一 : 常见的导数公式是怎样的？

常见的导数公式是怎样的?

常见的导数公式是怎样的？的参考答案

.常用导数公式

1.y=c(c为常数) y'=0

2.y=x^n y'=nx^(n-1)

3.y=a^x y'=a^xlna

y=e^x y'=e^x

4.y=logax y'=logae/x

y=lnx y'=1/x

5.y=sinx y'=cosx

6.y=cosx y'=-sinx

7.y=tanx y'=1/cos^2x

8.y=cotx y'=-1/sin^2x

9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2

10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2

11.y=arctanx y'=1/1+x^2

12.y=arccotx y'=-1/1+x^2

在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量,而g'(x)中把x看作变量』

2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2

3.y=f(x)的反函数是x=g(y）,则有y'=1/x'

证：1.显而易见,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0.用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0.

2.这个的推导暂且不证,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况.在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明.

3.y=a^x,

⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)

⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x

如果直接令⊿x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β).

所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

显然,当⊿x→0时,β也是趋向于0的.而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna.

把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna.

可以知道,当a=e时有y=e^x y'=e^x.

4.y=logax

⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x

⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x

因为当⊿x→0时,⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞,所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有

lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x.

可以知道,当a=e时有y=lnx y'=1/x.

这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了.因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1).

5.y=sinx

⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)

⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)

所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)•lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx

6.类似地,可以导出y=cosx y'=-sinx.

7.y=tanx=sinx/cosx

y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

8.y=cotx=cosx/sinx

y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

9.y=arcsinx

x=siny

x'=cosy

y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

10.y=arccosx

x=cosy

x'=-siny

y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

11.y=arctanx

x=tany

x'=1/cos^2y

y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2

12.y=arccotx

x=coty

x'=-1/sin^2y

y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与

4.y=u土v,y'=u'土v'

5.y=uv,y=u'v+uv'

均能较快捷地求得结果.

二 : 三角函数里面的“诱导公式”为什么叫做“诱导”呢？谢赐教

三角函数里面的“诱导公式”为什么叫做“诱导”呢

三角里面的“诱导公式”为什么叫做“诱导”呢？谢赐教

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我个人的理解：

三角函数里面的“诱导公式”的这些公式都是最基本的三角函数公式。

有它们引出（推导出也可称为诱导出）许多其他的深层次的公式，所以人们就把这些基础公式叫做“诱导公式”了。

三 : 如何推导三角函数的半角，倍角公式？

如何推导三角函数的半角，倍角公式？

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在二角和的公式中令两个角相等(B=A),就得到二倍角公式.

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

--->sin2A=2sinAcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

--->cos2A=(cosA)^2-(sinA)^2=(1-(sinA)^2-(sinA)^2=1-2(sinA)^2=2(cosA)^2-1.

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

--->tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]

在余弦的二倍角公式中,解方程就得到半角公式.

cosx=1-2[sin(x/2)]^2

--->sin(x/2)=+'-√[(1-cosx)/2] 符号由(x/2)的象限决定,下同.

cosx=2[cos(x/2)]^2

--->cos(x/2)=+'-√[1+cosx)/2]

两式的的两边分别相除,得到

tan(x/2)=+'-√[(1-cosx)/(1+cosx)].

又tan(x/2)=sin(x/2)/cos(x/2)

=2[sin(x/2)]^2/[2sin(x/2)cos(x/2)]

=(1-cosx)/sinx

=.........

=sinx/(1+cosx).

四 : 谈三角函数的诱导公式教学重点难点的突破

【摘 要】三角函数的诱导公式所包含的公式非常多，学生也容易把这些公式混乱，归根到底都是没有对这些公式进行深入的分析和理解。而加深对公式的理解的最重要方式就是理解并学会公式的推导过程，掌握了推导过程，才能全面深入地理解公式并运用好公式。公式的推导常常是教学中的重点和难点，本文围绕如何推导出三角函数的诱导公式来谈谈在教学中的实践。

