数轴上点a对应的数为a-定义D（a，b）=表示数轴上a，b两数对应点间的距离．①分别

发布时间：2017-09-13 所属栏目：数轴三要素

一 : 定义D（a，b）=表示数轴上a，b两数对应点间的距离．①分别

定义D（a，b）=

表示数轴上a，b两数对应点间的距离．
①分别求D（0，﹣3），D的值；
②若D（1，x）=2，求x的值；
③若数轴上不同的三点所表示的数m，n，z满足D（m，n）=D（m，z）+D（z，n），试说明m，n，z的大小关系．

题型：解答题难度：中档来源：北京月考题

解：①D（0，﹣3）=

=3；D

=3；
②D（1，x）=

，由已知

=2，得x=﹣1或3；
③m<z<n或n<z<m．

考点：

考点名称：代数式的求值 代数式的值：
用数值代替代数式的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果才，叫做代数式的值。 代数式求值的步骤：
（1）代入；
（2）计算。
常用的代入方法有直接代入法与整体代入法。
注：代数式的值的取值条件：
（1）不能使代数式失去意义；
（2）不能使所表示的实际问题失去意义。求代数式的值的方法：
①给出代数式中所有字母的值，该类题一般是先化简代数式，再代入字母的值，然后计算。
②给出代数式中所含几个字母之间的关系，不直接给出字母的值，该类题一般是把所要求的代数式通过恒等变形，转化成为用已知关系表示的形式。
③在给定条件中，字母之间的关系不明显，字母的值隐含在题设条件中，该类题应先由题设条件求出字母的值，再求代数式的值。考点名称：数轴数轴定义：
规定了唯一的原点，正方向和单位长度的一条直线叫做数轴。
数轴具有三要素：
原点、正方向和单位长度，三者缺一不可。
数轴是直线，可以向两方无限延伸，因此所有的有理数都可用数轴上的点来表示。用数轴上的点表示有理数：
每一个有理数都可用数轴上的点来表示，表示正数的点在数轴原点的右边，表示负数的点在数轴原点的左边，原点表示数0。
1.数轴上的点表示的数不一定都是有理数，还可能是无理数，但有理数都可用数轴上的点来表示。
2.表示正数的点都在原点右边，表示负数的点都在原点左边。
3.数轴上的点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，可借助数轴比较有理数的大小。
数轴的画法：
1.画一条直线（一般画成水平的直线）；
2.在直线上根据需要选取一点为原点（在原点下面标上“0”）；
3.确定正方向（一般规定向右为正，并用箭头表示出来）；
4.选取适当的长度为单位长度，
从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，…；
从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…。

数轴的应用范畴:
符号相反的两个数互为相反数，零的相反数是零。（如2的相反—2）
在数轴上离开原点的距离就叫做这个数的绝对值。一个正数的绝对值是它本身，一个负数的相反数是它的正数，0的绝对值是0。

考点名称：绝对值绝对值定义：
在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
绝对值用“||”来表示。
在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值，叫做a-b的绝对值，记作|a-b|。绝对值的意义：
1、几何的意义：
在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：5指在数轴上表示数5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5。

2、代数的意义：
非负数（正数和0,）
非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。
互为相反数的两个数的绝对值相等。
a的绝对值用“|a |”表示．读作“a的绝对值”。
实数a的绝对值永远是非负数，即|a |≥0。
互为相反数的两个数的绝对值相等，即|-a|=|a|。
若a为正数，则满足|x|=a的x有两个值±a，如|x|=3，,则x=±3.

绝对值的有关性质：
①任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性；
②绝对值等于0的数只有一个，就是0；
③绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；
④互为相反数的两个数的绝对值相等。

绝对值的化简：
绝对值意思是值一定为正值，按照“符号相同为正，符号相异为负”的原则来去绝对值符号。
①绝对值符号里面为负，在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值，也就是当：
│a│=a (a为正值，即a≥0 时）；│a│=-a （a为负值，即a≤0 时）
②整数就找到这两个数的相同因数；
③小数就把这两个数同时扩大相同倍数成为整数,一般都是扩大10、100倍；
④分数的话就相除，得数是分数就是分子：分母，要是得数是整数，就这个数比1。

