一 : 函数值域怎么求？

函数值域怎么求?

函数值域怎么求？的参考答案

函数的值域问题及解法

值域的概念：

函数y=f(x)的值域是函数值的取值范围,用集合表示为{y│y=f(x),x∈A}.这里集合A是函数的定义域,由此可见,它与定义域密切相关.

值域的几何意义是函数图象上点的纵坐标的集合,也可以说成是函数图象纵向的分布范围.

一般来说,求值域比求定义域困难得多.求值域要根据解析式的结构特征选择适当的方法,具有较强的灵活性和一定的技巧性.

1．观察法

用于简单的解析式.

y=1-√x≤1,值域(-∞, 1]

y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞).

2．配方法

多用于二次(型)函数.

y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,+∞）

y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞）

3．换元法

多用于复合型函数.

通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域.

特别注意中间变量（新量）的变化范围.

y=-x+2√( x-1)+2

令t=√(x-1),则t≥0,x=t^2+1.

y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤2,值域(-∞, 2].

4．不等式法

用不等式的基本性质,也是求值域的常用方法.

y=(e^x+1)/(e^x-1), (0

由01/(e-1).

y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1),值域(1+2/(e-1),+∞).

5．最值法

如果函数f(x)存在最大值M和最小值m,那么值域为[m,M].

因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.

6．反函数法（有的又叫反解法）

函数和它的反函数的定义域与值域互换.

如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求,那么我们可以通过求后者得出前者.

7．单调性法

若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)]；若是减函数,则值域为[f(b), f(a)].

y=x^2-4x+3, (-1≤x≤1).

y=(x-2)^2-1在[-1, 1]上是减函数（单调递减）,

F(-1)=8,f(1)=0,值域[0, 8].

8．斜率法

数形结合.

求函数y=(sinx+3)/(cosx-4)的值域.

把函数y=(sinx+3)/(cosx-4)看成

单位圆上的动点M(cosx,sinx)与定点P(4,-3)连线的斜率,

则直线MP的方程为y+3=k(x-4)等价于y=kx-4k-3.

圆心(0,0)到直线的距离在相切时最大为1=|-4k-3|/√(1+k^2),

解得k=(-12±√6)/15.

y max=(-12+√6)/15,y min=(-12-√6)/15

值域[(-12-√6)/15,(-12+√6)/15].

一般的,对函数y=(sinx+a)/(cosx+b),都可以用斜率法求最值和值域.

对函数y=( cosx +a)/(sinx +b),也都可以转化后用斜率法求最值和值域.

9．导数法

导数为零的点称为驻点,设f'(x0)=0,

若当xx0时f'(x)>0,则f(x0)为极小值；

若当x0,当x>x0时f'(x)<0,则f(x0)为极大值；

再根据定义域求得边界值,与之比较得出最大、最小值（与最值法相通）,得出值域.

二 : 函数y=2x/x^2+1值域怎么求？

函数y=2x/x^2+1值域怎么求？

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方法一:y=2x/(x^2 +1)--->yx^2-2x+y=0,y≠0时,判别式△=4-4y^2≥0,-1≤y<0或0

∴ 值域[-1,1]

方法二:x>0时,x+(1/x)≥2, ∴ 0

x<0时,-x>0,(-x)+[1/(-x)]≥2, ∴ -y≤1 ∴ -1≤y<0,x=0时y=0,

∴ 值域[-1,1]

三 : 关于函数求值域问题y=(3x+2)/(5-4x)解得y=-3/4

关于函数求值域问题

y=(3x+2)/(5-4x) 解得y=-3/4+1/4×(23/5-4x) 所以值域是﹛y|y≠-3/4﹜为什么讲y不等于-3/4。

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y＝(3x+2)/(5-4x)

→x＝(5y-2)/(4y+3).

等号右边的分母不为0，

∴4y+3≠0，

即所求值域为{y|y≠-3/4}.

或用区间表示为：

(-∞，-3/4)∪(-3/4，+∞)

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