一 : 张老师

张老师：

春节好。高一数学组给您拜个晚年。

余弦定理的教案准备了两个，各有特点，是我们全组针对不同层次的班级设计的。 其他几个教案，大家都进行了讨论，但由于时间安排上发生了冲突，准备得不是太充分。

为使您不太着急，先将此稿发送给您，请给予批评指正与建设性的指导意见。

武瑞岭 高志国 魏利民 韩克剑 王华宾 叶胜 胡安涛

于2009年2月7日

1．1．1正弦定理教案

教学目标：

1． 知识与技能 在学生知道三角形的大边对大角、小边对小角及三角形函数知识的基础

上，推导出正弦定理；会利用正弦定理来解决：已知两边及一边的对角解三角形、已知两角及一角的对边解三角形的问题。

2． 过程与方法 使学生经过对直角三角形、锐角三角形与钝角三角形内边角关系的探究，

发现正弦定理。同时体验数学分类讨论与数形结合的思想方法。

3． 情感、态度、价值观 使学生体会到数学定理获得的不易与快乐，增强学生的分类探

究意识。

教学重点 对三角形边角关系的探究，证明正弦定理。

教学难点 对钝角三角形内正弦定理的证明及已知两边及小边的对角求大角的问题。 教学过程设计

一．探究三角形的边角关系

1.在任意三角形中,大边对____角;小边对___角.（学生做答 ）

师：三角形内的边与所对的角究竟有什么样的制约关系呢？请同学们自主解决下面的问题。

2.已知直角三角形的三边分别为a,b,c,它们所对的角分别为A,B,C,其中角C为直角.

(1)求sinA,sinB,simC的值;

abc,,的值,你能发现三者有什么关系? sinAsinBsinC

学情关注：在推导过程中，很可能有个别同学会问：sinC=？

引申1.在锐角三角形中,这种关系是否成立?画出图形,试一试.

学情关注：让学生经过1~2分钟的探究，可让学生板书讲解推导的过程。

引申2.在钝角三角形中,这种关系是否成立?画出图形试一试.

学情关注：可能有相当一部分同学不能推出。教师根据可进行不同程度的引导与讲解。

设计意图：上述设计体现了问题意识与探究意识，突出了学生在获取知识过程中的主体地位。）

二.正弦定理

在一个三角形中,各边和它所对的正弦的比相等,即

abc?? sinAsinBsinC

特点分析：此处通过师生的交互式分析，可促使学生形成由一般到特殊的数学思想方法，可以使学生认识到定理的重要性及触类旁通是怎样达到的。 同时也非常自然地引出解三角形的问题。

三.解三角形

一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

四.正弦定理的应用-----解三角形举例

例1.在?ABC中,已知下列条件,解三角形(角度精确到1度,边长精确到1cm) (2)求

(1)A?45?,C?30?,c?10cm;

学生自主完成，并由学生来讲解。

(2) A?32.0?,B?81.8?,a?42.9cm.

由学生来说解题思路。

提炼：已知条件的特点：已知两角及一个角的对边。

例2. 在?ABC中,已知下列条件,解三角形(角度精确到1度,边长精确到1cm) (1)a?20,b?2,B?30?

此处是用正弦定理解三角形中的易错之处。是教学中的难点。

策略：先由学生自主解决。当发现学生只给出一个答案时，

问：角A的范围是什么？请同学们写出来。

这样做，以期达到醍醐灌顶之效。

反思与提炼：

已知条件的特点：已知两边及小边的对角。注意写出大角的范围，关注大角应该

取1个值还是两个值。

由学生说出并加以强调。

(2) a?20,b?28,A?40?.

