一 : 画法几何及机械制图学习参考
画法几何及机械制图 画法几何及机械制图学习参考
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二 : 画法几何及机械制图学习参考
第 2章
直线、 点、直线、平面的投影
摘 要: 本章主要介绍投影法的基本知识,并将投影法直接 应用于基本几何体的投影及形成立体表面的基本要素—— 点、直线、平面的投影分析,从而为组合体的投影表达、 读图分析提供必要的理论基础及方法。
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
投影法 点的投影 直线的投影 平面的投影 换面法
1/86
Wang chenggang
2.1 投影法
2.1.1 投影法的形成及分类 物体在光线照射下,能在面上产生影子!
承影面
S 投影中心
几何元素
光线
光源 影子 物体
投影面
投影的三要素
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Wang chenggang
2.1.1 投影法的形成及分类
中心投影法 投影法 平行投影法
投影面
斜投影法 平行投影法 正投影法
投影面 形体 投射线
投射线
形体
投射方向
投影(图)
投影(图)
利用投影能把三维物体表达在平面上
点的一个投影不能确定点的空间位置! 点的一个投影不能确定点的空间位置!
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Wang chenggang
2.2
点的投影
一、点在两投影面体系第一分角中的投影 1、两投影面体系的建立 用两个相互垂直的平面为影 平面,构成两投影面体系 2、点的两面投影
正立投影面 分角
a’
V A O
2
V 1 X O H
X
ax
3 a H
投影轴 水平投影面
Wang chenggang
4
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一、点在两投影面体系第一分角中的投影
2、点的两面投影
a’ V A a’ V
两面投影图
X ax O a X ax O a H
H
保持V面正李位置不变,使H面绕OX轴相下旋转90o!5/86
Wang chenggang
一、点在两面体系第一分角中的投影
2、点的两面投影
a’ V a’
两面投影图
ax ax
X
O 点 的 投 a 影 规 H 律
X
O a
1 2
点的两面投影 点的投影 投影 的
Wang chenggang
投影 点 投影面的 ?
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二、点在三投影面体系第一分角中的投影 1、三投影面体系的建立 2、点的三面投影
Z a’ V A ax a’’ W O a X ax a H Y H O a’ V a’’w
X
保持V面正李位置不变,使H面绕OX轴,W面绕OZ轴分别 相下相后旋转90o!
Wang chenggang
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二、点在三投影面体系第一分角中的投影 2、点的三面投影
a’ V
相等!
三面投影图
a’’ w a’ Z az a’’
X
ax
O a H
X
ax
O
Yw
a
Yh (1)同一点的两面投影连线垂直于投影轴 (2)点的投影到投影轴的距离,等于该点与相邻投影面的距离。
水平投影到OX轴的距离等于其侧面投影到OZ轴的距离!8/86 水平投影到OX轴的距离等于其侧面投影到OZ轴的距离! OX轴的距离等于其侧面投影到OZ轴的距离
Wang chenggang
二、点在三投影面体系第一分角中的投影 2、点的三面投影 例:已知A点的正面投影和侧面投影,求其水平投影
Z a’ az a’’ a’ Z az a’’
X
ax
O 45o
Yw
X
O
Yw
a Yh
Wang chenggang
ax Yh
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二、点在三投影面体系第一分角中的投影 3 点的直角坐标
a’ a’ V Ya A Xa Za
Z a’’
Za
a’’ W O X Xa Ya
Za O Ya Yw
X
ax
a
H a Yh
将投影轴视为笛卡尔坐标系的坐标轴,, 则点的投影与 其直角坐标一一对应.
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二、点在三投影面体系第一分角中的投影 例2-2:已知点A(25,20,30),试求其三面投影。
Z
a’
a’’
X
25
O
YW
a YH
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Wang chenggang
特殊位置点的投影
投影面上的点,到该投影面的距离为0,故它的
1:投影面上的点 投影面上的点: 投影面上的点
一个投影与本身重合,另两面投影在投影轴上,.
B点在V面上
2:投影轴上的点 投影轴上的点: 投影轴上的点
Z B” 投影面轴的点,到两个投影面的距离 为0,故它有两面投影重合在投影轴上, 另一投影与坐标圆点重合.,.
