一 : 多项式的除法原理(综合除法)

多項式的除法原理(綜合除法)

1.多項式的除法定理：

設f(x)、g(x)是兩個多項式，且g(x)?0，則恰有兩多項式q(x)及r(x)使得 f(x＝)q(?x)r(x)＝0或degr(x)<deg g(x)。［www.61k.com] g(＋x)成立，其中r

(1).f(x)稱為被除式，g(x)稱為除式，q(x)稱為商式，r(x)稱為餘式。

(2).被除式＝除式×商式＋餘式。

(3).簡式：A＝BQ＋R

2.綜合除法：

x2＋2x＋4除以x－1得到商式為x＋3，餘式為 7

2 依照除法定理可表示成x＋2x＋4＝(x－1)(x＋3)＋7

綜合除法的作法：

注意 1 ＋ 2 ＋ 4

＂變號＂（ｘ-1）

餘式 所代表的是商式x＋3

2＋1＝3

ax2＋bx＋c＝(x－e)(fx＋g)＝fx2＋(g－ef)x－eg (整除)

?a＝f?依照比較係數法：?b＝g－ef?g＝b＋ae

?c＝－eg?c＝－e(b＋ae)＝－be－ae2?

長除法表示：(已代換)

多项式除法 多项式的除法原理(综合除法)

ax＋(b＋ae)

2x-

ax＋bx＋c

ax－aex 2(b＋ae)x＋c

(b＋ae)x-e(b＋ae)

c＋be＋ae2

2?ax＋bx＋c＝(－xe)[＋ax＋(b ae)]

綜合除法表示：

a ＋ b ＋c

e ＋ae ＋e(b＋ae)

a (b＋ae) c＋be＋ae 2

餘式

思考1：

為何本來長除法中除式為(x－ｅ)，但是在綜合除法中卻變 (＋e)，請提出合理的解釋想法。[www.61k.com］

思考2：

設多項式f(x)＝x3＋3x2－4x＋1，則

(1)請利用綜合除法，以x-1除f(x)，商式為何？餘式為何？

(2)設f(x)＝a(x－1)3＋b(x－1)2＋c(x－1)＋d，則a、b、c、d為何？

Hinet：試利用多項式除法跟綜合除法兩種方法，並比較之。

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二 : 多项式除法

2-3 多項式除法 PART I ：主題探索區

1 單項式除以單項式

1 x ÷○ x 3 2 x 3

x 2 x =

4

4 ? 4x= ?4 x 3 2 ? 4x ÷○ 3x 3x 3

2 多項式除以單項式

化簡下列各式

2 ? 18x+ 16x 1 ○4x

9x 2 ? 4 2 (27 ○x 3 ? 2 )÷

1 Ans：○2 ○ ? 9 x + 4 2

3：求 5x 2 ? 15x + 50 除以 5x 的商式與餘式

解：

Ans：商式: x ? 3 餘式: 50 1

除式缺常數項要補 0

多项式除法 多项式除法

學習概念

1 降冪排列 ○2 缺項補 0(包含缺常數項) ○

2、建議以分離係數法解題

3：求 6x 2 ? 18x ? 13 除以 3x 的商式與餘式

4：求下列多項式除法的商式與餘式

(2 ? 3) (6x 2 ? + 7) ÷

解：

（分離係數法）

Ans：商式: 3x + 4 餘式:19

2

多项式除法 多项式除法

(2x 2 ? ? 3) ÷ (2 ? 3) 4：

商式：

餘式：

學習概念

2、若餘式=0，則稱為整除。［www.61k.com］

(6x 2 + 4 + 7) ÷ (2 + 3)

5商式： 3x ? 2 29餘式： 2

3

多项式除法 多项式除法

5-1：(9 x 2 + 5 + 7) ÷ (3 ? 2)

(5x 2 ? 6 ? 4) ÷ (5 + 1) 商式： 餘式：

商式：

餘式：

學習概念

多項式除法中，有缺項記得要補 0。（www.61k.com）

6：(4 x 2 ? 3) ÷ (2 x ? 1)

被除式缺一次項

解：

Ans：商式: 2 x + 1 餘式: ? 2

4

多项式除法 多项式除法

6-1：(15x 2

+ 4 ) ÷ (3 + 2)

解：

4 0

(7 x 2 ? 3) ÷ (3x + 1)