可由学生说解题思路。

五．巩固训练P4

六．本节收获

由学生来说。

七．作业布置

必作：与例1、2相似的题必须练习。

选作：根据学情补充。

1．1．2余弦定理的证明及其应用

教学目标：

4． 知识与技能 在学生知道向量的数量积及三角形函数知识的基础上，推导出余弦定理；会利用余弦定理来解决：已知两边及其夹角解三角形、已知三边解三角形的问题。

5． 过程与方法 通过三角形边角关系的探究，能用向量法证明余弦定理。了解可以从向量、解析法和三角法等多种途径证明余弦定理。

6． 情感、态度、价值观 使学生感受到量化的数学思想方法。

教学重点 通过对三角形边角关系的探究，证明余弦定理及其推论。

教学难点 余弦定理的证明。

一．教学情景设计

1. 提问：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？

2．如果已知一个三角形的两边及其夹角，怎样求第三边呢？

一、探究

在?ABC中，已知AB=c，AC=b及其夹角A，求边BC的长度a。

请同学们试一试，你能发现什么方法？

由学生先进行探究，然后由学生来讲解，或根据学情进行引导、教学。

并板书。

① 如图在?ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b. ???????????? ∵AC?AB?BC， ????2????????????2????????????????????????∴AC?AC?(AB?BC)?(AB?BC)?AB?2AB?BC?BC

????2????????????2?AB?2|AB|?|BC|cos(180??B)?BC?c2?2accosB?a2.

即b2?c2?a2?2accosB，→

问1 A是直角与钝角时，此结论是否成立？

问2 怎样用a，b，C 来表示c？

问3：如果已知三角形的三条边a，b，c，如何来求出它的三个角呢？ 请同学们试一试。

并板书。

b2?c2?a2

cosA? 2bc

思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？

三．余弦定理的应用：

例1. 在?ABC中：

（1） a=1,b=1,C=1200,求c;

（2）

a?3,b?4,c,求最大角；

（3）

a:b:c?2,求A,B,C.

例2. 在?ABC中，已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC.

四．练习巩固：

1. 在?ABC中，已知a=3,b=2,C=1200,求c.

2. 在?ABC中,a=7,b=10,c=6,判断三角形的形状。

3. 已知三点A(1,3),B(-2,2),C(0,-3),求?ABC的各内角的大小。

五．提升拓展：

1. 用余弦定理证明：平行四边形两条对角线的平方和等于它们各边的平方和。

2. 在?ABC中，acosA=bcosB,试判断三角形的形状。

六． 本节收获

由学生来做。

余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.

七．. 作业：教材P8 练习1、2（1）题.

1．1．2 余弦定理

【教学目的】

1.理解并掌握余弦定理及其证明；

2.能初步运用余弦定理解斜三角形；

3.理解用向量方法推导证明余弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性。

【教学重点】

余弦定理的证明和理解

【教学难点】

余弦定理的推导与证明。

【教学过程】

一．复习与新课引入：

1．正弦定理及其推导、证明:

2．应用正弦定理可以解决：

①

②

3．两个三角形全等的判定定理有：

[问题]对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？

[推导] 如图在?ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b∵AC?AB?BC ∴??(?)?(?) A

?2B??2?? ?AB?2|AB|?|BC|cos(180?B)?BC 222

?c2?2accosB?a2

即b?c?a?2accosB

同理可证 a?b?c?2bccosA，c?a?b?2abcosC

二．新课：

1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦

222222222

即 a?b?c?2bccosA

222

b?c?a?2accosB 222

c2?a2?b2?2abcosC

2．余弦定理可以解决的问题

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

（2

【余弦定理变式】

b2?c2?a2

cosA? 2bc

c2?a2?b2

cosB? 2ca

a2?b2?c2

cosC? 2ab

三、讲解范例：

例1在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和b2?c2?a2

解：∵ cosA? ＝， ∴ A≈44° 2bc

a2?b2?c2

∵ cosC?＝， ∴ C≈36°, 2ab

∴ B＝180°－(A＋C)≈100【变式1】：已知不变，结论换成判定?ABC的形状。

【变式2】：已知不变，结论换成求?ABC的面积。

例2在ΔABC中，①已知a?20，b?29，c?21，求B； ②已知b?28，c?8?，B?60求a； 3

247,求a,并判断三角形的形状。 16③已知b?8，c?3，sinA?

例 3 ΔABC三个顶点坐标为(6，5)、(－2，8)、(4，1)，求22解法一：∵ |AB| ＝6?(?2)]?(5?8)?73

22|BC| ＝(?2?4)?(8?1)?

