一 : 高等代数 北京大学第三版 北京大学精品课程85
第一学期第一次课
第一章 代数学的经典课题
§1 若干准备知识
1.1.1 代数系统的概念
一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义
定义（数域） 设K是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且K对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K内任意两个数a、b（a可以等于b），必有
a?b?K，ab?K，且当b?0时，a/b?K，则称K为一个数域。
例1.1 典型的数域举例： 复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q (i) = {a?bi |a,b∈Q}，其中i =?1。
命题 任意数域K都包括有理数域Q。
证明 设K为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素a?K，且a?0。于是
0?a?a?K，
1?
aa
?K。
进而?m?Z?0,
m?1?1????1?K。
最后，?m,n?Z?0，
mn
?K，?
mn
?0?
mn
?K。这就证明了Q?K。证毕。
1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念
定义(集合的交、并、差) 设S是集合，A与B的公共元素所组成的集合成为A与B的交集，记作A?B；把A和B中的元素合并在一起组成的集合成为A与B的并集，记做A?B；从集合A中去掉属于B的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A与B的差集，记做A\B。
定义（集合的映射） 设A、B为集合。如果存在法则f，使得A中任意元素a在法则f下对应B中唯一确定的元素（记做f(a)），则称f是A到B的一个映射，记为
f:A?B,a?f(a).
如果f(a)?b?B，则b称为a在f下的像，a称为b在f下的原像。A的所有元素在f下的像构成的B的子集称为A在f下的像，记做f(A)，即f(A)??f(a)|a?A?。
若?a?a'?A,都有f(a)?f(a'), 则称f为单射。若 ?b?B,都存在a?A，使得f(a)?b，则称f为满射。如果f既是单射又是满射，则称f为双射，或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号
1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。
设给定某个数域K上n个数a1,a2,?,an，我们使用如下记号：
n
a1?a2???an?
n
?a
i?1i
i
,
a1a2?an?
?a
i?1
.
当然也可以写成
a1?a2?......?an?
?a
1?i?ni
i
,
a1a2......an?
?a
1?i?n
.
2. 求和号的性质. 容易证明，
n
n
??ai?
i?1
n
??a
i?1n
i
n
?(a
i?1
i
?bi)?
m
ij
?a
i?1
i
?
?b
i?1
i
nmn
ij
??a
i?1
j?1
?
??a
j?1i?1
事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：
a11a21......an1
an2a12a22
........................
a1ma2m......anm
分别先按行和列求和，再求总和即可。 第一学期第二次课
§2一元高次代数方程的基础知识
1.2.1高等代数基本定理及其等价命题
1. 高等代数基本定理
设K为数域。以K[x]表示系数在K上的以x为变元的一元多项式的全体。如果
f(x)?a0x
n
?a1x
n?1
?......?an?K[x],(a0?0)，则称n为f(x)的次数，记为degf(x)。
定理（高等代数基本定理） C[x]的任一元素在C中必有零点。
nn?1
?......?an,(a0?0，n?1)是C上一个n次多项式，a是一个复数。则存在C命题 设f(x)?a0x?a1x
上首项系数为a0的n?1次多项式q(x)，使得
f(x)?q(x)(x?a)?f(a)
证明 对n作数学归纳法。
推论 x0为f(x)的零点，当且仅当(x?x0)为f(x)的因式（其中degf(x)?1）。
命题（高等代数基本定理的等价命题） 设f(x)?a0xn?a1xn?1?......?an (a0?0，n?1)为C上的n次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在n个复数a1,a2,......,an，使
f(x)?a0(x??1)(x??2)......(x??n)
证明 利用高等代数基本定理和命题1.3，对n作数学归纳法。 2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设K是一个数域，x是一个未知量，则等式
a0xn?a1xn?1?....?..an?1x?an?0 （1）
（其中a0,a1,......,an?K,a0?0）称为数域K上的一个n次代数方程；如果以x???K带入（1）式后使它变成等式，则称?为方程（1）在K中的一个根。
定理（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域K上的n(?1)次代数方程在复数域C内必有一个根。 命题 n次代数方程在复数域C内有且恰有n个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式
f(x)?a0?a1x?......?anxg(x)?b0?b1x?......?bmx
n
(an?0)， (bm?0)，
m
如果存在整整数l,l?m,l?n,及l?1个不同的复数?1,?2,......,?l,?l?1，使得
f(?i)?g(?i)
(i?1,2,......,l?1)，
则f(x)?g(x)。
1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性
nn?1
设f(x)?a0x?a1x???an，其中ai?K,a0?0。设f(x)?0的复根为?1,?2,?,?n（可能有重复），则
1a0
n
f(x)?
?(x??
i?1n
i
)?(x??1)(x??2)?(x??n)
n?1
?x?(?1??2????n)x????1?2??n.
所以
a1a0
?(?1)(?1??2????n)；
1
a2a0
?(?1)
2
??
0?i1?i2?n
i1
?i；
2
???????? ana0
?(?1)?1?2??n.
n
我们记
?0(?1,?2,?,?n)?1；
?1(?1,?2,?,?n)??1??2????n；
????????
?r(?1,?2,?,?n)?
i1i2
0?i1?i2???ir?n
??
???i；
r
????????
?n(?1,?2,?,?n)??1?2??n
（?1,?2,?,?n称为?1,?2,?,?n的初等对称多项式）。于是有
定理2.5 (韦达定理) 设f(x)?a0xn?a1xn?1???an，其中ai?K,a0?0。设f(x)?0的复根为?1,?2,?,?n。则
a1a0a2a0
?(?1)?1(?1,?2,?,?n)；
1
?(?1)?2(?1,?2,?,?n)；
2
???????? ana0
?(?1)?n(?1,?2,?,?n).
n
命题 给定R上n次方程
nn?1
?....?..an?1x?an?0， a0?0， a0x?a1x
如果??a?bi是方程的一个根，则共轭复数?a?bi也是方程的根。
证明 由已知，
a0??a1?
n
n?1
?......?an?1??an?0.
两边取复共轭，又由于a0,a1,......,an?R，所以
a0n
?a1n?1
?......?an?1?an?0.
推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。
证明 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在C内有奇数个根，故其中必有一根为实数。 第一学期第三次课
§3线性方程组
1.3.1数域K上的线性方程组的初等变换
举例说明解线性方程组的Gauss消元法。
定义（线性方程组的初等变换） 数域K上的线性方程组的如下三种变换 （1） 互换两个方程的位置；
（2） 把某一个方程两边同乘数域K内一个非零元素c； （3） 把某一个方程加上另一个方程的k倍，这里k?K 的每一种都称为线性方程组的初等变换。
容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。 命题 线性方程组经过初等变换后与原方程组同解 证明 设线性方程组为
x2?2??anxn1?b,1?a11x1?a1
?
x2?2??anxn2?b,2?a12x1?a2
? （*）
?......
?ax?ax???ax?b.
m22mnnn?m11
经过初等变换后得到的线性方程组为（**），只需证明（*）的解是（**）的解，同时（**）的解也是（*）的解即可。
设x1?k1,x2?k2,......,xn?kn是（*）的解，即（*）中用xi?ki(i?1,2,......n)代入后成为等式。对其进行初等变换，可以得到x1?k1,x2?k2,......,xn?kn代入（**）后也成为等式，即x1?k1,x2?k2,......,xn?kn是（**）的解。反之，（**）的解也是（*）的解。 证毕。
1.3.2线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以及矩阵的初等变换
定义（数域K上的矩阵） 给定数域K中的mn个元素aij（i?1,?,m，j?1,?,n）。把它们按一定次序排成一个m行n列的长方形表格
?a11
?a21
A??
?......???am1
a12a22am2
........................
a1n?
?a2n
?. ......?
?amn??
称为数域K上的 一个m行n列矩阵，简称为m?n矩阵。
定义（线性方程组的系数矩阵和增广矩阵） 线性方程组中的未知量的系数排成的矩阵A称为方程组的系数矩阵；如果把方程组的常数项添到A内作为最后一列，得到的m?(n?1)矩阵
?a11
?a21
A??
?......???am1
a12a22am2
........................
a1nb1?
?a2nb2
?. ......?
?amnbn??
称为方程组的增广矩阵。
定义(矩阵的初等变换) 对数域K上的矩阵的行（列）所作的如下变换 （1） 互换两行（列）的位置；
（2） 把某一行（列）乘以K内一个非零常数c；
（3） 把某一行（列）加上另一行（列）的k倍，这里k?K 称为矩阵的行（列）初等变换。
定义（齐次线性方程组） 数域K上常数项都为零的线性方程组称为数域K上的齐次线性方程组。 这类方程组的一般形式是
高等代数 北京大学第三版 北京大学精品课程85_高等代数第三版
?a11x1?a12x2???a1nxn?0,?
?a12x1?a22x2???a2nxn?0,
?
?......
?ax?ax???ax?0.
m22mnn?m11
命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解； 证明 对变元个数作归纳。
说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上，
在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果所给的是数域K上的线性方程组，那么做初等变换后仍为K上的线性方程组，所求出的解也都是数域K中的元素。因此，对K上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域K中进行。 第一学期第四次课
第二章 向量空间与矩阵
第一节 m维向量空间
2.1.1 向量和m维向量空间的定义及性质
定义（向量）设K是一个数域。K中m个数a1,a2,......,am所组成的一个m元有序数组称为一个m维向量；
?a1
?a2
???
?...??am
??
? （??K,i?1,2,......,m）
i
???
称为一个m维列向量；而
?'?(a1',a2',......,am')
称为一个m 维行向量。
我们用K定义（K
m
记集合{(a1',a2',......,am')|ai?K,i?1,2,......,m}。 中的加法和数量乘法） 在K
m
m
中定义加法如下：两个向量相加即相同位置处的数相加，即 ?a1?a?2?...??am
??b1??a1?b1????
ba?b2
???2???2??...??...????
??bm??am?bm
???. ???
在K
m
定义数量乘法为用K中的数去乘向量的各个位置，即对于某个k?K，
?a1??ka1?????a2ka2
? k????
?...??...?????aka?m??m?
定义（m维向量空间） 集合K
m
和上面定义的加法、数乘运算组成的代数系统称为数域K上的m维向量空间。
命题（向量空间的性质） 向量空间中的元素关于加法和数乘运算满足如下性质（其中K表示数域，?,?,?表
示K
m
中的向量）：
（1） 加法结合律：(???)?????(???)； （2） 加法结合律：???????
（3） 向量（0,0,……,0）（记为0）具有性质：对于任意?，有0?????0； （4） ???(a1,a2,?,am)，令???(?a1,?a2,?,?am)，称其为?
的负向量，它满足
??(??)?(??)???0；
（5） 对于数1，有1???
（6） 对K内任意数k, l，有(kl)??k(l?)； （7） 对K内任意数k, l，有(k?l)??k??l?； （8） 对K内任意数k，有 k(???)?k??k?。 2.1.2 线性组合和线性表出的定义
定义（线性组合） 设 ?1,?2,?,?s?K?1,?2,?,?s的一个线性组合。
m
，k1,k2,?,ks?K，则称向量k1?1?k2?2?......ks?s为向量组
定义（线性表示） 设?1,?2,?,?s，??K
m
。如果存在k1,k2,?,ks?K，使得
??k1?1?k2?2?......?ks?s，
则称?可被向量组?1,?2,......,?s线性表示。
2.1.3 向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述
定义（线性相关与线性无关） 设?1,?2,?,?s?K
m
。如果存在不全为零的k1,k2,?,ks?K，使得
k1?1?k2?2?......?ks?s?0，
则称?1,?2,?,?s线性相关，否则称为线性无关。
注意：根据这个定义，?1,?2,?,?s线性无关可以表述如下：若k1,k2,?,ks?K，使得
k1?1?k2?2?...?..k.s?s?0，则必有k1?k2???ks?0。
如果
?a11?
??a21
?,?1??
?????a?m1?
?a12?
??a22
?,???????a?m2?
?a1n
?a2n??1?????amn
???， ???
?2
?,
显然?1,?2,?,?s线性相关当且仅当齐次线性方程组
?a11x1?a12x2?......?a1nxn?0,?
?a21x1?a22x2?......?a2nxn?0,
?
......?
?ax?ax?......?ax?0.
m22mnn?m11
有非零解，?1,?2,?,?s线性无关当且仅当此齐次线性方程组只有零解。
m
命题 设?1,?2,?,?n?K，则下述两条等价：
1）?1,?2,?,?n线性相关； 2）某个?i可被其余向量线性表示。
证明 1）?2）. 由于?1,?2,?,?n线性相关，故存在不全为零的n个数k1,k2,?kn?K，使得
k1?1?k2?2?......?kn?n?0。
不妨设某个ki?0。于是，由向量空间的性质有
?i?(?k1/ki)?1?(?k2/ki)?2???(?ki?1/ki)?i?1?(?ki?1/ki)?i?1???(?kn/ki)?n
2）?1）. 如果某个?i可被其余向量线性表示，即存在k1,?ki?1,ki?1,?,kn?K，使得
?i?k1?1?k2?2???ki?1?i?1?ki?1?i?1???kn?n.
由向量空间的性质有
k1?1?k2?2???ki?1?i?1?(?1)?i?ki?1?i?1???kn?n?0.
于是?1,?2,??n线性相关。证毕。
推论 设?1,?2,?,?n?Km，则下述两条等价： 1）?1,?2,??n线性无关；
2）任一?i不能被其余向量线性表示。 第一学期第五次课
2.1.4 向量组的线性等价和集合上的等价关系
定义（线性等价） 给定K
m
内的两个向量组
?1,?2,?,?r， （*） ?1,?2,?,?s， （**）
如果向量组（**）中每一个向量都能被向量组（*）线性表示，反过来向量组（*）中的每个向量也都能被向量组（**）线性表示，则称向量组（*）和向量组（**）线性等价。
定义（集合上的等价关系） 给定一个集合S，S上的一个二元关系“~”称为一个等价关系，如果“~”满足以下三条：
（1） 反身性：?a?S,（2） 对称性：?a,b?S,
a~a；
如果a~b，则b~a；
（3） 传递性：若a~b，b~c，则a~c。 与a等价的元素的全体成为a所在的等价类。
命题 若a与b在不同的等价类，则它们所在的等价类的交集是空集。进而一个定义了等价关系的集合可以表示为所有等价类的无交并。
证明 记a所在的等价类为Sa，b的等价类为Sb。若它们的交集非空，则存在c?Sa?Sb，于是有
c~a，c~b。由等价关系定义中的对称性和传递性即知a~b，与a和b在不同的等价类矛盾。这就证明了a和b
所在的等价类交集是空集。而集合包含所有等价类的并集，又集合中的任一个元素都属于一个等价类，于是集合是等价类的并集。
综上可知，命题成立。证毕。
命题 给定K
m
内两个向量组
?1,?2,?,?r， （1） ?1,?2,?,?s， （2）
且（2）中每一个向量都能被向量组（1）线性表示。如果向量?能被向量组（2）线性表示，则?也可以被向量组（1）线性表示。
证明 若向量组（2）中的每一个向量都可以被向量组（1）线性表示，则存在kij?K (1?i?r,1?j?s)，使得
r
?j?
?k
i?1
ij
? i (j?1,2,?,s) . （i）
由于?能被向量组（2）线性表示，故存在lj?K (1?j?s)，使得
s
??
将（i）代入，得
s
r
ij
r
?l
j?1
j
?j.
s
ij
rs
ij
??
即?可被?1,?2,?,?r线性表示。
由此易推知 命题 线性等价是K
m
??k
j?1i?1
?i?
??k
i?1
j?1
?i?
?(?k
i?1
j?1
)?i，
的向量组集合上的等价关系。
2.1.5向量组的极大线性无关部分组和向量组的秩
定义（ 向量组的极大线性无关组） 设?1,?2,?,?s为K为原向量组的一个极大线性无关组，若
（1） ?i1,?i2,?,?ir线性无关；
（2） ?1,?2,?,?s中的每一个向量都可被?i1,?i2,?,?ir线性表出。 容易看出向量组?1,?2,?,?s和?i1,?i2,?,?ir线性等价。 引理 给定K
m
m
中的一个向量组，它的一部分组?i1,?i2,?,?ir称
上的向量组?1,?2,?,?s和?1,?2,?,?r，如果?1,?2,?,?s可被?1,?2,?,?r线性表出，
且s?r，则向量组?1,?2,?,?s线性相关。
证明 由于?1,?2,?,?s可被?1,?2,?,?r线性表出，故存在kij?K，使得
?k????kr?r1,??1?k1?11122
?