解：

3 + 1? 3

5 被除式缺常數項 商式： 餘式： 被除式缺一次項 商式： 餘式：

多项式除法 多项式除法

◎正整數與多項式除法比較表

7：一個多項式除以 2 x + 3 得到商式 5x ? 1 ，餘式為 7，試求

此多項式為何？

解： 此多項式=( 2 x + 3 )( 5x ? 1 )+7 先判別所求為被除式

=10x 2 + 13x ? 3 + 7 再利用 A = BQ + R =10x 2 + 13x + 4

Ans：10 x2 + 13x + 4

7：一個多項式除以 5x ? 7 得到商式 4x + 9 ，餘式為 -9，試求

此多項式為何？

解：

6

多项式除法 多项式除法

8：若A 為一多項式，且為何？ 2 x2 ? 15x + 7 A = x ? ? 11 A ，求多項式 A

解： A = [2 x 2 ? 15 + 7 ? (? 11)]÷ ( ? 6)

( ? 6) = 2 x2 ? 15 + 18÷

[]

= 2 x ? 3

先判別所求為除式 再利用 除式 = (被除式 － 餘式) ÷ 商式

Ans： 2 x ? 3

3x2 + 11x + 8 8 B 為一多項式且= B +? 2 ，求多項式 B 為何？

x + 2 x + 2

提示：商式=(被除式-餘式) ÷ 除式 7

多项式除法 多项式除法

PART 2：學習檢測站

(4 x 2 ? 2 + 6) ÷ (2 + 1) 的商式= 1、求 餘式=

2、求 (?8x 2 + 10 ? 5) ÷ (?4 + 3) 的商式= 餘式=

(6x 2 ? 6 + 8) ÷ (2 ? 3) 的商式= 3、求 餘式=

4、求 (4x 2 + 1) ÷ (2x ? 1) 的商式= 餘式=

5、求 (?7 x 2 ? 9x ? 5) ÷ (7 x) 的商式= 餘式= 8

多项式除法 多项式除法

PART 3：進階挑戰題

1 右邊是多項式除法的計算過程，並以

a, b,c,d 表示係數，求 a + b + c + d =

9

多项式除法 多项式除法

2 求[(3x 2 ? 4x + 9) ? (? x 2 + 3x ? 6)] ÷ (x ? 1) 的餘式 10

多项式除法 多项式除法

3.將多項式 A = ( x + 4)( x ? 7) 減去某數後會變成 x ? 9 的倍數， 求某數是下列何數？

(A)-12 (B)26 (C)-10 (D)-1 11

多项式除法 多项式除法

4. 將 B = (3x + 1)( x ? 5) 減去 ax 後，就變成 3x ? 5 的倍數，則 a 可能為下列 何數？

(A)-6 (B)12 (C)-12 (D)6

12

多项式除法 多项式除法

PART IV：資源補給庫

(2x2 + 3 + 1) ÷ (4 ? 1)，小明作多項式除法以分離係數

法求商式及餘式，作法如右：

1 7 15 小明怕算錯，以 (2 + 3 + 1) = (4 ? 1) × ( ) 作驗算，請 +2 8 8

問下列敘述何者正確？

(A) 此驗算方法正確，若 被除數 ≠ 除數 × 商 + 餘數，則

保證算錯了

(B) 此驗算方法錯誤，因為 被除數 = 除數 × 商 + 餘數 只適用於正整數

(C) 此驗算方法一定能保證你算對

(D) 小明作分離係數法過程錯誤，所以就算驗算方法正確也沒有用

正確答案（Ａ）

多項式除法對習慣於正整數除法的學生而言，一開始很難接受。(www.61k.com]

1 降冪排列○2 缺項補零○3 直式分離係數法計算除了要注意○。且計算過

程又常出現分數，以至於學生對自己的解答信心不足 。

若以13 ÷ 4 = 3L1 為例，則由除法原理可知13 = 4 × 3 + 1

所以除法原理： A ÷ B = QL R → A = B × Q + R（為一恆等式，當 x = 1 代入亦成立）可作為驗算的方法。「若 A ≠ B × Q + R ，則保證算錯了， 趕快找出錯誤的地方訂正吧！」

13

多项式除法 多项式除法

但 A = B × Q + R 就一定能保證你一定算對嗎？答案是否定的。［www.61k.com） 今舉一錯解來討論：

( x 2 ? 2 + 1) ÷ ( + 1) 的商式與餘式。 解：

Ans：商式： x ? 2 餘式： ? x + 3

就上面例題來說，以 x 2 ? 2x + 1 = ( x ? 2)( x + ) + (? + 3)