22|AC| ＝(6?4)?(5?1)?25

cosA?AB?AC?BC

2AB?AC222=2

365

∴ A≈84解法二：∵ AB＝(–8，3)，AC＝(–2，–∴ cosA＝

AB?AC(?8)?(?2)?3?(?4)2=,∴ A≈84?AB?AC?25365

四、课堂练习： ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为 ；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为 ABC中，sinA=2cosBsinC

ABC中，BC=3，AB=2，且sinC2?(6?1)，A sinB5

参考答案： 1钝角三角形，直角三角形，锐角三角形 120°

五、小结 余弦定理及其应用

六、课后作业：

课本10－11页： 2，3

222222【补充】ABC中，证明：（a－b－c）tanA＋（a－b＋c）tanB＝0

ABC中，已知sinB·sinC＝cos2A 2

第三课时 正弦定理和余弦定理综合应用

教学要求：进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.

教学重点：熟练运用定理.

教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.

教学过程：

一、复习准备：

1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.

2. 讨论各公式所求解的三角形类型.

二、讲授新课：

1. 教学三角形的解的讨论：

① 出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形. (i) A＝

?

6

，a＝25，b＝

(ii) A＝，a

?

6

，a＝

b＝

?

，b＝

(iiii) A＝，a＝50，b＝

66

分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化？ ② 用如下图示分析解的情况. （A为锐角时）

(iii) A＝

已知边a,b和?A

a<CH=bsinA

无解

a=CH=bsinA

仅有一个解

?

CH=bsinA<a<b有两个解

② 练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况. (i) A＝

2?2?，a＝25，b＝； (ii) A＝，a＝25，b＝33

2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：

① 出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求最大角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化？→ 引入参数k，设三边后利用余弦定理求角. ② 出示例3：在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，判断三角形的类型.

分析：由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判断

a2?b2?c2?A是直角??ABC是直角三角形

结论：活用余弦定理，得到：a2?b2?c2?A是钝角?ABC是钝角三角形

a2?b2?c2?AABC是锐角三角形

③ 出示例4：已知△ABC中，bcosC?ccosB，试判断△ABC的形状.

分析：如何将边角关系中的边化为角？ → 再思考：又如何将角化为边？ 3. 小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化. 三、巩固练习：

1. 已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且

sinA2a?b

的值 ?，求

sinB3b

2. 在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝4:5:6，则cosA:cosB:cosC＝3. 作业：教材P11 B组1、2题.

第一章 解三角形小结

一．教学重点

1. 理解正弦定理及余弦定理的推导证明过程，能够熟练运用正、余弦定理解三角形。 2. 根据实际情况设计测量距离、高度、角度等的测量方案，并能利用正、余弦定理解

决实际问题

3. 灵活运用正、余弦定理进行边角转化求角度、判断三角形形状等有关三角形的问题。

二．教学难点：①正、余弦定理的推导证明，应用定理解三角形。②设计测量距离、高度、角度等的测量方案，并能利用正、余弦定理解决实际问题，③在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题。进行边角转化

三．教学过程

1.

2例1．在?ABC中，已知B?45?，C?60?，c?1。试求最长边的长度。

例2．在?ABC中，已知a:b:c?2，试判断此角形的形状并求出最大角与最小角的和。

例3．如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C、D，已知?ABC为边长等于a的正三角形，当目标出现于B时，测得?CDB?45?，?BCD?75?AB。

三、巩固练习 1．在?ABC中，sinA:sinB:sinC?3:2:4试试判断此角形的形状并求出最小角。

2．在?ABC中，a,b,c分别是A，B，C的对边，且cosBb ?cosC2a?cA

（1）求角B的大小；（2）若ba?c?4，求a的值。

3．a,b,c分别是?ABC的三边，若a2?c2?b2，则角B为-------度。

4．测一塔（底不可到达）的高度，测量者在远处向塔前进，在A处测得塔顶C的仰角40?，再前进20米到B点，这时测得C的仰角为60?，试求此塔的高度CD。

第一课时 1.2 应用举例（一）

教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.

教学重点：熟练运用正弦定理、余弦定理解答有关三角形的测量实际问题.

