一 : 初高中数学衔接教材经典84

初高中数学衔接

目 录（共12课时）

前言

第一讲 数与式的运算（两课时）

第二讲 因式分解（两课时）

第三讲 一元二次方程根与系数的关系（一课时）

第四讲 不 等 式（两课时）

第五讲 二次函数的最值问题（一课时）

第六讲 简单的二元二次方程组（一课时）

第七讲 分式方程和无理方程的解法（一课时）

第八讲 直线、平面与常见立体图形（一课时）

第九讲 直线与圆，圆与圆的位置关系（一课时）

初高中衔接从观念开始

——致高一新同学

一、初、高中的比较

和初中数学相比，高中数学的内容多，抽象性、理论性强，高中很注重自学能力的培养的，高中不会像初中那样老师一天到晚盯着你，在高中一定要注重自学能力的培养，谁的自学能力强，那么在一定的程度上影响着你的成绩以及你将来你发展的前途。不过，要学好数学也不是很困难的，只要你跟着我的思路走，你的数学一定会很好的。

二、学好高中数学的方法

现在我们来看看该如何才能学好高中数学呢？

第一：要改变一个观念。

1、有人会说自己的基础不好。那我问一下什么是基础？今天所学的知识就是明天的基础，明天学习的知识就是后天的基础，所以要学好每一天的内容，那么你打的基础就是最扎实的了。所以现在你们是在同一个起跑线上的，无所谓基础好不好。

2、还有同学会说学数学除了高考没啥用。其实，大千世界均蕴含数学的理性思想；并且就单纯数学知识来说，它本身的应用性就很广泛，不仅在科学方面，就在我们的生活中也处处要用到数学知识。

3、改变在初中学习数学的习惯。在初中，许多同学在课堂上基本可以消化（或者是可以完全消化）老师所讲述的内容。这样就能够考出好的成绩，也就能够体会到成功的喜悦。现在，在高中也许你会发觉：课上不能完全听懂老师所讲，课后会有一些作业很难完成。这样会让同学们有了挫败感。这是与高中数学的特性有很大的关系。因此，同学们要改变自己的学习观念：一、要充分做好课前的预习，对书本的基本内容进行了解与分析：什么内容自己能够学会？还有什么是要期待课堂解决？这样对第二天要学的内容心里有底，在上课的时候才能做到有的放矢，使得课堂的效率达到最大；二、要加强自己的自主学习以及合作学习的习惯，不能万事都依靠老师，要多和同学们进行讨论交流，增强自己合作交流的能力。三、要学会参阅课外书籍。通过阅读，能够扩展同学们的视野，拓广同学们的思路，总结学习思想方法，使得同学们能够尽快地掌握所学知识，体会学习的乐趣。

第二：要培养对数学的兴趣。

有些人在初中就对数学很感兴趣，希望你们能够继续保持下去。有些人在初中就不大喜欢数学，为什么呢？有两方面的可能性，一方面可能是由于讨厌数学老师，另一方面可能是数学老是考不好，越不喜欢数学就越不想学数学，越不学数学，越考不好，如此形成一个恶性循环。我希望从今天开始你们要开始培养对数学的热爱。有人说兴趣是最好的老师，只要你对某一事物有浓厚的兴趣，那么你对它的关注就超出平常，会收到意想不到的效果的。那么我们该如何培养兴趣呢？只要你发现数学是好玩的，是美的，那么你就有了浓厚的兴趣。其实在我们的周围有很多事情都是可以用数学可以来解决的，无非很多人都没有用数学的眼光来看待。

比如基督教徒认为上帝是万能的。你们认为呢？如何来证明你的结论呢？我的观点：上帝不是万能的。为什么呢？仔细听我讲来。

证明：（反证法）假如上帝是万能的，那么他能够制作出一块无论什么力量都搬不动的石头。根据假设，既然上帝是万能的，那么他一定能够搬的动他自己制造的那石头。这与“无论什么力量都搬不动的石头”相矛盾 ，所以假设不成立， 所以上帝不是万能的。

其实这样的例子周围还有很多，炒股，银行存款，摸彩票等等都和数学有关的。随着高中数学的学习，那么上面的问题你都会有所细致的了解。

第三：学好高中数学要注意培养的几个能力。

（一）独立思考的能力：能根据所给的条件进行独立思考，将所学的知识与亟待解决的问题结合，寻找解决之道。

例、扑克牌中有一个算24的游戏：给出四个数，利用加、减、乘、除及括号连接这四个数，使运算结果为24。现给出3、3、8、8这四个数，请你按上述要求列出算式，使结果为24。（美国微软公司在复旦大学招聘人才考试题）

（二）空间想像能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想像出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。

空间想像能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力。主要表现为识图、画图和对图形的想像能力。识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换。对图形的想像主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想像能力高层次的标志，逻辑推理能力。

（三）抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程。抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某一观点或作出某项结论。 抽象概括能力就是从具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或作出新的判断。

（四）推理论证能力：推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成，论证是由已有的正确的前提到被论证的结论正确的一连串的推理过程。推理既包括演绎推理，也包括合情推理。论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法。一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明。

中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题来论证某一数学命题真实性初步的推理能力。

例、操场有100名学生排成10×10的方阵，共有10行10列，

A.在每一行中选出一个最高的，共有

B.在每一列中选出一个最矮的，共有10个“高个子”，其中最矮的记为A； 10个“矮个子”，其中最高的记为B；

问：A与B孰高？

（五）运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。

运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等。运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力。

（六）数据处理能力：会收集数据、整理数据、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断.数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题。

（七）数形结合的能力：能借助图形，将抽象的问题应用图形形象的表示出来，使得问题更加明朗，清晰，便于更快的抓住问题的实质，加快解决问题的速度。

例、炎炎夏日，虔诚的老太太去山上进香，山高路远，老太太一路走走停停，自上午6时从家出发，下午4时方到庙中，在庙中住了一晚，第二天自原路返回，仍是上午6时从庙中出发，下午4时方回到家中。问：这个老太太可不可能在同一时间经过同一地点？

（注：同一时间指的相对于一天内的时间，如昨天的上午9点与今天的上午9点是作为同一时间。）

（八）应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明。主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。

（九）创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.创新意识是理性思维的高层次表现，对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强。

第四：对数学科目的几个要求

（一）课前预习。怎样预习呢？就是自己在上课之前把内容先看一边，把自己不懂的地方做个记号或者打个问号，以至于上课的时候重点听，这样才能够很快提高自己的水平。但是预习不是很随便的把课本看一遍，预习要有个目标：（1）就是通过预习可以把书本后面的练习题可以自己独立的完成；（2）并思考与本节课有关的旧知识以及如何将新知识融合在里面；（3）问自己几个问题：课本的例题有什么特性？可否发展？如何发展？

（二）上课认真听讲。上课的时候准备课本，一只笔，一本草稿，一本笔记。做不做笔记你们自己决定，不过我提倡数学课做笔记的。有些知识点比较重要，课本上又没有的，你们可以补充在你预习时已有的相应知识点的位置；另外，在预习中不能解决或者是还存在的问题现在通过课堂的听讲有所感悟也可以记录下来；再来就是，如果你觉得某个例题比较新或者比较重要，也可以把它记在相应位置上，这样以后复习起来就一目了然了。那么草稿要来干什么的呢？课堂上你可以自己演算还有做课堂练习。

（三）关于作业，绝对不允许有抄作业的情况发生。课后要先复习今天所学的知识点然后再做作业，这样才能收到上课的效果，收到事半功倍的效果。那有人会问，碰到不会做的题目怎么办？有两个办法：一、向同学请教，请教做题目的思路，而不是整个过程和答案。同学之间也要相互帮助，如果你让他抄袭你的作业这样不是帮助他而是害他，这个道理大家应该明白吧。我非常提倡同学之间的相互讨论问题的，这样才能够相互促进提高。二、向老师请教，我希望我每天下课的时候都有学生上来请教我，要养成问的习惯。我高中的时候，

我们班级的学生的问题最多，结果每次考试的成绩都是最好的，我希望这样的事情发生在你们当中。

（四）准备一本笔记本，作为自己的问题集。把平时自己不懂的和不大理解的还有易错的记录下来，并且要及时的消化，不懂的地方问老师。这是一个很好的办法，到考试的时候即可有重点、有针对性的自己复习了。

相信你如果认真做到以上几点，那么在高中学习数学就会非常轻松，成绩就能大幅度地提升，最终到达高考成功的彼岸！

第一讲 数与式的运算（两课时）

在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式。它们具有实数的属性，可以进行运算。在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便。由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式。在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充。基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容。

一、乘法公式

【公式1】(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca

证明：?(a?b?c)2?[(a?b)?c]2?(a?b)2?2(a?b)c?c2

?a2?2ab?b2?2ac?2bc?c2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca ?等式成立

1【例1】计算： (x2?2x?)2

3

说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列。

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【公式2】(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3(立方和公式)

【公式3】(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3(立方差公式)

请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式。 【例3】计算：

11111

（2） (m?n)(m2?mn?n2)

52225104422222

（3）(a?2)(a?2)(a?4a?16) （4）(x?2xy?y)(x?xy?y)

证明: (a?b)(a2?ab?b2)?a3?a2b?ab2?a2b?ab2?b3?a3?b3 【例2】计算：(a?b)(a2?ab?b2)

（1）(4?m)(16?4m?m2)

说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满 足乘法公式的结构。

（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、?、20的平方数 和1、2、3、4、?、10的立方数，是非常有好处的。

1

【例4】已知x2?3x?1?0，求x3?3的值。

x

说明：本题若先从方程x2?3x?1?0中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算。请注意整体代换法。本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举。

【例5】已知a?b?c?0，求a(?)?b(?)?c(?)的值。

说明：注意字母的整体代换技巧的应用。 引申：同学可以探求并证明：

a3?b3?c3?3abc?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca)

二、根式

a?0)叫做二次根式，其性质如下：

(1) 2?a(a?0)

?|a|

1b1c1c1a1a1b

?a?0,b?0)

(4) 【例6】化简下列各式：

?a?0,b?0) ?

x?1)

?|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论。

【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：

说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。

(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式。化简时，先将

它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(

(3) 或被

开方数有分母(

(

) ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(

2?

2?)。

【例8】计算：

(1) 1)(1???2

说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算。

【例9

】设x?

说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量。 三、分式

当分式

AA

的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以BB

x

1?xx?

1x?

x

?

y?

，求x3?y3的值．

下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．

【例10】化简

说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质

AA?m

进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法。 ?

BB?m

x2?3x?96xx?1

??【例11】化简2 2

6?2xx?279x?x

说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式。

第二讲 因式分解（两课时）

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等。

一、公式法(立方和、立方差公式)

在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：

(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3 (立方和公式) (a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3 (立方差公式)

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：

a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2) a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)

这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)。

运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 8?x3

(2) 0.125?27b3

说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如8a3b3?(2ab)3，这里逆用了法则(ab)n?anbn；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号。

【例2】分解因式：

二、分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式。而对于四项以上的多项式，如ma?mb?na?nb既没有公式可用，也没有公因式可以提取。因此，可以先将多项式分组处理。这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法。分组分解法的关键在于如何分组。

1．分组后能提取公因式

说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法。本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试。

【例4】把ab(c2?d2)?(a2?b2)cd分解因式。

说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律。由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用。

2．分组后能直接运用公式

【例5】把x2?y2?ax?ay分解因式。

【例3】把2ax?10ay?5by?bx分解因式。

(1) 3a3b?81b4

(2) a7?ab6

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【例6】把2x2?4xy?2y2?8z2分解因式。

说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式即可分组分解法来分解因式。

三、十字相乘法

1．x2?(p?q)x?pq型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和。

x2?(p?q)x?pq?x2?px?qx?pq?x(x?p)?q(x?p)?(x?p)(x?q)

因此，x2?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。

【例8】把下列各式因式分解：

【例9】把下列各式因式分解：

(1) x2?xy?6y2

2．一般二次三项式ax2?bx?c型的因式分解 (2) (x2?x)2?8(x2?x)?12 (1) x2?5x?24 (2) x2?2x?15 【例7】把下列各式因式分解： (1) x2?7x?6 (2) x2?13x?36

【例10】把下列各式因式分解： (1) 12x2?5x?2

(2) 5x2?6xy?8y2

四、其它因式分解的方法

2．拆、添项法

【例12】分解因式x3?3x2?4

一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：

(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；

(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；

(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分

解；

(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 1．配方法 【例11】分解因式x2?6x?16

第三讲 一元二次方程根与系数的关系（一课时）

现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用。本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述。

