一 : 为了奖励兴趣小组的同学，张老师花92元钱购买了《智力大挑

为了奖励兴趣小组的同学，张老师花92元钱购买了《智力大挑战》和《数学趣题》两种书．已知《智力大挑战》每本18元，《数学趣题》每本8元，则《数学趣题》买了______本．

题型：填空题难度：中档来源：温州

设购买了《智力大挑战》x本，购买了《数学趣题》y本， 由题意可得：18x+8y=92（1≤x≤5） 当x=1时，解得y= 37 4 ； 当x=2时，解得y=7； 当x=3时，解得y= 14 3 ； 当x=4时，解得y= 5 2 ； 当x=5时，解得y= 1 4 ； 所以，只有x=2时符合题意． 答：《数学趣题》买了7本．

考点：

考点名称：二元一次方程的应用定义的应用，判定一个方程是否是二元一次方程；求方程的未知系数及解应用题。

列二元一次方程组解应用题的一般步骤:
可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：
（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；
（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；
（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；
（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；
（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.

常见问题及解决:
一、数字问题:
例:一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．
分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系表示为:
因此，所求的两位数是14．
点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x的方程．一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之．

二、利润问题：
商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价．
利润的计算一般有两种方法：
①利润=卖出价-进价；
②利润=进价×利润率（盈利百分数）。
特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念。

三、配套问题：
产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：
①“二合一”问题：如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，
那么甲产品数的ｂ倍等于乙产品数的ａ倍，即：；
②“三合一”问题：如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，
那么各种产品数应满足的相等关系式是： 。

四、行程问题：
“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：
“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；
“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离。

五、货运问题：
由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度．化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等。

六、工程问题：
工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即
“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式：
“工作时间=工作量÷工作效率，
工作效率=工作量÷工作时间”。
其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量。

二 : 乙二酸俗名草酸，某化学学习小组的同学欲探究测定草酸晶体（H2

乙二酸俗名草酸，某化学学习小组的同学欲探究测定草酸晶体（H2C2O4?xH2O）中x值．通过查阅资料该小组同学通过网络查询得，草酸易溶于水，水溶液可以用酸性KMnO4溶液进行滴定： 2MnO4-+5H2C2O4+6H+=2Mn2++10CO2↑+8H2O 该组同学设计了滴定的方法测定x值． ①称取1.260g纯草酸晶体，将其酸制成100.00mL水溶液为待测液． ②取25.00mL待测液放入锥形瓶中，再加入适量的稀H2SO4 ③用浓度为0.1000mol/L的KMnO4标准溶液进行滴定，达到终点时消耗10.00mL； 请回答： （1）滴定时，将KMnO4标准液装在右图中的______（填“甲”或“乙”）滴定管中． （2）本实验滴定达到终点的标志是______． （3）通过上述数据，计算出x=______． 讨论：①若滴定终点时俯视滴定管刻度，则由此测得的x值会______（填“偏大”、“偏小”或“不变”，下同）． ②若滴定时所用的KMnO4溶液因久置而导致浓度变小，则由此测得的x值会______．

题型：问答题难度：中档来源：不详

（1）因为KMnO4具有强氧化性，会腐蚀橡胶管，故应用酸式滴定管盛装，故答案为：甲； （2）可利用KMnO4溶液自身的颜色作为指示剂判断滴定终点时，再滴加KMnO4溶液时，溶液将由无色变为紫色， 故答案为：当滴入最后一滴KMnO4溶液时，溶液由无色变为紫色，且半分钟内不褪色，即达滴定终点； （3）由题给化学方程式及数据可知，1.260g纯草酸晶体中含H2C2O4的物质的量为：0.100 0 mol/L×10.00 mL×10-3 L/mL×52×100 mL25 mL=0.0100 mol， 则1.260 g H2C2O4?xH2O中含H2O的物质的量为1.260 g-0.010 0 mol×90 g/mol18 g/mol=0.020 0 mol，则x=2． 若滴定终点时俯视滴定管读数，则所得消耗酸性KMnO4溶液的体积偏小，由此所得n（H2C2O4）偏小，则n（H2O）偏大，x偏大； 同理，若KMnO4溶液变质，则消耗其体积偏大，所得x值偏小， 故答案为：2；偏大；偏小．