教学难点：根据题意建立解三角形的数学模型.

教学过程：

一、复习准备：

1.在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝

1)，c＝

，则∠A为.

2.在△ABC中，sinA＝sinB?sinC，判断三角形的形状. cosB?cosC

解法：利用正弦定理、余弦定理化为边的关系，再进行化简

二、讲授新课：

1. 教学距离测量问题：

① 出示例1：如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，

测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，

?BAC=51?，?ACB=75?. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).

分析：实际问题中已知的边与角？ 选用什么定理比较合适？

→ 师生共同完成解答. →讨论：如何测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？

③ 出示例2：如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、

B两点间距离的方法.

分析得出方法：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且

在C、D两点分别测得?BCA=?，?ACD=?，?CDB=?，?BDA =?.

讨论:依次抓住哪几个三角形进行计算？

→ 写出各步计算的符号所表示的结论. 具体如下：

在?ADC和?BDC中，应用正弦定理得

asin(???)asin(???)AC= =， BC sin[180??(?????)]sin(?????)

=asin?asin?=. sin[180??(?????)]sin(?????)

计算出AC和BC后，再在?ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离

AB =

④ 练习：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得?BCA=60?，?ACD=30?，?CDB=45?，?BDA =60?. （答案：AB

.

2. 小结：解斜三角形应用题的一般步骤：（1

）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示

意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.

三、巩固练习：

1.

的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°. A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离. (

)

2. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30?，灯塔B在观察站C南偏东60?，则A、B

a km）

3. 作业：教材P14 练习1、2题.

第二课时 1.2 应用举例（二）

教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.

教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.

教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.

教学过程：

一、复习准备：

1. 讨论：测量建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？

2. 讨论：怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？

二、讲授新课：

1. 教学高度的测量：

① 出示例1：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最

高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.

分析：测量方法→ 计算方法

师生一起用符号表示计算过程与结论.

asin?asin?sin?AC=，AB= AE+h=ACsin?+h=+h. sin(???)sin(???)

② 练习：如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角?=54?40?，

在塔底C处测得A处的俯角?=50?1?. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求

出山高CD(精确到1 m)

③ 出示例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A

处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15?的方向上,行驶5km

后到达B处,测得此山顶在东偏南25?的方向上,仰角为8?,求此山

的高度CD.

分析：已知条件和问题分别在哪几个三角形中？ 分别选用什

么定理来依次解各三角形？ → 师生共同解答

.

解答:在?ABC中, ?A=15?,?C= 25?-15?=10?,根据正弦定理,BCAB = , sinAsinC

ABsinA5sin15?

BC ==≈7.4524(km)，CD=BC?tan?DBC≈BC?tan8?≈1047(m). ?sin10sinC2. 练习：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.

解法：画图分析，标出各三角形的有关数据，再用定理求解. 关键：角度的概念

3. 小结：审题；基本概念（方位角、俯角与仰角）；选择适合定理解三角形；三种高度测量模型（结合图示分析）.

三、巩固练习：

1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30?，

(m) 2. 在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南25°西300米的地方，在A侧山顶的仰角是30°，求山高. （答案：230米）

3. 作业：P17 练习1、3题.

第三课时 1.2 应用举例（三）

教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题. 教学重点：熟练运用定理.

教学难点：掌握解题分析方法.

教学过程：

一、复习准备：

1. 讨论：如何测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？又如何测量两个不可到达点的距离？ 如何测量底部不可到达的建筑物高度？与前者有何相通之处？

2. 讨论：在实际的航海生活中，如何确定航速和航向？

通法：转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题

二、讲授新课：

1. 教学角度的测量问题：

① 出示例1：甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时10(＋1)km的速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点，求A、C两点的距离，以及在A点观察C点的方向角.