B’
X a’
b c’ O
a’’ c’’ W Y
a c A点在H面上 YH
Wang chenggang
C点在OY轴上
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二、点在三投影面体系第一分角中的投影 4、两点的相对位置 反映两点上下,左右
a’ a’ b’ B X ax b a H a V A a’’ W O b’’ X b b’
反映两点上下,前后
Z
a’’ b’’ O Yw
Yh
反映两点左右,前后
两点的相对位置,是指它们上下左右前后间的关系
Wang chenggang
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例:已知A点在B点之前5毫米,上9毫米,右8毫米,求A点的投影
Z a′ a"
9
b′
8
b" O YW
X
b
5
a YH
Wang chenggang
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返回
二、点在三投影面体系第一分角中的投影 5、重影点
当空间两个点处于同一投射线上时,它门在与该投射线垂直 Z重影点 的投影面上的投影必重合,。此两点称为该投影面的重影点 重影点。 a’ a’’ a’ V b’ A b’’ b’ a’’ B W X O Yw ax O b’’ a b
X
H a (b) Yh
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在投影图上常把不可见的投影点加上括号。
Wang chenggang
例:判断A、B两点,C、D两点的相对位置。
Z
A点在B点的正上方
a′ b′ c′ X d′ O
a"
c"(d") YW
c
d a(b)
C点在D点的正左侧
YH
Wang chenggang
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2-3
直线的投影 一、概述: 概述:
Z a’ a’’ b’ b’’ X b a Yh O Yw
直线的投影一般仍为直线,特殊情况投影为一点。
直线的投影可由直线上任意两点的同面投影确定。
Wang chenggang
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二、直线上的点 1.点在直线上,点的投影必在直线的同面投影上。反之,若点 的各面投影均在直线的同面投影上,点一定在直线上。 2.直线上的点,分直线段的长度比,等于其投影分直线段投影 的长度之比。
V
H
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例2-5:已知AB直线的投影,在其上作出一点C, 使AC:CB=2:3。
分析:利用平行线截的比例线段先在一面投影山作出2:3的 投影点
c’
作图:
c 2
5
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Wang chenggang
三. 直线与投影体系的关系 直线
(1) 直线的分类
一般位置直线:与三个投影面都倾斜的直线(简称一般位置线) 投影面平行线:仅平行于一个投影面的直线 (∥V:正平线;∥H:
水平线;∥W:侧平线) 投影面垂直线:垂直于一个投影面的直线 (⊥V:正垂线;⊥H:铅垂线;⊥W:侧垂线)
特 殊 位 置 直 线
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Wang chenggang
Z V a A βγ B b
1、投影面平行线
z
a a b W b a b
x
O X a a βγ b Y
?投影特性: ?1.a′b′= //OX,a" b" //OY。 ?2. ab=AB。 ?3.反映β、γ 角的真实大小。
Wang chenggang
o
β γ b
yW
yH
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表2.1 投影面平行线
1
1)在所平行投影面上的投影反映实长,且它与投影轴的夹角, )在所平行投影面上的投影反映实长,且它与投影轴的夹角, 分别等于直线与其它两个投影面的倾角 。 2) 在另外两个投影面上的投影平行于相应的投影轴,长度缩 ) 在另外两个投影面上的投影平行于相应的投影轴, Wang chenggang 短。
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2、投影面垂直线 、 Z V
z
a A a b X b B
O
a a
o
b YW
X
b a(b) YH
Y
投影特性: ?1.a b 积聚成一点。 ?2.a′b′⊥OX ; a″b″⊥ OY。 ?3.a′b′= a″b″=AB。
Wang chenggang
a(b)
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表2.2 投影垂直线
1)在所垂直投影面上的投影积聚为一点。 2)在另外两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴,并且反映直线的实长。
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Wang chenggang
3、一般位置直线 a β γ α b X a Za
o
b YW
b YH
.投影特性: ?1.a b、a′b′、a″b″小于实长。 ?2.a b、a′b′、a″b″均倾斜于投影轴。 ?3.不反映 α 、β 、γ 实角。 25/86
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一般位置直线的实长及对投影面的倾角
a’ax-b’bx
a’ ? b’ V
α
AB
a’
X =ab a b
倾角α α O
b’ X a O
H
α
b 一般位置直线的投影不反映其空间长度 AB 及其对投影面的倾角,可用直角三角形 可用直角三角形
a’ax-b’bx
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法作图求出
Wang chenggang
的正面投影及端A点的水平投影 例2-6:已知直线 的正面投影及端 点的水平投影 ,且已 :已知直线AB的正面投影及端 点的水平投影α, 直线对V面倾角为 面倾角为30° 点在A点的后方 知AB 直线对 面倾角为 °,B点在 点的后方,求作 点在 点的后方,求作AB 直线的水平投影。 直线的水平投影。 作图: a’ b’ X b O
β=30o
a
=a’b’
分析:已知正面投影即知道一直角边的长度,又知V面倾角为30° 就是知道斜边与正面投影直角边的夹角,能够作出该直角三角形, 另一直角边就是A,B两点与V面的距离差.