考点：

考点名称：酸碱中和滴定

酸碱中和滴定：

用已知物质的量浓度的酸(或碱)来测 定未知物质的量浓度的碱(或酸)的方法叫做酸碱中和滴定。
(1)原理：对于一元酸和一元碱发生的中和反应，C酸V酸＝C碱V碱或：C未知V未知＝C标准V标准，

(2)仪器：a.酸式滴定管 b.碱式滴定管c.铁架台d.滴定管夹e.锥形瓶 f.烧杯g.胶头滴管等
(3)装置图：

(4)操作步骤：
洗涤、检漏、水洗、润洗、装液、去泡、调液面记录、放待测液、加指示剂、滴定、记录、
计算、误差分析
(5)数据处理依据：
c(NaOH)=c(HCl)V(HCl)/V(NaOH)
(6)误差分析：
①仪器润洗不当：
a.盛标准液的滴定管用蒸馏水洗后未用标准液润洗；
b.盛待测液滴定(移液)管用蒸馏水洗后未用待测液润洗；
c.锥形瓶用蒸馏水洗后再用待测液润洗；
②读数方法有误：
a.滴定前仰视，滴定后俯视；
b.滴定前俯视，滴定后仰视；
c.天平或量筒的使用读数方法错误；
③操作出现问题：
a.盛标准液的滴定管漏液；
b.盛待测液的滴定管滴前尖嘴部分有气泡,终了无气泡
(或前无后有)；
c.振荡锥形瓶时，不小心有待测液溅出；
d.滴定过程中，将标准液滴到锥形瓶外；

中和滴定中的误差分析:

中和滴定是一个要求较高的定量实验，每一个不当的或错误的操作都会引起误差。
对于一元酸与一元碱，由可知，是准 确量取的体积，是标准溶液的浓度，它们均为定值，所以的大小取决于的大小，大则大，小则小。
以标准酸溶液滴定末知浓度的碱溶液(酚酞作指示剂)为例，常见的不正确操作对实验结果的影响见下表：

中和滴定应注意的问题:

1．中和滴定中指示剂的使用与选择
(1)用量不能太多，常用2～3滴，冈指示剂本身也是有机弱酸或有机弱碱，若用量太多，会使中和滴定中需要的酸或碱的量增多或减少。
(2)指示剂的选择：中和滴定时一般选用的指示剂有酚酞和甲基橙。石蕊试液由于颜色变化不明显，不易辨别，在滴定过程中不宜使用。
(3)酸、碱恰好完全反应时，终点溶液的pH应在指示剂的变色范围内，如强酸溶液滴定弱碱溶液应选用甲基橙作指示剂；强碱溶液滴定弱酸溶液应选用酚酞作指示剂。
(4)指示剂的变色：最好由浅到深，这样对比明显。如用强碱滴定强酸用酚酞作指示剂较好，当酚酞从无色变为粉红色(或浅红色)且半分钟内不褪色时即达到滴定终点。
2．欲减小实验误差的三点做法
(1)半分钟：振荡，半分钟内颜色不褪去，即为滴定终点。
(2)l一2min：滴定停止后，必须等待l～2min，让附着在滴定管内壁的溶液流下后，再进行读数。
(3)重复：同一实验，要做两到三次，两次滴定所用标准溶液的体积的差值不能超过0．02mL，再取平均值。

三 : 某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的

某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为12米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角。（≈1.4，≈1.7）

（1）求出树高AB； （2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变。（用图（2）解答） ①求树与地面成45°角时的影长； ②求树的最大影长。