?k????kr?r2,??2?k2?11222
? （*）
?????????????
???k??k????k?.
s11s22srr?s
设
???xs?s?0. （**） x1?1?x?22
将（*）代入（**），得
s
s
s
(?ki1xi)?1?(?ki2xi)?2???(?kirxi)?r?0.
i?1
i?1
i?1
设各系数均为零，得到
s
s
i1
s
i2
?k
i?1
xi?
?k
i?1
xi???
?k
i?1
ir
xr?0， （***）
（***）是一个含有r个未知量和s个方程的其次线性方程组，而s?r，故方程组（***）有非零解，于是存在不全为零的x1,x2,?,xr?K，使得（**）成立。由线性相关的定义即知向量组?1,?2,?,?s线性相关。
定理 线性等价的向量组中的极大线性无关组所含的向量个数相等。
证明 设?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?mKm中的线性等价的向量组。设向量组?i,?i2,?,?ir和?j,?
1
1
j2
,?,?
js
分别是原向量组的极大线性无关部分组，则由线性无关部分组的定义和线性等价的传递性知此二极大线性无关部分组线性等价。由于?i1,?i2,?,?ir可将?j1,?j2,?,?jt中的每一个向量线性表出，知r?s（否则由引理知向量组。同理s?r。于是r?s。 ?i,?i,?,?i线性相关，矛盾）
1
2
r
推论 任意向量组中，任意极大线性无关组所含的向量个数相等。 定义（向量组的秩） 对于K第一学期第六次课
m
内给定的一个向量组，它的极大线性无关组所含的向量的数量称为该向量组的秩。
第二章 §2矩阵的秩
2.1.1矩阵的行秩与列秩、矩阵的转置 定义2.1 矩阵的行秩与列秩。
一个矩阵A的行向量组的秩成为A的行秩，它的列向量组的秩称为A的列秩。 命题2.1 矩阵的行（列）初等变换不改变行（列）秩；
证明 只需证明行变换不该行秩。容易证明，经过任意一种初等行变换，得到的行向量组与原来的向量组线性等价，所以命题成立。证毕。
定义2.2 矩阵的转置
把矩阵A的行与列互换之后，得到的矩阵A'称为矩阵A的转置矩阵。 命题2.2 矩阵的行（列）初等变换不改变列（行）秩。
证明 只需证明行变换不改变列秩。列变换可用矩阵的转置证得。
假设A的列向量为?1,?2,?,?n，它的一个极大线性无关部分组为?i1,?i2,?,?ir，而经过初等行变换之后的列向量为?1',?2',?,?n'，只需证明?i1',?i2',?,?ir'是变换后列向量的一个极大线性无关部分组即可。
只需分别证明向量组?i1',?i2',?,?ir'（*）线性无关和?1',?2',?,?n'中的任意一个向量都可以被（*）线性表出。构造方程xi1?i1',xi2?i2',?,xir?ir'?0，由于?i1,?i2,?,?ir线性无关，线性方程组ki1?i1,ki2?i2,?,kir?ir?0只有零解。而方程xi1?i1',xi2?i2',?,xir?ir'?0是由ki1?i1,ki2?i2,?,kir?ir?0经过初等行变换得来的，而初等行变换是同解变换，所以xi1?i1',xi2?i2',?,xir?ir'?0只有零解，于是?i1',?i2',?,?ir'线性无关。对于A的任意一个列向量?，都可被?i1,?i2,?,?ir线性表出，利用初等行变换是同解变换同样可以证明经过初等行变换后，?'可以被（*）线性表出。
证毕。
推论 矩阵的行、列秩相等，称为矩阵的秩，矩阵A的秩记为r(A)； 证明 设
高等代数 北京大学第三版 北京大学精品课程85_高等代数第三版
?a11?a21
A??
????a?m1
a12a22am2
????
a1n?
?a2n
?， ??amn??
不妨考虑A?0，经过行、列调换后，可使左上角元素不等于零。用三种行、列变换可使矩阵化为如下形式
?*(?0)
??0
0??1
???**??0
0?
?其中(**)代表一个矩阵。 **?
若（**）不是零矩阵，重复上面做法，归纳下去，最后得到形如
???????
????. ???
?
1
的一个矩阵，可知，矩阵的行秩和列秩都等于矩阵中“1”的个数。于是由初等变换可逆和推论可以知道，矩阵的行秩等于列秩。
定义2.3 一个矩阵A的行秩或列秩成为该矩阵的秩，记作r(A)。 2.2.2 矩阵的相抵
定义2.4 给定数域K上的矩阵A和B，若A经过初等变换能化为B，则称矩阵A和B相抵。 命题2.3 相抵是等价关系，且秩是相抵等价类的完全不变量。
证明 逐项验证等价类的定义，可知相抵是等价关系；由于初等变换不改变矩阵的秩，于是矩阵的秩是等价类的完全不变量。
2.2.3用初等变换求矩阵的秩
用初等行变换或列变换将矩阵化为阶梯形，阶梯形矩阵的秩这就是原矩阵的秩。 第一学期第七次课
第二章 §3线性方程组的理论课题
3.1.1齐次线性方程组的基础解系
对于齐次线性方程组
?a11x1?a12x2???a1nxn?0,?
?a12x1?a22x2???a2nxn?0,
?
?????????????
?ax?ax???ax?0.
m22mnn?m11
令
?a11??a12???a21a
?，???22
?1??2
????????a???a?m1??m2?a1n?
??
a
?，?，???2n
n
???
????a
??mn?
??， ????
则上述方程组即为
x1?1?x????xn?n?0 （*） 22
（其中0为零向量）。将（*）的解视为n维向量，则所有解向量构成Kn中的一个向量组，记为S。
命题 S中的元素（解向量）的线性组合仍属于S（仍是解）。
证明 只需要证明S关于加法与数乘封闭。设(k1,k2,?,kn)，(l1,l2,?,ln)?S，则
k1?1?k2?2???kn?n?0， l1?1?l????ln?n?0， 22
于是(k1?l1)?1?(k2?l2)?2???(kn?ln)?n?0，故(k1?l1,k2?l2,?,kn?ln)?S；又因为
?k?K，kk1?1?kk2?2???kkn?n?0，所以(kk1,kk2,?,kkn)?S。证毕。
定义（线性方程组基础解系） 齐次线性方程组（*）的一组解向量?1,?2,?,?s如果满足如下条件： （1） ?1,?2,?,?s线性无关；
（2） 方程组（*）的任一解向量都可被?1,?2,?,?s线性表出， 那么，就称?1,?2,?,?s是齐次线性方程组（*）的一个基础解系。
定理 数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数矩阵的秩； 证明 记线性方程组为x1?1?x2?2???xn?n?0，其中
?a11??a12
???a21a
?，???22
?1??2
????????a???a?m1??m2
?a1n?
??
a
?，?，???2n
n
???
????a
??mn
?
??. ????
设?1,?2,?,?n的秩为r，无妨设?1,?2,?,?r为其极大线性无关部分组，则??r?1,??r?2,?,??n皆可被?1,?2,?,?r线性表出， 即
存在kij?K(1?i?n?r,1?j?r)，使得
??r?1?k11?1?k12?2???k1r?r,
??r?2?k21?1?k22?2???k2r?r,
??????????
??n?kn?r1?1?kn?r2?2???kn?rr?r,
即ki1?1?ki2?2???kir?r?1??r?i?0,
(i?1,2,?n?r)。于是S中含有向量
?1?(k11,k12,?,k1r,1,0,?,0),
?2?(k21,k22,?,k2r,0,1,?,0),
??????????
?n?r?(kn?r1,kn?r2,?,kn?rr,0,0,??,1).
只需要证明?1,?2,?,?n?r是解向量组的一个极大线性无关部分组即可。易见，向量组?1,?2,?,?n?r线性无关。只需要再证明?1,?2,?,?n?r能线性表出任意一个??S即可。为此，需要证明引理：
引理 设?1,?2,?,?t线性无关，?可被?1,?2,?,?t线性表出，则表示法唯一。 证明 设
??k1?1?k2?2??kt?t
?l1?1?l2?2???lt?t
，
两式相减，得到
(k1?l1)?1?(k2?l2)?2???(kt?lt)?t?0.
由于?1,?2,?,?t线性无关，故各?i(1?i?t)的系数皆为零，于是ki?li(?i)，即?的表示法唯一。引理证毕。 现在回到定理的证明。设(c1,c2,?,cn)?S，则有
c1?1?c2?2???rc?r?c??r1?r
1
?c?r???2?r2. ?cn?0? （1） n
考虑??cr?1?1?cr?2?2???cn?n?r?S，则?形如(c1',c2',?,cr',cr?1,cr?2,?,cn)，且有
c1'?1?c2'?2???rc'?r?c??r1?r
1
?c?r???2?r2?cn?
n
. 0? （2）
记???(cr?1?r?1?cr?2?r?2???cn?n)，则由引理，它可以被线性无关的向量组?1,?2,?,?r唯一地线性表示，于是由（1）、（2）两式可知
c1?c1';c2?c2';?cr?cr'，
于是??(c1,c2,?,cn)?cr?1?1?cr?2?2???cn?n?r。这就证明了?1,?2,?,?n?r是解向量组的一个极大线性无关部分组。再由矩阵的秩的定义可知命题成立。证毕。
基础解系的求法
我们只要找到齐次线性方程组的n?r各自有未知量，就可以获得它的基础解系。具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩。把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余n?r个未知量移到等式右端，再令右端n?r个未知量其中的一个为1，其余为零，这样可以得到n?r个解向量，这n?r个解向量构成了方程组的基础解系。
例 求数域K上的齐次线性方程组
?x1
?
?x1?
?4x1?2x
1?
??
x2
?3x4?
x4
x5?0,?0,
x2?2x3?
?2x2?6x3?3x4?4x5?0,?4x2?2x3?4x4?7x5?0.
的一个基础解系。
解 用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形：
?1
?1??4??2
1?1?24
026?2
?3?134
?1??1??00???
?0?4????7??0
1200
0?200
?3?230
?1?
??1
?， ?1??0?
于是r(A)?3，基础解系中有n? r(A)?5?3?2个向量。写出阶梯形矩阵所对应的方程组
?x1????
?
x22x2
?
2x3
??
3x42x43x4
???
x5x5x5
???
000
,, .
移项，得
?x1????
?
x22x2
??
3x42x43x4
???
2x3
?
x5x5x5
,, .
（1）、取x3?1,x5?0，得一个解向量
?1?(?1,1,1,0,0)；
（2）、取x3?0,x5?1，得另一解向量
?2?(,
7566
,0,
13
,1).
?1,?2即为方程组的一个基础解系，方程组的全部解可表示为
k1?1?k2?2(k1,k2?K).
解毕。
非齐次线性方程组的解的结构 设给定一个一般线性方程组
x2?2....?.a.nxn1?b,?a11x1?a11
?
x2?2....?.a.nxn2?b,?a21x1?a22
? （*）
?......
?ax?ax?......?ax?b.
m22mnnm?m11
于是其系数矩阵和增广矩阵分别为
?a11?a21
A??
????am1?
a12a22?am2
???
a1n?
?a2n
? ???amn??
和
?a11
?a21
A??
?????am1
a12a22?am2
???
a1na2n?amn
b1?
?b2
?。 ???bm??
定理 (数域K上线性方程组有解的判别定理) 对于数域K上的线性方程组（*），若r(A)?r(A)，则方程组无解；r(A)?r(A)?n，则有唯一解；r(A)?r(A)?n，则有无穷多解。
证明 写出线性方程组的向量形式，
x1?1?x2?2???xn?n??，
其中
?a1i?a2i
?i??
????a?mi
???,????
?b1?b2
(i?1,2,?,n)，???
????b?m
???。 ????
若r(A)?r(A)，则由矩阵秩的定义，可知A列向量组的秩小于A列向量的秩，即向量组?1,?2,?,?n的秩小于向量组?1,?2,?,?n,?的秩。只需证明?不可以被向量组?1,?2,?,?n线性表出即可证明方程组无解。事实上，若?1,?2,?,?n可以将?线性表出，则向量组?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n,?线性等价，则两个向量组的秩相等，矛
盾于向量组?1,?2,?,?n的秩小于向量组?1,?2,?,?n,?的秩。所以?1,?2,?,?n不能将?线性表出，方程组无解得证。
若r(A)?r(A)，则?1,?2,?,?n的极大线性无关部分组就是?1,?2,?,?n,?的极大线性无关部分组。于是?能被?1,?2,?,?n线性表出，即线性方程组有解。
任取线性方程组的一个解向量，记为?0，对于线性方程组的任意一个解向量?，???0是由原方程组系数矩阵所对应的齐次线性方程组（称为线性方程组（*）的导出方程组）的解向量。事实上，可以分别将?和?0带入（*），再将对应方程相减，即可证明上述结论。反过来，容易证明，对于导出方程组的每一个解向量?，?0??都是线性方程组（*）的解向量。以T记导出方程组的解向量组成的集合，则（*）的解为
??0
??|??T?.
详言之，记导出方程组的基础解系为?1,?2,?,?n?r，则（*）的解为：
?0?k1?1?k2?2???kn?r?n?r,
(?ki?K,i?1,2,?,n?r).
如果r(A)?r(A)?n，则T?{0}，故方程组（*）有唯一解；如果r(A)?r(A)?n，则T为无穷集合，故方程组（*）有无穷多解。 第一学期第八次课
第二章 §4矩阵的运算
2.4.1矩阵运算的定义
定义（矩阵的加法和数乘） 给定两个m?n矩阵
?a11
?a21
A??
?????am1
A和B加法定义为
a12a22?am2
??
?
a1n??b11
??a2nb
?， B??21
????
??amn????bm1
bb?
1222
??
bm2
?
bn?1
?bn2
?， ???bmn??
高等代数 北京大学第三版 北京大学精品课程85_高等代数第三版
?a11?a21
A?B??
????am1
?b11?b21??bm1
a12?b12a22?b22
?am2?bm2
??
?
a1n?b1n?
?
a2n?b2n
?； ??
?
amn?bmn??
给定数域K中的一个元素k，k与A的数乘定义为
?a11
?a21?kA?k????a?m1
a12a22?am2
???
a1n??ka11
??a2nka
???21???????amn???kam1
ka12ka22?kam2
???
ka1n?
?ka2n
?. ???kamn??
定义（矩阵的乘法） 给定一个m?n矩阵和一个n?l矩阵
?a11
?a21?A?????a?m1
A和B的乘法定义为
a12a22?am2
??
?
a1n??b11b12?
??a2nbb22?
?， B??21
?????
???bamn???n1bn2?bl?1
?bl2
?， ???bnl??
?n
??a1ibi1?i?1?n
a2ibi1
AB???
?i?1
??n?
??amibi1?i?1
n
?
i?1ni?1
a1ibi2
2i
??
?a
n
bi2
?
?a
i?1
mi
bi2
?
?ab?1iil?i?1?n
?ab?2iil?. i?1
???n
?ab?miil?i?1?
n
2.4.2 矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）的性质
命题 矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中A,B,C均为K上的矩阵，k,l为数域K中的元素） （1） 加法结合律 (A?B)?C?A?(B?C)； （2） 加法交换律 A?B?B?A； （3） 数乘结合律 k(lA)?(kl)A； （4） 数乘分配律 k(A?B)?kA?kB；
(k?l)A?kA?lA；
（5） 乘法结合律 (AB)C?A(BC)；
k(AB)?(kA)B?A(kB)；
（6） 乘法分配律 A(B?C)?AB?BC；
(B?C)A?BA?CA；
（7） (A?B)'?A'?B'; （8） ?AB?'?B'A'。 2.4.3 矩阵的和与积的秩
命题 矩阵的运算与秩的关系满足如下性质（其中A,B均为数域K上的m?n矩阵，k为K中的元素）：
（1） 若k?0，则r(kA)?r(A)； （2） r(A')?r(A)； （3） r(A?B)?r(A)?r(B)
证明 （1）和（2）显然成立。关于（3），由矩阵的秩的定义，只需要证明A?B的列向量组的秩小于等于A的列向量组的秩加上B的列向量组的秩即可。A?B的列项量可以被A和B的所有列向量线性表出，于是A?B的秩小于等于A,B所有列向量的所组成的向量组的秩，小于等于A,B秩的和。于是命题成立。
命题 设A,B分别为m?n矩阵和一个n?l矩阵，则r(AB)?min(r(A),r(B)). 证明 由矩阵乘法的定义，有
?n
??a1ibi1?i?1?n
a2ibi1
AB???
