一 : 求下列函数的值域(1)y=√(-x^2-6x-5)(2)y=(2?

值域

求下列的值域
(1)y=√(-x^2-6x-5)
(2)y=(2x-5)/(x-3)(5/2≤x≤7/2,且x≠3)

---

1)

-x^2-6x-5>=0;

x^2 + 6x + 5<=0;

-5<=x<=-1;

-x^2-6x-5 = -(x^2+6x) -5

=-(x+3)^2 +9 -5

=-(x+3)^2+ 4

值域:[0,2];

2)

y=(2x-5)/(x-3)

=2 + 1/(x-3);

5/2≤x≤7/2,且x≠3;

5/2<=x<3;

-1/2<=x-3<0;

-2>=1/(x-3);

y = 2+ 1/(x-3)<=0;

3

0

1/(x-3)>=2,

y = 2+1/(x-3)>=4;

值域 y<=0, y>=4。

二 : 函数y=2^4x-x^2的值域是?忘记怎么求了，麻烦讲解下，谢谢

函数y=2^4x-x^2的值域是?忘记怎么求了，麻烦讲解下，谢谢

---

函数y=2^4x-x^2的值域是?

是y=2^(4x-x^2)吗？！

y=2^(4x-x^2)的定义域为x∈R

令f(x)=4x-x^2=-x^2+4x=-(x^2-4x+4)+4=-(x-2)^2+4

则，对于x∈R，f(x)∈(-∞,4]

所以，y=2^[f(x)]

而，y=2^[f(x)]在R上是单调增函数

所以，y∈(0,2^4]=(0,16]

三 : y=x+1/x(对勾函数）的值域如何来求？

y=x+1/x(对勾函数）的值域如何来求？

---

y=x+1/x(对勾函数）的值域如何来求？

解：x＞0时

x×（1/x）=1=定值

y=x+1/x≥2

x＜0时

-x＞0 -1/x＞0

-y=-x-1/x≥2

y≤-2

∴y≤-2 or y≥2

四 : 高中数学函数值域的12种求法

高中数学函数值域的12种求法

2015-02-02高考志愿专家升学网

一.观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。［www.61k.com)

例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x) 的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，

故3+√(2-3x)≥3。

∴函数的值域为{y∣y≥3｝.

点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)

二.反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函数的值域为{y∣y<-1或y>1｝)

三.配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]

∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})

四.判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

解：将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)

当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2

当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2

点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

练习：求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域为y≤-8或y>0)。

五.最值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。

当x=-1时，z=-5;当x=3/2时，z=15/4。

∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4｝。

点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 ()

A.(-∞，+∞)B.[-7，+∞]C.[0，+∞)D.[-5，+∞)

(答案：D)。

六.图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。

点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

解：原函数化为

-2x+1(x≤1)

y=3(-1<x≤2)

2x-1(x>2)

它的图象如图所示。

显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，+∞]。

点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象

求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。

七.单调法

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例1求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。

点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= -√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

解：设f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x

在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为{y|y≤4/3｝。

点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

练习：求函数y=3+√4-x的值域。(答案：{y|y≥3｝)

八.换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。

点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

解：设t=√2x+1 (t≥0),则

x=1/2(t2-1)。

于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.

所以，原函数的值域为{y|y≥-7/2｝。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习：求函数y=√x-1 –x的值域。(答案：{y|y≤-3/4｝

九.构造法

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22

作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位

正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,

KC=√(x+2)2+1 。

由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共

线时取等号。

∴原函数的值域为{y|y≥5｝。

点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。(答案：{y|y≥5√2｝)

十.比例法

对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。

点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。

解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)

∴x=3+4k,y=1+3k,

∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

当k=-3/5时，x=3/5,y=-4/5时，zmin=1。

函数的值域为{z|z≥1｝.

点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。

练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。(答案：{f(x,y)|f(x,y)≥1｝)

十一.利用多项式的除法

例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。

点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。

解：y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。

∵1/(x+1)≠0，故y≠3。

∴函数y的值域为y≠3的一切实数。

点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。

练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案：y≠2)

十二.不等式法

例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。

解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],

由对数函数的定义知x/(1-x)>0

1-x≠0

解得：0<x<1

∴函数的值域(0，1)。

点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。

以下供练习选用：求下列函数的值域

1.Y=√(15-4x)+2x-5;({y|y≤3｝)

2.Y=2x/(2x-1)。(y>1或y<0)