一、一元二次方程的根的判断式

【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：

(1) 2x2?3x?1?0

说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式。

【例2】已知关于x的一元二次方程3x2?2x?k?0，根据下列条件，分别求出k的范围：

【例3】已知实数x、y满足x2?y2?xy?2x?y?1?0，试求x、y的值。

二、一元二次方程的根与系数的关系

定理：如果一元二次方程ax2?bx?c?0 (a?0)的两个根为x1,x2，那么：

bcx1?x2??,x1x2? aa(2) 4y2?9?12y (3) 5(x2?3)?6x?0 (1) 方程有两个不相等的实数根； (3)方程有实数根； (2) 方程有两个相等的实数根； (4) 方程无实数根。

说明“韦达定理”。上述定理成立的前提是??0。

【例4】若x1,x2是方程x2?2x?2007?0的两个根，试求下列各式的值：

(1) x12?x22； (2)

11?； (3) (x1?5)(x2?5)； (4) |x1?x2|。 x1x2

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

x12?x22?(x1?x2)2?2x1x2，11x1?x2，(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2，

??x1x2x1x2

|x1?x2|?x1x22?x12x2?x1x2(x1?x2)，

x13?x23?(x1?x2)3?3x1x2(x1?x2)等等。韦达定理体现了整体思想。

【例5】已知关于x的方程x2?(k?1)x?12k?1?0，根据下列条件，分别求出k的值。 4

(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根x1,x2满足|x1|?x2。

分析：(1) 由韦达定理就可以求之；(2) 有两种可能，一是x1?x2?0，二是?x1?x2，所以要分类讨论。

【例6】已知x1,x2是一元二次方程4kx2?4kx?k?1?0的两个实数根。

3(1)是否存在实数k，使(2x1?x2)(x1?2x2)??成立？若存在，求出k的值； 2

若不存在，请您说明理由。

(2)求使

x1x2??2的值为整数的实数k的整数值。 x2x1

说明：(1)存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在。

4（2）本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法。 k?1

第四讲 不 等 式（两课时）

初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法。高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识。本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识。

一、一元二次不等式及其解法

1．形如ax2?bx?c?0(或?0) (其中a?0)的不等式称为关于x的一元二次不等式。

2．一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)与二次函数y?ax2?bx?c (a?0)及一元二次方程ax2?bx?c?0的关系(简称：三个二次)。以二次函数y?x2?x?6为例：

(1) 作出图象；

(2) 根据图象容易看到，图象与x轴的交点是(?3,0),(2,0)，即当

x??3或2时，y?0。就是说对应的一元二次方程x2?x?6?0的两实

根是x??3或2。

(3) 当x??3或x?2时，y?0，对应图像位于x轴的上方。就是

说x2?x?6?0的解是x??3或x?2。

当?3?x?2时，y?0，对应图像位于x轴的下方。就是说x2?x?6?0的解是?3?x?2。

一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：

(1) 将二次项系数先化为正数；

(2) 观测相应的二次函数图象。

①如果图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0)，此时对应的一元二次方程有两个

不相等的实数根x1,x2(也可由根的判别式??0来判断)。

那么(图1)

ax2

?bx?c?0 (a?0) ? x?x1

或x?x2

②如

图象

x轴

有一果与只个 ax2?bx?c?0 (a?0) ? x?x?x

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b

,0)，此时对应的一元二次方程有两个 2a

b

相的实数根xx?x2??(也可由根的判别式??0来判断)。

2a

那么(图2) ax2?bx?c?0 (a?0) ? x??

2a

交点(?

ax2?bx?c?0 (a?0) ?无解

③如果图象与x轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由 根的判别式??0来判断) 。

那么(图3)：ax2?bx?c?0 (a?0) ? x取一切实数

ax2?bx?c?0 (a?0) ?无解

如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理： (1) 化二次项系数为正；

(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根x1,x2．那么“?0” 型的解为x?x1或x?x2(俗称两根之外)；“?0”型的解为x1?x?x2(俗称两根之间)；

b24ac?b2

(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成ax?bx?c?a(x?)?，

2a4a

2

结合完全平方式为非负数的性质求解。

【例1】解不等式x2?x?6?0。

说明：当把一元二次不等式化为ax2?bx?c?0(或?0)的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，就可以运用本题的解法。

【例2】解下列不等式：

(1) (x?2)(x?3)?6

(2) （x-1）(x+2)?(x-2)(2x+1)

分析：要先将不等式化为ax2?bx?c?0(或?0)的形式，通常使二次项系数为正数。

【例3】解下列不等式：

(1) x2?2x?8?0

【例4】已知对于任意实数x，kx2?2x?k恒为正数，求实数k的取值范围。

【例5】已知关于x的不等式kx2?(k2?1)x?3?0的解为?1?k?3，求k的值。

说明：本例也可以根据方程有两根?1和3，用代入法得：k(?1)2?(k2?1)(?1)?3?0，

(2) x2?4x?4?0

(3) x2?x?2?0

k?32?3(k2?1)?3?0，且注意k?0，从而k?1。 二、简单分式不等式的解法

【例6】解下列不等式：

2x?3x?3

?0 (2) 2?0 (1)

x?1x?x?1

【例7】解不等式

1

?3 x?2

说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0。

(2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：

?x??2?x??2

x?2?0x?2?0??15??

含有字?3??或???5或?5?x??或x??2三、

x?23x???3(x?2)?1?3(x?2)?1?x???33??

母系数的一元二次不等式

一元一次不等式最终可以化为ax?b (a?0)的形式。

b

； ab

(2) 当a?0时，不等式的解为：x?；

a

(3) 当a?0时，不等式化为：0?x?b；

① 若b?0，则不等式无解；② 若b﹤0，则不等式的解是全体实数。

(1) 当a?0时，不等式的解为：x?

【例8】求关于x的不等式m2x?2?2mx?m的解。

1

【例9】已知关于x的不等式k2?kx?x?2的解为x??，求实数k的值。

2

第五讲 二次函数的最值问题（一课时）

二次函数y?ax2?bx?c (a?0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础。在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a?0时，函数在

bb4ac?b2

x??处取得最小值，无最大值；当a?0时，函数在x??处取得最大值

2a2a4a

4ac?b2

，无最小值。 4a

本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题。同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用。

【例1】当?2?x?2时，求函数y?x2?2x?3的最大值和最小值。

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值。

【例2】当1?x?2时，求函数y??x2?x?1的最大值和最小值。

【例3】当x?0时，求函数y??x(2?x)的取值范围。

【例4】当t?x?t?1时，求函数y?

125

x?x?的最小值(其中t为常数)。 22

分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置。

【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m?162?3x,30?x?54。

(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式； (2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

第六讲 简单的二元二次方程组（一课时）

在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组．高中新课标必修2中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法。 一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组

一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解。

?2x?y?0 (1)

【例1】 解方程组?2 2

?x?y?3?0 (2)

初高中数学衔接教材经典84_初高中数学衔接教材

?x?y?11 (1)【例2】解方程组?

?xy?28 (2)

?x?y?a说明：(1) 对于这种对称性的方程组?，利用一元二次方程的根与系数的关系构造

?xy?b

方程时，未知数要换成异于x、y的字母，如z。

?x?4?x?7(2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解?，则必有解?。 y?7y?4??

二、由两个二元二次方程组成的方程组

1．可因式分解型的方程组

方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成。

?x2?y2?5(x?y) (1)?【例3】解方程组?2 2??x?xy?y?43 (2)

说明：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程。

?x2?xy?12 (1)?【例4】解方程组? 2??xy?y?4 (2)

说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组。

?x2?y2?26 (1)【例5】解方程组?

?xy?5 (2)

?x2?y2?a?x2?y2?a?x?y?m说明：对称型方程组，如?、?都可以通过变形转化为?的形xy?n??x?y?b?xy?b

式，通过构造一元二次方程求解。

2．可消二次项型的方程组

?xy?x?3 (1)【例6】解方程组? 3xy?y?8 (2)?

说明：若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例，则可用加减法消去二次项，得到一个二元一次方程，把它与原方程组的任意一个方程联立，解此方程组，即得原方程组的解．二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决。

第七讲 分式方程和无理方程的解法（一课时）

初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法。本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用”平方”或”换元法”求根，并会验根。

一、可化为一元二次方程的分式方程

1．去分母化分式方程为一元二次方程

14x2?2??1。 【例1】解方程 x?2x?4x?2

说明：

(1) 去分母解分式方程的步骤：

①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母；

③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根。

(2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大。而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根。因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0。若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解。

2．用换元法化分式方程为一元二次方程 x2

23x2

)??4?0 【例2】解方程 (x?1x?1

说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出y的值，而没有求到原方程的解，即x的值。

8(x2?2x)3(x2?1)?2?11． 【例3】解方程 2x?1x?2x

说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想．

二、可化为一元二次方程的无理方程

根号下含有未知数的方程，叫做无理方程．

1．平方法解无理方程

【例4】解方程

x?1

说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：

①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．

【例5】解方程

?3

说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：

①移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同例4的说明．

2．换元法解无理方程

【例6】解方程

3x2?15x??2

说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想．

第八讲 直线、平面与常见立体图形（一课时）

【例1】正方体有多少个面？多少条棱？多少个顶点？多少对平行棱？

【例2】① 正四面体棱长为2，则表面积为 ；② 圆锥半径和高都是1，则表面积为 ；体积为 。③ 圆柱的一个轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的体积为 ；表面积为 。

【例3】画图表示三个平面两两相交的几种情形。

【例4】一个正方体的截面可以是正三角形、长方形、正六边形吗？为什么？

第九讲 直线与圆，圆与圆的位置关系（一课时）

设有直线l和圆心为O且半径为r的圆，怎样判断直线l和圆O的位置关系？

观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的

距离d>r时，直线和圆相离，如圆O与直线l1；当圆心到直线的距离

d=r时，直线和圆相切，如圆O与直线l2；当圆心到直线的距离d<r时，图3.3-1

直线和圆相交，如圆O与直线l3。

图

3.3-2

初高中数学衔接教材经典84_初高中数学衔接教材

在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则

AB为直径；若直线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心O和弦AB的中

OA为圆的半径r，点M的线段OM垂直于这条弦AB，且在Rt?OMA中，OM为圆心到直线的距离d，MA为弦长AB的一半，根据勾股定理，

有

r2-d2=(

AB2

)。 2

图3.3-3

当直线与圆相切时，如图3.3-3，PA,PB为圆O的切线，可得

PA?PB，OA?PA.，且在Rt?POA中，PO2?PA2?OA2。

如图3.3-4，PT为圆O的切线，PAB为圆O的割线，我们可以证得

?PAT ～ ?PTB，因而PT2?PA?PB。

【例1】如图3.3-5，已知⊙O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是弧AB的中点，求弦BD的长度。

【例2】如图3.3-6，已知圆的两条平行弦的长度分别为6和46，且这两条线的距离为3。求这个圆的半径。

图3.3-6

图3.3-4

图3.3-5

设圆O1与圆O2半径分别为R,r(R?r)，它们可能有哪几种位置关系？

图3.3-7

观察图3.3-7，两圆的圆心距为O1O2，不难发现：当O1O2?R?r时，两圆相内切，如图（1）；当O1O2?R?r时，两圆相外切，如图（2）；当O1O2?R?r时，两圆相内含，如图（3）；当R?r?OO；当O1O2?R?r时，两圆相外切，如图（5）。 12?R?r时，两圆相交，如图（4）

【例3】如图3.3-8，设圆O1与圆O2的半径分别为3和2，O1O2?4，A,B为两圆的交点，试求两圆的公共弦AB的长度。

图3.3-8

1.如图3.3-9，⊙O的半径为17cm，弦AB=30cm，AB所对的劣 弧和优弧的中点分别为D、C，求弦AC和BD的长。

2.已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB//CD，AB=8cm,CD=6cm, ⊙O的半径等于5cm，求梯形ABCD的面积。

3.如图3.3-10，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，

图3.3-9

AE?1cm,E?B5c,?m

o

求,CD的长。 DE?B60

图3.3-10

4．若两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，试求两圆的公切线的长度。

二 : 初高中数学衔接教材(50页)

初 高 中 数 学 衔 接 教 材

现有初高中数学知识存在以下“脱节”

1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。（www.61k.com)

2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。

3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。

4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。

5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。

6.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。

7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

8.几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。

另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。

目 录

第一章：数与式的运算和因式分解

1.1 数与式的运算

1.1.1绝对值 1.1.2. 乘法公式 1.1.3．二次根式 1.1.4.分式

1.2 分解因式

第二章：方程、函数、方程组、不等式组

2.1 一元二次方程

2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

2.2 二次函数

2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式

2.2.3 二次函数的简单应用

2.3 方程组不等式

2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法

第三章：相似形、圆

3.1相似形

3.1.1．平行线分线段成比例定理 3.1.2相似形

3.2 三角形

3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 几种特殊的三角形

3.3 圆

3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨迹

1.1 数与式的运算

1

初高中数学衔接教材 初高中数学衔接教材(50页)

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对

（a?0）?a?a,a?0,??值仍是零。［www.61k.com)即|a|??0,a?0,或a??