?i?1
??n?
??amibi1?i?1
n
?
i?1ni?1
a1ibi2
2i
??
?a
n
bi2
?
?a
i?1
mi
bi2
?
?ab?1iil?i?1?n
?ab?2iil?. i?1
???n
?
?amibil?i?1?
n
AB的列向量（记为A?Bi(i?1,2,?,l)）可表示为
?a11??a12
???a21a22???A?Bi?b????1i?????a???a?m1??m2?a1n?
??
a
?b????2n
???2i
????a
??mn?
?
?b，（i?2， ,1,?l）?ni???
于是AB每一个列向量都可以写成A的列向量组的线性组合，故r(AB)?r(A)；同理可证，r(AB)?r(B)，于是r(AB)?min(r(A),r(B))。
命题 r(AB)?r(A)?r(B)?n.
证明 记C?AB，设B的列向量为B1,B2,?,Bl，则C的列向量可以表示为
Ci?ABi. （1）
设C的列向量的一个极大线性无关部分组为Ci,Ci,?,Ci，
1
2
r
Cij?ABij，j?1,2,?,r，
任取C的一个列向量Cj，存在kj1,kj2,?,kjl，使得Cj?kj1Ci?kj2Ci???kjrCi， 将（1）式代入，得到
1
2
r
A(kj1Bi1?kj2Bi2???kjrBir)?Cj，
于是kj1Bi?kj2Bi???kjlBl是方程组AX?Cj的一个特解。
1
2
r
设齐次线性方程组AX?0的基础解系为?1,?2,?,?n?r(A)，由线性方程组理论知，方程AX?Cj的解可以表示为
?j?kj1Bi?kj2Bi???kjrBi?m1?1?m2?2???mn?r(A)?n?r(A)，
1
2
r
Bi是方程AX?Ci的解，其中mi?K，由Cij?ABij，于是B的列向量可以被向量组Bi,Bi,?,Bi,?1,?2,?,?n?r(A)
1
2
r
线性表示，于是r(B)?r?s?r(AB)?(n?r(A))，即
r(AB)?r(A)?r(B)?n.
证毕。
定义 n阶方阵A自左上角到右下角这一条对角线称为A的主对角线。主对角线上的n个元素的连加称为A的迹。
第一学期第九次课
第二章 §5 n阶方阵
2.5.1 n阶方阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵，初等矩阵，对称、反对称、上三角、下三角矩阵
定义（数域K上的n阶方阵） 数域K上的n?n矩阵成为K上的n阶方阵，K上全体n阶方阵所成的集合记作Mn(K)。
定义（n阶对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵） 数域K上形如
??d10
???
?? ??0
d?n?n?n
的方阵被称为n阶对角矩阵，与其他矩阵相乘，有
?aa?1112?a1n?
0??d1a11
?a21a22?
a??d12n??
??
?
????d1a21??????
????ad?
nm1
am2
?a???0mn???n?n???d1a
m1?0??a11a?a??121l??d?d1
??
??a21a22?
a??1a11
2l?????d2a21?0
d?n?n?n
????????an1
an2
?
a??????nl?dnan1
形如
??k0???
?
? ??0
k??n?n
的方阵被称为n阶数量矩阵，与其他矩阵相乘，有
?1n??ka11
?k0??aa?1112?aa????
???a21a22?
2n???ka
21??????0
k??n?n
?????am1
am2
?
a?????mn??kam1?a11
a12?a?1l?a0??ka11?a2122?
a??k2l???
??????ka21?????
??
??aak?
?n1n2
?a???0nl??
?n?n???ka
n1
矩阵
d2a12?dna1n?
d2a22
?
d?na2n
????
； d2am2?d??namn?d1a12?d1a1l?
d2a22
?
da?22l
????
。 dnan2
?d??nanl?
ka12?ka1n?
ka22?
ka?2n
????； kam2?
ka??mn?ka12?ka1l?
ka22?
ka?2l
????。 kan2
?
ka??nl?
?1????0
?
0??
? ?1?n?n
被称为n阶单位矩阵，记作En，有
?a11?a?21????a?m1
a12a22?am2
???
a1n?
??1a2n?
????
??0?amn???a11
?a?21????a?n1
a12a22?an2
?
?a11
??0?
a?21?????
1?n?n??a
?m1a1l??a11
??a2la???21???????anl???an1
a12a22?am2a12a22?an2
????
a1n?
?a2n
?； ???amn??a1l??a2l
?。 ???anl??
?
?1
????0
?
0????1?n?n
??
??
我们记第i行第j列为1，其余位置全为零的n阶方阵
????????
???
??Eij。 1??
????n?n?
?
定义 初等矩阵 我们把形如
?1
??????????
?????? ???1??n?n
?
1
k
1
?
其中对角线上除了第i个元素为k(k?0)以外，全为1，其他位置全为0的矩阵和形如
?1
??????????
?????? ???1??n?n
?
1?k
??
1
?
其中对角线上的元素全为1，第i行j列位置上为k，其余位置都为0的矩阵和形如
?1?????????????????
?
1
0???1
?
??1
?
1??
?
1???0
1
?
????????? ???????1??n?n
其中对角线上的元素除了第i和第j个元素为零外，都为1，第i行第列和第（n-i）行第（n-j）列位置上为1，其余位置均为零的矩阵称为初等矩阵，分别用Pn(k?i)，Pn(k?i,j)，Pn(i,j)来表示。初等矩阵都是由单位阵经过一次初等变换得到的。
定义 对称矩阵、反对称矩阵 设A??aij?
为数域K上的n阶方阵，若aij?aji，称A为对称矩阵；若aij??aji，则称A为反对称矩阵。
n?n
若A,B为数域K上的n阶对称（反对称）矩阵，则kA?lB仍为K上的n阶对称（反对称）矩阵，其中k,l?K。 定义 上三角、下三角矩阵 数域K上形如
?a11
??????
a12?
??
a1n?
??? ???ann??
的n阶方阵被称为上三角矩阵；形如
?a11
?a?21????a?n1
??? ????
?
??
?
ann
的n阶方阵被称为下三角矩阵。
对于n阶上（下）三角矩阵，同样有
若A,B为数域K上的n阶上（下）三角矩阵，则kA?lB仍为K上的n阶上（下）三角矩阵，其中k,l?K。 命题 矩阵的初等行（列）变换等价于左（右）乘初等矩阵； 证明 我们分别考察三种初等矩阵 对于
高等代数 北京大学第三版 北京大学精品课程85_高等代数第三版
?1????
P(k?i)??
1
?????
， ?
?????
有
?1
???
????1
??a
??k
??11
?a21???1
????
??????an1??
1??
等价于初等行变换中将第i行乘以一个非零数，
?1
??aa?a?
?11
121n??
?a21a22?
a??1
2n??
???????
?a??a??m1
m1
?
amn?????
等价于初等列变换中将第i列乘以一个非零数；
对于
?1
???Pk?i,j)??
n(?
?????
有
?1
????
????1??a
a12?????11
a22??a21??k
?
1
??????
???a??an1n2
??
1??
等价于初等行变换中将第j行加上第i行的k倍，
k
?1
??
??1??n?n
aa12?
12?a?a11
1l?a?22?
a??l
???2?????ka
i1
kai2?
aa??????n2
?
nl??
?an1
an2
?
??
??a11
?ka1i???
?
?a
21ka2ik
????
?1
?
?????
?
???an1?
kani
1??
??
??1????
?， k
?
1
??
??1??n?n
?a?
a11a12?
1l??
?
a????
?2l
????kai1?a
j1
kai2?aj2
?
?
a??
??
??nl??
?
an1
an2
?a1l?
???kail?，
???a?nl?
a1l?a?2l
???， ???a?nl?
a1l
??
??
kail?ajl?
???
a?nl
?
??
?
?a11?a?21????a?m1
a12a22?am1
??
?
?1?a1n??
??a2n?
????
???amn?????
?
1?k
??
1
?
??
?a11?
??a
?21?
????
??
???
???an11??
??
ka1i?a1jka2i?a1j
??
??
?
kani?a1j
?
a1l?
?a2l
??? ???anl??
等价于初等列变换中将第j列加上第i列的k倍；
对于
?1
???????
Pn(i,j)??
?????????
????????
?， ???????1??n?n
?
1
0???1
?
??1
?
1??
?
1???0
1
?
有
?1
?????????????????
?
1
0???1
?
??1
?
1??
?
1???0
1
?
????????????????1??n?n
?a11
????aj1????ai1????a?n1
a12?aj2?ai2?an2
????
????
????
????
a1l??a11
??????ajl??ai1
???????ail??aj1
??????
?anl???an1
a12?ai2?aj2?an2
????
????
????
????
a1l?
???ail????ajl????anl??
，
等价于初等行变换中互换i，j两行，而
?1
????????????????????????????
?
1
0???1
?
??1
?
1??
?
1???0
1
?
???
??a11????a21???????????????????a??m1??1??
?a11
?a?21???????????a?m1
??
a1ja2j????
??
a1ia2i????
??
a1na2n????
??
a1ia2i????
??
a1ja2j????
??
?
amj
?
ami
?
amn
?
ami
?
amj
?
a1n?
?a2n
???????????amn??
等价于初等列变换中互换i，j两列。
于是初等行（列）变换可以等价为左（右）乘初等矩阵。证毕。 定理 一个方阵是满秩的当且仅当它能表示为初等矩阵的乘积。
证明 必要性 经过初等变换可以将一个满秩n阶矩阵（记为A）化为对角形，由初等变换与乘初等矩阵的等价
性，可知存在初等矩阵
P1,P2,?Ps和Q1,Q2,?,Qt，
使得P1,P2,?PsAQ1,Q2,?,Qt?En，由于初等变换存在逆变换，于是可知用初等变换的逆变换可以将单位矩阵化为满秩矩阵A，于是，存在n阶初等矩阵P1',P2',?Ps''和Q1',Q2',?,Qt''，使得
P1',P2',?Ps''EnQ1',Q2',?,Qt''?A，
由矩阵运算的结合律和单位矩阵的性质，可以知道A?P1',P2',?Ps''Q1',Q2',?,Qt''，必要性证毕。
充分性 若A可以表示成为初等矩阵的乘积，则A?P1P2?Ps?P1P2?PsE，表示A可由n阶单位阵经过s次初等变换得到，于是A满秩。证毕。
推论 设A是满秩矩阵，对于任意矩阵B,C，有r(AB)?r(B)，r(CA)?r(C)（只要乘法有意义）. 证明 由于满秩矩阵可以写作初等矩阵的乘积，于是存在初等矩阵P1,P2,?,Pr，使得A?P1P2?Pr，于是，
AB?P1P2?PrB，由初等矩阵于初等变换的等价关系，AB相当于对B做r次初等行变换。由于初等变换不改变矩
阵的秩，所以r(AB)?r(B)；同理，r(CA)?r(C)。证毕。 第一学期第十次课
2.5.2可逆矩阵，方阵的逆矩阵 1、可逆矩阵，方阵的逆矩阵的定义
定义 设A是属于K上的一个n阶方阵，如果存在属于K上的n阶方阵B，使
BA?AB?E，
则称B是A的一个逆矩阵，此时A称为可逆矩阵。
2、群和环的定义
定义 设A是一个非空集合。任意一个由A?A到A的映射就成为定义在A上的代数运算。
定义 设G是一个非空集合。如果在G上定义了一个代数运算（二元运算），称为乘法，记作a?b，而且它适合以下条件，那么?G,??就成为一个群：
1、 乘法满足结合律
对于G中的任意元素a,b,c有 (a?b)?c?a?(b?；c) 2、 存在单位元素e?G，对于任意a?G，满足 e?a?a； 3、 对于任意a?G，存在b?G，使得 b?a?e。 关于群的性质，我们有如下命题： 命题 对于任意a?G，同样有a?b?e 证明 对于b，存在c?G，使得cb?e，
a?e?a?(c?b)?a?c?(b?a)?c?e，
两端右乘b，得到
a?b?e。
命题 对于任意a?G，同样有a?e?a
证明 a?e?a?(a?)b?a?a(?b?)a?。 ea?
命题 单位元素唯一
证明 假设存在e,e'?G，均是单位元素，则e?e'e?e'。
b就称为a的逆元素，记为a?1。 e命题 对于任意a?G，存在唯一b?G，使得 a?b?b?a?，于是元素
证明 设存在b,c?G，满足条件，则
b?e?b?(c?a)?b?c?(a?b)?c?e?c。
易知，(a?1)?1?a。
命题 对于G中的任意元素a,b，方程a?x?b有唯一解。
定义 一个群G称为一个交换群（Abelian Group），若定义在上面的代数运算?满足交换律，即对于任意a,b?G，都有a?b?b?a。
定义 设L是一个非空集合，在L上定义了两个代数运算，一个叫加法，记为a+b，一个叫乘法，记为ab。如果具有性质：
（1）、L关于加法成为一个交换群； （2）、乘法满足结合律，即
?a,b,c?L，有a(bc)?(ab)c；
（3）、乘法关于加法满足分配律，即?a,b,c?L，有
a(b?c)?ab?ac,(b?c)a?ba?ca.
那么L就称为一个环。
命题 数域K上的n阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法构成群，称为K上的一般线性群，记为GLn(K)；数域
K上的n阶方阵的全体关于矩阵的加、乘法构成环，称为K上的全矩阵环，记为Mn(K)；
证明 按定义逐项验证即可。其中GLn(K)中乘法的单位元是n阶单位矩阵，而Mn(K)中加法的单位元是n阶零方阵。
命题 (AB)
?1
?1
?B
?1
A
?1
证明 BA(AB)?E，由逆矩阵的唯一性可知，命题成立。 命题 假设n阶可逆方阵A的逆矩阵是B，则B'是A'的逆矩阵。 证明 只需要证明B'A'?A'B'?E即可。 事实上，
B'A'?(AB)'?E'?EA'B'?(BA)'?E'?E
?1
，
于是命题得证。
命题 矩阵可逆当且仅当满秩；
证明 必要性 若n阶方阵A可逆，则存在n阶方阵B，使得BA?E，于是有
n?r(BA)?r(A)?n，于是r(A)?n；
充分性 若n阶方阵满秩，则A可以表为初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1,P2,?,Pn，使得A?P1P2?Pn。
只需要证明初等矩阵是可逆的。事实上，P(k?i)P(
1?1
所以由命题 A?1?Pn?1Pn?1??P1。证毕。
1k
?i)?E；P(k?i,j)P(?k?i,j)?E；P(i,j)P(i,j)?E，
2.5.3用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，矩阵方程AX?B和XA?B的解法（A为可逆阵） 1、 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵
如果A可逆，则A满秩。于是A可以经过初等行变换化为对角形，即
PnPn?1?P1A?E，则A
?1
?PnPn?1?P1E。
于是，对单位矩阵做与把A化为标准形相同的初等行变换（由矩阵乘法和初等变换的等价性可以知道这是可行的）就可以得到A的逆矩阵，不妨把可逆矩阵A和单位矩阵E并在一起，得到?A|E?，对A进行初等行变换，将其化为对角形，即得到?E|A?1?；
同样地，将可逆矩阵和单位矩阵拼成如下形状
?A?
??， ?E?
进行初等列变换，同样可以得到A?1。
2、关于矩阵方程AX?B和XA?B的解法（其中A为可逆阵）
a、关于矩阵方程AX?B，其中A是一个n?n矩阵，X和B是n?l矩阵。
由关于群性质，可以知道X?A?1B，于是将A和B并排拼成一个矩阵?A|B?，进行初等行变换，将A化为单位矩阵，于是可以得到(E|A?1B)；
?A?
b、关于矩阵方程XA?B，其中A是一个n?n矩阵，X和B是m?n矩阵。 同样地，我们将A和B拼为??，
?B?