题型：操作题难度：中档来源：内蒙古自治区中考真题

解：（1） （米） 答：树高约7米。
（2）①如图，（米） （米） （米） 答：树与地面成45°角时影长约13米。 ②如图，当树与地面成60°角时影长最大（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为的相切时影长最大） （米） 答：树的最大影长约14米。

考点：

考点名称：解直角三角形概念：
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

解直角三角形的边角关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，
（1）三边之间的关系：（勾股定理）；
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
（3）边角之间的关系：。

解直角三角形的函数值:

锐角三角函数：
sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,cotA=b/a
（1）互余角的三角函数值之间的关系：
若∠ A+∠ B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA
（2）同角的三角函数值之间的关系：
①sin²A+cos²A=1
②tanA=sinA/cosA
③tanA=1/tanB
④a/sinA=b/sinB=c/sinC
（3）锐角三角函数随角度的变化规律：
锐角∠A的tan值和sin值随着角度的增大而增大，cos值随着角度的增大而减小。

解直角三角形的应用：
一般步骤是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画图，转化为直角三角形的问题）；
（2）根据题目的条件，适当选择锐角三角函数等去解三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）还原为实际问题的答案。

解直角三角形的函数值列举：
sin1=0.01745240643728351 sin2=0.03489949670250097 sin3=0.05233595624294383
sin4=0.0697564737441253 sin5=0.08715574274765816 sin6=0.10452846326765346
sin7=0.12186934340514747 sin8=0.13917310096006544 sin9=0.15643446504023087
sin10=0.17364817766693033 sin11=0.1908089953765448 sin12=0.20791169081775931
sin13=0.22495105434386497 sin14=0.24192189559966773 sin15=0.25881904510252074
sin16=0.27563735581699916 sin17=0.2923717047227367 sin18=0.3090169943749474
sin19=0.3255681544571567 sin20=0.3420201433256687 sin21=0.35836794954530027
sin22=0.374606593415912 sin23=0.3907311284892737 sin24=0.40673664307580015
sin25=0.42261826174069944 sin26=0.4383711467890774 sin27=0.45399049973954675
sin28=0.4694715627858908 sin29=0.48480962024633706 sin30=0.49999999999999994
sin31=0.5150380749100542 sin32=0.5299192642332049 sin33=0.544639035015027
sin34=0.5591929034707468 sin35=0.573576436351046 sin36=0.5877852522924731
sin37=0.6018150231520483 sin38=0.6156614753256583 sin39=0.6293203910498375
sin40=0.6427876096865392 sin41=0.6560590289905073 sin42=0.6691306063588582
sin43=0.6819983600624985 sin44=0.6946583704589972 sin45=0.7071067811865475
sin46=0.7193398003386511 sin47=0.7313537016191705 sin48=0.7431448254773941
sin49=0.7547095802227719 sin50=0.766044443118978 sin51=0.7771459614569708
sin52=0.7880107536067219 sin53=0.7986355100472928 sin54=0.8090169943749474
sin55=0.8191520442889918 sin56=0.8290375725550417 sin57=0.8386705679454239
sin58=0.848048096156426 sin59=0.8571673007021122 sin60=0.8660254037844386
sin61=0.8746197071393957 sin62=0.8829475928589269 sin63=0.8910065241883678
sin64=0.898794046299167 sin65=0.9063077870366499 sin66=0.9135454576426009
sin67=0.9205048534524404 sin68=0.9271838545667873 sin69=0.9335804264972017
sin70=0.9396926207859083 sin71=0.9455185755993167 sin72=0.9510565162951535
sin73=0.9563047559630354 sin74=0.9612616959383189 sin75=0.9659258262890683
sin76=0.9702957262759965 sin77=0.9743700647852352 sin78=0.9781476007338057
sin79=0.981627183447664 sin80=0.984807753012208 sin81=0.9876883405951378
sin82=0.9902680687415704 sin83=0.992546151641322 sin84=0.9945218953682733
sin85=0.9961946980917455 sin86=0.9975640502598242 sin87=0.9986295347545738
sin88=0.9993908270190958 sin89=0.9998476951563913
sin90=1