??a??a,a?0.??（a?0）

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。 两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和数b之间的距离。 例1 解不等式：x??x?3＞4。

解法一：由x?1?0，得x?1；由x?3?0，得x?3；

①若x?1，不等式可变为?(x?1)?(x?3)?4， 即?2x?4＞4，解得x＜0， 又x＜1，∴x＜0；

|x－1| ②若1?x?2，不等式可变为(x?1)?(x?3)?4，即1＞4，

图1．1－1 ∴不存在满足条件的x；

③若x?3，不等式可变为(x?1)?(x?3)?4，

即2x?4＞4， 解得x＞4。

又x≥3，∴x＞4。

综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4。

解法二：

如图1．1－1，x?1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|。 所以，不等式x??x?3＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4。

由|AB|＝2，可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧。 x＜0，或x＞4。

练 习

1．填空：（1）若x??4，则x=_________；

（2）如果a?b?5，且a??1，则b＝________；

（3）若?c?2，则c＝________。

2．选择题：下列叙述正确的是（ ）

A、若a?b，则a?b B、若a?b，则a?b

C、若a?b，则a?b D、若a?b，则a??b

3．化简：|x－5|－|2x－13|（5?x?6）。

4、解答题：已知a?3?2b?4?(c?5)2?0，求 a?b?c的值。

2 |x－3|

初高中数学衔接教材 初高中数学衔接教材(50页)

1.1.2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 (a?b)(a?b)?a2?b2；

（2）完全平方公式 (a?b)2?a2?2ab?b2。[www.61k.com）

【揭示乘法公式的几何意义】

从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个矩形，

上述操作所能验证的等式是 ( )

A、(a?b)(a?b)?a2?b2

Ｂ、(a?b)2?a2?2ab?b2

Ｃ、(a?b)2?a2?2ab?b2

Ｄ、a2?ab?a(a?b)

完全平方公式： (a?b)2?a2?2ab?b2;

1.将字母看作非负数；

2.平方式构造正方形，底数即为边长；

3.两个字母相乘则构造长方形，两个字母即为长与宽。

【设计与创造】

请在下面正方形内设计一个方案，使之能解释公式：

(a?b)2?(a?b)2?4ab

【利用图形探索】

2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个一模一样的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若?直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，斜边为c，那么你能得到关于a、b、c的什么等式？

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 (a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3；

（2）立方差公式 (a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3；

（3）三数和平方公式 (a?b?c)2?a2?b2?c2?2(ab?bc?ac)；

（4）两数和立方公式 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3；

（5）两数差立方公式 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3。

3

初高中数学衔接教材 初高中数学衔接教材(50页)

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。（www.61k.com）

例1 计算：(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)。

2226242?(x?1)?xx?1。 解法一：原式=(x2?1)?==(x?1)(x?x?1)??

解法二：原式=(x?1)(x2?x?1)(x?1)(x2?x?1)=(x3?1)(x3?1)=x6?1。

例2 已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a2?b2?c2的值。

解： a2?b2?c2?(a?b?c)2?2(ab?bc?ac)?8。

例3、试探索(a?b)3,(a?b)4,(a?b)5,(a?b)6,? ?

练习：

11111．填空：（1）a2?b2?(b?a)（ ）； 9423

（2）(4m? )2?16m2?4m?( )；

(3)(a?2b?c)2?a2?4b2?c2?( )。

12．选择题：（1）若x2?mx?k是一个完全平方式，则k等于（ ） 2

111A、m2 B、m2 C、m2 D、m2 4163

22（2）不论a，b为何实数，a?b?2a?4b?8的值（ ）

A、总是正数 B、总是负数 C、可以是零 D、可以是正数也可以是负数

3、计算：

（1）103×97 （2）1998?1997?1999 （3）(1－2x)(1＋2x ) (1?4x)(1?16x)

4、找规律与为什么

观察下列等式：1?0?1，2?1?3，3?2?5，4?3?7，… … 用含自然数n的等式表示这种规律:_______________________________

并证明这一规律。

5、观察下列等式：15?225,25?625,35?1225,......

个位数字是5的两位数平方后，末尾两个数有什么规律？

你能证明这一规律吗？

6、一个特殊的式子

2已知：=2，求：的值。 2

2 变式：=2，求：的值。2 112 再变：x?2=2，求：x?的值。 xx7、公式的拓展

（1）完全平方公式的拓展一 222222222222241x?x1x?x1x?x1x?x

推导(a?b?c)=___________________________________

练习：(2a?b?3c)=___________________________________

4 22

初高中数学衔接教材 初高中数学衔接教材(50页)

（2）完全平方公式的拓展二

观察下面的式子（Ⅰ）

1 1 1 1 2 1

1 3 3 1 14 6 4 1

………………

(a?b)2?a2?2ab?b2,(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3,(a?b)4?a4?4a3b?6a2b2?4ab3?b4 根据前面的规律，(a?b)5?___________________________________

（3）平方差公式的拓展

推导(a＋b＋c)(a－b－c) =___________________________________

练习：化简（2a－b－3c)(2a－b－3c)

1.1.3．二次根式

a?0)的代数式叫做二次根式。（www.61k.com）根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式。 例如

3a

2b，

等是无理式，而2?x?

1，2x2?

y2

1.分母（子）有理化：把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化。

为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念。两个含有二次根式的代数式

相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如

等等。一般地，

b与b互为有理化因式。

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程。

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运

用公式?a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式。

2

?a???a,a?0, ?a,a?0.?

例1 将下列式子化为最简二次根式：（1

（2

a?0)； （3

x?0)。 解：（1

? （2

??a?0)；

5

初高中数学衔接教材 初高中数学衔接教材(50页)

（3

?2x??2xx?0)。(www.61k.com]

例2

(3。

(3

(3

。

例3 试比较下列各组数的大小： （1

（2

解：（1

?

?，

??，

???

?? 又 4＞22， ∴6＋4＞6＋2，

例4

化简：2004??2005。

（2

）∵?

解：?2004?

2005＝?2004?2004?

＝??????

2004??＝12004?

?x?1)。 例 5 化简：（1

； （2

解：（1

）原式?

?

?

?

2??2。

111（2）原式

?x?，∵0?x?1，∴?1?x，所以，原式＝?x。 xxxy?

解：∵x?y?例 6

已知x?3x2?5xy?3y2的值 。 ?2?2?10，

xy?

?1，3x2?5xy?3y2?3(x?y)2?11xy?3?102?11?289。 练习 1．填空：（1

__ ___；（2

） ?__ ___；（3

?(x?x的取值范围是；

（4

）若x?

?______ __。 6

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成立的条件是（ ） ?（A）x?2 （B）x?0 （C）x?2 （D）0?x?2 2

3

．若b?，求a?b的值。[www.61k.com］

4．比较大小：2

4（填“＞”，或“＜”）。

yx?xyx?xy?y?5、化简。 xy?y2xx?yy

x2?xy?y2

,y?6、解答：设x?，求代数式的值 x?y3?23?2

1.1.４．分式

AA1．分式的意义：形如的式子，若B中含有字母，且B?0，则称为分式。 BB

AAA?MAA?M当M≠0时，分式具有下列基本性质：?；?。 BB?MBB?MB

a

m?n?p2．繁分式：像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。 c?d

n?p

5x?4AB例1 若，求常数A,B的值。 ??x(x?2)xx?2

?A?2?A?B?5,ABA(x?2)?Bx(A?B)x?2A5x?4???解：∵?，∴? 解得? 。 xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)B?32A?4,??

111111??????例2（1）试证：（其中n是正整数）；（2）计算：； 1?22?39?10n(n?1)nn?1

1111?????。 （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有2?33?4n(n?1)2

11(n?1)?n1111????（1）证明：∵?，∴（其中n是正整数）成立。 nn?1n(n?1)n(n?1)n(n?1)nn?1

1111111119?????(1?)?(?)???(?)?1?＝。 （2）解：由（1）可知1?22?39?102239101010

11111111111)＝?????（3）证明：∵＝(?)?(?)???(?， 2334nn?12n?12?33?4n(n?1)

11111????又n≥2，且n是正整数，∴一定为正数，∴＜ 。 n＋12?33?4n(n?1)2

c例3.设??，且??1，2c2?5ac?2a2?0，求?的值。 a

解：在2c2?5ac?2a2?0两边同除以2a2，得2?2?5??2?0，

1∴(2?－1)( ?－2)＝0，∴?＝ ＜1（舍去），或?＝2。∴?＝2。 2

111? (?练 习1．填空题：对任意的正整数n，)； nn?2n(n?2)11

7

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5462x?y2x?，则＝（ ） （A）１ （B） （C） （D） 455x?y3y2．选择题：若

3．正数x,y满足x2?y2?2xy，求x?y

x?y的值。[www.61k.com)

4、若4x?a?b2

x2?4x?2x?2，则a2?b的值是5、计算1

1?2?1

2?3?1

3?4?...?1

99?100。

习题1．1A 组

1．解不等式：(1) x?1?3；

(2) x?3?x?2?7 ；

(3) x??x??6。

２.已知x?y?1，求x3?y3?3xy的值。

3．填空：（1

）(218(219＝________；

（2

?2，则a的取值范围是________；

（3

?________。

B 组 1．填空：（1）a?1

2，b?1

3，则3a2?ab

3a2?5ab?2b2?____ ____；

（2）若x2?xy?2y2?0，则x2?3xy?y2

x2?y2?__ __；

2．已知：x?112,y?

3的值。

C 组1．选择题：（1

? ）

（A）a?b （B）a?b （C）a?b?0 （D）b?a?0

（2

）计算 ） （A

（B

（C

）2．解方程2(x2?11

x2)?3(x?x)?1?0。

3．计算：1

1?3?1

2?4?1

3?5???1

9?11。

4．试证：对任意的正整数n，有111?2?3?1

2?3?4???1

n(n?1)(n?2)＜4 。

1．2 分解因式

8 D

）（

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因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法及待定系数法。（www.61k.com］

1、提取公因式法

例2分解因式：（1）a2?b?5??a?5?b? （2）x3?9?3x2?3x

解：（1）a2?b?5??a?5?b?=a2?b?5??a?b?5?=a(b?5)(a?1)

（2）x3?9?3x2?3x=(x3?3x2)?(3x?9)=x2(x?3)?3(x?3) =(x?3)(x2?3)。 或x3?9?3x2?3x＝(x3?3x2?3x?1)?8＝(x?1)3?8＝(x?1)3?23

＝[(x?1)?2][(x?1)2?(x?1)?2?22]＝(x?3)(x2?3)

课堂练习：

一、填空题：1、多项式6x2y?2xy2?4xyz中各项的公因式是_______________。 2、m?x?y??n?y?x???x?y??__________________。

3、m?x?y?2?n?y?x?2??x?y?2?____________________。

4、m?x?y?z??n?y?z?x???x?y?z??_____________________。

5、m?x?y?z??x?y?z??x?y?z??______________________。

6、?13ab2x6?39a3b2x5分解因式得_____________________。

7．计算992?99二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）

1、2a2b?4ab2?2ab?a?b??（ ）? 2、am?bm?m?m?a?b?（ 3、?3x3?6x2?15x??3xx2?2x?5（ ） 4、xn?xn?1?xn?1?x?1?（

2、公式法

例3 分解因式： （1）?a4?16 （2）?3x?2y?2??x?y?2

解：(1)?a4?16=42?(a2)2?(4?a2)(4?a2)?(4?a2)(2?a)(2?a)

(2) ?3x?2y?2??x?y?2=(3x?2y?x?y)(3x?2y?x?y)?(4x?y)(2x?3y)

课堂练习

一、a2?2ab?b2，a2?b2，a3?b3的公因式是_____________。

二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）

2

1、4

9x2?0.01???2

?3x?????0.1?2???2??2?