二 : 论数与数轴上点的对应关系

摘要：数，表示事物的量的基本数学概念，是数学讨论的基本元素。而轴（形数）是规定了原点、方向、长度单位的直线（点的集合）。两者有机结合，形成一种数学思想――数形结合思想。化数为形，化形为数，给抽象的概念予以直观的表述，可使复杂问题简单化、抽象问题具体化。

关键词：数；数轴；对应关系
中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）12-0231-02
现实的中等职业学校，学生一般基础较差。本人通过多年的中职数学教学，深知学生在数学课程中经常用到的“实数与数轴上的点一一对应”这一普遍而常用的结论，在不等式解集的表示，集合的有关运算中时常出现错误。下面谈一谈“实数与数轴”的内在联系。
一、自然数
1.（基数理论）两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特（www.61k.com）征，这一特征叫做基数。这样，所有单元素集｛x｝，｛y｝，｛a｝，｛b｝等具有同一基数，记作1。类似，凡能与两个手指头建立一一对应的集合，如｛x.Y｝，｛a，b｝它们的基数相同，记作2，等等，即基数是指集合中元素的“个数”。
2.（序数理论）在自然数集N中有：（1）N中存在元素“1”，它不是N中任何一个元素的后继数.（2）N中每一个元素有且只有一个后继数。由此可知N中的元素可按1，2，3，4…这样的顺序排列。
在集合中，空集不含任何元素，只能用“0”来描述空集中所含元素的多少。因此，无论从自然数的序数功能方面把0作为自然数，还是在自然数的运算功能（见后自然数性质3）中把0作为自然数，都有理由说得过去，正因为如此，我国中小学教材将0化归为自然数系列。自然数的基本性质有：（1）有最小元素0，没有最大元素但是有顺序。（2）无限集。（3）具有离散性（对任意两个相连自然数之间不存在第三个自然数。（4）对加法，乘法运算都是封闭的，即集合｛0，1，2，3，4，5，…，n，…｝中的任何两个自然数都可以进行加法和乘法运算，而运算结果仍然是自然数。数轴是人为规定的，满足有：（1）原点。（2）长度单位。（3）正方向的几何图形（点的集合）。从原点（记为0）出发朝正方向（右）的直线上取适当的长度作为单位长度，比如可以取1cm作为单位长度，这样距起点零一个长度单位的点就对应数1，距零两个长度单位的点就对应数2，依次类推。这样每个自然数（又称正整数）就在数轴上与相应的点形成数对点的一一对应，这些点称为自然数点，基于自然数的离散性，使得点与点之间没有相连，是孤立的，自然数与轴上点就结合在一起。
二、整数
生活中有很多具有相反意义的现象，比如增加和减少、前进和后退等。既然有相反意义的现象，那么记录这两者的数字符号也应有区别。于是引入了负数概念，负数是人们记录具有相反意义现象的不同数字符号，由于每一个正数（自然数）都有它相对的一个负数，它们对称的分布在轴原点的两边，这样的一对数互称为相反数（若a=-b则a是b的相反数）。我们把与自然数相对的原点左边的这类数称为负整数。正整数、零与负整数构成了整数系（Z）。整数系是自然数系的扩展，自然数的一切性质整数都具有，但同时也有自然数不具备的性质（后有说明）。整数系虽是无限集合，但它并不是密密麻麻地分布在整个图上，而是间隔分布。
事情并没有结束，上述的整数点与整数点之间仍有间隙，那么这之间的点又如何解读呢？这就使人们又联想到在整数点与点之间一定还有另外的（点）数存在。我们知道，自然数系是一个离散的、而不是稠密的数系，作为量的表征，它只能限于去表示一个单位量的整数倍，而无法表示它的部分。同时，作为运算的手段，在自然数系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它们的逆运算。因此把自然数系扩大到整数系后，加法，减法，乘法总可以施行。但除法又不能自由施行，即两个数的商不一定是整数。如求解方程mx=n（m≠0），如果m，n是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，解决这一问题的有效方法就是把整数系再扩大。事实上人类可知的量，除了能表示个体的量（整数）之外。另一类是可无限细分的量（如长度，面积）。对于能无限细分的量，用一个可相比的数来表示。
三、有理数
有理数就是可以用比来表示的数，常用（m∈Z。n∈N*）形式表示，故又称作分数。这类数有如下性质：（1）加法，减法，乘法，除法（除数不为零）运算总可实施，即运算的结果总是有理数（有理数的封闭性）。（2）任意两个有理数都可以比较大小（顺序性）。（3）有理数集具有稠密性。即对任意两个有理数a 和b，总有一个有理数c满足a四、无理数
远在两千多年前的古希腊，有一个专门研究数学的团体。他们画了一个边长为1的正方形，根据勾股定理来求其对角线长度，但这对角线的长度不知道用一个怎样的数来表示，但这个数又肯定是存在的，最后认定这是一个从未见过的新数。受这个数的启示，后来又陆续发现了很多都与上述对角线长度数具有一样共性的数，人们把这些数取名为无理数。诸如开方开不尽的数，，等。大多数三角函数值（如sin50°），对数函数值，计算中产生的数（ π，e）以及构造出来的无理数（0.1010010001…）等。因此，无理数集也是无限集，既没有最大的元素，也没有最小的元素。这样的一些数，在数轴上同样能够找到这样的点与之对应。
有理数和无理数统称为实数。实数具有下列性质：（1）在实数集中，加法，减法。乘法。除法（除数不为零）运算总可以实施。（2）任意两个实数都可以比较大小。（3）实数集具有稠密性，对任意两个实数α<β存在一个实数γ，使得α<γ<β。（4）实数集具有连续性。
综上所述，数轴上的点除了有理点之外，都是无理点，且每个有理数和无理数在数轴上都能找到对应的点。所有的实数布满了整个数轴。正是实数集具有连续的特性，使得实数点布满了整个数轴。实数与数轴上的点一一对应，直线可以看作是实数的几何表示。讨论实数的性质就可在直线上进行，这就为后来的实数理论的应用提供了理论基础。试想，如学生掌握了这些知识，势必对数轴的应用能得心应手，起到事半功倍的作用。