cos1=0.9998476951563913 cos2=0.9993908270190958 cos3=0.9986295347545738
cos4=0.9975640502598242 cos5=0.9961946980917455 cos6=0.9945218953682733
cos7=0.992546151641322 cos8=0.9902680687415704 cos9=0.9876883405951378
cos10=0.984807753012208 cos11=0.981627183447664 cos12=0.9781476007338057
cos13=0.9743700647852352 cos14=0.9702957262759965 cos15=0.9659258262890683
cos16=0.9612616959383189 cos17=0.9563047559630355 cos18=0.9510565162951535
cos19=0.9455185755993168 cos20=0.9396926207859084 cos21=0.9335804264972017
cos22=0.9271838545667874 cos23=0.9205048534524404 cos24=0.9135454576426009
cos25=0.9063077870366499 cos26=0.898794046299167 cos27=0.8910065241883679
cos28=0.882947592858927 cos29=0.8746197071393957 cos30=0.8660254037844387
cos31=0.8571673007021123 cos32=0.848048096156426 cos33=0.838670567945424
cos34=0.8290375725550417 cos35=0.8191520442889918 cos36=0.8090169943749474
cos37=0.7986355100472928 cos38=0.7880107536067219 cos39=0.7771459614569709
cos40=0.766044443118978 cos41=0.754709580222772 cos42=0.7431448254773942
cos43=0.7313537016191705 cos44=0.7193398003386512 cos45=0.7071067811865476
cos46=0.6946583704589974 cos47=0.6819983600624985 cos48=0.6691306063588582
cos49=0.6560590289905074 cos50=0.6427876096865394 cos51=0.6293203910498375
cos52=0.6156614753256583 cos53=0.6018150231520484 cos54=0.5877852522924731
cos55=0.5735764363510462 cos56=0.5591929034707468 cos57=0.5446390350150272
cos58=0.5299192642332049 cos59=0.5150380749100544 cos60=0.5000000000000001
cos61=0.4848096202463371 cos62=0.46947156278589086 cos63=0.4539904997395468
cos64=0.43837114678907746 cos65=0.42261826174069944 cos66=0.4067366430758004
cos67=0.3907311284892737 cos68=0.3746065934159122 cos69=0.35836794954530015
cos70=0.3420201433256688 cos71=0.32556815445715675 cos72=0.30901699437494745
cos73=0.29237170472273677 cos74=0.27563735581699916 cos75=0.25881904510252074
cos76=0.24192189559966767 cos77=0.22495105434386514 cos78=0.20791169081775923
cos79=0.19080899537654491 cos80=0.17364817766693041 cos81=0.15643446504023092
cos82=0.13917310096006546 cos83=0.12186934340514749 cos84=0.10452846326765346
cos85=0.08715574274765836 cos86=0.06975647374412523 cos87=0.052335956242943966
cos88=0.03489949670250108 cos89=0.0174524064372836
cos90=0

tan1=0.017455064928217585 tan2=0.03492076949174773 tan3=0.052407779283041196
tan4=0.06992681194351041 tan5=0.08748866352592401 tan6=0.10510423526567646
tan7=0.1227845609029046 tan8=0.14054083470239145 tan9=0.15838444032453627
tan10=0.17632698070846497 tan11=0.19438030913771848 tan12=0.2125565616700221
tan13=0.2308681911255631 tan14=0.24932800284318068 tan15=0.2679491924311227
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四 : 某历史兴趣小组同学在探究文景之治、贞观之治、开

本文标题：某化学兴趣小组的同学-为了奖励兴趣小组的同学，张老师花92元钱购买了《智力大挑
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