一 : 二元一次方程组的应用鸡兔同笼问题

§7.3 二元一次方程组的应用

--------鸡兔同笼

知识与技能目标：

1.会用二元一次方程组解决实际问题.

2.在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实世界. 教学重点

1.让学生经历和体验到方程组解决实际问题的过程.

2.进一步体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力.

教学难点

用方程(组)这样的数学模型刻画和解决实际问题，即数学建模的过程. 教学方法 自主发现法.

学生在教师的启发引导下通过对具体实际的问题分解，组织学生自主交流，探索去发现列方程建模的过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学的意识.

教学过程

Ⅰ.提出问题，激发兴趣

［我们本章的开头就介绍过“鸡兔同笼”的问题，这节课我们接着用方程来解决此问题，看结果如何？

的只数=35只”.“下有九十四足”是指鸡的腿与兔子的腿的和为94条.即“鸡的腿+兔子的腿=94”.

(2)根据(1)中的数量关系，我们可以设鸡有x只，兔有y只，列方程组，得

和这一章最开始引言中用算术方法和一元一次方程的方法来解“鸡免同笼”的问题来比较，用列二元一次方程组来解决此题会更直观，更容易理解.

.我们学会了解方程组可以解决许多问题.下面我们再来看一下例子.估计大家小学的时候见过.

［例1］以绳测井.若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？

题目的大意是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子三折即折成三等份，则一份绳子的长度比井多五尺；如果将绳子四折即折成四等份，则一份绳子的长度比井深多一尺.绳长、井深各是多少尺？

你能用含文字的等式表示出来吗?

相等关系蕴含在“将绳三折测之，绳多五尺”和“若将绳四折测之，绳多一尺”.这两句话中，用等式表示出来为：

绳长÷3－井深=5 ① 绳长÷4－井深=1 ②

我们现在设出未知数，设绳长为x尺，井深为y尺，根据①、②得方程组为：

［师生共析］我们在列方程组解决实际问题时，应先分析题目中的已知量、未知量是什么，各个量之间的关系是什么，找出它们之间的相等关系，列出方程(组)，

鸡兔同笼方程 二元一次方程组的应用鸡兔同笼问题

建模过程就可完成，因此我们说解决实际问题的建模过程非常重要.

Ⅲ.随堂练习

课本P129.随堂练习 1

Ⅳ.课时小结

本节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程，体会到方程组是刻画现实世界的有效模型，从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能.

Ⅴ.课后作业

1.课本P129习题7.4. 1, 2

二 : 列二元一次方程组解应用题设元四法

列二元一次［www.61k.com]方程组解应用题时，要根据不同的已知条件，不同的问题，采取恰当的设元方法，才能正确地列出方程组，使问题顺利获解.下面通过四道例题的分析，帮助同学们掌握四种常用的设元方法.

一、直接设元

例1夏季，为了节约空调用电，常采用调高设定温度和清洗设备两种方法.某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再清洗乙种空调的设备，使得乙种空调每天的节电量是只将温度调高1℃时节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度.求只将温度调高1℃，两种空调每天各节电多少度？
分析：本题有两个等量关系：只将温度调高1℃，甲种空调每天节电量－乙种空调每天节电量＝27度；将温度调高1℃，并清洗乙种空调的设备后，甲种空调每天节电量+乙种空调每天节电量＝405度.根据这两个等量关系式，采取直接设元的方法列二元一次方程组求解比较简单.
解：设只将温度调高1℃，甲种空调每天节电x度，乙种空调每天节电y度.
根据题意，得x-y=27，x+1.1y=405.
解方程组，得x=207，y=180.
即只将温度调高1℃，甲种空调每天节电207度，乙种空调每天节电180度.