?3x?0.1?? ??3x?0.1?? （ ）

2、9a2?8b2??3a?2??4b?2??3a?4b?? 3a?4b?（ ）

3、25a2?16b???5a?4b??? 5a?4b?（ ）

4、?x2?y2??x2?y2???x?y?? x?y?（ ）

5、a2??b?c?2??a?b?c?? a?b?c?（ ）

五、把下列各式分解

1、?9?m?n?2??m?n?2 2、3x2?1

3

3、4??x2?4x?2?2 4、x4?2x2?1

3、分组分解法

例4 （1）x2?xy?3y?3x （2）2x2?xy?y2?4x?5y?6。

9 ） ）

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解：（1）x2?xy?3y?3x? （x2?xy）?（3y?3x）?x（x-y）?（3x-y）?（x-y）?（x-3）或x2?xy?3y?3x? （x2?3x）?（?xy?3y）?x（x?3）?y（x?3）?（x?3）?（x-y）

（2）2x2?xy?y2?4x?5y?6=2x2?(y?4)x?y2?5y?6

=2x2?(y?4)x?(y?2)(y?3)=(2x?y?2)(x?y?3)。[www.61k.com)

或2x2?xy?y2?4x?5y?6=(2x2?xy?y2)?(4x?5y)?6=(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6 =(2x?y?2)(x?y?3)。

课堂练习：用分组分解法分解多项式

（1）x2?y2?a2?b2?2ax?2by （2）a2?4ab?4b2?6a?12b?9

4、十字相乘法

例1分解因式：（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）x2?(a?b)xy?aby2； （4）xy?1?x?y。

解：（1）如图1．1－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)( x－2)。

1 x x 1 －1 －2 －ay －1

1 x x 1 6 －2 －by －2 图1．1－3 图1．1－1 图1．1－4 图1．1－2

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x用1来表示（如图1．1－2所示）。

（2）由图1．1－3，得x＋4x－12＝(x－2)( x＋6)。

（3）由图1．1－4，得x2?(a?b)xy?aby2＝(x?ay)(x?by) 2x y －1 1 图1．1－5

（4）xy?1?x?y＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+1) （如图1．1－5所示）。

课堂练习

一、填空题：1、把下列各式分解因式：

（1）x2?5x?6?________________。（2）x2?5x?6?____________________。

（3）x2?5x?6?________________。（4）x2?5x?6?____________________。

（5）x2??a?1?x?a?____________。（6）x2?11x?18?__________________。

（7）6x2?7x?2?_______________。（8）4m2?12m?9?_________________。

10

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（9）5?7x?6x2?_______________。(www.61k.com]（10）12x2?xy?6y2?_______________。 2、x2?4x? ??x?3??x? ?

3、若x2?ax?b??x?2??x?4?则a?，b?。

二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）

1、在多项式（1）x2?7x?6（2）x2?4x?3（3）x2?6x?8（4）x2?7x?10，（5）x2?15x?44中，有相同因式的是（ ）

A、只有（1）（2） B、只有（3）（4）

C、只有（3）（5） D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）

2、分解因式a2?8ab?33b2得（ ）

A、?a?11?? a?3? B、?a?11b?? a?3b? C、?a?11b?? a?3b? D、?a?11b?? a?3b? 3、?a?b?2?8?a?b??20分解因式得（ ）

A、?a?b?10?? a?b?2? B、?a?b?5?? a?b?4?

C、?a?b?2?? a?b?10? D、?a?b?4?? a?b?5?

4、若多项式x2?3x?a可分解为?x?5??x?b?，则a、b的值是（ ）

A、a?10，b?2 B、a?10，b??2 C、a??10，b??2 D、a??10，b?2

5、若x2?mx?10??x?a?? x?b?其中a、b为整数，则m的值为（ ）

A、3或9 B、?3 C、?9 D、?3或?9

三、把下列各式分解因式

1、6?2p?q?2?11?q?2p??3 2、a3?5a2b?6ab2

3、2y2?4y?6 4、b4?2b2?8

5、关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解。

若关于x的方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1、x2，

则二次三项式ax2?bx?c(a?0)就可分解为a(x?x1)(x?x2)。

例5 把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）x2?2x?1； （2）x2?4xy?4y2。 解：（1）令x2?2x?1=0

，则解得x1??1

x2??1，

???∴x2?2x?

1=??x?(?1???x?(?1?

=(x?1x?1。

（2）令x2?4xy?4y2=0

，则解得x1?(?2?

y，x1?(?2?y，

∴x2?4xy?

4y2=[x?2(1y][x?2(1y]。

练习1．选择题：多项式2x2?xy?15y2的一个因式为（ ）

（A）2x?5y （B）x?3y （C）x?3y （D）x?5y

2．分解因式：

（1）x2＋6x＋8= （2）8a3－b3=

（3）x2－2x－1 （4）4(x?y?1)?y(y?2x)。

习题1．2 1．分解因式：

11

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（1）a3?1=

（2）4x4?13x2?9； （3）b2?c2?2ab?2ac?2bc； （4）3x2?5xy?2y2?x?9y?4。（www.61k.com]

2．在实数范围内因式分解：

（1）x2?5x?3 ； （2

）x2??3；

（3）3x2?4xy?y2； （4）(x2?2x)2?7(x2?2x)?12。

3．?ABC三边a，b，c满足a2?b2?c2?ab?bc?ca，试判定?ABC的形状。

4．分解因式：x2＋x－(a2－a)。

1.2分解因式

1． B 2．（1）(x＋2)(x＋4) （2）(2a?b)(4a2?2ab?b2) （3

）(x?1x?1

（4）(2?y)(2x?y?2)。

习题1.2 1．（1）?a?1??a2?a?1? （2）?2x?3??2x?3??x?1??x?1?

（3x-y?4）?（x?2y-1） （3）?b?c??b?c?2a? （4）

?x?x?2．（1

）??； （2

）x?x?； ????

????x?yx?y? （3

）3?； （4）?

x?3?(x?1)(x?1x?1?。 ??????????

3．等边三角形 4．(x?a?1)(x?a)

2.1 一元二次方程

2.1.1根的判别式

{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根：

(1)x2?2x?3?0；(2)x2?2x?1?0；(3)x2?2x?3?0。}

b2b2?4ac2用配方法可把一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）变为(x?)?① 22a4a

2?a≠0，?4a＞0。于是

（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数?

根x

1,2（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等b的实数根x1＝x2＝－；（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左2a

12

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b2)一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根。［www.61k.com) 2a

由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示。

综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 边(x?

（1）当Δ＞0时，方程有两个不相ax＋bx＋c＝0等的实数根x

1,2 b（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，x1＝x2＝－； 2a

（3）当Δ＜0时，方程没有实数根。

例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。

（1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0；

（3）x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0。

解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根。

（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等

2

a?a的实数根x1?

，x2?。 22

（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2， 所以，①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；

②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1。

（4）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，所以 ①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1

时，方程有两个不相等的实数根x1?1

x2?1

②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；

③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根。

说明：

在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论。

分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题。

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根x1，22?b?b2?4ac

?2a

?b??b?2

bb则有x1?x2?????；

a2aa

b2?(b2?4ac)4accx1x2???2?。 24a4aa所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1,x2，那么x1+x2＝?

13 bc， x1?x2＝。这aa

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一关系也被称为韦达定理。(www.61k.com)

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1,x2是其两根，由韦达定理可知，x1+x2＝－p，x1?x2＝q，即p＝－(x1+x2)，q＝x1?x2，

所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1+x2)x＋x1?x2＝0，由于x1,x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1+x2)x＋x1?x2＝0。因此有以两个数x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1+x2)x＋x1?x2＝0。 3所以，方程的另一个根为－，k的值为－7。 5

例2已知方程5x?kx?6?0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根。但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值。

2解法一：∵2是方程的一个根，∴5×2＋k×2－6＝0，∴k＝－7。

3所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－。 5

63解法二：设方程的另一个根为x2，则 2x2＝－，∴x2＝－。 55

3k3由（－）＋2＝－，得 k＝－7。所以，方程的另一个根为－，k的值为－7。 555

例3 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值。

分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值。但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零。

解：设x1,x2是方程的两根，由韦达定理，得x1+x2＝－2(m－2)，x1?x2＝m2＋4。 ∵x1＋x2－x1?x2＝21，∴(x1+x2)2－3 x1?x2＝21，

即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得 m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17。 当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；

当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去。 综上，m＝17。

说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可。

（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零。因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根。

例4已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数。

分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数。也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解。

（1）?x??2,?x?y?4解法一：设这两个数分别是x，y，则? 解得： ∴?1 ，（2）?xy?-12?y1?6,

?x2?6,因此，这两个数是－2和6。 ??y2??2.

解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x2－4x－12＝0的两个根。

解这个方程，得x1＝－2，x2＝6。 所以，这两个数是－2和6。

14 222

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说明：从上面两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷。[www.61k.com]

例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根。

1133（1）求|x1－x2|的值； （2）求2?2的值； （3）x1＋x2。 x1x2

53解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，∴x1?x2??，x1x2??。 22

53254922（1）∵| x1－x2|＝x1+ x22－2 x1?x2＝(x1+x2)2－4x1?x2＝(?)2?4?(?)＝＋6＝， 2244

52325(?)?2?(?)?32227x1?x2(x1?x2)?2x1x21137?∴|x1-x2|＝。（2）2?2?22?。 ??22x1x2x1?x2(x1x2)9(?)2

24

3322（3）x1＋x2＝(x1+x22)( x1－x1?x2＋x2)＝(x1+x2)[ (x1+x2) 2－3x1?x2]

5523215＝(－)×[(－)－3×(?)]＝－。 2228

说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：

设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），

则x1?，x2?，

∴|x1-x2|

。

???|a||a|

于是有下面的结论：

Δ＝b2－4ac）。 |a|

今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论。

例6 若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围。

解：设x1,x2是方程的两根，则x1?

x2＝a－4＜0，且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0。

17由①得a＜4，由②得a＜ 。∴a的取值范围是a＜4。 4若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则|x1-x2|＝

练 习1.选择题：（1）方程x2??3k2?0的根的情况是（ ）

（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根

（2）若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）

1111 （A）m＜ （B）m＞－ （C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0 4444

112．填空:（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和

x2，则?＝。 x1x2

（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 。

（3）以－3和1为根的一元二次方程是 。

3.|b?1|?0，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等实数根？

4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值。

15

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习题2.1 A组1．选择题:（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2

（2）下列四个说法：其中正确说法的个数是（ ）个 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 ①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

7

③方程3x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为?；

3

④方程3x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0。(www.61k.com）

（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ） （A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1 2．填空:（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ （2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ 。

（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 。 （4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝ 。

3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数。

B 组 1．选择题:若关于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为（ ） （A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0 2．填空:（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于 。 （2）若a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，则代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是 。

3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0。（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围。

x?x

4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2。求：（1）| x1－x2|和12；

2

33

（2）x1＋x2。

5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m的值。

C 组1.选择题： （1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（ ） （A

（B）3 （C）6 （D）9

xx

（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则1?2的值为（ ）

x2x1

16

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3 2

（3）如果关于x的方程x2－2(1+m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围

11

为（ ）（A）α＋β≥ （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1

22

c

（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是（ ）

4

（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根

2.填空：若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝ 。(www.61k.com） 3.已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根。（1）是否存

3

在实数k，使(2x1－x2)( x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；

2

xxx

（2）求使1?2－2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k＝－2，??1，试求?的值。

x2x2x1

m22

?0。4．已知关于x的方程x?(m?2)x?（1）求证：无论m取什么实数时，这个方4

程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2。

5．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的根一个大于1、另一根小于1，求实数a的取值范围。

2.1 一元二次方程 练习

1.（1）C （2）D 2． （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x2＋2x－3＝0 3．k＜4，且k≠0 4．－1 提示：(x1－3)( x2－3)＝x1 x2－3(x1＋x2)＋9 习题2．1 A 组

1.（1）C （2）B 提示：②和④是错的，对于②，由于方程的根的判别式Δ＜0，所以

2

方程没有实数根；对于④，其两根之和应为－。（3）C 提示：当a＝0时，方程不是一元

3

171

二次方程，不合题意。2．（1）2 （2） （3）6 （3

．当m＞－，且m≠0时，

4411

方程有两个不相等的实数根；当m＝－时，方程有两个相等的实数根；当m＜－时，方程

44

没有实数根。4.设已知方程的两根分别是x1和x2，则所求的方程的两根分别是－x1和－x2，∵x1＋x2＝7，x1x2＝－1，∴(－x1)＋(－x2)＝－7，(－x1)×(－x2)＝x1x2＝－1，∴所求的方程为y2＋7y－1＝0。

B组 1．C 提示：由于k=1时，方程为x2＋2＝0，没有实数根，所以k＝－1。 2．（1）2006 提示：∵m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m2n＋mn2－mn＝mn(m＋n－1)＝2006。 （2）－3 提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a3＋a2b＋ab2＋b3＝a2(a＋b)＋b2(a＋b)＝(a＋b)( a2＋b2)＝(a＋b)[( a＋b) 2－2ab]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3。