三 : 与数轴上的点一一对应的数是（）．

与数轴上的点一一对应的数是（）．

题型：填空题难度：偏易来源：期中题

实数．

考点：

考点名称：数轴数轴定义：
规定了唯一的原点，正方向和单位长度的一条直线叫做数轴。
数轴具有三要素：
原点、正方向和单位长度，三者缺一不可。
数轴是直线，可以向两方无限延伸，因此所有的有理数都可用数轴上的点来表示。用数轴上的点表示有理数：
每一个有理数都可用数轴上的点来表示，表示正数的点在数轴原点的右边，表示负数的点在数轴原点的左边，原点表示数0。
1.数轴上的点表示的数不一定都是有理数，还可能是无理数，但有理数都可用数轴上的点来表示。
2.表示正数的点都在原点右边，表示负数的点都在原点左边。
3.数轴上的点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，可借助数轴比较有理数的大小。
数轴的画法：
1.画一条直线（一般画成水平的直线）；
2.在直线上根据需要选取一点为原点（在原点下面标上“0”）；
3.确定正方向（一般规定向右为正，并用箭头表示出来）；
4.选取适当的长度为单位长度，
从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，…；
从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…。

考点名称：实数的定义实数定义：
实数由有理数和无理数组成，其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。
数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。
本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。实数的定义分析：
1.实数可以分为有理数（如31、

）和无理数（如π、

）两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。
2.实数集合通常用字母“R”表示。实数可以用来测量连续的量。
3.理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。
在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n位，n为正整数）。
4.通常把正实数和零合称为分负数，把负实数和零合称为非正数。
5.任何两个实数之间都有无数个有理数和无理数。

实数的性质：
1.基本运算：
实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等，对非负数还可以进行开方运算。
实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。
任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。
有理数范围内的运算律、运算法则在实数范围内仍适用：
交换律：a+b=b+a , ab=ba
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
分配律：a(b+c)=ab+ac

2.实数的相反数：
实数的相反数的意义和有理数的相反数的意义相同。
实数只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数。
实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。

3.实数的绝对值：
实数的绝对值的意义和有理数的绝对值的意义相同。一个正实数的绝对值等于它本身；
一个负实数的绝对值等于它的相反数,0的绝对值是0,实数a的绝对值是：|a|
①a为正数时，|a|=a（不变）
②a为0时， |a|=0
③a为负数时，|a|= a（为a的相反数）
(任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。)

4实数的倒数：
实数的倒数与有理数的倒数一样，如果a表示一个非零的实数，那么实数a的倒数是：1/a （a≠0）