一 : 向量的运算法则
（1）实数与向量的运算法则：设?、?为实数，则有：
1）结合律：?(?a)?(??)a。［www.61k.com)
2）分配律：(???)??a??a，?(a?b)??a??b。
（2）向量的数量积运算法则：
1）a?b?b?a。
2）(?a)?b??(a?b)??a?b?a(?b)。
3）(a?b)?c?a?c?b?c。
（3）平面向量的基本定理。
e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a，有且仅有一对实数?1,?2，满足a??1e1??2e2。
（4）a与b的数量积的计算公式及几何意义：a?b?|a||b|cos?，数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos?的乘积。
（5）平面向量的运算法则。
1）设a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，则a+b＝(x1?x2,y1?y2)。
2）设a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，则a-b＝(x1?x2,y1?y2)。
????????????3）设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1)。
4）设a＝(x,y),??R，则?a＝(?x,?y)。
5）设a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，则a?b＝(x1x2?y1y2)。
（6）两向量的夹角公式：
cos??（a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)）。
（7）平面两点间的距离公式：
????
。 d
A,B＝|AB|（A(x1,y1)，B(x2,y2)）
（8）向量的平行与垂直：设a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，且b?0，则有： 1）a||b?b＝?a?x1y2?x2y1?0。
2）a?b （a?0）? a·b＝0?x1x2?y1y2?0。
（9）线段的定比分公式：
?????????P(x,y)(x,y)P(x,y)PP设P，，是线段的分点，是实数，且PP??PP2，则 111222121
向量运算 向量的运算法则
?x?????y???x1??x2??????????????????????????OP??OP211??）。［www.61k.com) ?(1?t)OP?OP?1?OP?tOP12（t?1??y1??y21??
1??
（10）三角形的重心公式：
△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则△ABC的重心的坐标为G(x1?x2?x3y1?y2?y3,)。 33
（11）平移公式：
?????????????'?x'?x?h?x?x'?h??'?OP?OP?PP 。 ???''y?y?ky?y?k????
（12）关于向量平移的结论。
1）点P(x,y)按向量a＝(h,k)平移后得到点P'(x?h,y?k)。
2）函数y?f(x)的图像C按向量a＝(h,k)平移后得到图像C':y?f(x?h)?k。
3）图像C'按向量a＝(h,k)平移后得到图像C:y?f(x)，则C'为y?f(x?h)?k。
4）曲线C:f(x,y)?0按向量a＝(h,k)平移后得到图像C':f(x?h,y?k)?0。
向量运算 向量的运算法则
设a=（x，y），b=(x'，y')。（www.61k.com]
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量的加法
OB+OA=OC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。[1]
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被
向量的减法
减”
a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').
如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。
向量运算 向量的运算法则
3、向量的数乘
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。［www.61k.com] 当λ>0时，λa与a同方向
当λ<0时，λa与a反方向；
向量的数乘
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当λ>1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的∣λ∣倍
当λ<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或××反方向（λ<0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。[2]
4、向量的数量积
定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
向量运算 向量的运算法则
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·b。[www.61k.com]若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉（依定义有：cos〈a，b〉=a·b / |a|·|b|）；若a、b共线，则a·b=±∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。
向量的数量积的运算律
a·b=b·a（交换律）
(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)
（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。
2．向量的数量积不满足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。
3．|a·b|与|a|·|b|不等价
4．由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
5、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积
向量的几何表示
（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则a×b=0。
向量运算 向量的运算法则
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。［www.61k.com］
a×a=0。
a垂直b〈=〉a×b=0
向量的向量积运算律
a×b=-b×a
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）
a×（b+c）=a×b+a×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
6、三向量的混合积
定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，
向量的混合积
所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即
(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c
混合积具有下列性质：
1．三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）
2．上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0
3．(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)
4．(a×b)·c=a·(b×c)
向量运算 向量的运算法则
7.例题
正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连，L是EH中点，求证LB⊥GK？
设AE=a﹙向量﹚, AG=a', AD=c, AB=c', CH=b,CK=b'有 aa'=bb'=cc'=0, a2=a'2, b2=b'2 ,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac', bc=b'c'. b'c=-bc'﹙*﹚FH=-a+c+c'+b LB=FH/2-b-c=﹙-a-c+c'-b﹚/2, GK=-a'+c'+c+b'从﹙*﹚：﹙-a-c+c'-b﹚·﹙-a'+c'+c+b'﹚=??=0. ∴LB⊥GK
8、三向量二重向量积
由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程：
二重向量叉乘化简公式及证明
二 : 向量是谁发明的?现在数学上向量及其运算,是哪位数学家发明的呢?好
向量是谁发明的?
现在上向量及其运算,是哪位数学家发明的呢?好象很少听人说过.
这个东西是如何发展起来的?
规定了方向和大小的量称为向量．向量又叫为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．
向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型．
从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．
向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学．
但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析．
三 : 向量的运算
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