二、间接设元

例2太极体育器材厂今年上缴国家利税4600万元，与去年同期相比增加了15%，其中上半年减少了25%，下半年增加了25%.问今年上半年和下半年各上缴国家利税多少万元？
分析：本题已知今年上缴的利税总额，以及和去年同期、上半年、下半年相比变化的百分数，根据这样的等量关系，可以采用间接设元的方法，分别将去年上半年和下半年上缴的利税额设为未知数列方程组，能更方便地解决问题.
解：设去年上半年上缴国家利税x万元，下半年上缴国家利税y万元.
根据题意，得（x+y）（1+15％）=4600，x（1-25％）+ y（1+25％）=4600.
解方程组，得x=800，y=3200.
则今年上半年上缴国家利税为
800×（1-25%）=600（万元），
今年下半年上缴国家利税为
3200×（1+25%）=4000（万元）.
三、直接设元与间接设元结合
例3某商场购进甲、乙两种服装后，都加价40％后标价出售.春节期间该商场搞优惠促销活动，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售.某顾客购买甲、乙两种服装各一件，共付款182元.两种服装标价之和为210元.问这两种服装的进价和标价各是多少元？
分析：本题已知两种服装的进价和标价的关系，要求两种服装的进价和标价，共四个要求的量，因此可采取直接设元与间接设元相结合的方法，设两个要求的量为未知数，列方程组求解.另外，求解本题还要注意弄清楚打折、标价、进价、利润等商业术语的含义.
解：设甲种服装的标价为x元，则其进价为 元；乙种服装的标价为y元，则其进价为 元.
根据题意，得x+y=210，80％x+90％y=182.
解方程组，得x=70， y=140.
则甲种服装的进价为
=50（元），
乙种服装的进价为
=100（元）.
四、设辅助元
例4甲、乙两个公共汽车站相向发车，两车站发车的间隔时间相同，各车的速度也相同.一人在街上匀速行走，他发现每隔4分钟有一辆公交车迎面开来，每隔12分钟有一辆公交车从背后开来.求两车站发车的间隔时间.
分析：本题是行程问题，要求间隔时间，但与其相关的速度、路程等量都未知，所以需要增设辅助元，使数量关系易于表达，方便求解.
解：设两车站发车的间隔时间为t分钟，公交车的速度为x米/分，人步行的速度为y米/分，同一车站发出的相邻两车开出车站后相距m米.
根据题意，得4（x+y）=m，12（x-y）=m.
解关于x、y的方程组，得24x=4m.
即=6.
因为xt＝m，所以t= =6，即两车站发车的间隔时间为6分钟.
（责任编辑 张毓春）

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

三 : 二元一次方程组应用题的常见类型分析

二元一次方程组

1选择、填空题整理

1.某校初三（2

表格中捐款2若设捐款2

元的有名同学，捐款3元的有名同学，根据题意，可得方程组（ ）.

（A）（B）（C）（D）

2.已知二元一次方程组为，则______，_______.

3.若方程组的解与相等，则________.

4.若是二元一次方程，则值等于__________.

5.有一个两位数，减去它各位数字之和的3倍，值为23，除以它各位数字之和，商是5，余数是1，则这样的两位数（ ）

A．不存在 B．有惟一解 C．有两个 D．有无数解

6.4x+1=m(x－2)+n(x－5),则m、n的值是

A. B. C. D.

7.如果方程组无解，则a为

A.6 B.－6 C.9 D.－9

8.若方程组的解之和：x+y=－5，求k的值，并解此方程组.

9.以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的位置是（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

- 1 -

10.若关于A．1 的方程组B．3 C．5 的解是 D．2 ，则为（ ）

11.若关于x，y的二元一次方程组k的值为 的解也是二元一次方程 的解，则

（A

） （B

） （C

） （D）

12.已知代数式与是同类项，那么的值分别是（ ）

A

． B

． C． D．

二、应用问题的整理

13.为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．

（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？

（2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？

14.

在直角坐标系中有两条直线：和，它们的交点为P，第一条直线与x轴交于点A，第二条直线与x轴交于点B．

（1）求A，B两点的坐标．（2）求△PAB的面积．

15.一群学生前往位于青田县境内的滩坑电站建设工地进行社会实践活动，男生戴白色安全

帽，女生戴红色安全帽.休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象，每位男生看到白色与红色的安全帽一样多，而每位女生看到白色的安全帽是红色的2倍.

问题：根据这些信息，请你推测这群学生共有多少人？

16.在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的

财政补贴.村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台B型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元.求：

（1）A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元？

- 2 -

（2）小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？

17.某服装专卖店老板对第一季度男、女服装的销售收入进行统计，并绘制了扇形统计图（如图）

．由于三月份开展促销活动，男、女服装的销售收入分别比二月份增长了已知第一季度男女服装的销售总收入为20万元．

（1）一月份销售收入为 万元，二月份销售收入为 万元，三月份销售收入为 万元；

（2）二月份男、女服装的销售收入分别是多少万元？

18.如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式(其中每个代数式都表示一个数)，使得每行的３个数、每列的３个数、斜对角的３个数之和均相等．

