一 : 球坐标及柱坐标的广义胡克定律

球坐标及柱坐标的广义胡克定律

rt

球坐标和柱坐标啊，不是笛卡儿坐标啊

球坐标及柱坐标的广义胡克定律的参考答案

二 : 应力状态广义胡克定律

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7.1 应力状态概述 7.2 二向和三向应力状态实例
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7.3 二向应力状态分析——解析法 7.4 二向应力状态分析——图解法

7.5 三向应力状态 7.8 广义胡克定律
7.9 复杂应力状态的应变能密度

§7-1
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应力状态的基本概念

一、什么是应力状态？ 二、为什么要研究应力状态? 三、如何描述一点的应力状态?

一、什么是应力状态？
应力的点的概念: ——同一截面上不同点的应力 各不相同;
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FQ
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Mz

横截面上的正应力分布 结果表明：

横截面上的切应力分布

同一面上不同点的应力各不相同，即应力的点的概念。

应力的面的概念
轴向拉压
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F

?
??

F 同一横截面上各点应力相等：? ? A
F

??
? ? ? ? cos2 ? 同一点在斜截面上时： ? ? ? ? sin 2? 2

应力的面的概念
——过同一点不同方向面上的应力 各不相同；
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受轴向拉力作用的杆件，受力之前,表面的正方形

FP

FP

受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。 横截面上没有切应力；

应力的面的概念
受拉之前,表面斜置的正方形
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FP

FP

受力之前,在其表面斜置的正方形在受拉后， 正方形变成了菱形。

这表明：拉杆的斜截面上存在切应力。

应力的面的概念
受扭之前，圆轴表面的圆
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Mx Mx

受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长， 短轴方向缩短。这是为什么？

轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。

根据微元的局部平衡

y'

?x
?x y
' '

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x'

?x

?x

拉中有切

?x

Mx

根据微元的局部平衡

y' ? yx

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Mx

x'

?x y

' '

? xy

? xy

?x

'

? yx

切中有拉

? x'y'
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? x'

? x'y'
? xy
? yx

? x'

微元平衡分析结果表明： 即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应 力的面的概念。 不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。

?x

应力的点的概念与面的概念

应力
指明
哪一个面上？
哪一点？

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哪一点？
哪个方向面？

应力状态: ——过同一点不同方向面上应力的集合，称
为这一点的应力状态；

二、为什么要研究应力状态？
请看下列实验现象：
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? 低碳钢和铸铁的拉伸实验
? 低碳钢和铸铁的扭转实验

两种材料的拉伸试验
铸铁拉伸
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低碳钢拉伸

塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？

两种材料的扭转试验
低碳钢扭转
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铸铁扭转

为什么脆性材料扭转时沿45o 螺旋面断开？

为什么要研究应力状态
试件的破坏不只在横截面，
TSINGHUA UNIVE

RSITY

有时也沿斜截面发生破坏； 不仅要研究横截面上的应力， 而且也要研究斜截面上的应力。

三、如何描述一点的应力状态 微元
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微元及其各面上的应力来描 述一点的应力状态。

约定:
dz dy dx

微元体的体积为无穷小； 相对面上的应力等值、反向、共线; 三个相互垂直面上的应力；

一般空间应力状态

z

? zx
x
?x

?z

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? xz

? zy ? yz

? xy? yx

?y

y

一般平面应力状态
σy
τyx τ xy σx

TSINGHUA UNIVERSITY

? yx

?x
?y

? xy

一般单向应力状态或纯剪切应力状态

y
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y

? yx

?x
x

? xy
x

单向应力状态

纯剪应力状态

一点的应力状态

三 向 应 力 状 态

特例

平 面 应 力 状 态

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单向应力状态

特例

纯剪应力状态

常用术语

?x

1

?x

1

主单元体
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主平面

主应力
约定：

单元体的某个面上切应力等于零时的正应力;

?1 ? ? 2 ? ?3

应力状态
空间（三向）应力状态： 三个主应力均不为零；
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平面（二向）应力状态： 两个主应力不为零； 单向应力状态： 一个主应力不为零;

?3

?2

?1

本章难点
应力状态是一切应力分析的基础；

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提取危险点处应力状态；

1 提取拉压变形杆件危险点的应力状态

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?x ?

FN A

单向应力状态

2 提取拉压变形杆件任一点沿斜截面的应力状态

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? ? ?90 ? ? cos2 ( ? ? 90 )
?
2

? ? ?90 ?

sin 2( ? ? 90 )

? ? ? ? cos2 ?
?? ? ?
2 sin 2?

3 提取扭转变形杆件危险点的应力状态

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T ?? Wt
纯剪切应力状态

4 提取横力弯曲变形杆件下边缘一点的应力状态

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M ?? Wz

单向应力状态

5 提取横力弯曲变形杆件任意一点的应力状态

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Fs S * z ?? bI z My ?? Iz
平面应力状态

6 提取横力弯曲变形杆件中性层上一点的应力状态

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Fs S * z ?? bI z
纯剪切应力状态

7提取工字形截面梁上一点的应力状态
FP
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S平面

l/2

l/2

5

FQ ?

FP 2

S平面

5
4 3 2 1

4
3 2 1
?x
Fl Mz ? P 4

?2

4

?x

2

5

?2
?x
1

1
?2

1

?2

TSINGHUA UNIVERSITY

2

?x

2

3
3

?

3

?

7 提取直角拐固定端截面上一点的应力状态

l

判定变形
铅锤面内弯曲

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S

FP

a

M=FPL T=FPa

4

y

1

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z

2

3

S平面

x

4

Mz

1

4

Mx
z

FQy

1

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2

3

y

3

x

8 同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式. S平面
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F

F

1

1

F ?? A

S平面

n

F

1
??
??

?

F

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?? ?

1

??

? ?

? ? 90 ?

练习1 提取危险点的应力状态

P

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M

M

2 提取点的应力状态

P

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M1

M2

M

P

提取危险点处应力状态

3

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P

M1

M2

4 提取 点的应力状态

P

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L/4

L/2

5

提取 各点的应力状态
P

P

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L/6 L/3

L/3

6

提取危险点处应力状态

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P2 h P1 L/2 b

P2

7 提取危险点处应力状态

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P1

提取危险点处应力状态

8

q
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M

P

h

9

提取危险点处应力状态

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P

b

10
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1、2、3、4的应力状态中，哪一个是错误的？

1

2

1
3 4

2

3

4

§7-2 二向和三向应力状态实例
圆柱型压力容器
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球型压力容器
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一、承受内压圆柱型薄壁容器任意点的应力状态

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圆柱型薄壁容器任意点的应力状态
（壁厚为t，内直径为D，t<<D，内压为p）
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L

ｐ

轴线方向的应力

?x
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?x p D t
?x

ｐ
?

Ｄ

ｐπD２ ４

?F

x

?0

? xpDt ? p
pD ?x ? 4t

pD 2
4

横向应力

?F
ｐ×Ｄ×ｌ
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y

?0

? y ? 2t ? l ? p ? D ? l ? 0

?

ｐ
y

?

y

pD ?y ? 2t

? ? 2t ? l
y

?x
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?y

承受内压圆柱型薄壁容 器任意点的应力状态: 二向不等值拉伸应力状态

?y ?x

二、承受内压球型薄壁容器任意点的应力状态
（壁厚为t，内直径为D，t<<D，内压为p）
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ｐ

p?
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pD
4

2

?F

y

?0

? y ? pD ? t ? p ?

pD 2
4

?0

?