Wang chenggang
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四、直线与直线的相对位置
空两直线的相对位置有三种:平行、相交和交叉(异面), 1;平行两直线 1;平行两直线
b' c' a' c a b d d'
b' d' a' c'
Z
c''
d'' b''
X
a c b d
O
a''
Y W
平行两直线的所有同 面投影都互相平行,且具 有定比性。
Y H
d'
2;相交两直线 2;相交两直线
b' k c' a' a c k b d c K d' c' a' b' k
Y Z
Z
d'' k b''
d'
X
a k b
O
a'' c''
Y W
相交两直线的所有同 面投影都相交,
其交点符 合点的投影规律,且具有 定比性。
d
Y H
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Z
四、直线与直线的相对位置
2;相交两直线 2;相交两直线
c' a' a c b' c' d' 1 2 b d d' a' c' C c a 2 4 b' 13 B b d D c' a' 1 (2 ) 4
2 3 2 (1)
b' a' d'
Z
c''
1
b''
2
d''
X
a'' a
1
O
b
YW
c
2
(1)交叉两直线的某个 投影可能会出现平行,但 不会三个投影都平行。 (2)交叉两直线所有同 面投影可能都相交,但相 交处是重影点而不是交点。
d
YH
d'
Z
d''
4 1 3
a''
(3)重影点的可见性要 根据它们另外的投影来判 断。
X
c'' b' b'' b
YW
c a
2 1 4 (3 )
O YH
d
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Wang chenggang
例:判断两側平线AB、CD的相对位置。 方法一:作出AB直线的侧面投影,因α//b//∥ c//d//,所以AB∥C 方法二:分别连接AC、BD成直线,
AB平行CD
Wang chenggang
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例:如图所示,求作一直线使与直线AB平行且与直 线,CD,EF相交.
c’
分析: 作图:
a’
b’
e’
n/
f’
m’
d’ b e
n
f a cd
Wang chenggang
m
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五、一边平行投影面的直角的投影
1:两条互相垂直的直线,如果其中一直线为投影面的平 行线,则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。 2:如果两直线在同一投影面上的投影互相垂直,且其中一直 线为对该投影面的平行线,则空间两直线互相垂直。
H
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Wang chenggang
例:试求A点与水平线MN间的距离。
分析:从点作直线的垂线,点和垂足间的线段长是该点与直线间的 分析: 距离。直线MN为水平线,故可从水平投影入手先作垂直线。 作图: 作图::1.作αb垂直于mn,交mn于b,按投影关系作出b/,连接 α/b/,得距离AB的两面投影。 距离AB b’ 2.用直角三角形法求 出AB的实长。
b =a’b’
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Wang chenggang
例:求作直线AB、CD的公垂线 求作直线 、 的公垂线 分析:AB为铅垂线公垂线与其垂直,则公垂线必为水平线; CD要垂直与水平线,它们的水平投影必互相垂直. a’ C’ 作图: m’ n’ b’
C O
x
d’ m d
a(b) (n)
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2-4. 平面的投影
一、 平面的表示法 (一)平面几何元素表示
a)
b)
c)
d)
e)
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Wang chenggang
2-4. 平面的投影 一、 平面的表示法 (二)平面的迹线表示 平面与投影面的交线称为平面的迹线
V
H
QV
PV
QH
Wang chenggang
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二、 平面与投影面的关系 一般位置平面:与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面) 平面 特殊位置平面:投影面垂直面:垂直于一个投影面的平面
(⊥V :正垂面;⊥H :铅垂面; ⊥W:侧垂面) 投影面平行面:平行于一个投影面的平面 (∥V:正平面;∥H:水平面;∥W:侧平面) 正垂面B
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水平面Q
Wang chenggang
投影面的垂直面:铅垂面 Z
V
Z c C a a A X P b O a a c b c B
γ β O
c b YW
X
PH
YH b 投影特性: 1. a
bc积聚为一条线。 2. a′b′c′ , a″b″c″为?ABC的类似形。 3. abc与OX, OY的夹角反映β,γ角的真实大小。
Wang chenggang
Y
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表2-3
投影面垂直面的投影 1。 在所垂直投 。 影面上的投影 积聚为直线, 积聚为直线, 在其它两投影 面上的投影为 缩小的类似形。 缩小的类似形。
2。平面的积聚 。 性投影与投轴 的夹角,分别 的夹角, 反映平面与其 它两投影面与 的夹角。 的夹角。
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Wang chenggang
投影面的平行面:水平面
Z V
Z a′ b′ c′ b″ a″ a′ A X C b O b′c′ B
c″
YW
X
O
b a c
a
c YH