(1)求x，y的值；

(2)在备用图中完成此方阵图．

19.某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件。

求A、B两种纪念品的进价分别为多少？

若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用

不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出候总获利不低于

216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？

20.奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元．

（1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？

（2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买支钢笔需要花元，请你求出与的函数关系式； ，，

（3）在（2）的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过10个，请帮小明判断买哪种奖品省钱．

21.孔明同学在解方程组

的过程中，错把看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为

，又已知直线过点（3，1）

，则的正确值应该是 ．

22.2008 年北京奥运会，中国运动员获得金、银、铜牌共 100 枚，金牌数位列世界第一． 其

- 3 -

中金牌比银牌与铜牌之和多 2 枚，银牌比铜牌少 7 枚．问金、银、铜牌各多少枚？

二元一次方程组应用探索

二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：

一、数字问题

例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．

分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：

?10x?y?x?y?9?x?1解方程组?，得?，因此，所求的两位数是14． 10y?x?10x?y?27y?4??

点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x的方程．一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之．

二、利润问题

例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？

分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.

- 4 -

?0.9x?y?20%y?x?200解方程组?，解得?， 0.8x?y?10y?150??

因此，此商品定价为200元．

点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价．利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价×利润率（盈利百分数）．特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念．

三、配套问题

例3 某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？

分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数×2=每天生产的螺母数×1．因此，设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每天可生产螺栓25ｘ个，螺母20ｙ个，依题意，得

?x?y?120?x?20，解之，得?． ?50x?2?20y?1y?100??

故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母．

点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：

（1）“二合一”问题：如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于乙产品数的ａ倍，即甲产品数

a?乙产品数

b；

（2）“三合一”问题：如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：

四、行程问题

例4 在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令甲产品数a?乙产品数b?丙产品数c．

- 5 -

后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？

【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则

??x?y?40?x?80?3?x?y??120，整理，得?，解得?， ?x?y?120y?40x?y?120????

因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．

点评：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：

“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；

“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．

五、货运问题

典例5 某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？

分析：“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨，则

?x?y?300?x?y?300?x?150，整理，得?，解得?， ?6x?2y?12003x?y?600y?150???

因此，甲、乙两重货物应各装150吨．

点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度．化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等．

六、工程问题

例6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的4

5；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200

套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？

- 6 -

分析：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，得

4?150y?x?x?3375?5，解得. ???y?18?200?y?1??x?25?

点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间”．其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．

《二元一次方程组实际问题》赏析

【知识链接】

列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；

（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；

（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.

【典题精析】

例1（2006年南京市）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？

解析：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆.由题意，得

?x?y?50, ?6x?4y?230.?

?x?15,解得，? y?35.?

故中型汽车有15辆，小型汽车有35辆.

例2（2006年四川省眉山市）某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：

- 7 -

现在该公司收购了140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨（两种加工不能同时进行）．

（1）如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格：

（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应如何分配加工时间？

解：（1）全部直接销售获利为：100×140=14000（元）；

全部粗加工后销售获利为：250×140=35000（元）；

尽量精加工，剩余部分直接销售获利为：450×（6×18）＋100×（140－6×18）=51800（元）.

（2）设应安排x天进行精加工， y天进行粗加工.

?x?y?15,由题意，得? 6x?16y?140.?

解得，??x?10,

?y?5.

故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工.

【跟踪练习】

为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元. 计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.

（1）求：原计划拆、建面积各是多少平方米？

（2）若绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？

- 8 -

答案：（1）原计划拆、建面积各是4800平方米、2400平方米；

（2）可绿化面积为1488平方米.

- 9 -

四 : 二元一次方程组应用题(行程问题)

七年级下数学二元一次方程组应用题（行程问题）

姓名：_______________班级：_______________考号：_______________

一、选择题

1、某校七年级（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元。捐款情况如表：

表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚。

若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组（ ）

A. B. C. D.

2、如图，宽为50 cm的大长方形由10个相同的小长方形拼成，则一个小长方形的面

积为（ ）

A、400 cm B、500 cm C、600 cm D、4000 cm2222

3、扬州某中学七年级一班40名同学第二次为四川灾区捐款，共捐款2000元，捐款情况如下表：

表格中捐款40元和50元的人数不小心被墨水污染已看不清楚、若设捐款40元的有x名同学，捐款50元的有y名同学，根据题意，可得方程组（ ）

4、雅西高速公路于2012年4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过2.5小时相遇，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为千米/小时和千米/小时，则下列方程组正确的是（ ）

A

． B．

C

．

D．

5、小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时．若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（ ）

A

． B．

C． D．

6、雅西高速公路于2012年4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过2.5小时相遇，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为千米/

小时和千米/小时，则下列方程组正确的是（ ）

A

． B．

C

． D．

7、甲乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是( )

A

． B．C． D．

8、小颖家离学校1200米,其中有一段为上坡路，另一段为下坡路.她去学校共用了16分钟.假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时.若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（ ）

A． B． C． D．

9、李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时间分别为x，y分钟，列出的方程是（ ）

A

． B

．

C

． D

．

10、甲乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是（ ） A. B.C. D.