ｐ
y

?

y

pD ?y ? 4t

? ? pD ? t
y

σy

?x
p?

pD
4

σ

2

x

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ｐ

? x ? pD ? t

?F

x

?0

? x ? pD ? t ? p ?

pD 2
4

?0

pD ?x ? 4t

3、三向应力状态实例
滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点的应力状态
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σ

Z

σx σy

火车车轮与钢轨的接触点处于几向应力状态？

1、已知薄壁容器的内压为ｐ，内径为D，壁 厚为ｔ，画出下列各种受力状态下危险点的 应力状态。
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F

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F

L

F

2、受内压作用的封闭薄壁圆筒，在通过其壁
上任意一点的纵、横两个截面中：
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。

A：纵、横两截面均不是主平面；
B：横截面是主平面、纵截面不是主平面； C：纵、横二截面均是主平面； D：纵截面是主平面，横截面不是主平面；

§7-3

平面应力状态分析-——解析法

本节主要任务
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1、方向角与应力分量的正负号约定; 2、微元的局部平衡; 3、平面应力状态中任意方向面上的正应力 与切应力; 4、主应力、主平面，最大切应力;

1、方向角与应力分量的正负号

约定 正应力符号约定

?x

?x

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?x
拉为正

?x
压为负

切应力符号约定
使微元或其局部顺时针方向转 动为正；反之为负。

?x y

' '

? xy
? yx

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方向角?的符号约定
由 x正向逆时针转到截面外法 线x‘正向为正； 反之为负。

y'

y

x'
?

x

2 微元的局部平衡

y
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? yx

?x
?y

? xy

x

截取微元体

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截取微元体

y
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? yx

?x

?

? xy

x
?y

?x

? xy

??

x′

??

? yx

?y

微元体平衡
? 平衡对象
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?x ——用α 斜截面截取的微元局部
——力 应力乘以其作用的面积；

? xy

??

x′

??

? 参加平衡的量

? yx

? 平衡方程

?y

? Fx' ? 0

?F

y

'

?0

平衡方程

?F

x?

?0
?x
?

?? dA ? ?x (dA cos? ) cos?
?? xy (dA cos ?) sin ?
?? yx (dA sin ?) cos ? ?? y (dA sin ?) sin ? ? 0

??

??

x′

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? xy

? yx

dA

?y

平衡方程

?F

y?

?0
ｙ?

TSINGHUA UNIVERSITY

? ? dA ?? x (dA cos ?) sin ?

?? xy (dA cos ?) cos ? ?? yx (dA sin ?) sin ?
?? y (dA sin ?) cos ? ? 0

?x

?

??

??

? xy

? yx

dA

?y

3 平面应力状态中任意方向面上的正应力与切应力
平面应力状态中任意方向面上正应力与切应力的表达式：
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?? ?

?x ?? y
2

?

? x ?? y
2

cos2 ? ? xysin2? ?

?? ?

? x ?? y
2

sin2? ? ? xycos2 ?

用 ? ? ? ? 斜截面截取，此截面上的应力为
2
??
??

p

??
??

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?x

? x ?? y ? x ?? y ?? ? ? cos 2? ? ? xy sin 2? 2 2
? x ?? y ?? ? ? sin 2? ? ? xy cos 2? 2

? yx

? xy
?y

?? ? ? ? ? ? x ? ? y
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??

?x

??

??
??

即单元体两个相互垂直面上 的正应力之和是一个常数。

? ? ? ?? ?

? yx

? xy
?y

即又一次证明了切应力的互等定理。

1、分析轴向拉伸杆件的最大剪应力的作用面，说 明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。
y'
x'

杆件承受轴向拉伸时， 其上任意一点均为单向应力 状态。
平面应力状态任意斜截面上 的正应力和切应力公式

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?x

?x
?? ? ?x ?? y
2 ?

? x ?? y
2

cos2 ? ? xysin2? ?

?? ?

? x ?? y
2

sin2? ? ? xycos2 ?

y'
x'
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?? ?

?x ?? y
2

?

? x ?? y
2

cos2 ? ? xysin2? ?

?? ?

? x ?? y
2

sin2? ? ? xycos2 ?

α
?x

?x

?y＝0，?yx＝0。

? ? ? ? x cos2?
?? ? ?x
2 sin2?

y'
x'

? ? ? ? x cos ?
2

?? ?

?x
2

sin2?

α
?

x

当α ＝45o 时，斜截面上既有正 应力又有剪应力，其值分别为

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?x

? 45 ?

?x
2

? 45 ?

?x
2

在所有的方向面中，45o 斜截面上的正应力不是最大值， 而切应力却是最大值。 表明：

轴向拉伸时最大切应力发生在与轴线夹45o 角的斜面上； 这正是低碳钢试样拉伸至屈服时表面出现滑移线的方向。 因此，可以认为屈服是由最大切应力引起的。

2、分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁 圆试样扭转破坏的主要原因。
y'

? yx
x'

圆轴扭转时，其上任意一点的 应力状态为纯剪应力状态。
平面应力状态任意斜截面上的 正应力和切应力公式

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? xy
?? ?

?x ?? y
2

?

? x ?? y
2

cos2 ? ? xysin2? ?

?? ?

? x ?? y
2

sin2? ? ? xycos2 ?

y'

? yx
α
x'

?x＝?y＝0

? xy

? ? ? ?? xysin2? ? ? ? ? xycos2 ?

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当α ＝45o ＝－45o 或α 时，斜截面上只有正应力没有切应力。
α ＝45o 时(自x轴逆时针方向转过45o )，拉应力最大； α ＝－45o 时(自x轴顺时针方向转过45o )，压应力最大;

t ? 45 ? ? max ? ? xy

? 45 ? 0
O

c ? ? 45 ? ? max ? ?? xy

? -45 ? 0
O

进行铸铁圆试样扭转实验时，正是沿着最大拉应力 作用面（即－45o 螺旋面）断开的。 因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。

纯剪切应力状态的主应力及主平面方位

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4、主应力、主平面 ，最大切应力 主平面、主应力与主方向
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平面应力状态的三个主应力 面内最大切应力 过一点所有方向面中的最大切应力

主平面、主应力与主方向
?? ?
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?x ?? y
2

?

? x ?? y
2

cos2 ? ? xysin2? ?

?? ?

? x ?? y
2

sin2? ? ? xycos2 ?

切应力?α =0的方向面为主平面。

?? ?

? x ?? y
2

sin2? ? ? xycos2 ? 0 ?

tan 2? 0＝－

2 τ xy

? x ?? y

? 0 ? 0 ? 90 O

求正应力的极值面
?? ?
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?x ?? y
2

?

? x ?? y
2

cos2 ? ? xysin2? ?

上式对α 求一次导数，并令其等于零；
d? ? ? ?( ? x ? ? y )sin2? ? 2? xycos2 ? 0 ? d?

解出的角度 表明∶

tan 2?＝－

2 τ xy

? x ?? y

角度α与α 0 完全重合。

正应力的极值面与主平面重合； 正应力的极值就是主应力； 主应力是所有方向面上的正应力的极值。

对于平面应力状态， 平行于xy坐标面的平 面，其上既没有正应 力，也没有切应力作 用，这种平面也是主 平面。
这一主平面上的主应力等于零。

σ ??

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σ ?? ? 0

σ?

平面应力状态的三个主应力

tan 2?

0＝－
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2 τ xy

? x ?? y
?

?? ?

?x ?? y
2

? x ?? y
2

cos2 ? ? xysin2? ?

? max ? min

?

?