可以得到方程的解BA?1。
例 设A和B为数域K上的m?n和n?s矩阵，则
r(AB)?r(A)+r(B)?n.
证明 存在m?m和n?n初等矩阵，使得P1P2?PsAQ1Q2?Qt?D，其中D为A在初等变换的下标准形，记s为D的秩。令P?P1P2?Ps;Q?Q1Q2?Qt,则PAQ?D。Q和P均为满秩方阵，则
r(AB)?r(PAB)?r((PAQ)QB)?r(D(QB))，
?1
?1
?b11
?b21
?1? 记QB为
????b?m1
b12b22?bm2
??
?
b1n?
?b2n
?，则 ???bmn??
高等代数 北京大学第三版 北京大学精品课程85_高等代数第三版
?b11?b?21????1
DQB=?bs1
?0????0?
b12b22?bs20?0
??
??
??
??
??
??
??
??
????
b1m?
?b2m
????bsn?， 0????0??
于是DQ?1B的秩为Q?1B前s个行向量的秩。而Q?1B可以被Q?1B前s个行向量的极大线性无关部分组和Q?1B的后n-s个向量线性表示，于是
r(QB)?r(DQB)?(n?s)，
?1
?1
于是
r(AB)?r(A)?r(B)?n。
证毕。
第一学期第十一次课
第二章 §6分块矩阵
2.6.1分块矩阵的乘法，准对角阵的乘积和秩 1、矩阵的分块和分块矩阵的乘法
设A是属于K上的m?n矩阵，B是K上n?k矩阵，将A的行分割r段，每段分别包含m1,m2,?,mr个行，又将A的列分割为s段，每段包含n1,n2,?,ns个列。于是A可用小块矩阵表示如下：
?
?A??
????
A11A21?Ar1
A12A22?Ar2
???
A1s?
?A2s
?， ???Ars??
其中Aij为mi?nj矩阵。对B做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A的列的分割法一样。于是B可以表示为
?B11
?B21
B??
????B?s1
B12B22?Bs2
???
B1t??B2t
?， ???Bst??
其中Bij是ni?kj的矩阵。这种分割法称为矩阵的分块。此时，设AB?C，则C有如下分块形式：
?C11
?C21
C??
????C?r1
C12C22?Cr2
???
C1t?
?C2t
?， ???Crt??
其中Cij是mi?ki矩阵，且
s
Cij?
?
l?1
AilBlj。
定义 称数域K上的分块形式的n阶方阵
?A1?A??
????
??? ??As??
A2
?
为准对角矩阵，其中Ai(i?1,2,?,s)为ni阶方阵（n1?n2???ns?n），其余位置全是小块零矩阵。
2、分块矩阵的一些性质
命题 n阶准对角矩阵有如下性质：
（1）、对于两个同类型的n阶准对角矩阵（其中Ai,Bi同为ni阶方阵），
?A1
?A??
????
??B1???，B???????As???
?
??， ??Bs??
A2
?
B2
?
有
?A1B1
?AB??
????
???； ??AsBs??
A2B2
?
（2）、r(A)?r(A1)?r(A2)???r(As)； （3）、A可逆?Ai(i?1,2,?,s)可逆，且
?A1?1
???????
???。 ???1?As?
A
?1
A2
?1
?
命题 分块矩阵??0
?证明 记M??
?A?0
?A
C??的秩大于等于A与B的秩的和。 ?B?
C?
?，设A为m?n矩阵，B为n?l矩阵， A在初等变换标准形为 B?
?Er
D1??
?0
0?
?，r?r(A)； 0?
B在初等变换下的标准形为
?Es
D2??
?0
0?
?，s?r(B)， 0?
则对M前m行前n列做初等变换，对它的后k行后l列也做初等变换，这样可以把M化为
?D1
M1??
?0
C1??。 D2?
现在利用D1左上角的“1”经过初等列变换消去它右边C1位置中的非零元；再用D2左上角的“1”经过初等行变换消去它上面C1处的非零元素，于是把M1再化作
?E000??rM??000C?2
2
???00Es0?。 ??
00
0???
则有r(M)?r(M1)?r(M2)?r?s?r(C2)?r?s?r(A)?r(B)。证毕。
容易得出，对于矩阵
N??A
0??
?C
B?， ?
也有同样的性质。
对于上述M和N，如果r(A)?m,r(B)?k，则r(M)?r(A?)
r(B；)如果r(A)?n,r(B?)
r(M)?r(A?)
r(B。)
命题 设A、B、C为数域K上的三个可以连乘的矩阵，则
r(ABC)?r(B)?r(AB)? r(BC)
证明 假设A、B、C分别为m?n、n?l和l?s矩阵。令
M??AB
0??
?B
BC?， ?
考虑
N??E?A??AB
0??E?C??0
?ABC??E
?C?
?
m
?0E???n?BBC???l
?0
E???s??B
BC????0
E??
??0?ABC?
??B
0?,?
由可逆矩阵乘法的性质（命题 ）和命题 可以知道，
r(ABC)?r(B)?r(N)?r(M)?r(AB)?r(BC)
2.6.2矩阵分块技巧的运用（挖洞法）和其应用——可逆矩阵的分块求逆 1、挖洞法 设
M??AB??
?C
D?， ?
其中A为m?m矩阵，B为m?n矩阵，C为l?m矩阵，D为l?n矩阵。不妨设A可逆，取
l则
，
?Em
M1???1
?CA?0?
?， El?
则
?Em
M1M???1
??CA
0??A??El??C
B??A???D??0
??， ?1
D?CAB?
B
取
?Em
M2??
?0
AB?
?， El?
?1
则
?A
MM2??
?C
B??Em
??D??0
?1
?AB??A
???El??C
??。 ?1
D?CAB?
由于分块矩阵的乘法形式上与普通矩阵相同，所以也可以用左乘（或右乘）一个适当的分块方阵来读一个分块矩阵做类似的变换。但是要注意：
（1）、两个小块矩阵相乘时必须遵守左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数这一原则； （2）、两个小块矩阵相乘成不能交换次序，要分清那个在左，那个在右。 2、矩阵的分块求逆 设方阵
?A
M??
?C
B??， D?
其中A可逆。令
?EN???1
??CA
0??A??E??C
B??E??D??0
?1
?AB??A
???E??0
??， ?1
D?CAB?
记
?EU???1
??CA
?E0?
V?，??E??0?AB??1
?，D1?D?CAB， E?
?1
若M可逆，则N可逆，于是D1可逆。
N
?1
?A?1???0
0??1
?(UMV)?V??1
D1?
?1
MU
?1?1
，
求得
M
?1
?A?1
?V?
?0
0?
U。 ?1?D1?
第一学期第十二次课
第三章 §1，§2 n阶方阵的行列式
3.1.1平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积具有的三条性质
在解析几何中已证明，给定二维向量空间中的单位正交标架，设向量?,?的坐标分别为(a1,a2)和(b1,b2)，则由向量?,?张成的平行四边形的有向面积为a1b2?a2b1，这里记为；给定三维空间内右手单位正交标架，设向量
?,?,?的坐标分别为(a1,a2,a3)、(b1,b2,b3)和(c1,c2,c3)，则由向量?,?,?张成的平行六面体的有向体积为
(a1b2?a2b1)c1?(a3b1?a1b3)c2?(a1b2?a2b)1。c3
?a11
我们引入如下记号：对于二阶方阵A??
?a21?a1?A?a
?2?a?3
111
a12?
a2??，定义A?a112
a22?
对于三阶方阵a12a；21
a
122
a2a
32
a?13
a22?
a2，定义A?a11?3
a32
?a?33
a23a33
?a12
a21a31
a23a33
?a13
a21a31
a22a32
。
不难发现，A（有向面积与有向体积）满足以下三条性质：
（1）、如果A的某行或某列换为两个向量的线性组合k??l?，则A?A1?A2，其中A1,A2分别为把该行（列）换为?,?所得的n阶方阵；
（2）、如果A不满秩，则A?0； （3）、当A为单位矩阵时，A?1。
3.1.2利用上述三条性质定义n阶方阵的行列式函数的det 定义 线性函数
若f:Mn(K)?K满足如下条件：对Kn中任意向量?1,?2,?,?n,?(写成横排形式)以及K中任意数k，
?i?1,2,?,n，都有
??1
?
??
f??i???????
n????1???1???1????????
???
????????=f??i?+f???；f?k?i?=kf???????
??????????
????????????n??n??n???1
?????i??????n
????， ????
则称f为Mn(K)上的一个行线性函数。 设g:Mn(K)?K满足如下条件
对Kn中任意向量?1,?2,?,?n,?（写成竖排形式）以及K中任意数k，?j?1,2,?,n，都有
g(?1,?2,?,?j??,?,?n)?g(?1,?2,?,?j,?,?n)?g(?1,?2,?,?,?,?n)；
g(?1,?2,?,k?j,?,?n)?kg(?1,?2,?,?j,?,?n)，
则称g为Mn(K)上的一个列线性函数。
同样地，行（列）线性函数的定义还可以写作
?k,l?K，有
高等代数 北京大学第三版 北京大学精品课程85_高等代数第三版
?1??
??
f?k?i?l??
????n?
????=kf????
??1?????i??????n
????+lf????
??1???????????n
????和 ????
g(?1,?2,?,k?j?l?,?,?n)?kg(?1,?2,?,?j,?,?n)?lg(?1,?2,?,?,?,?n)。
容易证明它们与上面定义的等价性。
定义 反对称线性函数 记号如上，若列线性函数f满足
f(?1,?,?i,?,?j,?,?n)??f(?1,?,?j,?,?i,?,?n)，
则称f为列反对称函数。
定理 设f:Mn(K)?K为列线性函数，则下述四条等价： i）、f反对称；
,,?,,??,)??0ii）、f(?,1?
n
?；
iii）、f(?1,?,?i?k?j,?,?j,?,?n)?f(?1,?,?i,?,?j,?,?n)； iv）、若M不满秩，则f(M)?0。 证明 i）?ii） 若f反对称，则
f(?1,?,?,?,?,?,?n)??f(?1,?,?,?,?,?,?n)，
于是f(?1,?,?,?,?,?,?n)?0。
ii）?iii） 若f(?1,?,?,?,?,?,?n)?0，由于f列线性，则
f(?1,?,?i?k?j,?,?j,?,?n)?f(?1,?,?i,?,?j,?,?n)?kf(?1,?,?j,?,?j,?,?n)
?f(?1,?,?i,?,?j,?,?n).
iii）?iv） 若f(?1,?,?i,?,k?j,?,?n)?f(?1,?,?i,?,?j,?,?n)，则由已知，不满秩矩阵必有一个列
n
向量可以被其他列向量线性表出。若记M的列向量为?1,?2,?,?n，则必存在一个?i，满足?i?
kj?K，于是
n
?k?
j
j?1
j?i
j
，其中
f(M)?f(?1,?,?kj?j,?,?n)?0。
j?1j?i
iv）?ii） 矩阵??1??????n?不满秩，则f(?1,?,?,?,?,?,?n)?0。 ii）?i） 若f(?1,?,?,?,?,?,?n)?0，则
f(?1,?,???,?,???,?,?n)?0，
于是
f(?1,?,?,?,?,?,?n)?f(?1,?,?,?,?,?,?n)?0，
则有f(?1,?,?,?,?,?,?n)??f(?1,?,?,?,?,?,?n)。证毕
定义 函数f:Mn(K)?K被称为一个行列式函数，当且仅当f满足下列3条性质： 1、f列线性； 2、f反对称； 3、f(E)?1。
2.3.3行列式函数的存在性与唯一性
引理 设f和g为烈现行反对称函数，A,B?Mn(K)。则若经过相同的初等列变换化为A1和B1，则
f(A)?g(A)?f(A1)?g(B1)。
证明 由初等变换的可逆性，只需证“?”。只需分别对三类基本初等列变换进行证明。 定理 行列式函数存在且唯一。
证明 首先证明若行列式函数存在，则唯一。设f,g:Mn(K)?K是行列式函数，若A不满秩，则
f(A)?0?g(A)；若A满秩，则A可以经过初等列变换化为E， f(E)?1?g(E)，于是由引理f(A)?g(A)，
即f和g在Mn(K)上取值相等，于是f?g。唯一性证毕。
再证明行列式函数的存在性。定义函数det如下：设A??a11??M1(K)，定义
det(A)?a11；
设在集合Mn?1(K)内函数det(A)已定义，那么，对
?a11
?a21
A??
????a?n1
n?1
a12a22?an2
n
??
?
a1n?
?a2n
??M(K)，
n
???ann??
定义det(A)?a11M11?a12M12???(?1)
?1??i?
a1nM1n?
?
i?1
?1?
a1iA??.其中Mij表示划去A的第i行和第j列后所剩的n-1
?i?
i
阶方阵的det值，A??为(?1)M1i。
用记号A来代表det(A)，如果A??aij??Mn(K)，可以写成
a11
detA?A?
a21?an1
a12a22?an2
???
a1na2n?ann
.
下面要证明上述定义的函数det(A)是行列式函数，从而说明了行列式函数的存在性。
对n作归纳，可分别证明det(E)?1； det(A)是列线性函数和det(A)反对称，于是det(A)是行列式函数。 命题 行列式函数是行线性函数。 证明 对n作归纳。 3.2.4行列式的六条性质
命题 行列式函数满足以下六条性质：
1、A?A'；
a11a21
??
ka1ika2i???
kani
???
a1na2n??ann
?k?aij?
n?n
2、?
?an1
，
类似地，对行向量，有
a1?
a?kai2?an2
?
??
??
?
a?
kain?k?aij??ann
n?n
121n kai1
?an1
；
3、若A的某列（行）为两列（行）之和，则A为两个相应的行列式之和； 4、A不满秩，则A?0，特别地，A有两行（列）相等，则A?0； 5、将A的一行（列）的若干倍加到B的另一行（列）上去，行列式值不变； 6、两行（列）互换，行列式反号。 第一学期第十三次课
第三章 §2 n阶方阵的行列式（续）
3.2.5行列式的按任意列展开和特殊矩阵的行列式 1、行列式的按任意行（列）展开 定义 命Aij?(?1)
i?j
Mij，称为aij的代数余子式。
n
命题 按行列式的第i行展开，有aij?
?a
j?1
ij
Aij。
证明 将第i行先后与第i?1,i?2,?,1行交换，再展开。
n
推论 行列式按第j行展开，有aij?2、范德蒙行列式 形如
?a
i?1
ij
Aij。
1A?
a1?a1
n?1
1a2?a2
n?1
??
1an?an
n?1
?
的行列式称为范德蒙行列式。
命题 A?
?
1?i?j?n
(aj?ai)。
证明 对n作归纳。 3、准对角阵的行列式 命题
An?n0?
B?AB。
m?m
证明 对n作归纳。 推论
An?n?0B?AB。
m?m
A1
推论
A2
?
?A1A2?An。
*
An
4、可微函数的方阵的行列式的微商 命题 设aij(t)在(a,b)上可导，则
?a11(t)
a?at)?
'
a11(t)
a12(t)??
12(t)1n(?aa?
a?
n
??21(t)22(t)2n(t)?
??
ai1'(t)ai2'(t)??
?????i?1
??an1
(t)an2(t)
?
a???nn(t)??
an1(t)
an2(t)
?证明 对n作归纳。 第一学期第十四次课
第三章 §3行列式的初步应用
3.3.1行列式的应用：用行列式求逆矩阵；克莱姆法则 定义 设矩阵
?aa?1112?a1n?
A??a21a22?
a?2n
???????， ??an1
an2
?a??nn?
矩阵
?
AA?1121?An1?
A?
??
A12A22?
A?n2
??????? ??
A1n
A2n
?A??nn?
称为A的伴随矩阵。
由行列式的性质容易证得，
a1n(t)?ain'(t)。?ann(t)
?
?
?
?A?
aA??ikjk?
?k?1?0
n
i?ji?j
??ijA，
?1i?j
其中?ij??，为Kronecker记号。于是有
0i?j?
