棱台体积公式-正棱台的体积公式证明V=1/3[S上+S下+√（S上+S下）]h

发布时间：2018-05-10 所属栏目：棱台体积公式

一 : 正棱台的体积公式证明V=1/3[S上+S下+√（S上+S下）]h

正棱台的体积公式证明

V=1/3[S上+S下+√（S上+S下）]h求详细证明过程

这个证明在立几课本中可以找到。我只是抄书，请您自己画图。

设台体（棱台或圆台）的上、下底面的面积分别是S上、S下，高是h.截得台体时去掉的锥体是高是x,去掉的锥体和原来的锥体的体积分别是V',V",这时

V'=S上*x/3,V"=S下*（x+h)/3,

∴台体体积V=V"-V'=1/3*[S下*h+(S下-S上）x].①

∵台体的上、下底面相似，

∴S上/S下=x^2/(h+x)^2,

(√S上)/(√S下）=x/(h+x),

x=(h√S上）/[√S下-√S上],

代入①得

V=1/3*{S下*h+(S下-S上）*（h√S上）/[√S下-√S上]}

=h/3*{S下+[√S下+√S上]*√S上}

=1/3*[S上+S下+√（S上*S下）]h.

二 : 棱台体积公式推导

棱台体积公式推导

棱台体积公式推导的参考答案

棱台体积公式推导

用平行棱台底面的平面截棱锥截去一个小棱锥得一个棱台,

且棱台的高h=棱锥的高H-截去的小棱锥的高h1.

设棱台的下底面积,亦棱锥的底面积为s,棱台的上底面积,亦小棱锥的底面积为s1,

由棱锥截面定理有

s1/s=[h1/(h+h1)]^2

得h1/(h+h1)=√s1/√s

h1=h*√s1/(√s-√s1)

棱台的体积=棱锥的体积-截去的小棱锥的体积

=(1/3)*s*H-(1/3)*s1*h1

=1/3[s*(h-h1)-s1*h1]

=1/3[s*h+(s-s1)*h1]

=1/3{s*h+(s-s1)*[h*√s1/(√s-√s1)]}

=(h/3){s+(s-s1)*√s1/(√s-√s1)}

=(h/3){s+(√s+√s1)*√s1}

=(h/3)(s+√s*√s1+s1).

三 : 正棱台的体积公式证明V=1/3[S上+S下+√（S上+S下）]h