? x ?? y
2

? (

? x ?? y
2

2 )2 ? ? xy

? ' '' ? 0

将三个主应力代数值由大到小顺序排列;

?1 ? ? 2 ? ? 3
根据主应力的大小与方向可以确定材料何时发生失效； 确定失效的形式；
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因此，可以说主应力是反映应力状态本质的特征量。

用主单元体表示一点的应力状态
同一点的应力状态可以有无穷多种表达形式。 用主应力表达的形式最简单也是最本质的。
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?y
y

? yx

? y'
? xy

? y'x'

? x' y'
x'

? xP
? x'

x

?x

y'

? yP
xp yp

x-y坐标系

x′-y′坐标系

主单元体

面内最大剪应力
不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋转而变化，因 而剪应力亦可能存在极值。
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?? ?

? x ?? y
2

sin2? ? ? xycos2 ?

对α 求一次导数，并令其等于零；

d? ? ? ( ? x ? ? y )cos2 ? 2? xysin2? ? 0 ? d?
由此得出另一特征角，用α 1表示

tan 2?1＝

? x ?? y
2 τ xy

tan 2?1＝

? x ?? y
2 τ xy

?? ?
? max ? min

? x ?? y
2
? x ?? y
2

sin2? ? ? xycos2 ?
2 )2 ? ? xy

得到?α 的极值

?

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?? (

特别指出: 上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言， 因而称为面内最大剪应力与面内最小剪应力。
二者不一定是过一点的所有方向面中剪应力的最大和最小值。

过一点所有方向面中的最大切应力
为确定过一点的所有方向面上的最大切应力，可以将 平面应力状态视为有三个主应力（σ 1、σ 2、σ 3）作用的 应力状态的特殊情形，即三个主应力中有一个等于零。
考察微元三对面上分别作用着三个主应力 （σ 1>σ 2>σ 3 ? 0）的应力状态。

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过一点所有方向面中的最大切应力

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在平行于主应力σ1 方向的任意方向面Ⅰ上，正应力和剪应 力都与σ1无关。因此，当研究平行于σ1的这一组方向面上的 应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态： σx=σ3,σ y=σ 2，τ
xy＝0

?? 1 ＝? ? ?? 2

??
2

x

2 ? ? y ? ? 4? xy 2

? 23 ?

? 2 ??3

这就是Ⅰ组方向面内的最大切应力。

过一点所有方向面中的最大剪应力
在平行于主应力σ 2 方向的任意方向面 Ⅱ上，正应力和剪应力都与σ 2 无关。 因此，当研究平行于σ 2 的这一组方向 面上的应力时，所研究的应力状态可视 为一平面应力状态：
σx=σ1,σ y=σ 3，τ
xy＝0。
2

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?? 1 ＝? ? ?? 2

??

x

2 ? ? y ? ? 4? xy

? 13 ?

?1 ?? 3
2

Ⅱ组方向面内的

最大切应力；

过一点所有方向面中的最大剪应力
在平行于主应力σ 3 方向的任意方向面 Ⅲ上，正应力和剪应力都与σ 3 无关。 因此，当研究平行于σ 3 的这一组方向 面上的应力时，所研究的应力状态可 视为一平面应力状态： σx=σ1,σ y=σ 2，τ
?? 1 ＝? ? ?? 2
xy＝0；
2

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??

x

2 ? ? y ? ? 4? xy

? 12 ?

?1 ?? 2
2

Ⅲ组方向面内的最大切应力。

过一点所有方向面中的最大剪应力

? 23 ?

? 2 ??3
2

? 12 ?

?1 ?? 2
2

? 13 ?

?1 ?? 3
2

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一点应力状态中的最大剪应力，必然是上述三者中最大的；

? max ? ? 13 ?

?1 ?? 3
2

例1
薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用（如图所示）。已知圆 管的平均直径D＝50 mm，壁厚δ＝2 mm。外加力偶的力 偶矩Me＝600 N· m，轴向载荷FP＝20 kN。薄壁管截面的 2 扭转截面系数可近似取为
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π d ? WP＝ 2

求：1．圆管表面上过D点与圆管母线夹角为30o 的斜截 面上的应力； 2. D点主应力和最大剪应力。

τ
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σ

1．取微元： 围绕D点用横截面、纵截面和圆柱面截取微元。

2、确定微元各个面上的应力

FP FP 20kN ?103 ?＝ ＝ ＝ ＝63.7MPa -3 -3 A πD? π ? 50mm ?10 ? 2mm ?10
M x 2Me 2 ? 600N ? m ?＝ ＝ 2 ＝ ＝76.4MPa 2 -3 -3 WP πd ? π ? 50mm ?10 ? 2mm ?10

?

?

3． 求斜截面上的应力

τ

三维投影成二维
?? ? ?x ?? y
2 ?

σ

? x ?? y
2

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cos2 ? ? xysin2? ?

τ σ

?? ?

? x ?? y
2

sin2? ? ? xycos2 ?

σx＝63.7 MPa，σy＝0，

τxy＝一76.4 MPa，α ＝120o 。

求斜截面上的应力

? 120 ?
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?x ?? y
2

?

? x ?? y
2

cos2 ? ? xysin2? ?

63.7MPa＋0 63.7MPa ? 0 ＋ cos 2 ? 120 ? －?? 76.4MPa ?sin 2 ? 120 ? 2 2 ＝－ .3MPa 50 ＝

?

?

?

?

? 120 ?

? x ?? y
2

sin2? ? ? xycos2 ?

63.7MPa ? 0 ＝ sin 2 ? 120 ? ? ?? 76.4MPa ?cos 2 ? 120 ? 2 ＝ .7MPa 10

?

?

?

?

3．确定主应力与最大剪应力

τ σ

? ?＝
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?x ?? y
2

1 ? 2

??

x

2 ? ? y ? ? 4? xy 2

63.7MPa ? 0 1 ＝ ? 2 2 ＝ .6MPa 114

?63.7MPa ? 0?2 ? 4?? 76.4MPa ?2
2 ? ? y ? ? 4? xy 2

? ??＝

?x ?? y
2
＝

?

1 2

??

x

63.7MPa ? 0 1 ? 2 2 ＝ ? 50.9MPa

?63.7MPa ? 0?2 ? 4?? 76.4MPa ?2

? ???＝0

确定主应力与最大剪应力

? 1 ? ? ?＝ .6MPa 114
TSINGHUA UNIVERSITY

? 2 ? ? ???＝0

? 3 ? ? ??＝? 50.9MPa
114.6MPa－?－50.9MPa ? ＝ ＝82.75MPa 2

D点的最大切应力为

? max＝

? 1－? 3
2

例2

已知:应力状态如图所示。

TSIN

GHUA UNIVERSITY

试： 1．写出主应力?1、?2、?3的表达式；

2．若已知?x＝63.7 MPa，?xy=76.4 MPa，
当坐标 轴x、y反时针方向旋转α =120?后至 x′、y ′ ，求: ??、τ? 。

1.确定主应力
应用平面应力状态主应力公式
?? ? ? x ?? y
2 1 ? 2

??

2 ? ? y ? ? 4? xy x 2

TSINGHUA UNIVERSITY

? ?? ?

? x ?? y
2

因为?y＝0，所以有

1 ? 2

??

2 ? ? y ? ? 4? xy x 2

1 2 2 ? ?＝ ? ? x ? 4? xy ? 0 2 2

?x

1 2 2 ? ??＝ ? ? x ? 4? xy ? 0 2 2

?x

又因为是平面应力状态，故有
?x
2

? ??? ? 0
? 3 ? ? ???＝
?x
2

? 1 ? ? ?＝

?

1 2

? ? 4?
2 x

2 xy

? 2 ? ? ??＝0

?