分析：根据题意，如何画图？ →解哪个三角形？用什么定理？如何列式？ 测得塔基B的俯角为45?，则塔AB的高度为多少m？ 答案：

→ 学生讲述解答过程 （答案：） 6

→ 小结：解决实际问题，首先读懂题意，画出图形→再分析解哪个三角形，如何解？ ② 练习：已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°，甲船自A以50海里／小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里／小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船之间的距离最小？

画出图形，并标记已知和要求的 →解哪个三角形？用什么定理解？如何列式？ ③ 出示例2：某巡逻艇在A处发现北偏东45?相距9海里的C处有一艘

走私船，正沿南偏东75?的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，

巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，

问巡逻艇应该沿什

么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

分析:如何画出方位图？ → 寻找三角形中的已知条件和问题？ → 如何解三角形. → 师生共同解答. （答案：北偏东83?13?方向；1.4小时）

④ 练习：某渔轮在A处测得在北45°的C处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上渔群？

2. 小结：

（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之. （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.

三、巩固练习：

1. 我舰在敌岛A南偏西50?相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西10?的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？

2. 某时刻A点西400千米的B处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心，300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A进入台风圈？A处在台风圈中的时间有多长？

3. 作业：教材P22 习题1.2 A组 2、3题.

第四课时 1.2 应用举例（四）

教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用，能证明三角形中的简单的恒等式.

教学重点：三角形面积公式的利用及三角形中简单恒等式的证明.

教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.

教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：接触过哪些三角形的面积公式？

2. 讨论：已知两边及夹角如何求三角形面积？

二、讲授新课：

1. 教学面积公式：

① 讨论：?ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha、hb、hc，那么它们如何用已知边和角表示？ → 如何计算三角形面积？

11

1absinC，S=bcsinA, S=acsinB 22

③ 练习：已知在?ABC中，?B=30?,b=6,c求a及?ABC的面积S. ② 结论：三角形面积公式，S=

（解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数）

④ 出示例1：在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）？

分析：由已知条件可得到什么结论？ 根据三角形面积公式如何求一个角的正弦？ → 师生共同解答. → 小结：余弦定理，诱导公式，面积公式.

→ 讨论：由三边如何直接求面积？（海仑公式）

2. 教学恒等式证明：

① 讨论：射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA.

分析：如何证明第一个式子？

a2?b2?c2a2?c2?b22a2

?c??a= 左边 证一：右边=b2ab2ac2a

证二：右边 = 2RsinBcosC + 2RsinCcosB=2Rsin(B+C)=2RsinA= a = 左边

→ 学生试证后面两个.

② 出示例2：在?ABC中，求证：

a2?b2sin2A?sin2B?; （2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC） （1）22csinC

分析：观察式子特点，讨论选用什么定理？

3. 小结：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.

三、巩固练习：

tanAa2

?1. 在△ABC中，若，判断△ABC的形状. （两种方法） tanBb2

2. 某人在M汽车站的北偏西20?的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶. 公路的走向是M站的北偏东40?. 开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米. 问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？（15千米）

3. 作业：教材P24 14、15题.

二 : 张老师

文/文仕红

我这人天生愚钝，思考问题总慢半拍，特别是学数学尤为吃力。父亲也许是基于这个原因考虑，毅然让我留级重读了一个初三。

教我们数学的是一位40多岁的男教师，姓张，国字脸，只是满头苍白的头发，使他看起来比实际年龄要苍老许多。张老师走路很吃力，还不时咳嗽，似乎有什么病。

张老师科班出身，将深奥的数学命题融入具体的事例之中，深入浅出，易学好懂。因我有一定基础，加之父母的期望和重点中学的压力，倒也学得个一知半解，每次考试能上80多分。

每周有两节数学晚自习，张老师总会很准时地出现在教室里。老师略带北方口音，声音婉转，字正腔圆，我们喜欢听他讲话。整个晚自习，我们问题不断，张老师解题不断。只是不忍看他每次咳嗽不止而被扭曲的脸。背地里我们会议论：张老师究竟是哪里人呢？怎么会来我们这里教书？

我住在校外亲戚家里，去学校要经过一条小路，碰上下雨的时候，得绕公路才行。很多次，天还没有亮，我撑着雨伞顺着公路去学校上早自习。在路上总能看见张老师光着上身，顶着或大或细的雨，在跑步。很吃惊，也为张老师担心：自己身体本来就不好，弄感冒了怎么办啊？更钦佩：每天坚持跑步，风雨无阻，这需要多大的毅力啊！( 文章阅读网：www.61k.com )