【关键词】高中数学；课堂教学；三角函数；诱导公式
三角函数的诱导公式是利用对称性来探究角的终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，三角函数诱导公式的运用体现“数形结合”的数学思想，常用的方法就是把任意角的三角函数值问题转化为求锐角的三角函数值，诱导公式的学习不但体现了数学的转化思想，还反映了知识的学习是从特殊到一般的思维模式，对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力也起到了非常重要的作用。
学习这节课，重点就是要让学生们对诱导公式进行探究，借助单位圆来推导出诱导公式，并学会运用诱导公式进行简单三角函数式的求值，难点就是发现圆的对称性与任意角终边的坐标之间的联系以及合理运［www.61k.com）用诱导公式。下面是我对三角函数的诱导公式的探究和学习过程中的一些方法，旨在通过引导探究的方式，让学生们能够掌握公式的推导方式以及学会对公式进行简单的运用，达成教学目标，突破重点难点。课堂过程主要是采用探究的方式进行的。教师设置一定的情境，组织相应的探究活动来引导学生们进行公式的探究并学会简单的运用。探究的过程主要有以下几步：
一、明确课堂目标
这一步是要让学生们明确这节课的学习目的，让学生们明确这节课所要学习和探究的究竟是什么。教师可以准备活动如：1.思考并写出sin， cos， tan的三角函数值，给学生一定的思考时间，可以请两位学生到黑板上写出解答结果，并让学生们口述三角函数的单位圆定义：sin=y，cos=x，tan= （x≠0），三角函数的定义是学习诱导公式的基础，帮助学生们回忆和复习可以更好地联系新知识的学习。在这个过程中，针对学生们的疑惑，抓住学生们在解三角函数值的时候产生的认知冲突，明确这节课的学习主题和学习目标。为学生们设置这样的情境，可以让学生们引发思考，产生认知冲突，要解决这样的认知冲突就一定程度上调动了学生们学习和探究的积极性，为上好新课做好了准备。
二、组织探究过程
返回刚才的例子，并评价学生们在黑板上的完成情况，根据学生们利用定义求角的三角函数值的过程，引导学生们思考角与的终边有什么关系。学生们经过思考以及画图，发现这两个角在数量上是相差π，在坐标系中这两个角的终边在同一条直线上，并且关于原点对称。
再把这两个角放在坐标中的单位圆上来考虑，设角与的终边分别交单位圆于点P1、P2，点P1的坐标为P1（x，y） ，让学生思考，点 P2的坐标如何表示？学生们可以根据两点关于原点对称的的位置关系来得出P2 的坐标为（-x，-y）。再进一步概括得出，终边与单位圆的交点坐标相反数。教师再引导学生们概括出有这样的数量关系的两个角的三角函数值会有什么关系。让学生观察动画演示，概括出任意角α与角π+α的终边关于原点对称，三角函数值满足公式sin（π+α）=-sinα，学生通过教师的引导用正确的方法进行探究和学习，并共同得出结论。再根据特殊角到一般角的变化，归纳出公式二：sin（π+α）=-sinα，cos（π+α）=-cosα，tan（π+α）= tanα。
通过以上公式的探究过程，教师引导学生们总结出探究的方法和思路，再让学生们根据方法的指导自主探究其他的公式。首先可以引导学生们回顾刚才的探究过程并概括出来。通过这样的方法和思维的概括，为学生的自主探究指明了方向。接下来可以给出如下的探究任务：给定一个角α，探究角π-α和角α的终边有什么关系？角-α和角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？组织学生们进行自主探究与讨论、合作交流等方式进行学习。通过使用正确的方法进行探究，最终得出公式三和公式四。在探索与合作交流的过程中，不但提高了学生自主学习的能力，还加强了他们的合作交流能力。
三、公式的运用
公式的运用是建立在对公式的正确理解的基础上的。为加强学生们对公式的理解和掌握以及检查学生们对公式的运用能力，教师可以设置一些练习来提高学生们运用知识的能力，但这节课主要的目的是让学生们掌握公式的推导过程和方法，公式的运用并不是重点。因此，在设置练习的时候，不要太难，只给一些简单的基础的练习即可。让学生们自己在草稿纸上解答，也可以让个别学生到黑板上去写，再组织学生一起进行评讲。让学生们进一步体会和明确用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数的一般步骤：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0～2π的三角函数→锐角的三角函数。通过公式的实际运用及方法的巩固，进一步加强学生们对公式的理解和掌握。
四、小结
这节课的内容是公式的学习，重点和难点都是公式的推导过程，学生既要能够理解，也要能够学会这种公式推导过程中所运用的一般思路和一般方法。公式的推导本身就是一个探究的过程，因此，采用探究的方式进行教学是一种不错的方法。值得注意的是，如果教师在探究的过程中指导过多，那也达不到锻炼学生的效果，如果完全放手让学生自主探究，又容易因方法不正确而浪费课堂时间。最好的方式就是教师先带领引导学生进行探究，让学生们体验并感悟到探究的思路和方法，再让学生进行自主的探究，相信这样一定可以取得很好的课堂效果，突破教学的重点和难点。
【参考文献】
[1]雷晓莉，三角函数的诱导公式，中小学数学：高中版，2012年7期
[2]万锟，“正弦、余弦的诱导公式”教学反思，当代教育，2012年2期
[3]鲁锋武，三角函数的概念与诱导公式，考试.高考数学版，2012年6期
（作者单位：江苏省海门实验学校）

五 : 三角函数的诱导公式

三角函数的诱导公式

教学分析

本节主要是推导诱导公式二、三、四，并利用它们解决一些求解、化简、证明问题．

本小节介绍的三组诱导公式在内容上既是公式一的延续，又是后继学习内容的基础，用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题．

在诱导公式的学习中，化归思想贯穿始末，这一典型的数学思想，无论在本节中的分析导入，还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，均清晰地得到体现，在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识．

公式二、公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大于90°的非负角，但是在推导中却把α拓广为任意角，这一思维上的转折使学生难以理解，甚至会导致对其必要性的怀疑，因此它成为本课时的难点所在．

课本例题实际上是诱导公式的综合运用，难点在于需要把所求的角看成是一个整体的任意角．学生第一次接触到此题型，思维上有困难，要多加引导分析，另外，诱导公式中角度制亦可转化为弧度制，但必须注意同一个公式中只能采取一种制度，因此要加强角度制与弧度制的转化的练习．

三维目标

1．通过学生的探究，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力．

2．通过诱导公式的运用，熟练地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．

3．进一步领悟和体会化归的数学思想．

重点难点

教学重点：诱导公式的推导和灵活运用，三角函数式的求值、化简和证明等．

教学难点：诱导公式的灵活运用．

教学过程：

提出问题

由公式一把任意角α转化为［0°，360°)内的角后，如何进一步求出它的三角函数值?