1 2

2 2 ? x ? 4? xy

2.计算方向面法线旋转后的应力分量

α

?x＝63.7 MPa，?y＝0； ?xy＝－?yx=76.4 MPa，α =120?

TSINGHUA UNIVERSITY

? 63.7 ? 0 6 ? 6 ? ? ? x? ? ? ?10 cos 2 ?120 ? 2 ? 76.4 ?10 sin 2 ?120 ? ? 2 ? ? 82.1?106 Pa ? 82.1MPa

?

?

?

?

? 63.7 ? 0 6 ? τ x?y? ? ? ?10 ? sin 2 ?120? ? 76.4 ?106 cos 2 ?120? ? ? 2 ?

?

?

?

?

? ?65.8 ? 10 6 Pa ? ?65.8MPa

例题3：一点处的应力状态如图。 已知
TSINGHUA UNIVERSITY

? x ? 60MPa， ? xy ? 30MPa,
? y ? 40MPa,

? ? 30 。
?

?y
? xy

试求（1）? 斜面上的应力；

（2）主应力、主平面；
（3）绘出主应力单元体。

?

?x

（1）? 斜面上的应力

α =-30

? x ? 60MPa，

? y ? 40MPa,

? xy ? 30MPa,

? ? 30?。

?y
? xy
?

? x ?? y ? x ?? y ?? ? ? cos 2? ? ? xy sin 2? 2 2
60 ? 40 60 ? 40 ? ? cos(?60 ? ) ? 30 sin(?60 ? ) 2 2

TSINGHUA UNIVERSITY

?x

? 9.02MPa

?? ?

? x ?? y

2 60 ? 40 ? sin(?60 ? ) ? 30 cos(?60 ? ) 2

sin 2? ? ? xy cos 2?

? ?58.3MPa

（2）主应力、主平面

? x ? 60MPa，

? y ? 40MPa,

? xy ? 30MPa,

?y
? xy
?

? x ?? y ? x ?? y 2 2 ? max ? ? ( ) ? ? xy 2 2

TSINGHUA UNIVERSITY

? 68.3MPa

? x ? ? ? x ? ? y ? (? x ? ? y ) 2 ? ? 2 xy min 2 2
? ?48.3MPa

? 1 ? 68.3MPa, ? 2 ? 0, ? 3 ? ?48.3MPa

? x ? 60MPa，

? y ? 40MPa,

? xy ? 30MPa,

?y
? xy
?
TSINGHUA UNIVERSITY

主平面的方位：

tg 2? 0 ? ?

2? xy

?x

? x ?? y ? 60 ?? ? 0.6 60 ? 40

? 0 ? 15.5? ,

代入 ? ? 表达式可知

? 0 ? 15.5? ? 90? ? 105.5?

? 1 方向：? 0 ? 15.5? 主应力 ? 主应力 ? 3 方向：? 0 ? 105 .5

（3）主应力单元体：
?y
? xy
?

?3

TSINGHUA UNIVERSITY

?1
15.5?

?x

1、求下列主单元体的方位、主应力的大小、最大 剪应力（应力单位取MPａ）
TSINGHUA UNIVERSI

TY

70 50 40 60 70

2、求下列主单元体的方位、主应力的大小、最大 剪应力（应力单位取MPａ）
TSINGHUA UNIVERSITY

20 40 40

20
50

3、求主应力的大小及方向
2P
TSINGHUA UNIVERSITY

1.414P 60○

1.414P
2P

4、图示中单元体，求σ

TSINGHUA UNIVERSITY

80

σ

30
30 120 150

5、σx+σy=120MPa，σα=50MPa，求单元体的三个 主应力及最大剪应力
TSINGHUA UNIVERSITY

σ

α

τ
60

α

σ x=80

τ
σ
y

xy

6、等腰直角三角形单元体上，二直边上只有剪 应力，那么斜边表示的截面上的正应力σ、剪应 力τ各有多大？
TSINGHUA UNIVERSITY

§7-4

二向应力状态分析-图解法

一、 应力圆方程 二、 应力圆的画法 三、 应力圆的应用 四、 三向应力状态的应力圆

TSINGHUA UNIVERSITY

一、 应力圆方程
? x ?? y ? x ?? y ?? ? ? cos 2? ? ? xy sin 2? 2 2

TSINGHUA UNIVERSITY

? x ?? y ? x ?? y (? ? ? )? cos 2? ? ? xy sin 2? 2 2 ? x ?? y ?? ? sin 2? ? ? xy cos 2? 2
(? ? ?

? x ?? y
2

) ??
2

2

?

?(

? x ?? y
2

) 2 ? ? 2 xy

?

C
O

R

1 R? 2

??

x

?? y

?

2

? 4? 2 xy

TSINGHUA UNIVERSITY

?

? x ?? y
2

二、 应力圆的画法 1、点面对应
——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面 上的正应力和剪应力；
TSINGHUA UNIVERSITY

2、转向对应
——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；

3、二倍角对应
——半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍；

点面对应
?

?y

? yx
C

E
?

TSINGHUA UNIVERSITY

e ? xy

?x

转向对应 与二倍角对应
?

?y

? yx

n

? xy ?
e

E

2?

D
?

TSINGHUA UNIVERSITY

?x
d

x

C

二倍角对应

具体作圆步骤
? yy

?
?x

? yx
B A O
D’(?y ,?

TSINGHUA UNIVERSITY

? xy

C
yx)

D(?x ,?xy)
?

确定圆心和半径 建立坐标系 由面找点

再将上述过程重复一次

? yx

?y

?

TSINGHUA UNIVERSITY

B A

?x

O
D’(?y ,?

C
yx)

D(?x ,?xy)
?

? xy
确定圆心和半径 建立坐标系 由面找点

三、 应力圆的应用 信息源

TSINGHUA UNIVERSITY

在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分
析问题的工具，而不是计算工具。

1 从应力圆上确定任意斜截面上的应力

?y

?xy
B

n

?
E 2α

TSINGHUA UNIVERSITY

D

?x

α

?

A

?yx

o
D’

C

E点的横、纵坐标即位该任意斜截面上的正应力和切应力。

2 从应力圆上确定主应力大小

?y

?xy
B

?
D

TSINGHUA UNIVERSITY

?x

e

?

A

?yx

o
σmin

C
D’
σmax

b

应力圆和横轴交点的横坐标值。

3 从应力圆上确定主平面方位

?xy

?y

α

?
0

??
B
α

D

TSINGHUA UNIVERSITY

E

?x
0

B A

?yx

σ

’

o ??

e

2 α 0??

?

C

b

D’

主应力排序：

? 1?? 2 ? ? 3

?
a
2α
TS

INGHUA UNIVERSITY

?
?

o? 2
d

c

0

?

?1

?3 o

?1

?
?2 o
?

?3

有几个主应力？

?
σ ??? e o ??
d

a

TSINGHUA UNIVERSITY

C

??

b ?

σ1 ? σ ? σ 2 ? σ ?? σ3 ? σ ???

确定下列应力圆的主应力

?
a a a
e e

TSINGHUA UNIVERSITY

??

C ??
d d

??

e ?? bC o ?? b

C

?? ?
b

d

4

从应力圆上确定面内最大切应力

?
TSINGHUA UNIVERSITY

τ

max

??

C o

??

?

应力圆上的最高点的纵坐标 对应 “ 面内最大切应力” 。

与主应力的夹角为45度。

例1：轴向拉伸的最大正应力和最大切应力

?x
45o 45o

?
b
2×45o

TSINGHUA UNIVERSITY

A

b
B

e

D’

C
2×45o

o
?x
e

D

?