3．（1）∵Δ＝(－k)2－4×1×(－2)＝k2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根。 （2）∵x1＋x2＝k，x1x2＝－2，∴2k＞－2，即k＞－1。

（A）6 （B）4 （C）3 （D）

17

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x1?x2b3abc?b333

4．（1）| x1－x2|

＝，＝?；（2）x1＋x2＝。［www.61k.com］ 3

22aa|a|

5．∵| x1－x2|

??2，∴m＝3。把m＝3代入方程，Δ＞0，满足题意，

∴m＝3。

1

C组 1．（1）B （2）A （3）C 提示：由Δ≥0，得m≤，∴α＋β＝2(1－m)≥1。（4）

2

B 提示：∵a，b，c是ΔABC的三边长，∴a＋b＞c，∴Δ＝(a＋b)2－c2＞0。2．（1）12 提示：∵x1＋x2＝8，∴3x1＋2x2＝2(x1＋x2)＋x1＝2×8＋x1＝18，∴x1＝2，∴x2＝6，∴m＝x1x2

3

＝12。3．（1）假设存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－成立。∵一元二次方程4kx2－

2

2

4kx＋k＋1＝0有两个实数根，∴k≠0，且Δ＝16k－16k(k+1)=－16k≥0，∴k＜0。∵x1＋x2

k?19(k?1)

＝1，x1x2＝，∴ (2x1－x2)( x1－2 x2)＝2 x12－51x2＋2 x22＝2(x1＋x2)2－9 x1x2＝2－

4k4k

39(k?1)79＝－，即＝，解得k＝，与k＜0相矛盾，所以，不存在实数k，使(2x1－x2)( x1

24k25

3

－2 x2)＝－成立。

2

x1x2x12?x22(x1?x2)2?2x1x2(x1?x2)2

（2）∵?－2＝?2??2??4

x2x1x1x2x1x2x1x2

4k4k?4(k?1)4xx

?4???＝，∴要使1?2－2的值为整数，只须k＋1能整除4。k?1k?1k?1x2x1

而k为整数，∴k＋1只能取±1，±2，±4。又∵k＜0，∴k＋1＜1，∴k＋1只能取－1，－2，－4，

xx

∴k＝－2，－3，－5。∴使1?2－2的值为整数的实数k的整数值为－2，－3和－5。

x2x1

1xx

（3）当k＝－2时，x1＋x2＝1，① x1x2＝， ② ①2÷②，得1?2＋2＝8，即

8x2x1

1

???6，∴?2?6??1?0，

∴??3?

?

m22

4．（1）Δ＝2(m?1)?2?0； （2）∵x1x2＝－≤0，∴x1≤0，x2≥0，或x1≥0，x2≤0。

4

①若x1≤0，x2≥0，则x2＝－x1＋2，∴x1＋x2＝2，∴m－2＝2，∴m＝4。此时，方程为x2－2x－4＝0

，∴x1?1

x2?1 ②若x1≥0，x2≤0，则－x2＝x1＋2，∴x1＋x2＝－2，∴m－2＝－2，∴m＝0。此时，方程为x2＋2＝0，∴x1＝0，x2＝－2。

5．设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1x2＝a，由一根大于1、另一根小于1，得

(x1－1)(x2－1)＜0， 即 x1x2－(x1＋x2)+1＜0， ∴ a－(－1)＋1＜0，∴a＜－2。 此时，Δ＝12－4×(－2) ＞0， ∴实数a的取值范围是a＜－2。

2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图（1）y?x2 (2) y??x2 (3) y?x2?2x?3 教师可采用计算机绘图软件辅助教学}

问题1 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？

18

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12x，y＝－2x2的图象，通过这些函2

数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系。［www.61k.com）

先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象。

图2.2-1

图2.2-2

再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到。

1同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个2

函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系。

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数

y＝ax2 (a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到。在二次函数y＝ax2 (a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小。

问题2 函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝

ax2的图象之间存在怎样的关系？

同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系。同学们

2可以作出函数y＝2(x＋1)＋1与y＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的图象我们不难

发现，只要把函数y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)2＋1的图象。这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点。

类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系。

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”。

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法： 为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝

19

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bbb2b2

2由于y＝ax＋bx＋c＝a(x＋x)＋c＝a(x＋x＋)＋c－ 2aa4a4a

b2b2?4ac?a(x?)?， 2a4a

所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：

b4ac?b2

2)，对（1）当a＞0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为(?,2a4a

bbb称轴为直线x＝－；当x＜?时，y随着x的增大而减小；当x＞?时，y随着x的2a2a2a

b4ac?b2

增大而增大；当x＝?时，函数取最小值y＝。(www.61k.com] 2a4a

b4ac?b2

2)， （2）当a＜0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为(?,2a4a

bbb对称轴为直线x＝－；当x＜?时，y随着x的增大而增大；当x＞?时，y随着x2a2a2a

b4ac?b2

的增大而减小；当x＝?时，函数取最大值y＝。 2a4a

上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来。因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题。

图2.2-4 图2.2-3 图2.2－5

例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象。

解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，

∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为

(－1，4)；

当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；

当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小； 22

和C(，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）。

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确。

函数y＝ax2＋bx＋c图象作图要领： 采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B 20

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①确定开口方向：由二次项系数a决定。[www.61k.com) b②确定对称轴：对称轴方程为x?? 2a

③确定图象与x轴的交点情况，①若△>0则与x轴有两个交点，可由方程x2＋bx＋c=0求出②①若△=0则与x轴有一个交点，可由方程x2＋bx＋c=0求出③①若△<0则与x轴有无交点。

④确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，c）

⑤由以上各要素出草图。

练习：作出以下二次函数的草图：（1）y?x2?x?6 (2)y?x2?2x?1 (3) y??x2?1

例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：

若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值。

解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋b，将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代

?k??1?70?130k?b,入方程，有? 解得?。 ∴y＝－x＋200。

?50?150k?b,?b?200

设每天的利润为z（元），则z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000

＝－(x－160)2＋1600，

∴当x＝160时，z取最大值1600。

答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元。

例3 把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值。

b2b2解法一：y＝x＋bx＋c＝(x +)?c?，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移442

bb2

2个单位，得到y?(x??4)?c??2的图像，也就是函数y＝x2的图像，所以， 24

?b??4?0,??2 ? 解得b＝－8，c＝14。 2?c?b?2?0,?4?2

解法二：把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，等价于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝x2＋bx＋c的图像。

由于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝(x－4)2＋2的图像，即为y＝x2－8x＋14的图像，∴函数y＝x2－8x＋14与函数y＝x2＋bx＋c表示同一个函数，∴b＝－8，c＝14。

说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律。

这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等

21

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价的问题来解，具有计算量小的优点。（www.61k.com）今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题。

例4 已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值。

分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论。 解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；

（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；

（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；

（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0。

③ ② ① 图2.2－6

说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论。此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题。

练习 1．选择题：

（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（ ）

（A）y＝2x2 （B）y＝2x2－4x＋2 （C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x

（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2（ ）

（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的

（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的

（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

2．填空题

（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝n＝。

（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝y轴上； 当m＝ 时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝ 时，函数图象经过原点。

（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x＝ 时，函数取最 值y＝ ；当x 时，y随着x的增大而减小。

3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象。（1）y＝x2－2x－3； （2）y＝1＋6 x－x2。

4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值

22

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（2）.x?2；或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）.x??2；

（3）.?2?x?1；（4）.0?x?3。(www.61k.com]

2.2.2 二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：

1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)。

除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示。为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数。

当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0。 ①，并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：

（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；

反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立。

（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）； 反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立。

（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；

反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立。 于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2

bcbc是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝?，x1x2＝，即＝－(x1＋x2)， ＝x1x2。 aaaa

bc 所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(x2?x?)= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1)(x－x2)。 aa

由上面的推导过程可以得到下面结论：

若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，

则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)。

这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：

3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐

标。

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题。

例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式。

分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a。

解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，

∴顶点的纵坐标为2。

又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1。

∴顶点坐标是（1，2）。

设该二次函数的解析式为y?a(x?2)2?1(a?0)，

∵二次函数的图像经过点（3，－1），

∴?1?a(3?2)2?1，解得a＝－2。

∴二次函数解析式为y??2(x?2)2?1，即y＝－2x2＋8x－7。

23

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说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题。(www.61k.com）因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题。

例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式。

分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式。

解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，

∴可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，

?12a2?4a2

2??4a， 展开，得：y＝ax＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为 4a

1由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a＝?。 2

1313所以，二次函数的表达式为y＝x2?x?，或y＝－x2?x?。 2222

分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式。

解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，

∴对称轴为直线x＝－1。

又顶点到x轴的距离为2，

∴顶点的纵坐标为2，或－2。

于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，

由于函数图象过点(1，0)，

∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2。

11∴a＝－，或a＝。 22

11所以，所求的二次函数为y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2。 22

说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题。

例3已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式。 解：设二次函数为y?ax2?bx?c（a?0）。

由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，

?a-b?c??22?a??2??c??8可得?，解得?b?12

?4a?2b?c?8?c??8??

故所求二次函数为y＝－2x2＋12x－8。

通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？

练习1.选择题:（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是（ ）

（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定

1（2）函数y＝－ (x＋1)2＋2的顶点坐标是（ ） 2

（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)

24

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2.填空：

（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a≠0) 。（www.61k.com］

（

2＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 。

3.（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；

（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；

（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)。

2.2.3 二次函数的简单应用

一、函数图象的平移变换与对称变换 1．平移变换

问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可。

例1 求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：

（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位。 分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式。

解：二次函数y＝2x2－4x－3的解析式可变为y＝2(x－1)2－1，其顶点坐标为(1，－1)。

（1）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y＝2(x－3)2－2。

（2）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1， 2)，故平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y＝2(x＋1)2＋2。

2．对称变换

问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题。

25 图2.2－8 图2.2－7

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例2 求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应函数解析式：

（1）直线x＝－1； （2）直线y＝1。（www.61k.com]

解：（1）如图2．2－7，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状。

由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为A1(－3，1)，所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于

直线x＝－1对称后所得到图象的函数解析式为y＝2(x＋3)2－1，即y＝2x2＋12x＋17。

（2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状。

222 由于y＝2x－4x＋1＝2(x－1)－1，可知，函数y＝2x－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，

所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向下，所以，二次函数y＝2x2－4x＋1图象关于直线y＝1对称后所得到图象的函数解析式为y＝－2(x－1)2＋3，即y＝－2x2＋4x＋1。 练习

21．选择题：（1）把函数y＝－(x－1)＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所

得图象对应的解析式为（ ）

（A）y＝ (x＋1)2＋1 （B）y＝－(x＋1)2＋1

（C）y＝－(x－3)2＋4 （D）y＝－(x－3)2＋1

二、分段函数

一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数。

例3 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0＜x≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象。

分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的。所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式。在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20＜x≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）。

解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数。

?80,x?(0,20]y(?160x?(20,40]??这个函数的解析式为y??240,x?940,80] ?320x?(60,80]???400,x?(80,100]

) 图2.2－9

由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．2－9所示。

例4如图9－2所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点。设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y。

26

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（1）求函数y的解析式；（2）画出函数y的图像；（3）求函数y的取值范围。（www.61k.com) 分析：要对点P所在的位置进行分类讨论。

解：（1）①当点P在线段AB上移动（如图2．2－10①），即0＜x≤2时，y＝AP?BC＝x； ②当点P在线段BC上移动（如图2．2－10②），即2＜x＜4时，

11

y＝PC?AB＝(4?x)?2＝4－x；

22

C

1

2

③当点P在线段CD上移动（如图2．2－10③），即4＜x≤6时，

11

y＝PC?AD＝(x?4)?2＝x－4；

22

P

④当点P在线段DA上移动（如图2．2－10④），即6＜x＜8时，

2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法

图2.2－10

方程 x2?2xy?y2?x?y?6?0是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次

数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程。其中x2,2xy,y2叫做这个方程的二次项,x,y叫做一次项,6叫做常数项。

22

?x2?4y2?x?3y?1?0,??x?y?20,

我们看下面的两个方程组：? ?2 2

??2x?y?1?0;?x?5xy?6y?0.

第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组。

下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法。 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解。

?x2?4y2?4?0,

例1 解方程组?

?x?2y?2?0.

分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式。注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题。

解：由②,得x＝2y＋2， ③

把③代入①,整理,得8y2＋8y＝0，即y(y＋1)＝0。解得y1＝0，y2＝－1。

把y1＝0代入③,得x1＝2；把y2＝－1代入③,得x2＝0。

?x1?2,?x2?0,

所以原方程组的解是?；?

y?0，y??1.?1?2

说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解。

?x?y?7,

例2解方程组?

xy?12.?