离升学的日子越来越近。做不完的习题集，写不完的草稿纸。不管是数学课，还是早晚自习，张老师都会风雨无阻给我们讲题型和解题的方法、技巧，只是脸显得更加清瘦，说话越加吃力，甚至有好几次在课堂上咳嗽不止。但他终能忍住，然后很抱歉地对我们笑笑，又开始了讲授。

在中考的日子，有几天没有看见张老师了，甚至在考数学前的晚自习，张老师也没有来教室给我们辅导。因为考试的紧张，我们也没有多过问。在举行毕业典礼的那天，我们才知道，张老师永远的去了。也知道了张老师更多的事情：原来张老师不是本地人，而是河北人，只因文化大革命期间，说了句“刘少奇是好人”而遭到他的学生的批斗，被含尿谷草、跪玻璃渣、住潮湿阴暗的“牛棚”，张老师始终没有承认自己有错，却从此落下了哮喘的病根。文化大革命结束后，在一名校友的介绍下，他自愿来到了我们这“民风醇厚”的“荒郊僻野”教书。他任劳任怨，爱生如子，从未落下一节课；他宽容敦厚，乐观向上，从未提起“文革”

那段屈辱的历史；他身体不好，每天坚持跑步，坚持用冷水擦身，坚韧而顽强地活着。在我们中考的日子里，课程不紧，他听说蟾蜍可以治疗哮喘病，就去郊野捉回蟾蜍吃，却因消毒不严，而中毒身亡。

张老师就这样永远地去了。在我们的毕业留影册上永远空着一个位置，那就是张老师的位置。张老师因咳嗽而被扭曲的脸、怕影响我们而歉意的笑容、在风雨中跑步的身影……随着年岁的增长，在我脑海中越发清晰。我知道那是一种力量！一种正直、坚韧、宽容的力量！每当我遭遇误解、困难和挫折，这副图画便会出现在我眼前，它鞭策着我任何时候不要忘了做人的根本！

三 : 张克思老师

张克思老师，世界著名书法表演艺术家，社会活动家和慈善家。现任“世界华人书画艺术家协会主席”国际慈善基金会爱心大使”。1963年出生，原籍沈阳，现居北京。以神州第一笔闻名于世，首倡广场书法艺术，中国汉字他能熟练自如的反写、横写、倒写、逆写、背写，或左手写，或右手写，或左右开弓，把独特的书画有机的结合在一起，堪称“中华一绝”，被联合国评选为最有影响力的书画艺术家。他的书法作品被中央电视台、国内外新闻机构和权威媒体进行宣传报道、几十位国家领导人及中外书画爱好者所收藏，在国际上有很高知名度。张克思老师的网址为：http//zkesi。cn。

今于张克思老师话聊很长一段时间，深有感悟他还是那样的酷爱着自己的书画艺术。至2009年十月在云南世博分手话别后，再也没有见到张克思老师了，他是个忙人，可以说太忙了！关于他为我国中华书画艺术所做出的卓著贡献。让我们国人为之骄傲和自豪。张克思老师于人相处谦逊而平易近人，他的言行举止是那么的直爽和豪气，集北方男人坦荡的特质综合为一体，于他聊天没有任何压力，张克思老师说：“小何，我没有什么了不起！我只是把我的书画艺术展现给国家和人民及国外的友人们！弘杨我国不老文化内涵和博大而深远的底蕴。我是一个中国人我在做我份类的事”，张克思老师不懈爱国精神和爱国理念让我深深信服和敬佩！我们中华民族是多么的伟大和温暖！是藏龙卧虎的国家。从古至今层出不穷出了无数科研精英，文泰墨客，画坛大师，世界巨英，英雄豪杰，英年才子，奇人，奇才，奇事还有更多的“家们”等等^

张克思老师的巨作枚不胜举，他在许多中家得到众多首相人物的热情接见和认可。送了个于他实力吻合的绰号：“中国的神笔马良”他为国人在许多国家给我们植入了扎实的荣耀和光辉灿烂的华章！

本文标题：张老师-张老师
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