轴向拉伸的最大正应力和最大切应力
轴向拉伸时45o 方向面上既有 正应力又有切应力，但正应力不 是最大值，切应力却最大。

?x

TSINGHUA UNIVERSITY

b

e

?x

最大正应力所在的面上切应力一 定是零；

例2：纯剪切状态的主应力

?
σ?45＝?

?
B

?45＝－?
2×45o

D (0,? )

TSINGHUA UNIVERSITY

b

e

e
A

?

o

C
2×45o
D'(0,-?

b

?

)

纯剪切状态的主单元体

?-45'＝?

?
B

σ45＝－?

?-45'＝?

σ45＝－?

TSINGHUA UNIVERSITY

b

e

b

A

e

?

在纯剪应力状态下，45o 方向面上只有正应力没有剪应力， 而且正应力为最大值。

? ? 30? , 例3：一点处的平面应力状态如图所示。已知

? x ? 60MPa, ? xy ? 30MPa.
TSINGHUA UNIVERSITY

? y ? 40MPa,

试求（1）?斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主单元体。

40
30MPa

?

60MPa

40
30MPa
TSINGHUA UNIVERSITY

?
D' ( ?40,30 )

?

60MPa

(10,0)

f

e
60 ? (?40) 2 ? 30 ? 30 2 ) ?( ) ? 58.31MPa 2 2

o c

2?0?

R? (

60 ? D( 60,?30 ) d (9.02,?58.3)

? 1 ? 68.3MPa
? 3 ? ?48.3MPa

??0 ? 15.48?

主应力单元体：

?3

?0

?1

TSINGHUA UNIVERSITY

?? 1 ? 68.3MPa, ? 2 ? 0, ? 3 ? ?48.3MPa

例4：一点处的平面应力状态如图所示。已知
? ? ? 20MPa, ? ? ? 10 3MPa;
TSINGHUA UNIVERSITY

? ? ? 20MPa,

? ? ? 10 3MPa.

求（1）主应力；（2）绘出主单元体。

??
??

30

?

30 ?

??

??

（1）作应力圆

? ? ? 20MPa,
? ? ? 20MPa,

? ? ? 10 3MPa;
? ? ? 10 3MPa.

TSINGHUA UNIVERSITY

??
??

?
C (20,10 3 )
120o

30 ? 30 ?

?
?1

o
??

?2

a
120o

??

D(20,?10 3 )

（2）确定主应力
bc oa ? ob ? ba ? ob ? tg 60 ? 10 3 ? 20 ? ? ? 30 MPa tg 60

?
C (20,10 3 )
120o

o

?2

b

?
?1

因此主应力为： ? 1 ? oa ? ca ? 50MPa,

TSINGHUA UNIVERSITY

a
120o

半径 ca ? (ba) 2 ? (bc) 2

D(20,?10 3 )
2

10 3 2 ? (10 3 ) ? ( ) ? 20MPa ? tg 60

? 2 ? oa ? ca ? 10 MPa,

? 3 ? 0.

（3）绘

出主单元体。

?
C (20,10 3 )

?2
TSINGHUA UNIVERSITY

120o

?1

o

?2

b

a

120o

?1

?

D(20,?10 3 )

★讨论：
1、本题可用解析法求解吗？
30
?

??
??

TSINGHUA UNIVERSITY

30 ?

??

??

2、在某些情况下，单元体可以不取立方体，如平面应 力状态问题，零应力面可以取矩形、三角形等，只要 已知和零应力面垂直的任意两个面上的应力，就可以 求出其它任意斜截面上的应力以及主应力。

3、已知任意两个斜面上的应力，确定主应力

?
TSINGHUA UNIVERSITY

D? (? ? ,? ? )
D? (? ? , ? ? )

?3

o

a

?1

?

4、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用 主应力表示最为重要。

四、 三向应力状态的应力圆
只能画出主单元体的应力圆草图
TSINGHUA UNIVERSITY

?

?2
I

TSINGHUA UNIVERSITY

?1

?3

I
?3

?2

?

由?2 、 ?3可作出应力圆 I

? ?1 ?3
I
?3
?2

II

TSINGHUA UNIVERSITY

II

?2

?1

O

?

由?1 、 ?3可作出应力圆II

?
?2
TSINGHUA UNIVERSITY
III

II

?1

?3

?3

I

?2

?1

O
III

?

由?1 、 ?2可作出应力圆 III

?
TSINGHUA UNIVERSITY

II

?3

?2

O

?1
III

I

?

微元任意 方向面上的应 力对应着三个 应力圆之间某 一点的坐标。

1、求：平面应力状态的主应力?1、?2 、 ?3和最大切应 力?max。

?
TSINGHUA UNIVERSITY 200 B A 50

?max
a

300

o
(MPa)

? '''

?"
b

?
?'

2 求：平面应力状态的主应力?1、?2 、 ?3和最大剪应力?max。

200
50 B 300 A 50 a

?max
?"

?

TSINGHUA UNIVERSITY

?'
b

? '''
O

?

(MPa)

3求：平面应力状态的主应力?1、?2 、 ?3和最大切应力?max。

?
TSINGHUA UNIVERSITY

?max
a

B A 100 300 ? "

O b

? '''

?'

?

(MPa)

结论与讨论 一、关于应力状态的几点重要结论
TSINGHUA UNIVERSITY

应力的点的概念; 应力的面的概念; 应力状态的概念.

变形体力学 基 础

二、平衡方法是分析应力状态最重要、最基本的方法

TSINGHUA UNIVERSITY

A

A
关于A点的应力状态有多种答案，请 用平衡的概念分析哪一种是正确的？

三、怎样将应力圆作为思考和分析问题的 重要工具，求解复杂的应力状态问题
TSINGHUA UNIVERSITY

A Ｃ
B

2?

3?
60o

3?
2?

怎样确定C点处的主应力

四、关于应力状态的不同的表示方法
请分析图示四种应力状态中，哪几种是等价的?
TSINGHUA UNIVERSITY

?0

?0
45ｏ

?0

?0
45ｏ

?0 ?0 ?0

五、注意区分两种最大切应力
注意区分面内最大切应力;
TSINGHUA UNIVERSITY

所有方向面中的最大切应力—— 一点处的最大切应力;

? max ?

?1 ?? 3
2

最大切应力
TSINGHUA UNIVERSITY

?x'y'
σ3

?max
τ?
e ?2
2α

a
0

?1

o

c
d

b ?x'

? max ?

?1 ?? 3
2

§ 7-5 三向

应力状态解析法
例题
TSINGHUA UNIVERSITY

已知: 三向应力状态如 图所示，图中应力的单位 为MPa。 试求：主应力及微元 内的最大切应力。 作应力圆草图

所给的应力状态中有一个主应力是已知的；

? ??? ? 60MPa
TSINGHUA UNIVERSITY

? ?＝

?x

1 2 2 ? ? x ? 4? xy ? 0 2 2
? 1 2 2 ? x ? 4? xy ? 0 2

? ??＝

?x
2

?x=－20 MPa，?xy=－40 MPa。
? ? ?20 ? ?106 1 ?? ? ? ? 2 2 ? ?
? ? ?20 ? ?106 1 ? ?? ? ? ? 2 2 ? ?

? ?20 ?10 ?
6
6

2

? 4 ?40 ?10

?

6

?
?

2

? ? Pa=31.23MPa ? ?
? ? Pa ? ?51.23MPa ? ?

? ?20 ?10 ?

2

? 4 ?40 ?10

?

6

2

三个主应力

? 1 ? 60 MPa
TSINGHUA UNIVERSITY

? 2 ? 31.23MPa

? 3 ? ?51.23 MPa

微元内的最大切应力

? max ?

