一 : 54一次函数的图象信息类问题

一次函数的图象信息类问题

人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级上册第十四章复习

一、教材分析

1、教材的地位和作用

函数、方程和不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。一次函数的图象信息类问题问题的特点是取材广泛，蕴含的信息丰富，信息主要由函数图象提供。纵观近年来全国各省市的中考试题，不难发现，函数应用题的数量逐年增加，是中考的重点考察内容。这类考题摆脱了以往传统的模式，构思新颖、贴近实际生活，不但富有时代气息，而且考查和增强了学生应用数学的能力和意识。

本节课是学生学习完一次函数、一元一次方程及一元一次不等式、一次函数和二元一次方程（组）关系的的联系后的一节复习课，学生在探索过程中体验数形结合的思想方法和数学模型的应用价值，这对今后的学习有着十分重要的意义

2、教学重难点

重点：一次函数的图象问题中学会“识图”和“用图”

难点：1.通过函数图象来解决实际问题.2.用函数的观点研究方程.

3、教学目标

知识技能：

1、进一步训练学生的识图能力

2、能利用一次函数的图象解决简单的实际问题，结合图象对实际问题中的数量关系进行分析。

3、初步体会方程与函数的关系。

能力目标：

1、通过函数图象获取信息，进一步培养学生的数形结合意识。

2、通过函数图象解决实际问题，进一步发展学生的数学应用能力。

3、通过方程与函数关系的研究，建立良好的知识联系。

数学思考：经历一次函数及相关实际问题的解决过程，学会用函数的观点去认识问题。 解决问题：能综合应用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）解决相关实际问题.

情感态度：让学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，从而培养学生学习数学的兴趣，使他们能积极参与数学活动，能较好地解决实际问题。在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，体验数学的价值，建立自信心.

二、教法说明

对于认知主体——学生来说，他们已经具备了初步探究问题的能力，但是对知识的主动迁移能力较弱，为使学生更好地构建新的认知结构，促进学生的发展，我将在教学中采用探究式教学法。以学生为中心，使其在“生动活泼、民主开放、主动探索”的氛围中愉快地学习。 1

学生情况分析：我所任教的班级学生是在学校初二年级实施分层教学的基础薄弱层次的学生，所以对他们的教学要低起点，授课方式力求通俗易懂.教学中教师精心设计题组，循序渐进，由浅入深，由简到繁，力求做到“有讲有练，精讲多练，边讲边练，以练为主的”原则，让学生体会做一题，学一法，会一类，通一片的成功快感.

三、教学过程

（一）创设情境

一次函数的图象信息类问题解决方法

①看图象坐标系上所表示的数字的意义，两条坐标轴代表的意义.

②看图象的发展趋势.

③看关键点（如起点、终点、折线中的折点）

已知两人分别骑自行车和摩托车沿着相同的路线从甲地到乙地，如图反映了两人行驶过程中，路程S（千米）随时间t（时）的变化关系.

图象中反映的是哪两个变量的关系？横轴表示的是什么？纵轴表示的是什么？你能从图象中获取哪些信息？

[设计意图]这是一道开放式试题，通过学生分组探索看图阅读图中蕴含的信息，自主归纳看到的信息，达到的目的是学生能够从x轴、y轴坐标看出两车走的路程、时间，并能够计算出速度，会描述两车的状态. 例如解决甲地与乙地相距多少千米？两人分别用了多长时间才到达乙地？谁先到达乙地？先到多长时间？分别描述在这个过程中，自行车和摩托车的行驶状态.求摩托车行驶的平均速度等，能够初步理解交点表示的意义.本题初步使学生能懂得分析图象，重点考查学生从图象中获取信息的能力及有条理地进行语言表达的能力，进一步提高学生的分析能力、归纳能力与数形结合能力.