命题 对于n阶满秩方阵A，有AA?AE，若A?0，则A考察线性方程组
?a11
?a?21????a?n1
a12a22?an2
???
a1n??x1
??a2nx
??2???????ann???xn
*?1
?
1A
A。
*
??b1?
???
b
???2?， ????????b????n?
将其记为AX?B，若A满秩，则
?x1?x?2????x?n
??
??A?1B?1A*B， ?A???
而
?A11b1?A21b2???An1bn???Ab?Ab???Ab121222n2n?*
AB??，
??????????????Ab?Ab???Ab??
2n2nnn??1n1
A1ib1?A2ib2???Anibn就是把A的第i列换成B后的行列式，记
?a11
?Ai??
??a?n1
?
a1i?1?ani?1
b1?bn
a1i?1?ani?1
?
??
a1n?
??， ?ann??
于是有：
定理 若数域K上的n个未知量n个方程的线性方程组的系数矩阵的行列式A?0，则它有唯一的一组解Xi?
1AAB?
*
AiA
。这个定理称为Cramer法则。
3.3.2矩阵乘积的行列式、用矩阵的子式的行列式刻画矩阵的秩 命题 设A,B?Mn(K)，则AB?AB。 证明 对A讨论满秩与不满秩的情况。 定义 设
高等代数 北京大学第三版 北京大学精品课程85_高等代数第三版
?a11?a21
A??
????a?m1
a12a22?am2
??
?
a1n?
?a2n
?， ???amn??
取?i1,i2,?,it???1,2,?,m?，?j1,j2,?,jt???1,2,?,n?，
ai1j1ai2j1
?aitj1
ai1j2ai2j2
?aitj2
???
ai1jtai2jt
?aitjt
?i1
称为A的一个t阶子式，记为A?
?j1
i2j2
??
it??。 jt?
引理 r(A)?r?存在非零的r阶子式。
证明 “?” 若r(A)?r，则由矩阵的秩的定义，A存在r个线性无关的行向量，设它们为i1,i2,?,ir行，取它们构成一个秩为r的r?n矩阵
?ai11??ai21????a?ir1
ai12ai22?air2
???
ai1n?
?ai2n?
? ??airn??
?i1
存在r个线性无关的列向量，设它们为j1,j2,?,jr列，于是A?
?j1
?i1
“?” 若存在A?
?j1
i2j2
??
i2j2
??
ir?
??0； jr?
ir?
??0，则此子式的r个列向量线性无关，将它们扩充成为原矩阵A的第jr?
j1,j2,?,jr，它们仍线性无关。证毕。
命题 对于K上的n阶方阵A，r(A)?r当且仅当存在某个r阶子式不等于零，但所有r?1阶子式都等于零。 证明 “?” 若r(A)?r，则由引理，存在某个r阶子式不等于零。若存在某个r?1阶子式不等于零，则由引理，r(A)?r?1，矛盾于r(A)?r，必要性得证；
“?” 若对于A，存在某个r阶子式不等于零，则r(A)?r，而但所有r?1阶子式都等于零，则r(A)?r?1，于是r(A)?r，证毕。 第一学期第十五次课
第三章 §4行列式的完全展开式
3.4.1一些基本概念
定义 给定n个互不相同的自然书，把它们按一定次序排列起来：
i1i2?in，
称为该n个自然数的一个排列。在上述排列中，如果有一个较大的自然竖排在一个较小的自然数前面，则称为一个
反序。一个排列中包含的反序的总数称为该排列的反序数。排列i1i2?in的反序数计作N(i1i2?in)。一个排列的反序数为奇数时，该排列称为奇排列；如果反序数时偶数，则称为偶排列。
N(i1i2?in)的算法
给定n个自然数，按大小顺序排列：
1?i1?i2???in，
现在把它们按任意次序重排，得n元排列j1j2?jn，这个排列的反序数可用下法计算：先找出排在i1前面的数字有多少，设为?(i1)，然后划去i1，再看i2前面未划去的数字有多少，设为?(i2)，然后划去i2，再看i3前面未划去的数字有多少，设为r(i3)，然后划去i3，?，经过n次后，即得
N(i1i2?in)??(i1)??(i2)????(in)。
命题 给定数域K上的m?n矩阵，（m?n），
?a11
?a21?A?????a?n1
a12a22?an2
???
a1n?
?a2n
?， ???ann??
取定m个自然数，按大小次序排列：1?i1?i2???im?n，又设j1j2?jm是这m个自然数的一个排列，则
a1j1a2j1?amj1
a1j2a2j2
?amj2
???
a1jma2jm
?amjm
?(?1)
N(j1j2?jm)
a1i1a2i1?ami1
a1i2a2i2?ami2
??
a1ima2im
?amim
。
?
推论 将命题中j1j2?jn的k,l互换，则其奇偶性发生变化。 定理 数域K上的n阶行列式有如下展开式
a11
A?
a21?an1
a12a22?an2
???
a1na2n?ann
?
?
(i1i2?in)
(?1)
N(i1i2?in)
ai11ai22?ainn。
证明 令f(A)?
?
(i1i2?in)
(?1)
N(i1i2?in)
ai11ai22?ainn，证明f(A)是行列式函数。
推论 设A?(aij)n?n，则A?第一学期第十六次课
期中考试 第一学期第十七次课
?
(i1i2?in)
(?1)
N(i1i2?in)
a1i1a2i2?anin。
第四章 线性空间与线性变换
§1 线性空间的基本概念
4.1.1线性空间的定义及例
1、线性空间的定义 定义4.1 线性空间
设V是一个非空集合，且V上有一个二元运算“+”(V?V?V)，又设K为数域，V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“?”(K?V?V)， 且“+”与“?”满足如下性质：
1、 加法交换律 ??,??V，有???????；
2、 加法结合律 ??,?,??V，有(???)?????(???)； 3、 存在“零元”，即存在0?V，使得???V,0????； 4、 存在负元，即???V，存在??V，使得????0； 5、 “1律” 1????；
6、 数乘结合律 ?k,l?K,??V，都有(kl)??k(l?)?l(k?)； 7、 分配律 ?k,l?K,??V，都有(k?l)??k??l?； 8、 分配律 ?k?K,?,??V，都有k(???)?k??k?，
则称V为K上的一个线性空间，我们把线性空间中的元素称为向量。注意：线性空间依赖于“+”和“?”的定义，不光与集合V有关。
2、零向量和负向量的唯一性，向量减法的定义，线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质 命题4.1 零元素唯一，任意元素的负元素唯一。 证明：
设0与0'均是零元素，则由零元素的性质，有
0?0'?0?0'；
???V，设?,?'都是?的负向量，则
??0???(?'??)????'?(???)???0??，
于是命题得证。由于负向量唯一，我们用??代表?的负向量。
定义4.2 减法
我们定义二元运算减法“-”如下：
???定义为??(??)。
线性空间中的加法和数乘满足如下性质：
1、 加法满足消去律 ??????????；? 2、 可移项 ??????????；? 3、 可以消因子 k???且k?0，则??4、 0???0, k?0?0 , (?1?)???。 3、线性空间的例子
1k
?；
例4.1
令V表示在(a,b)上可微的函数所构成的集合，令K??，V中加法的定义就是函数的加法，关于K的数乘就是实数遇函数的乘法，V构成K上的线性空间。
4.1.2线性空间中线性组合和线性表出的定义，向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述，向量组的秩，向量组的线性等价；极大线性无关组
定义4.3 线性组合
给定V内一个向量组?1,?2,?,?s，又给定数域K内s个数k1,k2,?,ks，称k1?1?k2?2???ks?s为向量组?1,?2,?,?s的一个线性组合；
定义4.4 线性表出
给定V内一个向量组?1,?2,?,?s，设?是V内的一个向量，如果存在K内s个数k1,k2,?,ks，使得??k1?1?k2?2???ks?s，则称向量?可以被向量组?1,?2,?,?s线性表出。
定义4.5 向量组的线性相关与线性无关
给定V内一个向量组?1,?2,?,?s，如果对V内某一个向量?，存在数域K内不全为零的数k1,k2,?,ks，使得
k1?1?k2?2???ks?s?0，则称向量组?1,?2,?,?s线性相关；
若由方程k1?1?k2?2???ks?s?0必定推出
k1?k2???ks?0，则称向量组?1,?2,?,?s线性无关。
命题4.3 设?1,?2,??s?V，则下述两条等价： 1）?1,?2,??s线性相关； 2）某个?i可被其余向量线性表示。 证明同向量空间。 定义4.6 线性等价 给定V内两个向量组 ?1,?2,?,?r （Ⅰ）， ?1,?2,?,?s （Ⅱ），
如果（Ⅰ）中任一向量都能被（Ⅱ）线性表示，反过来，（Ⅱ）中任一向量都能被（Ⅰ）线性表示，则称两向量组线性等价。
定义4.7 极大线性无关部分组
给定V内一个向量组?1,?2,?,?s，如果它有一个部分组?i,?i,?,?i满足如下条件：
1
2
r
（i）、?i,?i,?,?i线性无关；
1
2
r
（ii）、原向量组中任一向量都能被?i,?i,?,?i线性表示，
1
2
r
则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组。
由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到K的一些特有的性质，于是那些命题在线性空间中依然成立。
定义4.8 向量组的秩
n
一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量，其向量数目成为该向量组的秩。 例4.2 求证：向量组?e?x,e?
1
2x
?的秩等于2（其中?
1
??2）
证明： 方法一：
设k1,k2??，满足k1e?x?k2e?
1
2x
?0，则k1e
?1x
??k2e
?2x
，假若k1,k2不全为零，不妨设k1?0，则有
e
(?1??2)x
??
k2k1
，而由于?1??2，等号左边为严格单调函数，矛盾于等号右边为常数。于是
k1?k2?0。
所以e?x,e?x线性无关，向量组的秩等于2。
1
2
证毕。
方法二：若在(a,b)上k1e两端求导数，得
k1?1e
?1x
?1x
?k2e
?2x
?0，
?k2?2e
?2x
?0，
以x?c?(a,b)代入，
?1c?2c
??0,?k1e?k2e
??1c?2c
?0.??k1?1e?k2?2e
而
e
?1c?2c
e
?2c?2c
?1e?2e
?e
(?1??2)c
(?2??1)?0，
于是k1?k2?0。 证毕。
第一学期第十八次课
4.1.3 线性空间的基与维数，向量的坐标 设V是数域K上的线性空间， 定义4.9 基和维数
如果在V中存在n个向量?1,?2,?,?n，满足： 1）、?1,?2,?,?n线性无关；
2）、V中任一向量在K上可表成?1,?2,?,?n的线性组合， 则称?1,?2,?,?n为V的一组基。 基即是V的一个极大线性无关部分组。 基的个数定义为线性空间的维数。
命题4.4 设V是数域K上的n维线性空间，而?1,?2,?,?n?V。若V中任一向量皆可被?1,?2,?,?n线性表出，则?1,?2,?,?n是V的一组基。
证明：由?1,?2,?,?n与V的一组基线性等价可以推出它们的秩相等。
高等代数 北京大学第三版 北京大学精品课程85_高等代数第三版
命题4.5 设V为K上的n维线性空间，?1,?2,?,?n?V，则下述两条等价： 1）、?1,?2,?,?n线性无关；
2）、V中任一向量可被?1,?2,?,?n线性表出。 定义4.10 向量的坐标
设V为K上的n维线性空间，?1,?2,?,?n是它的一组基。任给??V，由命题 ，?可唯一表示为?1,?2,?,?n的线性组合，即?!ai?K,
(i?1,2,?,n)，使得
??a1?1?a2?2???an?n，
于是我们称?a1,a2,?,an?为?在基?1,?2,?,?n下的坐标。 易见，在某组基下的坐标与V/K中的向量是一一对应的关系。 第一学期第十九次课
4.1.4线性空间的基变换，基的过渡矩阵
设V/K是n维线性空间，设?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n是两组基，且
??1?t11?1?t21?2???tn1?n,
?
??2?t12?1?t22?2???tn2?n,
?
???????????????t??t????t?.
1n12n2nnn?n
将其写成矩阵形式
?t11
?t21
(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)?
????t?n1
t12t22?tn2
???
t1n??t2n
?， ???tnn??
定义4.11 我们称矩阵
?t11
?t21?T?????t?n1
t12t22?tn2
???
t1n??t2n
? ???tnn??
为从?1,?2,?,?n到?1,?2,?,?n的过渡矩阵。
命题4.6 设在n维线性空间V/K中给定一组基?1,?2,?,?n。T是K上一个n阶方阵。命
(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)T.
则有?1,?2,?,?n是V/K的一组基，当且仅当T可逆。 证明：
若?1,?2,?,?n是线性空间V/K的一组基，则?1,?2,?,?n线性无关。 考察同构映射
?:V?K
n
???在?1,?2,?,?n下的坐
（标字打不上去，我不知道为什么）
构造方程
k1?(?1)?k2?(?2)???kn?(?n)?0，其中ki?K,(i?1,2,?,n)，
??(k1?1?k2?2???kn?n)?0， ?k1?1?k2?2???kn?n?0， ?k1?k2???kn?0。
于是?(?1),?(?2),?,?(?n)线性无关。
?(?1),?(?2),?,?(?n)构成了过渡矩阵的列向量，所以过渡矩阵可逆；
反过来，若过渡矩阵可逆，则构造方程
k1?1?k2?2???kn?n?0，其中ki?K,(i?1,2,?,n)，
两边用?作用，得到
k1?(?1)?k2?(?2)???kn?(?n)?0。 ?k1?k2???kn?0，
证毕。
4.1.5向量的坐标变换公式；Kn中的两组基的过渡矩阵 1、向量的坐标变换公式
设V/K有两组基为?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n， 又设?在?1,?2,?,?n下的坐标为?a1,a2,?,an?，即 ?a1?a2???(?1,?2,?,?n)????a?n
???， ????
在?1,?2,?,?n下的坐标为(b1,b2,?,bn)，即 ?b1?b2???(?1,?2,?,?n)????b?n
???。 ????
现在设两组基之间的过渡矩阵为T，即
(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)T.
记
?a1?a2
X??
????a?n??b1????
b
?，Y??2?， ????????b????n?
于是
(?1,?2,?,?n)X?(?1,?2,?,?n)Y?[(?1,?2,?,?n)T]Y?(?1,?2,?,?n)(TY)。
于是，由坐标的唯一性，可以知道X?TY，这就是坐标变换公式。 2、Kn中两组基的过渡矩阵的求法 我们设Kn中两组基分别为
?1?(a11,a12,?,a1n),?2?(a21,a22,?,a2n),????????
?n?(an1,an2,?,ann).和
?1?(b11,b12,?,b1n),?2?(b21,b22,?,b2n),????????
?n?(bn1,bn2,?,bnn).而
(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)T.
按定义，T的第i个列向量分别是?i在基?1,?2,?,?n下的坐标。 将?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n看作列向量分别排成矩阵 ?a11
?a21
A??
????a?n1?b11?b21?B?????b?n1
a12a22?an2b12b22?bn2
????
a1n?
?a2n
?； ???ann??b1n??b2n
?， ???bnn??
??
则有
B?AT，
将A和B拼成n?2n分块矩阵?A|B?，利用初等行变换将左边矩阵A化为单位矩阵E，则右边出来的就是过渡矩阵T，示意如下：
初等
“变换”两个字打不上去） ????E|T?（?A|B??行
§2 子空间与商空间
4.2.1线性空间的子空间的定义 定义4.12 子空间
设V是数域K上的一个线性空间，M时V的一个非空子集。如果M关于V内的加法与数乘运算也组成数域K上的一个线性空间，则称为V的一个子空间。
命题4.7 设V是K上的线性空间，又设一个非空集合W?V，则W是子空间当且仅当下述两条成立： i）、W对减法?封闭；
ii）、W对于K中元素作数乘封闭。 证明：
必要性由定义直接得出； 充分性：
各运算律在V中已有，所以W满足运算律的条件。
只需要证明0?W且对于任意??W，???W，且对加法封闭即可。
事实上，由于W关于数乘封闭，则0???0?W；(?1)??????W，于是对于
??,??W，??????(??)?W，W关于加法封闭。于是W是V的一个子空间。
证毕。
事实上，W关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论。
命题4.8 设W是V的一个有限维子空间，则W的任一组基可以扩充为V的一组基。 证明：
设dimV?n，dimW?r，(r?n)， 若r?n，则命题为真；
若r?n，对n?r作归纳： 设?1,?2,?,?r为
W的一组基，取?r?1?V\W
,?r,?r?,线，则?1,?2?性无关。于是令1
W'?{??k?r?1|??W,k?K}，易见，W’是V的一个子空间，且dimW'?r?1，此时n?dimW'?n?r?1，
对其用归纳假设即可。 第一学期第二十次课
4.2.2子空间的交与和，生成元集
,,?t是V的一个子空间，称为由定义4.13 设?1,?2,?,?t?V，则?k1?1?k2?2???kt?t|ki?K,i?1,2?