?1 ??3
2

? 55.6MPa

1、求下列单元体的三个主应力

TSINGHUA UNIVERSITY

30 40 30

50 40

2、求下列单元体的三个主应力

TSINGHUA UNIVERSITY

20

25

30

50

3、求下列单元体的三个主应力，并作应力圆草图
TSINGHUA UNIVERSITY

30

40

40 50

30
a

4、杆件内某点的应力状态如图，求①主应力； ②最大剪应力；③画出该点的应力圆草图。
TSINGHUA UNIVERSITY

40

80 60 100

5、杆件内某点的应力状态如图，E＝200Gpa,u=0.25 求①主应力；②最大剪应力；③ 最大线应变；④画 出该点的应力圆草图。
TSINGHUA UNIVERSITY

70

60

50

§ 7-8 广义胡克定律 1. 基本变形的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
纵向线应变 横向线应变
TSINGHUA UNIVERSITY

y x

?x ?

?x

?x

E ?x ? y ? ? ?? x ? ? ? E

2）纯剪切胡克定律

?

? ? G?

2、三向应力状态的广义胡克定律 －叠加法
?2
TSINGHUA UNIVERSITY

?2

?1

?1
?3

?3

?1

?1 E

?2 ?? E

?3 ?? E

1 ?1 ? ?? 1 ? ? ?? 2 ? ? 3 ?? E

?2
TSINGHUA UNIVERSITY

1 ?1 ? ?? 1 ? ? ?? 2 ? ? 3 ?? E

?1

1 ? 2 ? ?? 2 ? ? ?? 3 ? ? 1 ?? E
1 ? 3 ? ?? 3 ? ? ?? 1 ? ? 2 ?? E

?3

3、广义胡克定律的一般形式

?z

? zx

?x

? xz

? zy ? yz

? xy? yx

?y

1 ? x ? [? x ? ? (? y ? ? z )] E 1 ? y ? [? y ? ? (? z ? ? x )] E 1 ? z ? [? z ? ? (? x ? ? y )] E ? yz ? zx ? xy ? yz ? ? zx ? ? xy ? G G G

TSINGHUA UNIVERSITY

适用性

各向同性、线弹性材料；

4

平面应力状态的广义胡克定律

?y
y z x

1 ε x ? ? σ x ? νσ y ? E

TSINGHUA UNIVERSITY

?x

? xy

1 ε y ? ? σ y ? νσ x ? E

ν εz ? ? ? σ x ? σ y ? E
γxy ? τ xy G

5、三个弹性常数之间的关系
E G? 2?1 ? ? ?

TSINGHUA UNIVERSITY

讨论

? 1、 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ,
TSINGHUA UNIVERSITY

??1

? ? 2 ? ? 3 ,

即 ?1 ? ? max , ? 3 ? ? min .

即最大与最小主应变分别发生在最大、最小主应力方向。

2、当 ? 3 ? 0 时，即为二向应力状态：
1 ?1 ? (? 1 ? ?? 2 ) E 1 ? 2 ? (? 2 ? ?? 1 ) E

?3 ? ?

?

E

(? 1 ? ? 2 ) (? 3 ? 0)

3、当 ? 2

? 0,? 3 ? 0 时，即为单向应力状态；

一般的二向应力状态的广义胡克定律

1 ? ? ? ( ? ? ? ?? ? ?90 ) E

TSINGHUA UNIVERSITY

正确应用广义胡克定律 请判断下列论述的正确性：
? ? ? ? 有应力一定有应变 有应力不一定有应变 有应变不一定有应力 有应变一定有应力

TSINGHUA UNIVERSITY

例1：已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了

测定拉力F和力矩m，可沿轴向及与轴向成45°方向测出
线应变。现测得轴向应变 ? 0 ? 500 ?10?6 45°方向的应变 ， 为 ? u ? 400 ?10?6。若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200 Gpa,泊松比?=0.3。试求F和m的值。 m F
TSINGHUA UNIVERSITY

u
k
45°

F m

u

（1）提取应变片处的应力状态
FN F ?? ? , A A

TSINGHUA UNIVERSITY

K

?

?

Mn m m ?? ? ? p 3 Wt Wt D 16

（2）应用广义胡克定律

1 ? 0 ? ? ?? ?? y ? ? z ? ? ? ? ? 0 ? 500 ? 10 ?6 E E

?

?

F ? ? ? A ? E? 0 ? A ? 785 KN

（3）计算外力偶m.
TSINGHUA UNIVERSITY

1 ? u ? ? ?45 ? ?? ?45 ? ? ?? 45 ? ? z ?? ? 400 ?10 ?6 E
? ?45 ?
?
2

? z ? 0,
?
2 ??

?
2 ?

?

?
2

cos 2 ? ( ?45 ) ? ? sin 2 ? ( ?45 ) ?
0 0

? 45 ?

?
2

cos 2 ? 45 ? ? sin 2 ? 45 ?
0 0

?
2

??

1 ? ? ? ? ? ?? ? ? E
TSINGHUA UNIVERSITY

?

?? ? 400 ? 10

?6

? ? 34.6 ? 106 N / m 2
m ?? ?

p
16

D 3 ? 6.79 KN ? m

1、60毫米×90毫米的矩形截面外伸梁，竖放。材 料的弹性模量为E＝200GPa，泊松比为u=0.3。 测得A点处ε-45＝200×10-6。若已知P1＝80KN， 求P2＝？
P2 A 1m 2m P1 60 90

TSINGHUA UNIVERSITY

2、圆轴的直径为D＝10毫米，材料的弹性模量 为E＝100GPａ，泊松比μ＝0.25，载荷 P=2KN，外力偶M=PD/10。求圆轴表面上一
TSINGHUA UNIVERSITY

点与轴线成30度角的线应变。
A M＝PD/10 P 30 °

3、等截面圆杆受力如图，抗弯截面系数为 WZ=6000mm3，材料的弹性模量为E＝200GPａ， 泊松比μ＝0.25，a=0.5m，测得A、B二点的线应
TSINGHUA UNIVERSITY

变分别为εA＝4×10－4，εB＝3.75×10－4。求外载
荷P、M。
P
B a P P A 45 a M P A

B

4、圆截面直角拐的直径为D＝10毫米，材料的弹性
模量为E＝200GPａ，泊松比μ＝0.3。测K点与轴线

成45度角的线应变为ε＝－3.9×10－4，求力P＝？

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31.4cm

K P 31.4cm

K

5、等截面圆杆受力如图，直径为D＝30毫米，材料 的弹

性模量为E＝200GPａ，泊松比μ＝0.3，测 得A点沿轴向的线应变为εA＝5×10－4，B点与轴 线成45度角的线应变为εB＝4.26×10－4。求外载 荷M1、M2。

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M2
B

A

M1

6、大体积刚块上有一圆孔，孔的直径为D＝5.001厘
米。孔内放一直径为ｄ＝5厘米的圆柱，圆柱上承 受P＝300KN的压力，圆柱材料的弹性模量为E＝ 200GPａ，泊松比μ＝0.3。求圆柱内的三个主应力。
P
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7、薄壁圆筒的内径为D＝60毫米，壁厚ｔ＝1.5毫
米。承受的内压为ｐ＝6MPａ，力偶为M＝1KN ｍ。材料的弹性模量为E＝200GPａ，泊松比μ＝ 0.3。求A点与轴线成45度角的线应变。
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M A 45

8、直径为D＝20毫米的实心轴，受力偶M＝126Nｍ
的作用。测定A点与轴线成45度角的线应变为εA ＝5×10－4，材料的泊松比μ＝0.25。求材料的弹 性模量E与剪变模量G。
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M A 45