解法一：由①，得x?7?y. ③

把③代入②，整理，得y2?7y?12?0 解这个方程，得y1?3,y2?4。

把y1?3代入③，得x1?4；把y2?4代入③，得x2?3。

?x1?4,?x2?3,

所以原方程的解是?；?

y?3，y?4.?1?2

解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把x,y看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x,y。

27

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这个方程组的x,y是一元二次方程z2?7z?12?0的两个根， 解这个方程，得z?3，或z?4。[www.61k.com］

?x1?4,?x2?3,

所以原方程组的解是?；?

?y1?3;?y2?4.

?x2?y2?13,

练习1．下列各组中的值是不是方程组?的解?

x?y?5?

?x?2,?x?3,?x?1,?x??2,

（1）? （2）? （3）? （4）?

?y?3;?y?2;?y?4;?y??3;

2．解下列方程组:

22

?xy2

??y?x?5,?x?y?3,?1,?y?2x,??

（1）?2 （2）? （3）?5 （4）?2 422

xy??10;x?y?625;????x?y?8.?y?x?3;

?

2.3.2 一元二次不等式解法

二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下：

由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知

当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x2－x＝6＝0； 当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x2－x－6＞0； 当－2＜x＜3时，y＜0，即x2－x－6＜0。

图2.3－1

这就是说，如果抛物线y= x2－x－6与x轴的交点是(－2，

0)与(3，0)，那么一元二次方程x2－x－6＝0的解就是x1＝－2，x2＝3；

同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x2－x－6＞0的解是x＜－2，或x＞3；

一元二次不等式x2－x－6＜0的解是－2＜x＜3。

28

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上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集。（www.61k.com）

那么，怎样解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)呢？

我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)。

为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解。

我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解。

③ ① ②

图2.3－2

（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知

不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x＜x1，或x＞x2；不等式ax2＋bx＋c＜0的解为x1＜x＜x2。

22（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax

b＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－ ，由图2.3－2②可知 2a

b2不等式ax＋bx＋c＞0的解为x≠－ ； 不等式ax2＋bx＋c＜0无解。 2a

（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图2.3－2③可知

不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；

2不等式ax＋bx＋c＜0无解。

今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式。

例3 解不等式：（1）x2＋2x－3≤0； （2）x－x2＋6＜0； （3）4x2＋4x＋1≥0；

（4）x2－6x＋9≤0； （5）－4＋x－x2＜0。

解：（1）∵Δ＞0，方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝－3，x2＝1。∴不等式的解为－3≤x≤1。

（2）整理，得x2－x－6＞0。∵Δ＞0，方程x2－x－6=0的解为x1＝－2，x2＝3。

∴原不等式的解为x＜－2，或x＞3。

（3）整理，得(2x＋1)2≥0。?上式对任意实数x都成立，∴原不等式的解为一切实数。

29

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（4）整理，得(x－3)2≤0。（www.61k.com）

由于当x＝3时，(x－3)2＝0成立；而对任意的实数x，(x－3)2＜0都不成立， ∴原不等式的解为x＝3。

（5）整理，得x2－x＋4＞0。Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数。

例4已知不等式ax2?bx?c?0(a?0)的解是x?2,或x?3求不等式bx2?ax?c?0的解。 解：由不等式ax2?bx?c?0(a?0)的解为x?2,或x?3，可知

a?0，且方程ax2?bx?c?0的两根分别为2和3， bcbc?6，即??5,?6。 ∴??5,aaaa

bc由于a?0，所以不等式bx2?ax?c?0可变为x2?x??0 ，即－5x2?x?6?0, aa

6整理，得5x2?x?6?0,所以，不等式bx2?ax?c?0的解是x＜－1，或x＞ 。 5

说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题。

例5 解关于x的一元二次不等式x2?ax?1?0(a为实数)。

分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式?的符号,而这里的?是关于未知系数的代数式, ?的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对?的符号进行分类讨论。

解: ??a2?4,①当??0,即a??2或a?2时, 方程x2?ax?1?0的解是

x1?x2?

所以,

原不等式的解集为x?； 或x?a②当Δ＝0，即a＝±2时，原不等式的解为x≠－； 2

③当??0,即?

2?a?2时,原不等式的解为一切实数 。

综上,当a≤－2，或a≥2

时，原不等式的解是x?； 或x?当?2?a?2时,原不等式的解为一切实数。

①

2

图2.3－3

例6函数y＝x－2ax＋1(a为常数)在－2≤x≤1上的最小值为n，试将n用a表示出来。

分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行分类讨论。

解：∵y＝(x－a)2＋1－a2， ∴抛物线y＝x2－2ax＋1的对称轴方程是x＝a。

30

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(1)若－2≤a≤1，由图2.3-3①可知,当x＝a时，该函数取最小值n＝1－a2；

(2)若a＜-2时, 由图2.3-3②可知, 当x＝-2时，该函数取最小值n＝4a+5；

(3)若a＞1时, 由图2.3-3③可知, 当x＝1时，该函数取最小值n＝-2a+2。[www.61k.com］

?4a?5,a??2,?综上,函数的最小值为n??1?a2,?2?a?1,

??2a?2,a?1.?

练习

1．解下列不等式：

（1）3x2－x－4＞0； （2）x2－x－12≤0；

（3）x2＋3x－4＞0； （4）16－8x＋x2≤0。

2.解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0（a为常数）。

习题2．3 A 组

?x2

2?(x?3)2?y2?9,??y?1,1．解下列方程组：（1）?4 （2）?

?x?2y?0;?x?y?2?0;?

?x2?y2?4,?x?y?6?（3）?2 （4） ?2??x?y?7?x?y?2.

2．解下列不等式：

（1）3x2－2x＋1＜0； （2）3x2－4＜0；

（3）2x－x2≥－1； （4）4－x2≤0。

?y2?4x,B组1．m取什么值时,方程组?有一个实数解?并求出这时方程组的解。

?y?2x?m

2．解关于x的不等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）。

C 组

1.关于x不等式2x2＋bx－c＞0的解为x＜－1，或x＞3。试解关于x的不等式bx2＋cx＋4≥0。

2．试求关于x的函数y＝－x2＋mx＋2在0≤x≤2上的最大值k。

2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法练习

?x1?15,1.（1）（2）是方程的组解； （3）（4）不是方程组的解。2．（1）??y1?20,

31 ?x2??20, ?y??15;?2

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5?x?,??x1?5,?x2??2,?x1?2,?x2?2,?3（2）? （3）? （4）? ? ?y??2,y?5;y?2,y??2.4?1?2?1?2?y??.?3?

2.3.2 一元二次不等式解法

4练 习1．（1）x＜－1，或x＞； （2）－3≤x≤4； （3）x＜－4，或x＞1；（4）x＝4。[www.61k.com］ 3

2．不等式可以变为(x＋1＋a)( x＋1－a)≤0，

（1）当－1－a＜－1＋a，即a＞0时，∴－1－a≤x≤－1＋a；

（2）当－1－a＝－1＋a，即 a＝0时，不等式即为(x＋1)2≤0，∴x＝－1；

（3）当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，∴－1＋a≤x≤－1－a。

综上，当a＞0时，原不等式的解为－1－a≤x≤－1＋a；

当a＝0时，原不等式的解为x＝－1； 当a＜0时，原不等式的解为－1＋a≤x≤－1－a。 习题2．3

1024??x?,x?,22???x?0,?x1?2,????x1?3???x2?3?135A 组1．（1） （2） （4

） ???????y1?0,?y1?0,?y??12.?

?y?4.?y1?3???y2?3?22??53??

?x3????x???x2???x4?（3

）?1 ????y1?1,??y2??1,??y4??1.?y3?1,??

（3）1－2≤x≤1＋2 （4）x≤－2，或x≥2 ?x?1B 组1．消去y，得4x2?4(m?1)x?m2?0。当??16(m?1)2?16m2?0,即m?时，方程2

1?x?,1?有一个实数解。将m?代入原方程组，得方程组的解为?4 2??y?1.

2．不等式可变形为(x－1)(x－a)＜0。∴当a＞1时，原不等式的解为1＜x＜a；当a＝1时，原不等式的无实数解；当a＜1时，原不等式的解为a＜x＜1。

C 组1．由题意，得 －1和3是方程2x2＋bx－c＝0的两根， 2．（1）无解（2

） ∴－1＋3＝－ ，－1×3＝－ ， 即b＝－4，c＝6。 22

1 ∴等式bx2＋cx＋4≥0就为－4 x2＋6x＋4≥0，即2 x2－3x－2≤0，∴－≤x≤2。 2

2．∵y＝－x＋mx＋2＝－(x－＋2＋ ，∴当0≤ ≤2，即0≤m≤4时，k＝2＋ ； 2424

m?0,?2,?2mm?m?2,0?m?4, 当＜0，即m＜0时，k＝2；当 ＞2，即m＞4时，k＝2m－2。∴k??22?4

m?4.??2m?2,

3.1 相似形

3.1.1．平行线分线段成比例定理

在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长

32 2bcm2m2mm2

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度、长度比的问题。[www.61k.com）在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比。

在一张方格纸上，我们作平行线l1,l2,l3（如图3.1-1），直线a交l1,l2,l3于点A,B,C，

A'B'AB2??. B'C'BC3

我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

ABDEABDE=?如图3.1-2，l1//l2//l3，有。当然，也可以得出。在运用该定理解决BCEFACDF图3.1-1

问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例。 AB?2,BC?3，另作直线b交l1,l2,l3于点A',B',C'，不难发现

例1 如图3.1-2， l1//l2//l3，且AB=2,BC=3,DF=4,求DE,EF。

解:?l1//l2//l3,?ABDE228312??, ?DE?DF?,EF?DF?. BCEF32?352?35

例2 在?ABC中，D,E为边AB,AC上的点，DE//BC， ADAEDE??求证：。 ABACBC图

3.1-2

证明（1） ?DE//BC,??ADE??ABC,?AED??ACB,

ADAEDE??. ABACBC

证明（2）如图3.1-3，过A作直线l//BC，

ADAE??l//DE//BC,?。 ABAC

过E作EF//AB交AB于D，得□BDEF,因而DE?BF.

图3.1-3 AEBFDEADAEDE?EF//AB,???. ???. ACBCBCABACBC

从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

例3 已知?ABC，D在AC上，AD:DC?2:1，能否在AB上找到一点E，使得线段EC的中点在BD上。

解设能找到，如图3.1-4，设EC交BD于F，则F为EC的中点，作EG//AC交BD于G。 ??ADE∽?ABC，??EG//AC,EF?FC，??EGF??CDF，且EG?DC，

11BEEG1图3.1-4 AD,EG?AD,?BEG~?BAD，且??, 22BAAD2

?E为AB的中点。

可见，当E为AB的中点时，EC的中点在BD上。

我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，

有解则存在，无解或矛盾则不存在。

ABBDAD为?BAC的平分线，例4在?ABC中，=。 ACDC

证明 过C作CE//AD，交BA延长线于E，

BABD?AD//CE,?, AEDC?EG//

33

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?AD平分?BAC,??BAD??CAD

由AD//CE知,?BAD??E,?DAC??ACE

??ACE??E,?AC?AE ?图3.1-5 ABBD= ACDC

例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）。(www.61k.com］

练习1

图3.1-6

图3.1-7 图3.1-8

1．如图3.1-6，l1//l2//l3，下列比例式正确的是（ ）

A．ADCEADBCCEADAFBE==== B． C． D. DFBCBEAFDFBCDFCE

2．如图3.1-7，DE//BC,EF//AB,AD=5cm,DB=3cm,FC=2cm,求BF。

3．如图，在?ABC中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长。

ABBD?BAC的外角平分线AD交BC的延长线于点D，=4．如图，在?ABC中，。 ACDC

图

3.1-9

5．如图，在?ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线交BC的延长

DFAC=线于F。求证：。 EFAB

图3.1-10

3.1．2．相似形

我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪

34

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些方法可以判定两个直角三角形相似？

?BAC??CDB，?DAC??CBD。［www.61k.com)例5如图3.1-11，四边形ABCD的对角线相交于点O，求证：

证明:在?OAB与?ODC中，?BAO??CDO,?AOB??DOC ??OAB∽?ODC，?OAOBOAOD?=，即。 ODOCOBOC

又?OAD与?OBC中，?AOD??BOC， ??AOD∽?BOC，

??DAC??CBD。 图3.1-11

例6如图3.1-12,在Rt?ABC中，?BAC为直角，AD?BC于D。 求证：（1）AB2?BD?BC，AC2?CD?BC；

（2）AD2?BD?CD

证明（1）在Rt?BAC和Rt?BDA中，

?ADB??CAB?90

??图3.1-12 ,?B??B,??BAC∽?BDA BABC?,即AB2?BD?BC。 同理可证得AC2?CD?BC。 BDBA

（2）在Rt?ABD和Rt?CAD中，?ADB??CDA?90?