?1,?2,?,?t生成的子空间，记为L(?1,?2,?,?t)。易见，生成的子空间的维数等于?1,?2,?,?t的秩。
定义4.14 子空间的交与和
设V1,V2为线性空间V/K的子空间，定义
V1?V2?{v?V1且v?V2}，称为子空间的交； V1?V2?{v1?v2|v1?V1,v2?V2}，称为子空间的和。
命题4.9 V1?V2和V1?V2都是V的子空间。 证明：
由命题 ，只需要证明V1?V2和V1?V2关于加法与数乘封闭即可。
事实上，??,??V1?V2，则?,??V1，?,??V2。由于V1,V2均是V的子空间，则????V1,????V2，于是????V1?V2，V1?V2关于加法封闭，???V1?V2，k?K，kv?V1,kv?V2，于是kv?V1?V2，V1?V2关于数乘封闭；??,??V1?V2，则由V1?V2的定义，??1,?1?V1,?2,?2?V2，使得???1??2,???1??2，而?1??1?V1,?2??2?V2，则
????(?1??2)?(?1??2)?(?1??1)?(?2??2)?V1?V2，V1?V2关于加法封闭，
???V1?V2,k?K
，
??1?V1,?2?V2
，使得
???1??2
，由于
k?1?V,1?k?
2
，V则
k??k(?1??)2?k??k1??V?V，V1?V2关于数乘封闭。 2
证毕。
命题4.10 设V1,V2,?,Vm是V的子空间，则V1?V2???Vm和V1?V2???Vm均为V的子空间。
4.2.3 维数公式。
定理4.1 设V为有限维线性空间，V1,V2为子空间，则
dim(V1?V2)?dimV1?dimV2?dim(V1?V2)。
这个定理中的公式被称为维数公式。 证明：
设dimV1?s，dimV2?t，dim(V1?V2)?n，dim(V1?V2)?r， 取V1?V2的一组基?1,?2,?,?r（若V1?V2=0，则r?0，基为空集） 将此基分别扩充为V1,V2的基
?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r， ?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?t?r，
只需要证明?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r,?1,?2,?,?t?r是V1?V2的一组基即可。
首先，易见V1?V2中的任一向量都可以被?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r,?1,?2,?,?t?r线性表出。事实上，
???V1?V2，则???1??2，其中?1?V1,?2?V2，
而
?1?k1?1?k2?2???kr?r?kr?1?1?kr?2?2???ks?s?r, ?2?? ?2?l1?1?l2
,于是???1??2可被?1,?2?
r
?rl?r,?l
r
??lr??l11?r
1
???22
t
?l?.ki,lj?K t?tr
,?
,??,?12
?,??,
2?
?,
,r性?,表出。只要再证明向量组线
?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?l?r,?1,?2,?,?t?r线性无关即可。
高等代数 北京大学第三版 北京大学精品课程85_高等代数第三版
设k1?1?k2?2???kr?r?a1?1?a2?2???as?r?s?r?b1?1?b2?2???bt?r?t?r?0， 其中ki,aj,bh?K 则
（*） k1?1?k2?2???kr?r?a1?1?a2?2???as?r?s?r??b1?1?b2?2???bt?r?t?r，于是
k1?1?k2?2???kr?r?a1?1?a2?2???as?r?s?r?V1，
?b1?1?b2?2???bt?r?t?r?V2，
于是k1?1?k2?2???kr?r?a1?1?a2?2???as?r?s?r?V1?V2，记为?。 则?可被?1,?2,?,?r线性表示，则
??h1?1?h2?2???hr?r，
带入（*），有
h1?1?h2?2???hr?r?b1?1?b2?2???bt?r?t?r?0，
由于?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?t?r是V2的一组基，所以线性无关，则
h1?h2???hr?b1?b2???bt?r?0，
带回（*），又有
k1?k2???kr?a1?a2???as?r?0，
于是向量组?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r,?1,?2,?,?t?r线性无关。 证毕。
推论2.1 设V1,V2,?,Vt都是有限为线性空间V的子空间，则：
dim(V1?V2???Vt)?dimV1?dimV2???dimVt。
证明：对t作归纳。 第一学期第二十一次课
第四章 §2子空间与商空间
4.2.4子空间的直和与直和的四个等价定义
m
定义 设V是数域K上的线性空间，V1,V2,?,Vm是V的有限为子空间。若对于?Vi中任一向量，表达式
i?1
???1??2????m,
m
?i?Vi,i?1,2,?,m
是唯一的，则称?Vi为直和，记为
i?1
m
V1?V2???Vm或?Vi。
i?1
定理 设V1,V2,?,Vm为数域K上的线性空间V上的有限为子空间，则下述四条等价：
V???V1）、V1?
2
m
是直和；
2）、零向量表示法唯一；
(3）、Vi?V
1
?????Vi??Vm?)}0{,??i2,1,
1
?m；
Vm。
4）、mdi(
V1?V???)Vmdim?mdi2V?mdi2V???
证明 1)?2 ) 显然。2)?1) 设???1??2????m??1??2????m,则
(?1??1)?(?2??2)???(?m??m)?0。
由2）知，零向量的表示法唯一，于是
?i??i,
2
i?1,2,?,m，
即?的表示法唯一。由直和的定义可知，V1?V???Vm是直和。2)?3) 假若存在某个i,1?i?m，使得????V)?{0}，则存在向量??0且??V?(V???V????V)，于是存在??V，使得 Vi?(V1???Vjjimi1im
?i????m。 ???1????
由线性空间的定义，
????V)， ???Vi?(V1???Vim
则?1???(??)????m???(??)?0，与零向量的表示法唯一矛盾，于是
????V)?{0},?i?1,2,?,m。 Vi?(V1???Vim
3)?2) 若2）不真，则有
0??1????i????m，
其中?j?Vj(j?1,2,?,m)且??i?0。于是
????V)， ?i????m?Vi?(V1???V??i??1????im
与3）矛盾，于是2）成立。3)?4) 对m作归纳。m=2时，由维数公式得到
dim(V1?V2)?dimV1?dimV2?dim(V1?V2)?dimV1?dimV2。
设m?1(m?3)已证，
dim(V1?V2???Vm)?dimVm?dim(V1?V2???Vm?1)?dim(Vm?(V1?V2???Vm?1))
?dimVm?dim(V1?V2???Vm?1),
垐???V)?V?(V???V???V)?{0}； 而?i,1?i?m?1，都有Vi?(V1???Vim?1i1im
用归纳假设，可以得到dim(V1?V2???Vm)?dimV1?dimV2???dimVm；
4)?3) ?i,1?i?m，都有
dim(Vi?(V1???V垐???Vm))?dim(Vi)?dim(V1???Vi???Vm)?dim(V1?V2???Vm)?0， i
于是Vi?(V1???V?i???Vm)?{0},?i?1,2,?,m。证毕。
推论 设V1,V2为V的有限维子空间，则下述四条等价： i）、V1?V2是直和； ii）、零向量的表示法唯一； iii）、V1?V2?{0}；
di(iv）、m
V1)?Vmdi?mdiV1?2
V2
。
4.2.5直和因子的基与直和的基
命题 设V?V1?V???Vm，则V1,V,?,Vm的基的并集为V的一组基。
2
2
m
证明 设?i,?i,?,?i是Vi的一组基，则V中任一向量可被
12r
i
?{?
i?1
i1
,?i2,?,?ir}线性表出。又
i
m
dimV?
?dimV
i?1
i
?r1?r2???rm，由命题 ，它们线性无关，于是它们是V的一组基。 证毕。
4.2.6补空间的定义及存在性
定义 设V1为V的子空间，若子空间V2满足V?V1?V2，则称为V1的补空间。 命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间。
证明 设V1为K上的n为线性空间V的非平凡子空间，取V1的一组基?1,?2,?,?r，将其扩为V的一组基?1,?2,?,?r,?r?1,?r?2,?,?n取V2?L(?r?1,?r?2,?,?n)，则有
V?V1?V2，且dimV1?dimV2?n?dim(V1?V2)，
于是V?V1?V2，即V2是V1的补空间。证毕。 第一学期第二十二次课
4.2.7线性空间关于一个子空间的同余关系
?'???M，定义 给定K上的线性空间V，M是V的子空间，设?是V的一个向量。如果V的一个向量?'满足：
则称?'与?模M同余，记作?'??(modM)。
易见，同余关系是V上的一个等价关系。
把全部等价类组成的集合（一个等价类视为等价类集合中的一个元素）记为V/M，V/M中的元素形如
??M?????|??M?，
我们称??M为一个模M的同余类，而将等价类中的任一元素称为等价类的代表元素。
命题 同余类满足如下一些性质： 1）、?'???M??'???M； 2）、?'???M??'?M???M； 3）、??M?0?M
??M?
；
4）、若?'?M???M，则(?'?M)?(??M)??。
证明 1）由定义可以得出；若?'???M，则由1），???'?M，则?????'?(???')??(???M)，于是，??M??'?M，同理?'?M???M，于是??M??'?M，2）得证；由2）可以推出3）；
我们将??M记为。
4.2.8商空间的定义，定义的合理性以及商空间的基的选取 定义 V/M中的运算（加法和数量乘法）
对于任意?V/M，定义??????；k?k?。
下面证明加法和数量乘法是良定义，即若?'，???'，有?????'??'；且?k?K，有k??k?'。 事实上，若?'，???'，则???'?M，???'?M，于是(???)?(?'??')?M，?????'??'，
k(???')?M，于是k??k?'，加法和数乘是良定义。
命题 V/M关于上面定义的加法和数乘构成一个线性空间。
证明 逐项验证即可。
定义 这个线性空间被称为V对子空间M的商空间。
命题 设V是数域K上的n维线性空间，W是V的一个m维子空间，则
dimV?dimW?dimV/W；
证明 任取W的一组基?1,?2,?,?m，将它扩为V的一组基?1,?2,?,?m,?m?1,?m?2,?,?n，断言1,2,?,m是
V/W的一组基。
首先证明线性无关性。设有km?1,km?2,?,kn?K，使得km?1m?1?km?2m?2???knn?0，由加法的定义，左端=km?1?m?1?km?2?m?2???kn?n，于是km?1?m?1?km?2?m?2???kn?n?W，故存在k1,k2,?,km?K，使得
km?1?m?1?km?2?
m?2
???kn?
n
?k1?1?k2?2???km?
m
，而由于?1,?2,?,?n是V
的一组基，则
km?1?km?2???kn?0。
再证V/M中任一向量可被表成1,2,?,m的线性组合。事实上，任取?V/W，则存在k1,k2,?,kn?K，使得??k1?1?k2?2???kn?n，由于k1?1?k2?2???km?m?W，于是??km?1?m?1?km?2?m?2???kn?n。
于是1,2,?,m是V/W的一组基。证毕.。 第一学期第二十三次课
第四章 §3线性映射与线性变换
4.3.1线性映射的定义
定义 设U,V为数域K上的线性空间，?:U?V为映射，且满足以下两个条件： i）、??(??)???()???(,()?,??ii）、?(?k)???k(,()
)?
U；
??,?Uk)?K，
则称?为（由U到V的）线性映射，
由数域K上的线性空间U到V的K的线性映射的全体记为HomK(U,V)，或简记为Hom(U,V)。 定义中的i）和ii）二条件可用下述一条代替：
?(k??l?)?k?(?)?k?(?),(??,??U,k,l?K)。
例 Mm?n(K)是K上的线性空间，Ms?n(K)也是K上线性空间，取定一个K上的s?m矩阵A，定义映射 ?:Mm?n(K)?Ms?n(K),
x?AX.
则?是由Mm?n(K)到Ms?n(K)的线性映射。
例 考虑区间(a,b)上连续函数的全体，它是?上的线性空间，令
U?L(1,sinx,sin2x,?,sinnx), V?L(1,cosx,cos2x,?,cosnx).
再令
?:
U?V,f(x)?AX.
则?是由U到V的一个线性映射。
定义 设?:U?V是线性映射
i）、如果?是单射，则称?是单线性映射（monomorphism）； ii）、如果?是满射，则称?是满线性映射（endmorphism）；
iii）、如果?既单且满，则称?为同构映射（简称为同构，isomorphism），并说U与V是同构的，同构映射也称为线性空间的同态（homomorphism），同构映射的逆映射也是同构映射；
iv）、?的核（kernel）定义为ker??{??U|?(?)?0}；
v）、?的像（image）定义为im?={??V|???U,s.t?(?)??}，也记为?(U)； 命题 ker?和im?是V的子空间。 证明 容易证明它们关于加法和数乘封闭。 vi）、?的余核定义为coker??V/im?。
命题 线性映射f是单的当且仅当kerf?{0}，f是满的当且仅当cokerf?{0}。 定理（同态基本定理） 设f:U?V是数域K上的线性空间的满线性映射，则映射
?:U/kerf?V,??kerf?f(?).
是同构映射。
证明 首先证明?是良定义，即若???'?U/kerf，则?(?)??(?')。由于???'，存在??kerf，使得???'??。于是f(?)?f(?'??)?f(?')?f(?)?f(?')，即?(?)??(?')。 再
证
明
?
是线性映射。??,?U?/k，?ek,rl?K，
?(k??l?)?f(k??l?)?kf(?)?lf(?)?k?(?)?l?(?)。
易见?是满射，且有V?imf。只要再证明?是单射即可，即证明ker??{0}。设??ker?，则，于是??kerf，即有??0。证毕。 ?(?)?f(?)?0
命题 设?:U?V是线性映射，dimU?n，则下述三条等价： i）、?单；
ii）、?将U中任意线性无关组映为V中的线性无关组； iii）、mdi(?)U?n。
证明 i）?ii）若?1,?2,?,?t?V线性无关，则令k1?(?1)?k2?(?2)???kt?(?t)?0，由线性映射的定义，?(k1?1?k2?2???kt?t)?0。?单，于是k1?1?k2?2???kt?t?0，则k1?k2???kt?0，ii）成立；ii）?iii）
若取U的一组基?1,?2,?,?n，则由已知， ?(?1),?(?2),?,?(?n)线性无关，而im?中任意向量可以被?(?1),?(?2),?,?(?n)线性表出，于是?(?1),?(?2),?,?(?n)构成im?的一组基，iii）成立；iii）?i）由同态基
本定理知U/ker??im?，于是dimU?dimker??dimim??dimker??0，即有ker??{0}。证毕。 第一学期第二十四次课
4.3.2线性映射的运算的定义与性质
定义 线性映射的运算（加法与数域K上的数量乘法） 设f:U?V，g:U?V为线性映射，定义f?g为
高等代数 北京大学第三版 北京大学精品课程85_高等代数第三版
f?g:U?V,
??f(?)?g(?).(???U)
定义k?f(?k?K)为
k?f:U?V,
??kf(?).(???U)
说明 f?g与k?f仍为线性映射。
命题 HomK(U,V)在加法和数乘下构成数域K上的线性空间。 证明 逐项验证。
定义 线性映射的乘法（复合）
fg
设存在映射f,g，U???V???W，映射的乘法定义为(g?f)(?)?g(f(?))。易验证，
g?f?Hom(U,W)。
特别地，称V到自身的线性映射为V上的线性变换，常记Hom(V,V)为End(V)。End(V)中的元素（线性变换），用黑体或空体表示。
对于f(x)?a0?a1x?a2x2???anxn,ai?K，规定
f(A)?a0?a1A?a2A???anA,ai?K。
2
n
4.3.3线性映射在一组基下的矩阵的定义
定义 设f?Hom(U,V)，取U的一组基?1,?2,?,?n和V的一组基?1,?2,?,?m，设
f(?1)?a11?1?a21?2???am1?m,f(?2)?a12?1?a22?2???am2?m,??????????????f(?n)?a1n?1?a2n?2???amn?m.