Y ?投影特性: ? 1. a′b′c′、a″b″c″积聚为一条线,具有积聚性。 ? 2. 水平投影abc反映?ABC实形。
Wang chenggang
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表2-4
投影面平行面的投影 1。在 所平 。 行投影面上 的投影反映 实形, 实形,在其 它两投影面 上的投影积 聚为直线。 聚为直线。 2. 2.平面的积 聚性投影平 行于相应投 影轴。 影轴。
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Wang chenggang
3、一般位置平面的投影
一般位置平面的三面投影均为类似形
V
H
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Wang chenggang
三、 平面上的点和直线
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Wang chenggang
例2-7:已知点M在△ABC平面上,现知M点的正 面投影m /,试作出其水平投影。 分析:
1‘
作图:
m
1
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Wang chenggang
例: 已知?ABC给定一平面,试判断点D是否属于该平面。
a′
D不在△上
f′ c′ d′ b′
x
c b d f a
Wang chenggang
o
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[例] 如图2.31a所示,过点A作水平面P,含直线BC作铅垂面Q,过 点D作侧平面R。 分析:包含几何元素作平面,就是几何元素在所作的平面上 解: (1)过点A作水平面P (3)过点D作侧平面R (2)含直线BC作铅垂面Q
X
O
X
O
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Wang chenggang
例:如图2-28(α),完成平面ABCDEF的水平投影。 分析:ABE确定一平面,CD在此平面上 作图:
1‘ 2‘
1
2
d
e
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Wang chenggang
2-5:直线与平面的变换
概述
V1
几何元首处于特殊位置,其投影反映实长,实形
如何把一般位置的几何元首变换为特殊位置?
新投影面要平行或垂直于几何元素 新投影面要垂直原有的一个投影面
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Wang chenggang
一:点的换面 1:名词术语
旧投影面 新投影面 新投影
2点的换面规律:
a2
新投影轴
x2 新投影与保留投影连线垂直于新轴新投影到
旧投影面 保留投影 新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离
Wang chenggang
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二:换面法的四个基本作图
1.把一般位置直线变换为投影面平行线 b1’ β
实长
a1’
对V面倾角
V1 a1 ’ X1
对H面倾角
b1’
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实长
Wang chenggang
2.把投影面平行线变换为投影面垂直线
一次换面可以实现! 新投影轴与反映实长的投影垂直
把一般位置的直线变换为投影面的 垂直线必须要两次换面
Wang chenggang
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3.把一般位置平面
变换为投影面垂直面
一次换面可以实现!在平面上取一条投影面平行线 将其变换为投影 在平面上取一条投影面平行线,将其变换为投影 在平面上取一条投影面平行线 面垂直线,! 面垂直线
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Wang chenggang
4.把投影面垂直面变换为投影面平行面
一次换面即可!新投影轴与平面的积聚性投影线垂直的投影垂直 新投影轴与平面的积聚性投影线垂直的投影垂直
把一般位置的平面变换为投影面的垂面必须要两次换面
Wang chenggang
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把一般位置平面变换为投影面平行面
X2
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Wang chenggang
应用举例
1:已知直线AB对V面倾角为30o,B点在A点的后方求直线的水平投影, a1’ 分析::
作图
X1
b1’ 30o β b
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Wang chenggang
三: 应用举例 作图
1:如图所示,试求K点与平面ABC间的距离. 分析::
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Wang chenggang
2:试求两平面间的夹角.
分析::当两平面的交线垂直于投影面, 该两平面在次投影面上的投影为两相 交直线,其间夹角即两平面的夹角.
作图
X1
? X2
Wang chenggang
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3:如图所示,试求交叉两直线间的距离极其投影. 作图 分析::
X1
实长 实长
Wang chenggang
X2
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作业
P9,P10
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Wang chenggang
三 : 画法几何及机械制图
画 法 几 何 及 机 械 制 图61阅读| 精彩专题| 最新文章| 热门文章| 苏ICP备13036349号-1