9、已知矩形截面简支梁的横截面尺寸宽ｂ＝60毫 米，高ｈ＝100毫米。梁的跨度为L＝3米，载荷 F作用在梁的中点。图示中K点的两个主应变为ε1 ＝5×10－4，ε2＝－1.65×10－4。材料的弹性模量 为E＝200GPａ，泊松比μ＝0.3。求主应力σ1、σ2、 及力F
F
K

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K
30

h

1m

b

10、已知矩形截面杆宽b=40mm，高h=2b。材料的弹 性模量为E＝200GPａ，泊松比μ＝0.3。测定A、B 二点沿轴向的线应变分别为εA＝100×10－6，εB＝ 300×10－6。求外载荷P、M。

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A

M

h
P B

b

11、等截面圆轴的直径为D＝40毫米，材料的弹性模量 为E＝200GPａ，泊松比μ＝0.25。测定A点与轴线成 ±45o角的线应变分别为ε45＝-146×10－6，ε-45＝ 446×10－6。求外载荷P、M；如果构件的许用应力 为[σ]＝120MPａ，校核强度。
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M A P A

11、矩形截面悬臂梁的截面宽ｂ＝50毫米，高ｈ＝100
毫米。梁长L＝1米，P＝20KN。材料的弹性模量为 E＝200GPａ，泊松比μ＝0.3。求K点与轴线成30度
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角方向上的线应变。

30 K L/2 P b

h

12、矩形截面简支梁跨度为L，在梁的中性层上贴应 变片测得与轴线成α角的线应变为ε，材料的弹性 模量为E，泊松比μ，均已知。求载荷F

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F K K 0.3L 0.5L

α b

h

13、圆截面杆的直径为D，材料的弹性模量为E， 泊松比μ，A处的两个主应变ε1、ε3已知。求力P
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A

P

a

a

M=Pa

14、圆截面杆的直径为D＝20毫米，材料的弹性模量 为E＝200GPａ，泊松比ｕ＝0.3。测的构件表面上 一点A的三个方向的线应变分别为：轴线方向εa＝ 320×10－6，与轴线垂直方向εb＝－96×10－5，与轴 线成45度角方向εc＝565×10－6，求外载荷P、M

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b A c a

M P A

15、25×5的矩形截面钢杆竖放，用应变片测

得杆 件的上、下表面轴向线应变分别为εa=1×10－3， εb=0.4×10－3，材料的弹性模量为E＝200GPa， ①绘制横截面上正应力的分布图②求拉力P及偏 心距离e。
a P e b

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1、广义虎克定律εi=(σi-u(σj+σk)/E 适用于

。

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A：弹性体； B：线弹性体；

C：各向同性弹性体；
D：各向同性线弹性体；

2、矩形板ABCD，在AD、BC上作用有均匀压力 P1，在AB、CD上作用有均匀压力P2，欲使AD、 BC二面的相对距离保持不变，那么P1/P2=?
P2 A B
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D

C

P1

3、材料的弹性模量E，泊松比μ 已知，则最大 线应变ε 1=?
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3σ σ

4、圆板在受力前画二个圆，受均匀载荷的作用， 受力后二圆会变成什麽形状(圆、椭圆)？
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a

b

5、受扭圆轴上贴三个应变片，实测时应变片的读数 几乎是零？
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1

2 3

6、工字形截面梁E＝200GPａ，在力偶M的作用下 测定A处纵向线应变ε=3×10-4,那么梁内最大的正应 力＝ 。 ；B：60 MPａ；
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A：30MPａ

C：120 MPａ

D：180 MPａ
A

a

a

a

7、在下列说法中哪一个正确？ A：在有正应力的方向必有线应变；
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B：无正应力的方向必无线应变；

C：线应变为零的方向正应力必为零；
D：正应力最大的方向线应变也最大；

8、已知单元体的σ 1、σ 2、E、μ ,主应变ε 1、ε 均已知，那么ε 3＝？
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2

A：-μ(ε1+ε2) C：-μ(σ1+σ2) /E

B：-μ(σ1+σ2) /E D：0
σ
2

σ

1

9、现有两个单元体，比较ε x与ε y：
A：ε x、ε y均相等；
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。

B：ε x、ε y均不等；

C：ε x相等、ε y不等；
σy σx

D：ε x不等、ε y相等。
σy

τ

σx

? 体应变 变形前单元体体积：

?2 ? 2

V0 ? abc
?3

变形后单元体体积：

?3

b a c

?1

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?1

V1 ? (a ? ?a)(b ? ?b)(c ? ?c)

? abc ? bc?a ? ac?b ? ab?c ? a?b?c ? ?
?a ?b ?c ? abc(1 ? ? ? ) a b c

? abc (1 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 )

单位体积变形：

V1 ? V0 ?? V0

? ?1 ? ? 2 ? ? 3

（体积应变）

利用广义胡克定律：

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1 ? 2? ? ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? (? 1 ? ? 2 ? ? 3 ) E 3(1 ? 2? ) (? 1 ? ? 2 ? ? 3 ) ? m （体积变形 ? ? E 3 k 虎克定律）
E k? （体积弹性模量） 3(1 ? 2? )

? 1 ? ? 2 ? ? 3 （平均正应力） ?m ? 3

讨论： 1、单位体积变形 ? 只与三个主应力之和有关，与主应 力的大小比例无关。 2、因为 ? ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ，因此 ? 与取轴方向无关，且三 个相互垂直面上的正应变之和不变。 3、若 ? ? 0.5 ? m ? 0 ，则 ? ? 0. ，即体积不变。但 或
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三 : 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

广义胡克定律 应力状态广义胡克定律

四 : 广义胡克定律

§10.4 空间应力状态及广义胡克定律

一、 空间应力状态简介

当单元体上三个主应力均不为零时的应力状态称为空间应力状态，也称为三向应力状态。[www.61k.com)本节只讨论在已知主应力σ1、σ2、σ3的条件下，单元体的最大正应力和最大剪应力。先研究一个与σ1平行的斜截面上的应力情况，如图10-16(a)所示。该斜面上的应力σ、τ与σ1无关，只由主应力σ2、σ3决定。于是，可由σ2、σ3确定的应力圆周上的点来表示平行于σ1某个斜面上的正应力和剪应力。同理，在平行于σ2或σ3的斜面上的应力σ、τ，也可分别由（σ1、σ3）或（σ1、σ2）确定的应力圆来表示。这样作出的3个应力圆称作三向应力圆，如图10-16（d）所示。当与三个主应力均不平行的任意斜面上的正应力和剪应力必然处在三个应力圆所围成的阴影范围之内的某一点D。D点的纵横坐标值即为该斜面上的正应力和剪应力。由于D点的确定比较复杂且不常用，在此不作进一步介绍。

图10-16 空间应力状态及其应力圆

二、 最大、最小正应力和最大剪应力

从图10-16(d)看出，在三个应力圆中，由σ1、σ3所确定的应力圆是三个应力圆中最大的应力圆，又称极限应力圆。画阴影线的部分内，横坐标的极大值为Al点，而极小值为B1点，因此，单元体正应力的极值为：

σmax=σ1，σmin=σ3

单元体中任意斜面上的应力一定在σ1和σ3之间。

广义胡克定律 广义胡克定律

而最大剪应力则等于最大应力圆上Gl点的纵坐标，即等于该应力圆半径：

?max??1??3

2

Gl点在由σ1和σ3所确定的圆周上，此圆周上各点的纵横坐标就是与σ2轴平行的一组斜截面上的应力，所以单元体的最大剪应力所在的平面与σ2轴平行，且与σ1和σ3主平面交45。［www.61k.com）

三、广义胡克定律

在研究单向拉伸与压缩时，已经知道了在线弹性范围内，应力与应变成线性关系，满足胡克定律 0

??E? （a）

此外，轴向变形还将引起横向尺寸的变化，横向线应变根据材料的泊松比可得出：

?'????????