11、一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比是（ ）

A.3∶1 B.2∶1 C.1∶1 D.5∶2

12、巴广高速公路在5月10日正式通车，从巴中到广元全长约为126km.一辆小汽车、一辆货车同时从巴中、广元两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6km，设小汽车和货车的速度分别为km／h、则下列方程组正确的是（ ） km／h，

A. B. C. D.

13

、甲、乙两地相距

千米，一轮船往返于甲、乙两地间，顺流用

小时，逆流用小时，求轮船在静水中的速度和水流速度，设船在静水中的速度为

千米／小时，水流速度为千米／小时，所列方程正确的是（ ）

Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

14

、甲、乙两地相距

千米，一轮船往返于甲、乙两地间，顺流用

小时，逆流用小时，求轮船在静水中的速度和水流速度，设船在静水中的速度为

千米／小时，水流速度为千米／小时，所列方程正确的是（ ）

Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

参考答案

一、选择题

1、A

2、A

3、考点：

由实际问题抽象出二元一次方程组．

专题：

图表型．

分析：

两个定量：捐40元和50元的总人数，捐40元和50元的总钱数．

等量关系为：①某中学七年级一班有40名同学；②共捐款2000元．

解答：

解：根据七年级一班有40名同学，得方程x+y=40﹣10﹣8，即x+y=22；

根据共捐款2000元，得方程40x+50y=2000﹣20×10﹣100×8，40x+50y=1000．

列方程组为．

故选C．

点评：

读懂题意，找到捐40元和50元的总人数和捐40元和50元的总钱数是易错点．

4、D

5、D

6、D

7、、A

8、B

9、考点：由实际问题抽象出二元一次方程组。

解答：解：他骑车和步行的时间分别为x分钟，y分钟，由题意得： ，

故选：D．

10、A；

11、B；

12、D

13、Ｂ

14、 Ｂ

五 : 二元一次方程组应用题经典题

1

实际问题与二元一次方程组题型归纳

知识点一：列方程组解应用题的基本思想

列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.

知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系

1.行程问题：

(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；

；；

(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。

(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；

②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；

③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.

3．商品销售利润问题：

(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；

(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；

注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）

4．储蓄问题：

(1)基本概念

①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。 ②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。

③本息和：本金与利息的和叫做本息和。 ④期数：存入银行的时间叫做期数。

⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。 ⑥利息税：利息的税款叫做利息税。

(2)基本关系式

①利息＝本金×利率×期数

②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数)

③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。

2

④税后利息＝利息× (1－利息税率) ⑤年利率＝月利率×12 ⑥

注意：免税利息=利息

5．配套问题：

解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。

6．增长率问题：

解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；

原量×(1－减少率)＝减少后的量.

7．和差倍分问题：

解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.

8．数字问题： 。

解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字

9．浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.

10．几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式

11．年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的

12．优化方案问题：

在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。

注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。 知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤

利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：

1．审题:弄清题意及题目中的数量关系；2．设未知数:可直接设元，也可间接设元；

3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案.

要点诠释：

(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得 的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

(4)列方程组解应用题应注意的问题

①弄清各种题型中基本量之间的关系； ②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息； ③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列 方程组与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆； ⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件； ⑥列方程组解应用题一定要注意检验。

3

类型一：列二元一次方程组解决——行程问题

1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？

思路点拨：画直线型示意图理解题意：

(1)这里有两个未知数：①汽车的行程；②拖拉机的行程.

(2)有两个等量关系：

①相向而行：汽车行驶小时的路程＋拖拉机行驶小时的路程＝160千米;

②同向而行：汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶小时的路程.

解：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.

根据题意，列方程组 解这个方程组，得:

答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米. .

总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。

【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？

4

【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

类型二：列二元一次方程组解决——工程问题

2．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？

思路点拨：本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元。设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8（x+y）=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.

解：(1)设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，依题意得：

解得

答：甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一天商店应付140元。

(2)单独请甲组做，需付款300×12＝3600元，单独请乙组做，需付款24×140＝3360元， 故请乙组单独做费用最少。

答：请乙组单独做费用最少。

总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。

【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.