于是
?a11
?a21
(f(?1),f(?2),?,f(?n))?(?1,?2,?,?m)?
????a?m1
a12a22?am2
???
a1n?
?a2n
?. ???amn??
称(aij)为f在基?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?m下的矩阵。
在给定U和V的基的前提下，Hom(U,V)中的元素与它的矩阵互相决定，严格地说，有：
命题 设U和V是数域K上的线性空间， dimU?n，dimV?m，则HomK(U,V)同构于K上的m?n矩阵的全体构成的线性空间.
证明 取定U和V的基?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?m，考察映射
?:Hom(U,V)?Mm?n(K),
f?A.
其中A是f的矩阵。???U，??k1?1?k2?2???kn?n,
?k1?k2
f(?)?f((?1,?2,?,?n)?
????k?n
?k1?k2
于是f(?)在V中的坐标为A?
????k?n
???。 ????
??k1??
k
?)?(f(?,?,?,?))?2
12n
???????k??n??k1
??
k
??(?,?,?,?)A?2
12m
???????k??n?
??. ????
1、 证明?是单射，设f?g，若它们的矩阵分别为A,B，则A?B。否则U中任一向量在f,g下的像坐标相同?f?g；
2、 证明?是满射，任给C?M，定义从U到V的映射f，满足(f(?1),f(?2),?,f(?n))?(?1,?2,?,?m)C.再对任一??k1?1?k2?2???kn?n?U，令
f(k1?1?k2?2???kn?n)?k1f(?1)?k2f(?2)???knf(?n)，
易见f线性，即线性映射f的矩阵就是C。
3、 证明?是线性映射，设f,g?Hom(U,V)，它们的矩阵分别为A,B，
(f?g)(?i)?f(?i)?g(?i)?(ai1?1?ai2?2???aim?m)?(bi1?1?bi2?2???bim?m)
?(ai1?bi1)?1?(ai2?bi2)?2???(aim?bim)?m.(i?1,2,?,n)
于是f?g在?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?m下的矩阵为A?B；同理可证?(kf)?k?(f)。命题得证。
线性映射的复合的矩阵
?1,?2,?,?m和?1,?2,?,?l，命题 设f?Hom(U,V),g?Hom(V,W)，设U,V,W的基为?1,?2,?,?n，记f
和g在这组基下的矩阵分别为A和B，则g?f在基?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?l下的矩阵为BA。特别地，当
U?V?W时，f(A)的矩阵为f(A)。
说明 对于一般的线性映射，一般不满足交换律，甚至交换后没有意义。 第一学期第二十五次课
第四章 §3线性映射与线性变换（续）
4.3.4线性变换的定义与运算
定义 线性空间到自身的线性映射称为线性变换，记HomK(V,V)为EndK(V)或End(V)。 例 恒同变换
E:V?V,
???.
例 投影（射影）设V?V1?V2，???V,???1??2(?1?V1,?2?V2)，定义V到V1的投影PV(?)??1，V
1
到V2的投影PV(?)??2。
2
定义 EndV(中的运算（加法、数乘和乘法） )加法定义为(A+B)(?)?A(?)+B(?),(???V)； 数乘定义为(kA)(?)?k(A(?))，其中k?K；
乘法（复合）定义为(A?B)(?)?A(B(?))。
命题 End(V)关于加法和复合（作为乘法）构成环，称为V的自同态环。 命题 设V为数域K上的n维线性空间，则End(V)同构于Mn(K)。 证明 由定理 直接推出。 4.3.5线性变换的矩阵与矩阵的相似
线性变换（在一组基下）的矩阵的定义是线性映射的矩阵的特例。 设?和A?在?1,?,?n下的坐标分别为 ?x1?x?2????x?n
??y1??
y?和?2?????????yn
??y1??
y
?，记A在?,?,?下的矩阵为A，则?2
1n
???????y??n
??x1?
???
x
??A?2?。 ????????x????n?
即在给定的基下向量在线性变换下的像的坐标等于的线性变换的矩阵乘以原来向量的坐标。
命题 设线性变换A在一组基?1,?,n下的矩阵为A，由基?1,?,?n到基?1,?,?n的过渡矩阵为T，则A在?1,?,?n下的矩阵为T
?1
AT。
证明 由已知，A(?1,?2,?,?n)?(A?1,A?2,?,A?n)?(?1,?2,?,?n)A，且有
(?1,?,?n)?(?1,?,?n)T（*），
设A在?1,?,?n下的矩阵为B，则
B(?1,?2,?,?n)?(B?1,B?2,?,B?n)?(?1,?2,?,?n)B。
将（*）代入，则有B?T?1AT。
定义 称n阶矩阵A相似于B（记为A?B），若存在可逆矩阵T，使得B?T?1AT。 命题 相似是等价关系。
命题 二矩阵相似当且仅当它们是同一个线性变换在两组基下的矩阵。
证明 充分性已证。必要性 若A?B，则存在T?GLn(K)，使得B?T?1AT。定义K上的n为线性空间V上的线性变换A如下：任取V的一组基?1,?,?n，定义A(?1,?,?n)?(?1,?,?n)A，再令
(?1,?,?n)?(?1,?,?n)T，由命题 可知，?1,?,?n是VA(?1,?,?n)?(?1,?,?n)T
?1
的一组基，代入整理，得到
AT。证毕。
第一学期第二十六次课
第四章 §4线性变换的特征值与特征向量
4.4.1线性变换的特征值与特征向量的定义
定义 若存在非零向量??V，使得对于某个??K，有A????，则称?是A的属于特征值?的特征向量。 命题 线性空间V中属于确定的特征值?的特征向量（添加上零向量）构成子空间。 证明 设?1,?2是属于?的特征向量，?k,l?K，则
A(k?1?l?2)?kA(?1)?lA(?2)?k??1?l??2??(k?1?l?2)，
证毕。
定义 线性空间V中属于确定的特征值?的特征向量（添加上零向量）构成子空间称为属于特征值?的特征子
空间，记为V?。
4.4.2特征值和特征子空间的计算、特征多项式
取定V的一组基?1,?,?n，设V上的线性变换A在此组基下的矩阵为A，假设?是属于?的特征向量，且?x1?x2???x1?1?x2?2???xn?n，A????有非零解当且仅当(?1,?,?n)A????x?n
??
??(?,?,?)?
1n
????
?x1?x?2????x?n
??x1????
x
? ?(?E?A)?2?????
????x???n??
有非零解??E?A?0。
定义 上述f(?)??E?A被称为线性变换A的特征多项式。特征多项式在K中的零点就是特征值。取定一个特征值???0，方程组??0E?A?X?0的非零解就是属于?0的特征向量的坐标。 第一学期第二十七次课
第四章 §4特征值与特征向量(续)
4.4.2关于特征向量与特征子空间的一些性质
命题 线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关。
证明 设A为V/K上的线性变换，?1,?2,?,?t是两两不同的特征值，?i(1?i?t)是属于特征子空间V?的特
i
征向量，设k1,k2,?,kt?K，使得k1?1?k2?2???kt?t?0，两边用Aj作用（i?1,2,?,t?1），于是得到方程组
?1?1??2?2????t?t?0,j?0,1,?,t?1，
j
j
j
其中?i的方幂组成的矩阵为
?1
???1?????t?1?1
1
??
1???t
?， ??t?1??t??
?2?
?2
t?1
?
?i两两不同，于是此矩阵的行列式非零，矩阵非退化，于是方程组只有零解，即
k1?1?k2?2???kt?t?0，
又由于特征向量非零，则k1?k2???kt?0，则?1,?2,?,?t线性无关。证毕。
推论 n维空间的具有n个不同特征值的线性变换的矩阵相似于对角矩阵. 证明 取每个特征值的一个特征向量作为基即可。
t
推论 设?1,?2,?,?t为A的两两不同的特征值，则?V?为直和。
i
i?1
证明 只要证明零向量的表示法唯一即可。设0??1??2????t,(?i?V?)，假若某个?i?0，则?1,?2,?,?t线
i
性相关，与上述命题矛盾。证毕。
定理 n维空间线性变换的矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件是该空间等于特征子空间的直和。 证明 必要性 设V/K上的线性变换A在一组基?1,?2,?,?n下成对角形，即
?d1?
A(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)?
????
d2
?
???， ??dn??
将
d1,d2,?,dn
中的不同的值分别记为
?1,?2,?,?t
，相应的基向量记为
t
?j,?j,?,?j,?j,?j,?,?j
11
12
1s1
21
22
2s
2
,?,?jt1,?jt2,?,?jts，记Vi?L(?j,?j,?,?j)，易见，V?
i1i2is
t
i
?V
i?1
i
，只要证明
“?”成立；任取??V?i， ?i?1,2,?,t，V?i?Vi即可。易见，
， ??l1?1?l2?2???ln?n??1??2????t（1）
其中?k?lj?j?lj?j???lj?j?Vk?V?，两边用A作用，得到
k1k1k2k2ksksk
k
k
， ?i???1?1??2?2????t?t（2）
用（1）乘以?i与（2）相减，得到
(?1??i)?1?(?2??i)?2???(?i?1??i)?i?1?(?i?1??i)?i?1?(?i?2??i)?i?2???(?t??i)?t?0，
?i两两不同，又属于不同特征值的特征向量线性无关，得?j?0(j?1,2,?,i?1,i?1,?,t)，即有???i?Vi。“?”
得证。于是Vi?V?，必要性证毕。
i
充分性 若K上的线性空间V可以分解成为特征子空间的直和，记号同上，则
V?V?1?V?2???V?t，
分别取个个特征子空间的基合并为V的一组基，则在此组基下，A的矩阵成对角形。证毕。
4.4.3线性变换的不变子空间
定义 设A为线性空间V上的线性变换，V1是V的一个子空间。如果V1在A下的像包含于V1（即A(V1)?V1），则称V1为V的一个（A-）不变子空间。这时A可以看作V1内的一个线性变换，称为A在V1内的限制，记作A|M。
命题 n维空间线性变换的矩阵相似于准对角矩阵的充分必要条件是该空间能分解为不变子空间的直和。 证明 必要性 记n维线性空间为V/K，若其上的线性变换A在某组基
?11,?12,?,?1r,?21,?22,?,?2r,?,?t1,?t2,?,?tr，
1
2
t
下的矩阵为准对角形
?A1
?A??
????
i
A2
?
???， ??At??
其中ri等于Ai的阶数，令Vi?L(?i1,?i2,?,?ir)，则Vi是A-不变子空间，且
V?V1?V2???Vt。
充分性 若V?V1?V2???Vt，则取Vi的基并为V的基，则在此组基下A的矩阵成准对角形。证毕。 第一学期第二十八次课
命题 如果n维空间V上的线性变换A的矩阵相似于对角矩阵，则A在任一不变子空间M上（的限制）的矩阵
高等代数 北京大学第三版 北京大学精品课程85_高等代数第三版
相似于对角矩阵。
证明 若V上的线性变换A的矩阵相似于对角矩阵，则V可以分解为特征子空间的直和。记A的所有特征值为，断言M?M1?M2???Mt。首先要证明?1,?2,?,?t，则V?V??V????V?，取Mi?M?V?
1
2
t
i
M?M1?M2??Mt。
“?”显然；“?” ???M，则存在?i?V?，使得???1??2????t，两边同时用Aj(j?1,2,?,t?1)
i
作用，得到表达式
????1
???
?A?
????1???????At?1?????t?1????1
1
??
1???1
???t???2????t?1????t????t
?
??， ????
?2?
?2
t?1
?
于是
??1???2??????t
??1??
????1???????t?1???1
1
??
1???t
???t?1??t??
?1
?2
?
?2
t?1
?
???
??A???， ?????At?1?????
即?i可以表示成?,A?,?,At?1?的线性组合，于是?i?M，“?”得证。
再证明M?M1?M2??Mt是直和。设0??1??2????t，其中?i?Mi，则?i?V?，由于
i
V?V?1?V?2???V?t，于是?i?0，零向量表示法唯一。
于是M可以分解成为特征子空间的直和，即有A|M可对角化。证毕。
第四章 §5商空间上诱导的线性变换
4.5.1线性变换在（关于不变子空间的）商空间上的诱导变换的定义 给定K上的线性空间V，M是V的一个A—不变子空间，定义变换
A:V/M?V/M
??M?A??M
，
需要验证A的合理性。设?'?M???M，则存在??M，使得?'????，于是A?'?A(???)?A??A?，而由于M是A的不变子空间，于是A??M，便有A??M?A?'?M。于是A的定义与商空间上的元素的选取无关，即A的定义合理。对于此定义，即有A()?A(?)。容易验证A是V/M上的线性变换。
定义 上面定义的线性变换A 称为V内线性变换A在商空间V/M内的诱导变换。
设dimV?n，dimM?r，若给定M的一组基?1,?2,?,?r，将其扩充成为V的一组基?1,?2,?,?n，若A在?A11
此组基下的矩阵为?
?0
A12?
?，则r?1,r?2,?,n构成商空间的一组基，且A在此组基下的矩阵为?A22?。于是，A22?
有：
命题 设A是n维线性空间V上的线性变换，W是A的不变子空间，则A的特征多项式等于A|W的特征多项式与A在商空间V/W上的诱导变换的特征多项式的乘积。
命题 设A是数域K上的n维线性空间V上的线性变换，则A的特征多项式的根都属于K当且仅当A在V的
某组基下的矩阵为上三角形。
证明 必要性 对n作归纳1时命题成立，设n?1成立，取A关于某个特征值?0的一个特征向量?0，取由上一个命题，n?1维线性空间V/M上的线性变换A的特征值都属于K，于是在某组基2,3,?,nM?L(?0)，
下的矩阵成上三角形，易证?0,?2,?,?n是V的一组基，且A在?0,?2,?,?n下的矩阵成上三角形。
充分性 显然。 证毕。
推论 ?上的有限维线性空间上的线性变换在适当的基下的矩阵成上三角形。 第一学期第二十九次课
第五章 §1双线性函数
5.1.1线性空间上的线性函数的定义 1、线性函数的定义
定义 设V为数域K上的线性空间，f:V?K为映射，满足f(???)?f(?)?f(?),??,??V；。 f(k?)?kf(?),?k?K,??V，则称f为由V到K的一个线性函数（即f为V到K的一个线性映射）如同一般的线性映射，有以下事实： i）、fV:?Kii）、f0)(0?
是线性函数当且仅当f(k??l?)?kf(?)?lf(?)； ；
iii）、f(??)??(f)?。
命题 数域K上的n维线性空间V上的线性函数的全体关于函数加法和数乘构成K上的n维线性空间。 证明 容易证明数域K上的n维线性空间V上的线性函数的全体关于函数加法和数乘构成线性空间。定义线性函数fj,
j?1,2,?,n，使得对于V/K的某一组基?1,?2,?,?n，fj(?i)??ij。则可以验证fj构成上述线性空间
的一组基。
定义 由数域K上的n维线性空间V上的线性函数的全体构成的线性空间称为V的对偶空间，记为V?； 5.1.2双线性函数 1、双线性函数的定义
定义 设V为数域K上的线性空间，f:V?V?K为映射，满足
(1?k?22??,)1kf?(?,?)i）、fk11,l?l??)1lf?(?,?)ii）、f(?11221
2
kf?(2?,)?2
lf?(,??)2
； ，
其中k1,k2,l1,l2?K,?,?1,?2,?,?1,?2?V。则称f为V上的一个双线性函数。
2、双线性函数在给定基下的矩阵
设?1,?2,?,?n为V上的一组基，f:V?V?K为双线性函数，??,??V，设??x1?1?x2?2???xn?n；??y1?1?y2?2???yn?n，则
nnnn
i
i
f(?,?)?f(?xi?i,?yj?j)?
i?1
j?1
??xy
i?1
j?1
f(?i,?j)f(?1,?2)f(?2,?2)
?f(?n,?2)
???
f(?1,?n)??