?Rt?ABD∽Rt?CAD,?,?BAD?90???CAD, ADDC?,即AD2?BD?DC。 BDAD

我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用。

AEAF?例7在?ABC中，AD?BC于D,DE?AB于E,DF?AC于F,求证：。 ABAC

证明:? AD?BC于D,??ADB为直角三角形，

又DE?AB于E,

由射影定理，知AD2?AE?AB。

AEAF图3.1-13 ? ABAC

BC中，D为边BC的中点，E为边AC上的任意一点，BE交AD例8如图3.1-14，在?A

于点O。某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：

同理可得AD2?AF?AC。?

35

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图

3.1-14

（1） 当AE11AO22====时，有。（www.61k.com）（如图3.1-14a） AC21+1AD32+1

AE11AO22====时，有。（如图3.1-14b） AC31+2AD42+2

AE11AO22====时，有。（如图3.1-14c） AC41+3AD52+3

AOAE1=时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般ADAC1+n（2） 当（3） 当在图3.1-14d中，当

结论，并给出证明（其中n为正整数）。 解：依题意可以猜想：当AE1AO2==时，有成立。 AC1+nAD2+n

证明 过点D作DF//BE交AC于点F，?D是BC的中点，?F是EC的中点， 由AE1AE2AE2AOAE2AE1=，?????=可知。?。 ECnEFnAF2?nADAF2?nAC1+n

AO1AE1=，则=? （参考答案：）。 ADnAC2n-1

本题中采用了从特殊到一般的思维方法。我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定 。数学的发展史就是不断探索的历史。

练习2

1.D是?ABC的边AB上的一点，过D点作DE//BC交AC于E。已知AD：DB=2：3，则想一想，图3.1-14d中，若S?ADE:S四边形BCED等于（ ） A．2:3 B．4:9 C．4:5 D．4:21

2.若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段。这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________。

?ABC的三边长分别是3，3.已知：4，5，与其相似的?A,B,C,的最大边长是15，求: S?ABC。

4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。

(1).请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；(2).若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱形？是正方形？

图3.1-16

5．如图3.1-17,点C、D在线段AB上，?PCD是等边三角形，

(1).当AC、CD、DB满足怎样的关系时，?ACP∽?PDB？(2).当?ACP∽?PDB时，求?APB的度数。

36

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习题3.1 图3.1-17

图3.1-18 图3.1-19 图

3.1-20 图3.1-21

A组1.如图3.1-18，?ABC中，AD=DF=FB，AE=EG=GC，FG=4，则（ ）

A．DE=1，BC=7 B．DE=2，BC=6 C．DE=3，BC=5 D．DE=2，BC=8

2.如图3.1-19，BD、CE是?ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ:BC等于（ ）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6

3.如图3.1-20，□ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，已知BE：AB=2：3，S?BEF?4，求S?CDF。（www.61k.com］

4.如图3.1-21，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE?AC交AC于F，过F作FG//AB交AE于G，求证：AG2?AF?FC。

B组

图

3.1-22 图3.1-23 图

3.1-24 图3.1-25

1.如图3.1-22，已知?ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F，则的值为（ ） A．EFAF+FCFD13 B．1 C． D．2 22

2.如图3.1-23，已知?ABC周长为1，连结?ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ）

1111A． B． C．2002 D．2003 2002200322

37

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3.如图3.1-24，已知M为□ABCD的边AB的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与

1115□ABCD面积的比是（ ） A． B． C． D． 34612

4.如图3.1-25，梯形ABCD中，AD//BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF//AD。［www.61k.com]

OEOE112++=(1)求证：OE=OF；(2)求的值；(3)求证：。 ADBCADBCEF

C组

图

3.1-28 图

3.1-27 图

3.1-26

1.如图3.1-26，?ABC中，P是边AB上一点，连结CP。

①要使?ACP∽?ABC，还要补充的一个条件是____________。

②若?ACP∽?ABC，且AP:PB=2:1，则BC:PC=_____。

2.如图3.1-27，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且?BAC??BDC??DAE。

BC①求证:BE?AD?CD?AE；②根据图形的特点，猜想可能等于那两条线段的比（只须DE

写出图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想。

tABVC3.如图3.1-28，在RDF?AB于F，DE?AC?A?90?，中，AB=AC，点D为BC上任一点，

于E，M为BC的中点，试判断?MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论。

4.如图a，AB?BD,CD?BD垂足分别为B、D，AD和BC相交于E，EF?BD于F，我们可111+=成立。若将a中的垂直改为斜交，如图b，AB//CD,AD、BC相交于E，ABCDEF

111+=EF//AB交BD于F，则：①还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，ABCDEF以证明

请说明理由；②请找出S?ABD,S?BCD和S?EBD之间的关系，并给出证明。

A

E

38 F b D

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3.1 相似形

练习1

DEADx51010?,??,x?，即BF?。（www.61k.com） BCABx?2833

ABBD535??,?BD?cm. 3．?ACDC49

ABBDABBDFC??FAE??FAC??4．作CF//AB交AD于F，则，又?A得AC?CF,?。 CFDCACDC

EGCEACCEDBDFAC????,??5．作EG//AB交BC于G，??CEG~?CAB，即。 ABACABEGEGEFAB

练习2

1．D

2．12，18

1153．?S?ABC??3?4?6,?S?A'B'C'?()2?6?54. 25

14．（1）因为EH//BD//FG,所以EFGH是平行四边形；（2）当AC?BD时，EFGH为菱形；21．D 2．设BF?x,?当AC?BD,AC?BD时，EFGH为正方形。

5．（1）当CD2?AC?BD时，?ACP∽?PDB；（2）?APB?120o。

习题3.1

A组 1．B 2.B 3.S?CDF?9。

4．BF为直角三角形ABC斜边上的高，BF2?AF?FC，又可证AG?BF,?AG2?AF?FC。 B组

1．C 2.C 3.A

EOAEDEOFOEOEAEBE???,EO?OF。????1.（3）由4．（1）?AD//BC,?（2）BCABDCBCADBCABAB

1112???. （2）知ADBCOEEF

C组

1.(1)AC2?AP?AB或?ACP??B。

(2)BC:PC?

BEAEBCABAD???；（2）??ADE~?ACB,?。 CDADDEAEAC

3．连AD交EF于O，连OM，??ABC为等腰直角三角形，四边形AEDF为矩形，?OM为

11Rt?AMD斜边的中线，OM?AD?EF,??MEF为直角三角形。又可证?BMF??AME，22

得MF?ME，故?MEF为等腰直角三角形。

EFEFFDBF111????1,???. 4．（1）成立，?ABCDBDBDABCDEF2．（1）先证?AEB~?ADC，可得

39

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（2）1

S?ABD?1S?BCD?1S?EBD，证略。[www.61k.com]

3.2 三角形

3．2．1 三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。 图3.2-1 图3.2-2 图

3.2-3

如图3.2-1 ，在三角形?ABC中，有三条边AB,BC,CA，三个角?A,?B,?C，三个顶点A,B,C，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段。

三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心。三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点。

例1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1。 已知:D、E、F分别为?ABC三边BC、CA、AB的中点，

求证:AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1。

证明连结DE，设AD、BE交于点G，

1 ?D、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且DE=AB，2

??GDE∽?GAB，且相似比为1：2，

?AG?2GD,BG?2GE。

图3.2-4

设AD、CF交于点G'，同理可得，AG'=2G'D,CG'=2G'F.

则G与G'重合，?AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2:1。

三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心。三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等。（如图3.2-5）

例2已知?ABC的三边长分别为BC=a,AC=b,AB=c，I

为?ABC的内心，且I在?ABC的边BC、AC、AB上的射影分别

b+c-a为D、E、F，求证：AE=AF=。 2

证明:作?ABC的内切圆，

则D、E、F分别为内切圆在三边上的切点，

?AE,AF为圆的从同一点作的两条切线，

?AE?AF，

同理，BD=BF，CD=CE。

?c?b?a?AF?BF?AE?CE?BD?CD

?AF?AE?2AF?2AE

40 图3.2-5

图3.2-6

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即AE=AF=

b+c-a。（www.61k.com］ 2

例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形。

已知:O为?ABC的重心和内心。

求证: ?ABC为等边三角形。

证明:如图，连AO并延长交BC于D。

O为三角形的内心，故AD平分?BAC，

ABBD??（角平分线性质定理） ACDC

O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC。

AB??1，即AB=AC。 AC图

3.2-7 同理可得，AB=BC。

??ABC为等边三角形。

三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心。锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为它的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部。（如图3.2-8）

图3.2-8

例4求证：三角形的三条高交于一点。

已知:?ABC中，AD?BC于D,BE?AC于E，AD与BE交于H点。

求证:CH?AB。

证明:以CH为直径作圆，

?AD?BC于D,BE?AC于E,

??HDC??HEC?90?

?D、E在以CH为直径的圆上，??FCB??DEH。

同理，E、D在以AB为直径的圆上，

可得?BED??BAD。??BAD??BCF，

又?ABD与?BCF有公共角?DBF，?BFC??ADB?90?，即CH?AB。

过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是?ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心。三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点。

练习1 1.求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形。

2．（1）若?ABC的面积为S，且三边长分别为a、b、c，则?的内切圆的半径是 。并请说明理由。

（2）若Rt?三边长分别为a、b、c（其中c为斜边长），则?的内切圆的半径

41

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是 。(www.61k.com］ 并请说明理由。

3.2.2 几种特殊的三角形

等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一。因而在等腰?ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上。

图3.2-13

图3.2-10 图

3.2-11 图3.2-12

?ABC的面积及AC边上的高BE；?ABCAB?AC?3,BC?2.求:例5在?ABC中，（1）（2）

的内切圆的半径r；（3）?ABC的外接圆的半径R。

解:（1）如图，作AD?BC于D。

?AB?AC,?D为BC的中点，

?AD?AB2?BD2?22,

?S?ABC?1?2?22?22 2

1AC?BE,

解得BE?。 2又S?ABC?

（2）如图，I为内心，则I到三边的距离均为r，连IA,IB,IC， S?ABC?S?IAB?S?IBC?S?IAC，

即?

解得r?111AB?r?BC?r?CA?r，

222。 2

42 （3）?ABC是等腰三角形，?外心O在AD上，连BO，

初高中数学衔接教材 初高中数学衔接教材(50页)

则Rt?OBD中，OD?AD?R,OB2?BD2?

OD2,

?R2?R)2?

12,解得R? 在Rt?ABC中，?A为直角，垂心为直角顶点A， 外心O为斜边BC的中点，内心I在三b+c-a角形的内部，且内切圆的半径为（其中a,b,c分别为三角形的三边BC,CA,AB的长），2

为什么？

该直角三角形的三边长满足勾股定理：AC2+AB2=BC2。［www.61k.com]

例6如图，在?ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点。求证：AP2?AB2?PB?PC。 证明：过A作AD?BC于D。

在Rt?ABD中，AD2=AB2-BD2。

在Rt?APD中，AP2=AD2-DP2。

?AP2?AB2?BD2?DP2?AB2?(BD?DP)?(BD?DP)

?AB?AC,AD?BC,?BD?DC。

?BD?DP?CD?DP?PC。 图3.2-14

?AP2?AB2?PB?PC。

正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心。

例7已知等边?ABC和点P，设点P到三边AB，AC，BC的距离分别为h1,h2,h3，?ABC的高为h，“若点P在一边BC上，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h。”

请直接应用以上信息解决下列问题：

当（1）点P在?ABC内（如图b），（2）点在?ABC外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1,h2,h3与h之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）。

解:（1）当点P在?ABC内时，

法一

43

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如图，过P作B'C'分别交AB,AM,AC于B',M',C'，

由题设知AM'=PD+PE，

而AM'=AM-PF，

故PD+PE+PF=AM，

即h1+h2+h3=h。(www.61k.com)

法二

如图，连结PA、PB、PC，?S?ABC?S?PAB?S?PAC?S?PBC，

1111?BC?AM?AB?PD?AC?PE?BC?PF， 2222

又AB=BC=AC，?AM?PD?PE?PF， 图3.2-16

即h1+h2+h3=h。

（2）当点P在?ABC外如图位置时，h1+h2+h3=h不成立，猜想：h1+h2-h3=h。 注意：当点P在?ABC外的其它位置时，还有可能得到其它的结论，

如h1-h2+h3=h，h1-h2-h3=h（如图3.2-18，想一想为什么？）等。

在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想

方法,“法二”中灵活地运用了面积的方法。

练习2

1.直角?的三边长为3，4，x,则x=________。

2.等腰?有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小

是_________。

3.满足下列条件的?ABC，不是直角三角形的是（ ） 图3.2-18

A.b2=a2-c2 B.?A??B??C C.?A:?B:?C:?3:4:5 D.a:b:c=12:13:5

4.