注意变量哦

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五 : 函数值域求法十五种

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

基本知识

1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2.函数值域常见的求解思路：

⑴ 划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。

⑵ 反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。

⑶ 可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。

特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。

⑷ 可以用函数的单调性求值域。

⑸ 其他。

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域

例1. 求函数　　的值域。

解：∵　　∴

显然函数的值域是：

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例2. 求函数　　的值域。

解：将函数配方得：

∵

由二次函数的性质可知：当x=1时，　　，当x=-1时，

故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

例3. 求函数　　的值域。

解：两边平方整理得：　　（1）

∵　　∴

解得：

但此时的函数的定义域由　　，得

由　　，仅保证关于x的方程：　　在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由　　求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为　　。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵　　∴

∴　　代入方程（1）

解得：　　即当　　时，

原函数的值域为：

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例4. 求函数　　值域。

解：由原函数式可得：

则其反函数为：　　，其定义域为：

故所求函数的值域为：

5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例5. 求函数　　的值域。

解：由原函数式可得：　　，可化为：

　　即

∵　　∴

即　　解得：

故函数的值域为

6. 函数单调性法

例6. 求函数　　的值域。

解：令　　则　　在[2，10]上都是增函数

所以　　在[2，10]上是增函数

当x=2时，

当x=10时，

故所求函数的值域为：

例7. 求函数　　的值域。

解：原函数可化为：

令　　，显然　　在　　上为无上界的增函数

所以　　，　　在　　上也为无上界的增函数

所以当x=1时，　　有最小值　　，原函数有最大值

显然y>0，故原函数的值域为

7. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作

例8. 求函数　　的值域。

解：因

即

故可令

∴　　

∵

∴

∴

故所求函数的值域为

例9. 求函数　　的值域。

解：原函数可变形为：

可令　　，则有

∴

当　　时，

当　　时，

而此时　　有意义。

故所求函数的值域为

例10. 求函数　　，　　的值域。

解：　　

令　　，则　　

由　　且

可得：

∴当　　时，　　，当　　时，

故所求函数的值域为　　。

例11. 求函数　　的值域。

解：由　　，可得

故可令



∵　　∴

当　　时，

当　　时，

故所求函数的值域为：

8. 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址 www.61k.com手机版地址 wap.yaoxuexi.cn]

例12. 求函数　　的值域。



解：原函数可化简得：y=|x-2|+|x+8|

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B(-8)间的距离之和。

由上图可知，当点P在线段AB上时，y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10

故所求函数的值域为：

例13. 求函数　　的值域。

解：原函数可变形为：



上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，　　，

故所求函数的值域为



例14. 求函数　　的值域。

解：将函数变形为：

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。

即：y=|AP|-|BP|

由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P'，则构成△ABP'，根据三角形两边之差小于第三边，有

即：

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有

综上所述，可知函数的值域为：



注：由例13，14可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。

如：例13的A，B两点坐标分别为：（3，2），(-2,-1)，在x轴的同侧；例14的A，B两点坐标分别为（3，2），(2,-1)，在x轴的同侧。

9. 不等式法

利用基本不等式　　，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例15. 求函数　　的值域。

解：原函数变形为：



当且仅当tanx=cotx

即当　　　　时，等号成立

故原函数的值域为：

例16. 求函数y=2sinxsin2x的值域。

解：y=4sinxsinxcosx



当且仅当　　，即当　　时，等号成立。

由　　可得：

故原函数的值域为：

10. 映射法

原理：因为　　在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

例17. 求函数　　的值域。

解：∵定义域为

由　　得

故　　或

解得

故函数的值域为

11．最值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址 www.61k.com手机版地址 wap.yaoxuexi.cn]

例18.已知　　,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

解：∵　　，上述分式不等式与不等式　　同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得　　(-1≤x≤3/2),

∴　　且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。

当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。

∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。

点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

12.构造法

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例19.求函数　　的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

解：原函数变形为

作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则EK=2-x,KF=2+x,　　,。

由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。

∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。

点评：对于形如函数　　(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

13．比例法

对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

例20.已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数　　的值域。

点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。

解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)

∴x=3+4k,y=1+3k,

∴　　。

当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，　　。

函数的值域为｛z|z≥1｝.

点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。

14．利用多项式的除法

例21.求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。

点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。

解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。

∵1/(x+1)≠0，故y≠3。

∴函数y的值域为y≠3的一切实数。

点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。

15. 多种方法综合运用

例22. 求函数　　的值域。

解：令　　，则

（1）当t>0时，　　，当且仅当t=1，即x=-1时取等号，所以

（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：

注：先换元，后用不等式法

例23. 求函数　　的值域。

解：　　

令　　，则



∴　　

∴当　　时，

当　　时，

此时　　都存在，故函数的值域为

注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用　　的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 本文标题：函数值域的求法-求下列函数的值域(1)y=√(-x^2-6x-5)(2)y=(2?
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