在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得，特殊角的三角函数值学生记住了，对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得．教师可组织学生思考讨论如下问题：0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360°的角β能否与锐角α相联系?通过分析β与α的联系，引导学生得出解决设问的一种思路：若能把求［90°，360°)内的角β的三角函数值，转化为求有关锐角α的三角函数值，则问题将得到解决，适时提出，这一思想就是数学的化归思想，教师可借此向学生介绍化归思想．

图1

讨论结果：通过分析，归纳得出：如图1．

提出问题

①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何?

②它们与单位圆的交点的位置关系如何?

③任意角α与180°+α呢?

分α为锐角和任意角作图分析：如图2．

图2

引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论探究角的关系．

无论α为锐角还是任意角，180°+α的终边都是α的终边的反向延长线，所以先选择180°+α为研究对象．

利用图形还可以直观地解决问题②，角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的，对应点的坐标分别是P(x，y)和P′(-x，-y)．

指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义，导出公式二：

sin(180°+α)=-sinα，cos(180°+α)=-cosα．

并指导学生写出角为弧度时的关系式：

sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα．

引导学生观察公式的特点，明了各个公式的作用．

讨论结果：

①锐角α的终边与180°+α角的终边互为反向延长线．

②它们与单位圆的交点关于原点对称．

③任意角α与180°+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称．

提出问题

①有了以上公式，我们下一步的研究对象是什么?

②-α角的终边与角α的终边位置关系如何?

让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系，这时可通过复习正角和负角的定义，启发学生思考：任意角α和-α的终边的位置关系；它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标．探索、概括、对照公式二的推导过程，由学生自己完成公式三的推导，即：

sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα．

教师点拨学生注意：无论α是锐角还是任意角，公式均成立．并进一步引导学生观察分析公式三的特点，得出公式三的用途：可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值．

讨论结果：

①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦．

②-α角的终边与角α的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等，纵坐标互为相反数．

提出问题

①下一步的研究对象是什么?

②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何?

讨论π-α与α的位置关系，这时可通过复习互补的定义，引导学生思考：任意角α和π-α的终边的位置关系；它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标．探索、概括、对照公式二、三的推导过程，由学生自己完成公式四的推导，即：

sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα．

强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立．

引导学生观察分析公式三的特点，得出公式四的用途：可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值．

让学生分析总结诱导公式的结构特点，概括说明，加强记忆．

我们可以用下面一段话来概括公式一—四：

α+k·2π(k∈Z)，-α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”．点拨、引导学生注意公式中的α是任意角．

讨论结果：

①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数；

②π-α角的终边与角α的终边关于y轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等，横坐标互为相反数．

示例应用

例1利用公式求下列三角函数值：

这是直接运用公式的题目类型，让学生熟悉公式，通过练习加深印象，逐步达到熟练、正确地应用．让学生观察题目中的角的范围，对照公式找出哪个公式适合解决这个问题．

解：

点评：利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：

上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法．

变式训练

利用公式求下列三角函数值：

解：(1)cos(-510°15′)=cos510°15′

=cos(360°+150°15′)

=cos150°15′=cos(180°-29°45′)

=-cos29°45′=-0．868 2；

例2 2007全国高考，1

cos330°等于()

答案：C

变式训练

化简：

解：

例3 化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°．

活动：这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目．利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数，再求值、合并、约分．

点评：利用诱导公式化简，是进行角的转化，最终达到统一角或求值的目的．

变式训练

求证：

分析：利用诱导公式化简较繁的一边，使之等于另一边．

所以原式成立．

规律总结：证明恒等式，一般是化繁为简，可以化简一边，也可以两边都化简．

设计反思

1.本节设计指导思想是：在教师引导下放手让学生自主探究．因为公式多，学生容易记混，所以在学生的主动探究中明了公式的来龙去脉，在应用公式解决问题中灵活熟练掌握公式．通过学生的自主探究、推导公式，培养学生独立思考、知难而上的科学态度，更进一步地体会数学的奇特美、对称美．激发学生强烈的探究欲望，培养学生会学习的良好品质．

2.三角函数的诱导公式应注意的问题

(1)α+k·2π(k∈Z)，-α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数的符号；可简单记忆为：“函数名不变，符号看象限．”

(2)公式中的α是任意角．

(3)利用诱导公式一、二、三、四，可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值．

基本步骤是：

即负化正，大化小，化为锐角再查表．

3.用类比的方法学习本节课的基础知识，用化归的数学思想指导三角函数的求值、化简与证明．

本文标题：三角函数的诱导公式-常见的导数公式是怎样的？
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