深化。 [活动2]创设情境 探究新知：问题 1．正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为 x ，表面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为是什么？2．多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？n边形有＿＿＿个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作＿＿＿＿条对角线。因此，n边形
的对角线总数d =＿＿＿＿＿＿。3．某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20件，一年后的产量是 件，再经过一年后的产量是 件，即两年后的产量为 。4． 问题2中有哪些变量?其中哪些是自变量? 大家根据刚才的分析，判断一下式子中的d是否是n的函数?若是函数，与原来学过的函数相同吗?问题3呢？5．观察上面的三个函数，从解析式看有什么共同点？ 师生行为：教师在大屏幕上逐一提出问题，问题1、2、3让学生独立思考完成师生共同订正，问题4、5小组讨论完成，教师做适当的引导，点拨，得出问题结论。 定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。教师重点关注：1．强调几个注意的问题：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。（2）a,b,c为常数，且a≠0；（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。（4）x的取值范围是任意实数。 2．学生在探究问题的过程中，能否优化思维过程，使解决问题的方法更准确。设计意图：由现实中的实际问题入手给学生创设熟悉的问题情境，通过问题的解决，为得出二次函数的定义做好铺垫，并让学生感受到身边的数学，激发学生学习数学的好奇心和求知欲。学生通过分析、交流，探求二次函数的概念，加深对概念的理解，为解决问题打下基础。[活动3] 例题学习 内化新知 问题 例1，下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项. (1) y=3(x-1)2+1 (2) y=x+ (3) s=3-2t2 (4) y=(x+3)2-x2 (5)y= -x (6) v=10Л r2 例2，函数 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是反比例函数？ （3） m取什么值时，此函数是二次函数？ 师生行为：教师出示例1，同学们稍加考虑即可获得问题的结论，进而引出例2，例2让学生分组展开讨论，待学生充分交流后，教师再组织各小组展示自己的讨论结果，共同得到正确是结论，并获得解题的经验。 教师重点关注：（1）探究中各小组是否积极展开活动；（2）学生对二次函数概念是否理解透彻，应用是否得当；（3）教师在小组中巡视，尽可能多给学生一点思考的时间和空间，对学习有困难的学生适当引导
。 设计意图：通过例1的设计，有利于学生对二次函数的概念的理解，边学边练，为下一个讨论做铺垫；例2中三个问题的设计，由浅入深，层层递进，在复习旧知的同时获得解决新问题的经验，进一步内化新知、突破难点。整个探究过程都是让学生自己去探索，在探索中发现新知，在交流中归纳新知，把学习的主动权交给学生，增强学生创造的信心，体验到成功的快乐。 [活动4] 练习反馈 巩固新知 问题： （1） P80．练习 1、2 （2） 若 是二次函数，求m的值． 师生行为：教师提出问题，问题（1）学生独立思考后写出答案，师生共同评价；问题（2）学生独立思考后同桌交流，指名口答结果，教师强调正确解题思路； 教师重点关注：学生能否准确用二次函数表示变量之间关系；学生解题时候暴露的共性问题作针对性的点评，注重培养学生正确的思路和方法，积累解题经验。 设计意图：问题（1）是从简单的应用开始，及时巩固新知，让学生获得用二次函数表示变量之间关系的体验；问题（2）是让学生对二次函数定义很深层次的理解，培养数学思维的严谨性；八、自主小结，深化提高： 请同学们谈谈本节课的体会和收获，各抒己见，不拘泥于形式，教师对学生的回答给予帮助，让语言表达更准确。 设计意图：学生归纳本节课学习的主要内容，让学生自觉对所学知识进行梳理，形成体系，养成良好的学习习惯。九、分层作业，发展个性：作业设计：（必做题）1．阅读教材并完成P90 习题21．1： 1、2．2．写好数学日记。（备选题）1.已知函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数)， 当a＿＿＿时是二次函数； 当a＿＿＿，b＿＿＿时是一次函数； 当a＿＿，b＿＿，c＿＿时是正比例函数。 2.画出最简单的二次函数y＝x2的图象。 预习作业：1．看书P80 设计意图：把作业分为必做题和选做题两种。必做题较基础，可以发现和弥补课堂学习的遗漏和不足；备选题则仅供学有余力的学生选用。 十、教学反思： 数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上。二次函数第一课时，教材中安排的内容不多，但学生对函数的知识已经生疏，接受起来不会很顺利。由此，我的设计是从温故知新开始，通过温故知新，引出课题、创设情境、探究新知、例题学习、内化新知、练习反馈、巩固新知等几个数学活动，引导学生用类比的思想，用已有的知识经验归纳总结出新知、内化新知、巩固应用新知的。活动中也注意了学生的知识与实际问题的联系
，使学生充分体会数学源于生活又服务于生活。读书时，我愿在每一个美好思想的面前停留，就像在每一条真理面前停留一样。——爱默生
五 : 《一次比一次有进步》教学设计
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