→ 1 ? 2 + 1 = (1 ? 2)(1 + 1) + (?1 + 3) 來驗算是正確的，但是演算過程卻發

生了一個＂明顯的錯誤＂，餘式的最高次和除式的最高次相同。（計 算過程本身有問題）

〝偵錯〞，但不能百分百保證你算對！

14

多项式除法 多项式除法

解答：

PART I ：主題探索區

練習 3：

Ans： 商式： 2 x ? 6 餘式： ? 13 練習 4： Ans： 商式： x + 1 餘式： 0

練習 5：

1143 2 7131 商式： Ans：○3x + 餘式： ○商式： x ?餘式： ?3 3 5 5

練習 61 商式： Ans：○5x ? 2 餘式：4 餘

7 72 商式： x ? ○式： ? 3 9 9

練習 7

Ans： 20x 2 + 17 x ? 72

練習 8Ans： 3x + 5

15

多项式除法 多项式除法

PART 2：學習檢測站

1 2 Ans：○x ? 2 ，8 3 252 2 3 ○x ? 1 ，-2 ○3x ,

○4 2x + 1， 2 ○5 ? x ? 9 ， ? 5

7

PART 3：進階挑戰題

1.

解：

Q 4ax = ?12x ∴ a = ?3

2x × 8 = cx ∴ c = 16 d ? (?24) = 18

d + 24 = 18

∴ d = ?6

b ? (?12) = c

b + 12 = 16 ∴ b = 4

故 a + b + c + d = ? 3 + 4 + 16 ? 6 = 11

Ans：11

16

2 2

多项式除法 多项式除法

2. 解：[3x 2 ? 4x + 9 + x 2 ? 3 + 6] ÷ ( ? 1)

( ? = (4x 2 ? 7 + 15) ÷1)

Ans：餘式 = 12 3. 解： A = ( x + 4)( x ? 7)

= 2 ? 3 ? 28 將 ( x 2 ? 3 ? 28) ÷ ( ? 9)

當某數為 26 時， x 2 ? 3x ? 28 ? 26 = 2 ? 3 ? 54 = ( x + 6)( x ? 9) Ans：(B)

17

多项式除法 多项式除法

4.

解：

B = (3x + 1)( x ? 5)

= 3 2 ? 14 ? 5

(3x 2 + x ? 5) ÷ (3 ? 5)

試作

所以 b = ?2 ? 14 x ? (ax = ? x ∴ a = ?12

Ans：(C)

18

三 : 多项式的除法原理(综合除法)

多項式的除法原理(綜合除法)

1.多項式的除法定理：

設f(x)、g(x)是兩個多項式，且g(x)?0，則恰有兩多項式q(x)及r(x)使得 f(x＝)q(?x)r(x)＝0或degr(x)<deg g(x)。 g(＋x)成立，其中r

(1).f(x)稱為被除式，g(x)稱為除式，q(x)稱為商式，r(x)稱為餘式。

(2).被除式＝除式×商式＋餘式。

(3).簡式：A＝BQ＋R

2.綜合除法：

x2＋2x＋4除以x－1得到商式為x＋3，餘式為 7

2 依照除法定理可表示成x＋2x＋4＝(x－1)(x＋3)＋7

綜合除法的作法：

注意 1 ＋ 2 ＋ 4

＂變號＂（ｘ-1）

餘式 所代表的是商式x＋3

2＋1＝3

ax2＋bx＋c＝(x－e)(fx＋g)＝fx2＋(g－ef)x－eg (整除)

?a＝f?依照比較係數法：?b＝g－ef?g＝b＋ae

?c＝－eg?c＝－e(b＋ae)＝－be－ae2?

長除法表示：(已代換)

ax＋(b＋ae)

2x-

ax＋bx＋c

ax－aex 2(b＋ae)x＋c

(b＋ae)x-e(b＋ae)

c＋be＋ae2

2?ax＋bx＋c＝(－xe)[＋ax＋(b ae)]

綜合除法表示：

a ＋ b ＋c

e ＋ae ＋e(b＋ae)

a (b＋ae) c＋be＋ae 2

餘式

思考1：

為何本來長除法中除式為(x－ｅ)，但是在綜合除法中卻變 (＋e)，請提出合理的解釋想法。

思考2：

設多項式f(x)＝x3＋3x2－4x＋1，則

(1)請利用綜合除法，以x-1除f(x)，商式為何？餘式為何？

(2)設f(x)＝a(x－1)3＋b(x－1)2＋c(x－1)＋d，則a、b、c、d為何？

Hinet：試利用多項式除法跟綜合除法兩種方法，並比較之。

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