老师把题目打印出来，发给每个同学。先鼓励同学们自己看图，记录自己看到的信息，再小组交流，相互补充。然后小组汇报，老师板书要点，具体汇报，可以先由一个小组把他们的发现，全部罗列出来，其他小组主要就说与已经存在的不同的其它发现。老师引导，把同学们的发现，进行归纳，形成一定的结论。如果学生没有发现的而又很重要的问题，教师在学生问

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题没有说全面的情况下补充问题，进行提问引导，从而形成关于这道题较为完整的识图信息。 老师总结，识图中的关键点，与本节课开始部分内容相应，同时了解是否还有同学不懂，如果不懂，可以再花几分钟，让同学们在组内解决，即同学们之间相互帮教。

教师总结：

①水平线表示因变量不随自变量取值的增加而发生变化.为例题的画图做铺垫。

②上升线越平缓表示随自变量的增加因变量的取值增加的越慢；上升线越陡表示随自变量的增加因变量的取值增加的越快，并且学会理解分段函数.

③起点不同（x轴）表示出发时间不同.（y轴）表示出发路程不同.终点不同表示到达时间不同. ④交点反映两车相遇.交点的横坐标为相遇时间，纵坐标为相遇时的路程.交点即为两条直线所对应的二元一次方程组的解。

归纳总结知识，进一步提高学生的分析能力、归纳能力与数形结合能力.

（三）享受探究乐趣

例题：小张骑车往返于甲、乙两地，小张从甲地出发，开始1小时是20千米/小时匀速前进，然后在路上停了1小时，后面以又以20千米/小时匀速骑了2小时达到乙地。达到乙地之后，又以30千米/小时返回。

(1)根据描述画出小张的行程图象.

y 60 50

4030 20 10

（2）小李与小张同时从甲地出发，按相同路线匀速前往乙地，到乙地停止，途中小李与小张共．．

相遇3次．请在图中

画出小李的行程的大致图象． y 60

50 40 30

2010

（3）小王与小张同时出发，按相同路线前往乙地，距甲地的路程y（千米）与时间x（小时） 3

的函数关系式为y?12x?10．请在图中画出小王距甲地的路程y（千米）与时间x（小时）的．．

函数的大致图象．小王与小张在途中共相遇几次？请你计算第一次相遇的时间．

y 60

50

40 30 20

10

[设计意图] 本题选自长春市中考试题，让学生运用所学知识解决问题，提高解决问题的能力，本题以图象为载体，深入考察一次函数的意义和性质，题目素材贴近学生实际，问题设置层层递进，有利于学生展示“读图—作图—计算”这一循序渐进的思维过程。本题对学生感性和理性的思考都提出了较好的要求，对学生的学习方式的转变具有正确的导向作用。

本题作为巩固提高试题,学生通过自己画图求解及解方程提高了学生的综合能力与分析能力。师生交流，总结解题经验方法。

练习：（08大连中考）某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟．图1表示快递车距离A地的路程y(单位：千米)与所用时间x(单位：时)的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用

2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，

结果比快递车最后一次返回A地晚1小时．

⑴请在图1中画出货车距离A地的路程y(千

米)与所用时间x(时)的函数图象；

⑵求两车在途中相遇的次数(直接写出答

案)；

⑶求两车最后一次相遇时，距离A地的路程

和货车从A地出发了几小时？

分析：（1）观察图1，发现快递车8个小时

在A、B两地之间往返2次，且单程行驶时间是2小时，

要画出货车距离A地的路程y(千米)与所用时间x(时)的函

数图象，根据题意可知货车总共花费时间为10小时，去

掉装卸货物2小时，实际行驶了8小时，说明从A到B

地行驶了4小时，返回时也用了4小时，又早出发1小时，

返回时比快递车最后一次返回A地晚1小时．又图象是一

条线段，故可画出图象为图2的实线部分.

（2）观察快递车与货车行驶所反映出图象可以发现共有4

个交点，因此可以判断两车在途中相 4

( 时)

遇的4次.

（3）如图2，设直线EF的解析式为y?k1x?b1，∵图象过（9，0），（5，200），

?200?5k1?b1?k1??50∴? ∴?∴y=―50x+450??① 0?9k?bb?450.11??1

设直线CD的解析式为y?k2x?b2，图象过（8，0），（6，200），

?200?6k2?b2，?k2??100∴? ∴?∴y??100x?800.??② 0?8k?b.b?800.22??2

?y??50x?450?x?7解由①、②组成的方程组?得? y??100x?800y?100.??