??
f(?2,?n)
?????
???f(?n,?n)???
y1?
? y2
?.???yn??
??x1
x2
?
?f(?1,?1)
?
f(?2,?1)xn??
????f(?,?)
n1?
定义 上述?f(?i,?j)?(1?i?n,1?j?n)称为双线性函数f在?1,?2,?,?n下的矩阵。
引理 设有集合A,B即映射f:A?B和g:B?A，若g?f:A?A为恒同映射，则f单且g满。 推论 f和g同上，若g?f?idA且f?g?idB，则f与g是一一对应（双射）。 命题 设?1,?2,?,?n为线性空间的一组基，定义映射?和?
?:?f|f:V?V?K,fisbilinear??Mn(K),
f?
?f(?
i
,?j)?.
和
?:Mn(K)?
?f
f:
|f:V?V?K,fisbilinear?V?V?K,f(?i,?j)?aij.
?aij??
则?和?是一一对应。
证明 由于f和???(f)在(?i,?j)处取值相同，由f双线性，得到f????(f)，???是恒同映射；又有????idM
n
(K)
，于是由引理可知，?为一一对应。证毕。
命题 数域K上的n维线性空间V上的双线性函数的全体关于函数加法和数乘构成K上的n2维线性空间（与Mn(K)作为K上线性空间同构）。
3、双线性函数在不同基下的矩阵
设?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n为V的两组基，f为一个双线性函数，设f在这两组基下的矩阵分别为A和B，又设从?1,?2,?,?n到?1,?2,?,?n的过渡矩阵为T，即
(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)T，
设?和?在?1,?2,?,?n下的坐标分别为(x1,x2,?,xn)'和(y1,y2,?,yn)'，则?和?在?1,?2,?,?n下??,??V，的坐标分别为
?x1
?x2?T????x?n
???和T????
?y1?y?2????y?n
??? ????
则
??
f(?,?)??T
??
??x1
?x1????x?n
'??????
AT?????????
?y1????y?n????
?x???1????
?
?y1???
xn?T'AT?
???y??n?
?
?y1???xn?B?.
???y??n?
双线性函数与矩阵一一对应，于是有：
命题 设线性空间V上的双线性函数f在一组基?1,?,?n下的矩阵为A，由基?1,?,?n到基?1,?,?n的过渡矩阵为T，则f在?1,?,?n下的矩阵为T?AT.
4、矩阵的合同
定义 设A,B?Mn(K)，若存在可逆矩阵T?Mn(K)，使得B?T'AT，则称A合同于B。 命题 合同关系是Mn(K)上的一个等价关系。
定义 双线性函数的秩定义为该函数在一组基下的矩阵的秩。 第一学期第三十次课
5.1.3线性空间上的对称双线性函数、二次型函数的定义
定义 若f为V上的双线性函数且f(?,?)?f(?,?)，则称f为V上的对称双线性函数。
命题 f为对称双线性函数，当且仅当f在任意一组基下的矩阵为对称矩阵，当且仅当f在某一组基下的矩阵为对称矩阵。
证明 任取V的一组基?1,?2,?,?n，任取?,??V，设它们在此组基下的坐标所构成的列向量分别为X和Y，
f在此组基下的矩阵记为A，若f为对称双线性函数，则由定义，f(?,?)?f(?,?)，于是X'AY?Y'AX，即
有X'AY?X'A'Y，f双线性，则A?A'；反过来，若在任意一组基下的矩阵为对称矩阵，则f(?,?)?f(?,?)，第一个充要性得证。
若f在某组基?1,?2,?,?n下的矩阵为对称矩阵，记为A，任取V的另一组基?1,?,?n，设从?1,?2,?,?n到?1,?,?n的过渡矩阵为T，则f在?1,?,?n下的矩阵为B?T'AT，且B'?(T'AT)'?T'A'T?T'AT?B，第
二个充分必要性得证。证毕。
定理 数域K上的n维线性空间V上的对称双线性函数的矩阵必合同于对角阵。
证明 对n作归纳。n?1时命题成立。假设n?1时成立，对于n维线性空间，若对称双线性函数f恒等于零，则命题成立。若f不恒等于零，则存在??V，使得f(?,?)?0。否则若???V，均有f(?,?)?0，则??,??V，
f(???,???)?f(?,?)?f(?,?)?f(?,?)?f(?,?)?0?f(?,?)??f(?,?) ，f对称，则f(?,?)?0，
与f非零矛盾。取该?，即满足f(?,?)?0。将其扩充为V的一组基，记为?,?2,?3,?,?n。?i'??i?则f(?i',?)?0，于是f在?,?2',?3',?,?n'下的矩阵为
?f(?,?)
?
0?
0?
?， ??
f(?i,?)f(?,?)
，
取子空间M?L??2',?3',?,?n'?，将f视为其上的对称线性函数，则由归纳假设，存在一组基?2,?3,?,?n使得
f|M在此组基上的矩阵成对角形，于是易知f在?,?2,?3,?,?n下的矩阵成对角形。证毕。
定义 设f(?,?)是V内的一个对称双线性函数，我们定义Qf(?)?f(?,?)，称为f(?,?)决定的二次型函数。如果在V内取定一组基?1,?2,?,?n，又令f(?i,?j)?aij，A??aij?，于是
n
n
ij
Qf(?)?f(?,?)?
??a
i?1
j?1
xixj（aij?aji）
上式称为二次型函数在?1,?2,?,?n下的解析表达式。由定义可见，对称双线性函数与二次型函数一一对应。
第五章 §2 二次型
5.2.1数域上的二次型的定义，二次型f对应的二次型函数Qf(?)的定义；二次型的矩阵和秩的定义
n
n
ij
定义 设f(?,?)是数域K上的对称双线性函数f?
??a
i?1
j?1
xiyi，其中(x1,x2,?,xn)和(y1,y2,?,yn)分别为
n
n
ij
?和?在某组基?1,?2,?,?n下的坐标，aij?aji?K(?1?i,j?n)。取???，则f(?,?)?
n
n
ij
??a
i?1
j?1
xixj，称
f?
??a
i?1
j?1
xixj为K上的一个n元二次型（即是一个二次齐次函数），其系数矩阵
?a11
?a21
A??
????a?n1
a12a22?an2
??
?
a1n?
?a2n
? ???ann??
n
n
ij
称为此二次型的矩阵，A的秩r(A)称为此二次型的秩。而Qf(?)?
??a
i?1
j?1
xixj称为二次型函数。
定理 数域K上的n元二次型在可逆变数替换下可以化为只有平方项的标准形。 5.2.2二次型化为标准形的计算方法（配方法） 分两种情况进行讨论。
（1）、二次型种由某个变量平方项的系数不为零，例如a11?0，此时把二次型对x1进行配方得
n
n
ij
f?ax?2a12x1x2???2a1nx1xn???a1na12
?a11?x1?x2???xn??
aa?1111?
2
2
111
??a
i?2j?2n
n
ij
xixj
xixj,
??b
i?2j?2
作变数替换
a1na12?
y?x?x???xn
12?1
a11a11
??
x2 ?y2?
?????????????
xn.??yn?
反解为
高等代数 北京大学第三版 北京大学精品课程85_高等代数第三版
a1na12?
x?y?y???yn
12?1
a11a11
??
y2 ?x2?
?????????????
yn.??xn?
写成矩阵形式
?
1
?x1?????x
?2?????????x????n??
?0?
?a12a111
??
?a1n?
?a11?
???0????????1??
y1?
?y2
?。 ???yn??
经过变数替换，二次型化作
n
n
ij
a11y?
2
1
??b
i?2j?2
yiyj，
然后再对上式右边的n?1个变量继续进行计算。如果a11?0，而某个aii?0，则对xi配方。
（2）、所有aii?0（i?1,2,?,n），而有一个aij?0（i?j），则作变数替换
?xi?yi?yj,
?
?xj?yi?yj,
?
?xk?yk(k?i,j).
这就可以把二次型化为第一种情况。
二 : 高等数学精品课程建设规划方案
高等数学精品课程建设规划方案
高等数学课程是我校各类专业一门必修的重要基础课与工具课，它不仅为学生学习后继课程和解决实际问题提供了必不可少的数学基础知识和数学思想与方法，而且也为培养学生思维能力、分析解决问题的能力和自学能力，以及为学生形成良好的学习方法提供了不可多得的素材。［www.61k.com]因此，高等数学教学质量的好坏直接影响后继课程的教学质量，培养高质量的人才，要充分发挥高等数学课程在我校各类专业教育中的作用，就必须全面系统地进行高等数学课程建设。
根据高等学校教育培养目标和校级精品课的标准，2004年我部开始着手制定高等数学精品课程建设发展规划，其目的是使我校高等数学课程建设步入一个新的发展阶段，再上一个台阶，把高等数学课程逐步建设成为师资队伍结构合理、教学水平优良、教学文件完备、教学设备先进的精品课程。
一、高等数学课程的建设目标、步骤
本课程的建设目标：用2年左右的时间，研究确定基本适应我院各专业高等数学的课程内容体系、教学大纲与要求、习题库系统、试题库系统、主教材、辅助教材、学习方法指导等。逐步将优秀教师的讲稿、教案、教学录像片等做成电子资料上网，形成网络资源。
1．建立各专业高等数学习题库与试题库
2．自制一套符合我校专业特点的电子教案
3．编写各专业高等数学辅助教材或练习册
二、高等数学课程建设的主要工作与标准
按照高等数学课程建设的基本要求和标准，结合我院高等数学课程建设现状，提出了近阶段高等数学精品课程建设的主要工作与标准是：
（一）加强教师队伍建设，促进教师队伍最优化
师资队伍建设是课程建设的核心，是提高教学质量的关键。因此建设一支教师素质优良、结构层次合理、教学水平高的教师队伍是搞好课程建设的前提，也是课程建设的一项长期性工作。
1．加强政治思想和职业道德教育，培养教师具有对学生的高度责任感，对教育事业的强烈事业心和献身精神。
2．建立一支对高等数学内容领会深入、教育理论扎实、教学经验丰富、教学效果好、教风严谨、勇于进行教学改革的教学骨干队伍，争取教研室70%以上成为教学骨干。
3．拥有掌握本专业范围内容数学发展动态，具有本专业内科研主攻方向，具有一定科研能力和水平的学术骨干，带动教研室工作开展。
4．优化教师结构，建立一个梯队状况良好、职称结构合理、教学水平稳定、教学效果好、团结协作的教学群体，达到高、中、初级教师人数比例3：2：5。中青年教师中70%以上达到硕士研究生水平。
（二）提高群体教学质量，实现教学过程规范化
提高数学教学质量是高等数学课程建设的主要目的，教学质量的高低不但是备课、讲授、辅导、作业、考核各个教学环节的综合反映，也是教书育人及学生能力发展的综合体现。
1．制定教学过程规范，包括授课计划规范、理论备课规范、课堂教学规范、作业辅导规范、考试考核规范、教书育人规范，把提高群体教学质量落实到教学过程的每一个环节中。
2．落实备课规范，提高课程授课计划质量。教师备课必须要钻研大纲，研究教材，掌握教学目的、要求和重点，研究和掌握教学方法。授课计划要体现教学目的、教学方法、教学思想。
3．建立优秀教案档案，促进群体教案水平提高。每学期每位教师提交两份优秀教案（教研室指定一份，个人推荐一份）教研室通过评定，交流后存档，逐步提高整体教案水平。
4．抓住课堂教学这个中心环节，争取最佳教学效果，课堂讲授必须执行课堂授课规范，做到内容熟练、概念准确、重点突出、结构合理、条例清楚、语言精炼、板书工整且布局合理，要充分调动学生积极性，启发学生思维，培养学生能力，要注意理论联系实际，加强教学的科学性和思想性。
高等数学精品课程 高等数学精品课程建设规划方案
5．建立听课制度，提高群体授课质量。[www.61k.com]每学期每位教师必须参加观摩课、通过观摩，共同促进授课水平提高。
6．严格要求学生，形成良好的学风，教师要做到平时要求严，作业批改严，考试把关严。
（三）丰富教研活动，实现教研活动多样化
教研活动是提高全体教学水平，保证教学质量的主要方面，通过广泛开展各种类型教研活动和可以促进教师教学研究能力与教学水平的提高。
1．积极开展教研活动，促进群体教学、教研水平的提高，教研室在每学期的工作要点中要明确提出两周必须进行一次以上的教研活动，并对活动时间、内容、主持人等做出安排，按计划进行，做到有主题、有准备、有总结、有记录。
2．丰富教研活动，实现教研活动内容和形式多种多样，做到有单元教材分析、教法研究、专题讨论；有教学经验交流、教学总结；有观摩课、评议课、习题课；有专题讲座、教书育人、命题考试分析等，基本做到不死板、不枯燥，有针对性，有成效。
3．积极组织数学建模竞赛小组，做到有活动计划、有内容、有组织、有成效。
4．鼓励教师开设高于高等数学教学要求的选修课，及特色讲座。
5．学院积极鼓励并支持教师走出去，参加高等数学研讨会、年会等。
（四）严格考试命题要求，实现成绩考核科学化
考试是学生学习成绩的检查与评定，也是教师教学质量的具体体现，加强考试命题与试题分析的科学性，将有益于教学质量的提高。
1．每学期至少要进行一次考试，考试要严格要求，同一教学计划的班级，期末考试要统一命题，统一评分，统一阅卷。
2．建立高等数学试题库。
3．严格考试命题要求，制定考试大纲，试题要符合大纲，符合命题基本要求，要有一定深度、广度，重点突出，难度适当，既要反映知识掌握情况，又要考查能力水平，不但要有适当的难度、区分度，还要有题型变化。
4．建立考核成绩分析系统，对考试成绩实现科学的统计分析，指导教学工作进一步开展。
（五）开展教学改革研究，促进课程建设深入化
教学改革是不断深化课程建设的重要途径，教学改革是教学与教学研究深化的表现，积极开展教学研究活动是促进教学改革深化的重要手段。
1．成立教学改革研究小组，研究分析国内外高等数学课程体系、课程内容、教学方法的改革经验。把握教学改革趋势，结合我院特点，制定改革方案，有计划地建立改革试点，每学期召开一次教学改革研讨会。
2．积极开展教学改革理论研究，促进教学改革与课程建设深入化。
综上所述，争取完成下列任务及几个课题的研究和探讨，并发表相应的论文。
(1) 制定分级教学改革方案，并有计划地实施。
(2) 运用现代数学思想方法，改革传统的高等数学内容和体系。
(3) 突出应用，加强数学建模，培养学生分析和解决问题的能力。
(4) 注重数值计算方法，加强计算机的应用。
(5) 重视习题课的教学，提高习题课的教学质量。
(6) 改革教学方法，启发学生思维，培养学生能力，提高学生素质。
(7) 注重教书育人，树立良好师德师风。
3．通过教学改革专题研究，不断深化课程建设，提高教师业务素质和教学研究能力。
三、课程建设的保证措施
课程建设工作是一项系统工程，它需要充分发挥教研室全体教师的积极性，齐心共建，共同努力完成。为了保证课程建设质量，如期完成课程建设规划中的任务，建立课程建设的检查、评估办
高等数学精品课程 高等数学精品课程建设规划方案
法是十分必要的。(www.61k.com)
1．建立检查机制，在院领导下，由教研室主任负责组织成立课程建设检查小组，负责检查、评定课程建设工作完成情况，对课程建设进行监督执行和宏观管理。
2．建立数学资料室，配备常用工具书及数学教学参考书。
3．支持数学教师参加学术活动。
在高等数学课程建设中，我们应注意实现四个稳定：教师队伍相对稳定；使用教材相对稳定；课程安排相对稳定；政策措施相对稳定。四个统一：教育思想统一；基本要求认识统一；习题要求统一；成绩考核统一。以保证群体教学水平稳步提高，逐步把数学课程建设成为业务上过硬，教学效果优良，教学文件完备，教学管理先进的精品课程。
三 : 数学小天才精品教程
| |||||||||||||||
61阅读| 精彩专题| 最新文章| 热门文章| 苏ICP备13036349号-1
数学小天才 01