已知直角三角形的周长为31，求这个三角形的面积。

5.证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量。

习题3.2 A组

1.已知：在?ABC中，AB=AC，则下列结论中，正确的是（ ）

?BAC?120o,AD为BC边上的高，

A.AD?1AB B.AD?AB C.AD?

BD D.AD?BD 22.三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（ ）

A．6 B．4.5 C．2.4 D．8

3.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________。

4.已知:a,b,c是?ABC的三条边，a?7,b?10，那么c的取值范围是_________。

44

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5.若三角形的三边长分别为1、a、8，且a是整数，则a的值是_________。（www.61k.com]

图3.2-19

图3.2-20 图3.2-21 图

3.2-22

B组1.如图3.2-19，等边?ABC的周长为12，CD是边AB上的中线，E是CB延长线上一点，且BD=BE，则?CDE的周长为（ ）。

A

．6?

．18?

．6? D

．18?2.如图3.2-20，在?ABC中，?C??ABC?2?A，BD是边AC上的高，求?DBC的度数。

3.如图3.2-21，Rt?ABC，?B?90?,M是AC的中点，AM=AN，MN//AB，求证：MN=AB。

4.如图3.2-22，在?ABC中，AD平分?BAC，AB+BD=AC。求?B:?C的值。

5.如图3.2-23，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=求证：?EFA?90?。

1BC， 4图3.2-23 C组1.已知k?1,b?2k,a?c?2k2,ac?k4?1，则以a、b、c为边的三角形是（ ）

A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．形状无法确定

2.如图3.2-24，把?ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则?A与?1??2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）。

A．?A??1??2

B．2?A??1??2

C．3?A??1??2

D．3?A?2(?1??2)

3.如图3.2-25，已知BD是等腰?ABC底角平分线，且图3.2-24

AB=BC+CD，求证：?C?90?。

45

图3.2-25

初高中数学衔接教材 初高中数学衔接教材(50页)

4.如图3.2-26，在等腰Rt?ABC中?C?90o，D是斜边AB上任一点，AE?CD于E，BF?CD交CD的延长线于F，CH?AB于H，交AE于G。（www.61k.com］求证：BD=CG。

图

3.2-26

2Sa?b?c3.2 三角形 练习1 1．证略 2.（1）；（2）。 a?b?c2

练习2 1．5

20o或80o 3.C 4．设两直角边长为a,b，斜边长为2

，则a?b?1a2?b2?

4，解得ab??S?11ab?。 5.可利用面积证。 22

习题3.2 A组 1．B 2. D 3.120o 4.3?c?17 5.8 B组 1．A 2.18o 3．连BM，证?MAB??AMN。

4.在AC上取点E，使AE=AB，则?ABD??AED，?B??AED。又BD=DE=EC，??C??EDC,??B:?C?2:1.

5．可证?ADF~?FCE，因而?AFD与?CFE互余，得?EFA?90o。 C组 1．C。不妨设a?c，可得a?k2?1,c?k2?1,a2?b2?c2，为直角三角形。

2．B 3。在AB上取E使BE=BC，则?BCD??BED，且AE=ED=DC， ?C??BED?2?A??A??B?180o??C,??C?90o.

4．先证明?ACE??CBF，得CE=BF，再证?CGE??BDF，得BD=CG。

3．3圆

3．3．1 直线与圆，圆与圆的位置关系

设有直线l和圆心为O且半径为r的圆，怎样判断直线l和圆O的位置关系？

图3.3-2

图

3.3-1 46

初高中数学衔接教材 初高中数学衔接教材(50页)

观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离d>r时，直线和圆相离，如圆O与直线l1；当圆心到直线的距离d=r时，直线和圆相切，如圆O与直线l2；当圆心到直线的距离d<r时，直线和圆相交，如圆O与直线l3。［www.61k.com)

在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B。若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心O和弦AB的中点M的线段OM垂直于这条弦AB。且在RtVOMA中，OA为圆的半径r，OM为圆心到直线的距离d，MA为弦长AB的一半，根据AB2)。 勾股定理，有r2-d2=(2

图

3.3-3 图

3.3-4 图3.3-5

当直线与圆相切时，如图3.3-3，PA,PB为圆O的切线，可得PA?PB，OA?PA.，且在Rt?POA中，PO2?PA2?OA2。

如图3.3-4，PT为圆O的切线，PAB为圆O的割线，我们可以证得?PAT~?PTB，因而PT2?PA?PB。

例1如图3.3-5，若⊙O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是弧AB的中点，求弦BD的长度。 解:连结OD，交AB于点E。

1 ?D是弧AB的中点,O是圆心，?OD?AB,BE?AE?AB?3cm。2

在Rt?BOE中，OB=5cm,BE

=3cm,?OE??4cm.

?OD?5cm,?DE?1cm.在Rt?BDE中，BE=3cm,DE

=1cm,?BD?.

例2若圆的两条平行弦的长度分别为6和46，且这两条线的距离为3。求该圆的半径。 解:设圆的半径为r，分两种情况（如图3.3-6）：

①若O在两条平行线的外侧，

如图（1），AB=6，CD=46，则由OM-ON=3，

=3，解得r=5。 图3.3-6

（2）若O在两条平行线的内侧（含线上），AB=6，CD=46，

则由OM+ON=3，得r2?24?r2?9?3，无解。综上可得，圆的半径为5。

47

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设圆O1与圆O2半径分别为R,r(R?r)，它们可能有哪几种位置关系？

图

3.3-8

图

3.3-7

观察图3.3-7，两圆的圆心距为O1O2，不难发现：当O1O2?R?r时，两圆相内切，如图

（1）；当O1O2?R?r时，两圆相外切，如图（2）；当O1O2?R?r时，两圆相内含，如图（3）；当R?r?OO；当O1O2?R?r时，两圆相外切，如图（5）. 12?R?r时，两圆相交，如图（4）

例3设圆O1与圆O2的半径分别为3和2，O1O2?4，A,B为两圆的交点，试求两圆的公共弦AB的长度。(www.61k.com]

AB的中点， 解:连AB交O1O2于C，则OO12?AB，且C为

设AC?

x，则O1C?O2C?

O1O2??4，

解得x?。 。 故弦AB

的长为2x?

练习1 1.如图3.3-9，⊙O的半径为17cm，弦AB=30cm，AB所对的劣弧和优弧的中点分别为D、C，求弦AC和BD的长。

图3.3-9

2.已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB//CD，AB=8cm,CD=6cm, ⊙O的半径等于5cm，

48

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求梯形ABCD的面积。（www.61k.com］

3.如图3.3-10，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE?1cm,EB?5cm,?DEB?60o,求CD长。

3．3．2 点的轨迹

在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的。例如，把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于r；同时，到定点的距离等于r的所有点都在这个圆上。这个圆就叫做到定点的距离等于定长r的点的轨迹。

我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；

（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上。

下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹。

从上面对圆的讨论，可以得出：

（1） 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆。

我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上。所以有下面的轨迹：

（2） 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线。

由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：

（3） 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。

例3⊙O过两个已知点A、B，圆心O的轨迹是什么？画出它的图形。

分析：如图3.3-11，如果以点O为圆心的圆经过点A、B，

那么OA=OB；

反过来，如果一个点O到A、B两点距离相等，即OA=OB，

那么以O为圆心，OA为半径的圆一定经过A、B两点。

这就是说，过A、B点的圆的圆心的轨迹，就是到A、B两点距离相

图3.3-11 等的点的轨迹，即和线段AB两个端点距离相等的点的轨迹。

答：经过A、B两点的圆的圆心O的轨迹是线段AB的垂直平分线。

练习2

1.画图说明满足下列条件的点的轨迹：

①到定点A的距离等于3cm的点的轨迹； ②到直线l的距离等于2cm的点的轨迹；

49 图

3.3-10 4．若两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，试求两圆的公切线的长度。

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③已知直线AB//CD，到AB、CD的距离相等的点的轨迹。［www.61k.com]

2.画图说明，到直线l的距离等于定长d的点的轨迹。

习题3.3

A组1.已知弓形弦长为4，弓形高为1，则弓形所在圆的半径为（ ）

5A

． C．3 D．4 2

2.在半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）

A

．

．

．

3.AB为⊙O的直径，弦CD?AB，E为垂足，若BE=6，AE=4，则CD等于（ ）

A

．

． C

．

．4.如图3.3-12，在⊙O中，E是弦AB延长线上的一点，已知OB=10cm,OE=12cm，?OEB?30o,求AB。

图3.3-12

B组1.如图3.3-13，已知在Rt?ABC中，?C?90o,AC?5cm,BC?12cm,以C为圆心，CA为半径的圆交斜边于D，求AD。

2.如图3.3-14，在直径为100mm的半圆铁片上切去

一块高为20mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长。

3.如图3.3-15，?ABC内接于⊙O，D为弧BC的中

点，AE?BC于E。求证：AD平分?OAE。

50 图3.3-13 图3.3-14

图

3.3-15

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4.如图3.3-16，?AOB?90o，图3.3-16 C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE = BF =CD。（www.61k.com]

5.已知线段AB=4cm。画出到点A的距离等于3cm的点的轨迹，再画出到点B的距离等于2cm的点的轨迹，指出到点A的距离等于3cm，且到点B的距离等于2cm的点，这样的点有几个？

3.3圆

练习1

M?ABDM,1.取AB中点M，连CM，MD，则CAB?，且C，O，M，D共线，OM?2?152?8,

CM?25,DM

?9,AC?,BD?。

2．O到AB，CD的距离分别为3cm,4cm，梯形的高为1cm或7cm，梯形的面积为7或49cm2。

3. 半径为3cm，OE=2cm。,OF

CD?。

4.外公切线长为12

，内公切线长为

练习2

1.(1)以A为圆心，3cm为半径的圆；（2）与l平行，且与l距离为2cm的两条平行线；（3）与AB平行，且与AB,CD距离相等的一条直线。

2.两条平行直线，图略。

习题3.3 A组 1．B 2.A 3.B 4.AB=16cm。

B组

6050cm。 1.作CM?AD于M，AB=13cm,CM?,AD?1313

2.AB=80cm。

3.先证?BAO??EAC，再证?OAD??DAE。

4．先证明?AEC??ACE?75o,再证AE=BF=AC=CD。

5．有2个，图略。

51

三 : 精品：华中师大一附中校本教材《初高中衔接·数学、英语、物理、化学》

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武汉市教育科学“十一五”规划重点课题成果

华中师大一附中校本教材

《初高中衔接 · 数学、英语、物理、化学》

丛书主编：党宇飞、杨国红

出版：湖北教育出版社

数学主编：党宇飞（华中师大一附中数学特级教师、湖北省首批优秀数学教师）

殷希群（华中师大一附中数学特级教师、武汉市名师）

英语主编：龚源来（华中师大一附中英语教研组长、高级教师、省优秀英语教师）

物理主编：柳超美（华中师大一附中物理教研组长、高级教师、省优秀物理教师）

蒋大桥（华中师大（www.61k.com)一附中物理特级教师、武汉市名师）

化学主编：熊定湖（华中师大一附中化学教研组长、高级教师、省优秀化学教师）

由于高一门槛高等多方面原因，在高一教与学中，普遍存在“老师教的费劲，学生学的吃力”的现象，学生在适应高中学习的知识、方法、能力、心理等诸多方面显得准备不足，压力很大。初高中衔接学习是十分重要的。

本丛书是党宇飞老师负责的武汉市教育科学“十一五”规划重点课题“初高中教学衔接研究”的主要研究成果之一（本课题于2011年8月结题，2011年12月评为武汉市教育科学“十一五”规划优秀成果二等奖），旨在为初高中数学、英语、物理、化学衔接学习提供一个优良范本。

《初高中衔接 ·数学》，第二版，2013年5月下旬出版，定价28元。

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附数学介绍：全书分为四个部分：学习方法篇；知识与能力提升篇（本书主体，有16节）；数学思想方法篇（2节）；高一新生入学测试数学试题3套（华师一附中、武汉中学）。最后为全书的参考答案。

本文标题：初高中数学衔接教材-初高中数学衔接教材经典84
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