所以最后一次相遇时距离A地的路程为100km，货车从A地出发8小时．

[设计意图] 本题选自08年大连中考试题题目给出实际背景，本题设置的目的是使学生会解这种类型的函数综合试题。

教法：对本题第一问教师首先带领学生初步分析题意，教师引导学生对一次函数的图象进行耐心细致的观察，使学生充分意识到细致的观察、审清题意是应用一次函数图象解决问题的基础和关键，然后让学生自主探究、合作交流独立完成画图过程，之后教师对学生出现的画图问题进行总结，教学中教师采用一连串的问题引导学生画出图象，如：货车提前1小时出发怎么在图中表示？起点怎么体现？晚到1小时怎么在图中表示？终点怎么体现？休息2小时怎么在图中表示？相遇次数在图上怎么体现？

学法：学生独立思考、小组交流、学会分析问题和解决问题，培养学生的数学应用能力，通过范例使学生亲身体会到明确函数图象中起点、终点、折点是解决图象的关键。教师引导学生总结利用两个一次函数的图象交点就代表两车相向（同向）行驶时的相遇情况，交点的个数来反映行程问题中相遇的次数，充分体现了数形结合的数学思想.用待定系数法求函数解析式要借助于方程与方程组才能完成.并发现一次函数二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系，同时教师及时对学生进行鼓励，充分肯定学生的探究成果，关注学生的情感体验。

第三问由学生动手做，教师巡视，请学生汇报，给予讲评。

这样来学习能够使学生体会如何画图，学会怎么解决问题。应该做到90%的同学明白如何来解决这类问题。让学生独立思考，给出解决问题的方法后，分享其他同学方法，比较后引出通过获取函数图象信息，解决实际问题即简单的“数形结合”思想。

此时教师留给学生充分探索交流的时间与空间，对学生可能出现的疑问给予帮助，师生共同归纳出：从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。根据课堂时间完成1、2问.第三问讲解思路.

（五）分享你我收获

在课堂临近尾声时，向学生提出：通过今天的学习，你有什么收获？你印象最深的是什么？ 5

54一次函数的图象信息类问题_一次函数图像

以“一次函数图象”为载体的实际问题常常将题目条件隐含于函数图象之中，处理这类问题首先应解决看图获取信息的问题，即要仔细观察分析图象所隐含的信息，不仅要弄清2个坐标轴所表示的是什么变量（包括单位），还要抓住图象中提供的关键点（如起点、终点、折线中的折点）所反映的信息，并对所得到的信息进行提取、加工，从而建立起一次函数的解析式，并结合用文字语言给出的解释，进而进行定性分析与定量计算或获得问题的答案. 一次函数的图象信息类问题解决方法

①看图象坐标系上所表示的数字的意义，两条坐标轴代表的意义. ②看图象的发展趋势.

③看关键点（如起点、终点、折线中的折点、交点） ④提取加工信息，建立一次函数解析式. ⑤做答.

重要数学思想方法：数形结合思想、方程思想、建模思想.

（五）体验成功喜悦

作业：自编试题：.观察图中所示的函数图象，并根据你所获得的信息回答下列问题：请你编写一道符合函数意义的应用题.

[设计意图]抓住学生对竞争充满兴趣的心理特征，用布置的自编试题使学生的眼、耳、脑、口得到充分的调动，并在同学们的交流中品味成功的快乐，提高思维的速度.进一步培养学生应用数学的意识，更好地促进学生对本节课难点的理解和应用，帮助学生不断完善新的认知结构。

培养学生归纳和语言表达能力，鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价。

四、教学设计反思

1、贯穿一个原则——以学生为主体的原则2、突出一个思想——数形结合的思想 3、体现一个价值——数学建模的价值4、渗透一个意识——应用数学的意识

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归纳方法

1. 2.