E （b）

在纯剪切的情况下，根据实验结果，在剪应力不超过剪切比例极限时，剪应力和剪应变之间的关系服从剪切胡克定律，即

??G? 或 ???G （c）

对于复杂受力情况，描述物体一点的应力状态，通常需要9个应力分量，如图10.1所示。根据剪应力互等定律，τxy=－τyx，τxz=－τzx，τyz=－τzy，因而，在这9个应力分量中只有6个是独立的。这种情况可以看成是三组单向应力（图10-17）和三组纯剪切的组合。对于各向同性材料，在线弹性范围内，处于小变形时，线应变只与正应力有关，与剪应力无关；而剪应变只与剪应力有关，与正应力无关，并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变，而不会影响其它方向上的剪应变。因此，求线应变时，可不考虑剪应力的影响，求剪应变时不考虑正应力的影响。于是只要利用（a）、（b）、（c）三式求出与各个应力分量对应的应变分量，然后进行叠加即可。

广义胡克定律 广义胡克定律

图10-17 应力分解

如在正应力σx单独作用时(图10-17(b))，单元体在x方向的线应变?xx??x

E；

在σy单独作用时(图10-17(c))，单元体在x方向的线应变为：?xy????y

E；

在σz单独作用时(图10-17 (d))，单元体在x方向的线应变为?xz????z

E；

在σx、σy、σz共同作用下，单元体在x方向的线应变为：

?x??xx??xy??xz

?x??y??Z?E?E?E?1?x??(?y??z)????E

同理，可求出单元体在y和z方向的线应变εy和εz。[www.61k.com］最后得

?x?

?y?1?x??(?y??z)????E 1?y??(?z??x)????E

（10-9）

1?z??(?x??y)????E ?z?

对于剪应变与剪应力之间，由于剪应变只与剪应力有关，并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变，而不会影响其它方向上的剪应变。因而仍然是（c）式所表示的关系。这样，在xy、yz、zx三个面内的剪应变分别是

?xy?12(1??)?xy??xyGE

广义胡克定律 广义胡克定律

?yz?12(1??)?yz??yzGE （10-10）

12(1??)?zx??zxGE ?zx?

公式（10-9）和（10-10）就是三向应力状态时的广义胡克定律。［www.61k.com)

当单元体的六个面是主平面时，使x、y、z的方向分别与主应力σ1、σ2、σ3的方向一致，这时有

?x??1,?y??2,?z??3,?xy?0,?yz?0,?zx?0,

广义胡克定律化为：

?1?

?2?1??1??(?2??3)?E 1??2??(?3??1)?E

（10-11） ?3?1??3??(?1??2)?E

?xy?0,?yz?0,?zx?0

ε1、ε2、ε3方向分别与主应力σ1、σ2、σ3的方向一致，称为一点处的主应变。三个主应变按代数值的大小排列，ε1 ≥ ε2 ≥ε3，其中，ε1和ε3分别是该点处沿各方向线应变的最大值和最小值。

四、 体积应变

单位体积的改变称为体积应变（体应变）。图10-18

所示的主单元体，边长分别是dx、dy和dz。在3个互相垂直的面上有主应力σ1、σ2和σ3。

单元体变形前的体积为: v = dxdydz;

图10-18 主应力单

+ε3dz)

则体积应变为： 变形后的体积为：v1=（dx +ε1dx)(dy +ε2dy)(dz

???vv1?v(dx??1dx)(dy??2dy)(dz??3dz)?dxdydz??vvdxdydz

广义胡克定律 广义胡克定律

?(1??x)(1??y)(1??z)?1??1??2??3??1?2??2?3??3?1??1?2?3

略去高阶微量，得

???1??2??3 （10-12）

将广义胡克定律式(10-11)代入上式，得到以应力表示的体积应变

???1??2??3?

令 1?2?(?1??2??3)E （10-13）

?m?(?1??2??3)

则 13 （10-14）

??3(1?2?)?m?m?EK （10-15） K?

式中：E3(1?2?)称为体积弹性模量，σm称为平均主应力。（www.61k.com］

公式（10-15）表明，体积应变θ与平均主应力σm成正比，即体积胡克定律。单位体积的体积改变只与三个主应力之和有关，至于三个主应力之间的比例对体积应变没有影响。

若将图10-19（a）中所示单元体分解为（b）和（c）两种情况的叠加，在（c）图中，由于各面上的主应力为平均主应力，该单元体各边长按相同比例伸长或缩短，所以单元体只发生体积改变而不发生形状改变。

在图（b）中，三个主应力之和为零，由式（10-13）可得其体积应变θ也为零，表明该单元体只发生形状改变而不发生体积改变。由此可知，图（a）所示的单元体的变形将同时包括体积改变和形状改变。

广义胡克定律 广义胡克定律

图10-19 单元体应力的组合

五、 复杂应力状态下的弹性变形比能

弹性变形比能是指物体在外力作用处于弹性状态下，在单位体积内储存的变形能。[www.61k.com]在单向应力状态下，当应力σ与应变ε满足线性关系时，根据外力功和应变能在数值上相等的关系，导出变形比能的计算公式为

1u???2

在复杂应力状态下的单元体的变形比能为

u?1(?1?1??2?2??3?3)2

将将广义胡克定律(10.11)式代入上式，经过整理后得出：

u?1?1??1??(?2??3)???2??2??(?1??3)???3??3??(?2??1)???2E

1222???????2?(?1?2??2?3??3?1)?123??2E （10-16） ?

式（10-16）就是在复杂应力状态下杆件的弹性变形比能计算公式。由于单元体的变形包括体积改变和形状改变，所以变形比能也可以看成由体积改变比能和形状改变比能这两部分的组合。

u?u??ud

式中：u?为体积改变比能，ud为形状改变比能。

对于图（10-19（c））中的单元体，各面上的正应力为：?m??(?1??2?

?3)1

3，将

广义胡克定律 广义胡克定律

σm代入式（10-16）得体积改变比能：

u??1222222???????2?(?????)?mmmmmm??2E

?1?2?(?1??2??3)2

6E （10-17）

形状改变比能：

ud?u?u??11?2?2222????????2?(????????)?(?????)123122331123?2E?6E

?1??222????????1?2??2?3??3?1?123??6E

?1??[(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2]6E （10-18）

例10-7 如图

?610-20所示钢梁，在梁的A点处测得线应变?x?40?06?y?120??10试求：,A点处沿x、y方向的正应力和z方向的线10,?

应变。(www.61k.com]已知弹性模量E=200GPa，泊松比μ=0.3。

图10-20 钢梁上某点A的位置

解：因为A点的单元体上σz=0，该单元体处于平面应力状态，将εx、εy、E、μ代入公式（10-9），得

400?10?6?1(?x?0.3?y)9200?10

1(?y?0.3?x)9200?10 ?1200?10?6?

解得：σx=80MPa，σy=0

广义胡克定律 广义胡克定律

再由

五 : 广义胡克定律适用的范围是什么

广义胡克定律适用的范围是什么

广义胡克定律适用的范围是什么的参考答案

在线弹性阶段,广义虎克定律成立,（犇_嫑）也就是应力σ1

本文标题：广义胡克定律-球坐标及柱坐标的广义胡克定律
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