5

类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题

3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？ 思路点拨：做此题的关键要知道：利润＝进价×利润率

解：甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意得：

，解得：

答：两件商品的进价分别为600元和400元。

【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？

【变式2

（注：获利 = 售价 — 进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件；

类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题

4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税） 思路点拨： 设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：

6

解：设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则列方程：

，解得：

答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.

总结升华: 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.

【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%）

【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？

类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题

5．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).

解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：

7

答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.

总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.

【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？

【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。

【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？

类型六：列二元一次方程组解决——增长率问题

6. 某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？

根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值—总支出和表格里的已知量和未知量，可以列出

8

两个等式。

解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，根据题意得：

，解之得：

答：去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元

总结升华：当题的条件较多时，可以借助图表或图形进行分析。

【变式1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？

【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。

类型七：列二元一次方程组解决——和差倍分问题

7.（2011年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？ 思路点拨：找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据计划前后，倍数关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组。

解：设原计划“爱心”帐篷厂生产帐篷x千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷y千顶，由题意得：

， 解得：

所以：1.6x=1.65=8, 1.5y=1.54=6

答：“爱心”帐篷厂生产帐篷8千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷6千顶.

【变式1】 (2011年北京门头沟区中考一模试题) “地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议．号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分—21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活．中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动．

9

【变式2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？

类型八：列二元一次方程组解决——数字问题

8. 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。

思路点拨：设较大的两位数为x，较小的两位数为y。

问题1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：100x＋y

问题2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为： 100y＋x

解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y。依题意可得：

，解得：

答：这两个两位数分别为45，23.

【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？

【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？

【变式3】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。

类型九：列二元一次方程组解决——浓度问题

10

9．现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？

思路点拨：本题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题中有以下几个相等关系：（1）甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和＝50；（2）混合前两种溶液所含纯酒精质量之和＝混合后的溶液所含纯酒精的质量；（3）混合前两种溶液所含水的质量之和＝混合后溶液所含水的质量；（4）混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比＝混合后溶液所含纯酒精与水的比。 解：法一：设甲、乙两种酒精溶液分别取x kg , y kg.依题意得：

，

答：甲取20kg，乙取30kg

法二：设甲、乙两种酒精溶液分别取10x kg和5y kg，

则甲种酒精溶液含水7x kg，乙种酒精溶液含水y kg，根据题意得：

，

所以 10x=20,5y=30.

答：甲取20kg，乙取30kg

总结升华：此题的第（1）个相等关系比较明显，关键是正确找到另外一个相等关系，解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。用它们来联系各量之间的关系，列方程组时就显得容易多了。列方程组解应用题，首先要设未知数，多数题目可以直接设未知数，但并不是千篇一律的，问什么就设什么。有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数。

举一反三：

【变式1】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？

【变式2】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？

类型十：列二元一次方程组解决——几何问题

10．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？

11

思路点拨：初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x，宽为y，就可以列出关于x、y的二元一次方程组。 解：设长方形地砖的长xcm,宽ycm，由题意得：

，

答：每块长方形地砖的长为45cm、宽为15cm。

总结升华：几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解。

举一反三：

【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？

【变式2】一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m，它的周长是132m，则长和宽分别为多少？

类型十一：列二元一次方程组解决——年龄问题

11．今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？

思路点拨：解本题的关键是理解“6年后”这几个字的含义，即6年后父子俩都长了6岁。今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，根据这两个相等关系列方程。

解：设现在父亲x岁，儿子y岁，根据题意得：

，

答：父亲现在30岁，儿子6岁。

总结升华：解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人也一样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）。

【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.

12

类型十二：列二元一次方程组解决——优化方案问题：

12．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨. 但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案

方案一：将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成

你认为选择哪种方案获利最多？为什么？

思路点拨：如何对蔬菜进行加工，获利最大，是生产经营者一直思考的问题. 本题正是基于这一点，对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探索，互相交流，尝试解决，并在探索和解决问题的过程中，体会应用数学知识解决实际问题的乐趣.

解：方案一获利为：4500×140=630000(元).

方案二获利为：7500×(6×15)+1000×(140－6×15)=675000+50000=725000(元).

方案三获利如下：

设将吨蔬菜进行精加工，吨蔬菜进行粗加工，则根据题意，得：

，解得：

所以方案三获利为：7500×60+4500×80=810000(元).

因为630000＜725000＜810000，所以选择方案三获利最多

答：方案三获利最多，最多为810000元。

总结升华：优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的具体结果，再进行比较从中选择最优方案.

举一反三：

【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。

(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；

(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？

本文标题：二元一次方程组应用题-二元一次方程组的应用鸡兔同笼问题
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