注：我选的是一次函数的复习课（图象信息类问题）我自己打算以问题和图像为载体进一步教会学生识图和用图.本节专题课的创意来自学生，主要是为了解决学生的困难而上的，因为事先在学生中作过有关一次函数学习情况的调查，学生主要反映有两点：一、害怕函数应用题；二、不会看图象。于是，我定出了“一次函数的图象信息类问题”这一专题。本节课在第十四章一次函数以后做了一节专题复习课，我所任教的班级学生是在学校初二年级实施分层教学的基础薄弱层次的学生，所以对他们的教学要低起点，授课方式力求通俗易懂.教学中教师精心设计题组，循序渐进，由浅入深，由简到繁，力求做到“有讲有练，精讲多练，边讲边练，以练为主的”原则，让学生体会做一题，学一法，会一类，通一片的成功快感.

图象信息类问题问题的特点是取材广泛，蕴含的信息丰富，信息主要由函数图象提供。教学中使学生掌握解决这类问题的关键是“识图”和“用图”①要看懂题目中的函数图象，包括图象坐标系上所表示的数字的意义，两条坐标轴代表的意义，以及图象的发展趋势、起止点；②对已获得的信息进行加工、整理，分清变量之间的关系；③选择适当的方法建立数学模型加以解决；④按照题意作答.

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二 : 一次函数的图象

〖教学目标〗◆1、使学生掌握一次函数的性质．◆2、通过画一次函数，探究一次函数的性质，体验学习的乐趣．◆3、培养学生的观察、比较、归纳能力．〖教学重点与难点〗◆教学重点：一次函数的性质．◆教学难点：例2的问题情境及函数的图象和性质等多方面知识的应用．〖设计理念〗◆从画一次函数图象着手，理解一次函数的性质：函数y=kx+b(k≠0),当k>0时，函数值随自变量的增加而增大；当k<0时，函数值随自变量的增加而减小。并运用这一性质判别函数的增减变化．〖教学过程〗（一）   回顾1.       画函数图象的一般步骤有哪些？2.       请你快速画出函数y=2x+3的图象。（二）   探究1.       从你画的函数图象中能否看出，对于一次函数y=2x+3,当自变量的取值由小变大时，对应的函数值怎样变化？2.       画出函数y=-2x+3的图象。演示动画，帮助学有困难的学生巩固画函数图象知识。刚才画的函数图象上，你能不能看出，当自变量x由小变大时，对应的函数值怎样变化？3.       猜猜看：一次函数y=kx+b(k≠0)中，k的取值与函数变化有什么关系？（三）   归纳：一次函数的性质：一次函数y=kx+b(k≠0),当k>0时，函数值随自变量的增加而增大；当k<0时，函数值随自变量的增加而减小。学生做一做，巩固一次函数的性质。（四）例题分析：例2  我国某地区现有人工造林面积12万顷，规划今后XX年新增造林61000—6XX公顷。请估算6年后该地区的造林总面积达到多少公顷？分析：1、有造林面积和时间得到什么？（用怎样的函数解析式来表示）2、6年后的造林总面积应该怎样算？例3 要从甲、乙两仓库向a，b两工地运送水泥。已知甲仓库可运出100吨水泥，乙仓库可运出80吨水泥；a工地需70吨水泥，b工地需110吨水泥。两仓库到a，b两工地的路程和每吨每千米的运费如下：路程（千米）运费（元/吨.千米）甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库a地20151．21．2b地252010．8（1）设甲仓库运往a地水泥x吨，求总运费y关于x的函数解析式，并画出图象；（2）当甲、乙两仓库各运往a，b两工地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？1、库运出的水泥吨数和运费列表分析。2、利用图象法求出最小值。（五）  练习：p172　学生练一练（六）小结：学生归纳本堂学到的知识（七）     作业：p172作业题（八）     拓展：课后学生探索函数y=kx+b(k≠0)中b 的变化对函数图象影响。

三 : 一次函数的图像怎么看

一次函数的图像怎么看

一次函数的图像怎么看的参考答案

y=kx+b 的函数他是在平面内满足这个等式的所有点的集合.每个点做x y轴的平行线 与坐标轴的交点的值就是对应的 xy的解.

（1）在一次函数图像上的任取一点P（x,y）,则都满足等式：y=kx+b(k≠0).

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0,b),与x轴总交于（-b/k,0）.正比例函数的图像都经过原点.

k,b决定函数图像的位置：

y=kx时,y与x成正比例：

当k>0时,直线必通过第一、三象限,y随x的增大而增大；

当k0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；

当 k>0,b

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