一 : SARS传播的数学模型

1 问题描述
SARS(Severe Acute Respiratory Syndrome,严重急性 Syndrome, 呼吸道综合症, 俗称:SARS型肺炎 型肺炎) 21世纪第一个在世 呼吸道综合症, 俗称:SARS型肺炎)是21世纪第一个在世 SARS的爆发和蔓延给我国的经 界范围内传播的传染病 .SARS的爆发和蔓延给我国的经 济发展和人民生活带来了很大影响, 济发展和人民生活带来了很大影响,我们从中得到了许多 重要的经验和教训,认识到定量地研究传染病的传播规律, 重要的经验和教训,认识到定量地研究传染病的传播规律, 为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性. 为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性. 1, 对早期模型,评价其合理性和实用性. 对早期模型,评价其合理性和实用性. 2,建立自己的模型,特别要说明怎样才能建立一个真正 建立自己的模型, 能够预测以及能为预防和控制提供可靠, 能够预测以及能为预防和控制提供可靠,足够的信息的模 这样做的困难在哪里? 型,这样做的困难在哪里? 3,收集SARS对经济某个方面影响的数据,建立相应的数 收集SARS对经济某个方面影响的数据, SARS对经济某个方面影响的数据 学模型并进行预测. 学模型并进行预测.

2 基本假设
1) 假设所考查人群的总数恒定,且无病源的输入和输出. 假设所考查人群的总数恒定,且无病源的输入和输出. 2) 将所考查人群分为现有病人,治愈者,死亡者,正常 将所考查人群分为现有病人,治愈者,死亡者, 人四类. 人四类. 3) 假设已治愈的患者二度感染的概率为 ,即患者具有 假设已治愈的患者二度感染的概率为0, 免疫能力,不考虑其再感染. 免疫能力,不考虑其再感染. 4) 假设所有患者均为"他人输入型"患者,即不考虑人 假设所有患者均为"他人输入型"患者, 群个体自身发病. 群个体自身发病. 5) 假设各类人群在人群总体中分布均匀. 假设各类人群在人群总体中分布均匀. 6) 假设已被隔离的人群之间不会发生交叉感染. 假设已被隔离的人群之间不会发生交叉感染. 7) 不考虑隐性 不考虑隐性SARS患者,即只要感染上 患者, 患者 即只要感染上SARS病毒的患 病毒的患 者最终都会表现出症状. 者最终都会表现出症状

3 符号说明
X(t):现有病人数 现有病人数 Y(t):累计病人数 累计病人数 R(t):累计治愈人数 累计治愈人数 D(t):累计死亡人数 D(t):累计死亡人数 T:采取强制措施的时间 采取强制措施的时间 L1:病人的死亡率 病人的死亡率 L2:病人的治愈率 病人的治愈率 P:采取控制措施后的隔离强度 采取控制措施后的隔离强度 R(t):未被隔离的病人平均每人每天感染的人数 未被隔离的病人平均每人每天感染的人数

4 问题的分析
把人群分为四类:正常人群,患病人群,治愈人类和

死亡 把人群分为四类:正常人群,患病人群, 人群,分别用H(t),X(t),R(t)和D(t)表示. 表示. 人群,分别用 , , 和 表示 在SARS爆发初期,由于整个社会对 爆发初期, 爆发初期 由于整个社会对SARS病毒传播的速 病毒传播的速 度和危害程度认识不够,政府和公众对之不予重视, 度和危害程度认识不够,政府和公众对之不予重视,没有 采取任何有效的隔离控制措施.当疫情蔓延到4月 号 采取任何有效的隔离控制措施.当疫情蔓延到 月20号, 政府与社会开始采取强制措施, 进行预防和控制. 政府与社会开始采取强制措施,对SARS进行预防和控制. 进行预防和控制 因此 因此SARS的传播规律可分为"控前"和"控后"两个阶 的传播规律可分为" 控后" 的传播规律可分为 控前" 段
控制前 近乎自然的传播模式 控制后 政府控制后的传播模式

各类人的转化关系
控前模型为近似于自然传播时的S-I-R模型,控后 模型为介入隔离强度后的微分方程模型,两个模 型中各类人的转化关系如图

5 模型的建立 控前
现有病人数 假设某地区产生第一例SARS病人的时间为T0,在 (T0,T)时段,是近乎于自由传播的时段,隔离 强度为0,每个病人每天感染人数为一常数. 考察(t, △t)时段内现有病人数的变化,应该等于 △t时间段新增的病人数减去死亡和治愈的人数.
新增病人 现有病人 死亡和治愈病人

现有病人数的变化=新增病人数-(死亡人数+治 愈人数).我们设r为每个未被隔离的病人每天感 染的人数,L1和L2分别为治愈率和死亡率.则有

新增病人数=病人数 每人在t时间内感染人数 × =X (t ) × rt = rX (t )t 死亡人数=死亡率 病人数× t × =L1 × X (t ) × t = L1 X (t )t 治愈人数=治愈率 病人数× t × =L2 × X (t ) × t == L2 X (t )t

于是有
X ( t + t ) X ( t ) = rX ( t ) t ( L 1 + L 2 ) X ( t ) t X (t + t ) X (t ) = rX ( t ) ( L 1 + L 2 ) X ( t ) t

当△t→0时, dX ( t ) = rX ( t ) ( L 1 + L 2 ) X ( t ) dt 累计死亡人数 死亡累计人数的变化=新增死亡人数

D (t + t ) D (t ) = L1 X (t ) t 当△t→0时 dD ( t ) = L1 X (t ) dt

累计治愈人数 治愈累计人数的变化=新增治愈人数.
R (t + t ) R (t ) = L 2 X (t ) t



dR dt

(t)

=

L

2

X (t)

累计病人数 累计病人数=现有病人数+累计死亡人数+累计 治愈人数 Y (t ) = X (t) + D(t ) + R(t )

SARS传播的控前模型 传播的控前模型
dX ( t ) dt = rX ( t ) ( L1 + L 2 ) X ( t ) dD ( t ) = L X ( t ) 1 dt dR ( t ) = L 2 X (t ) dt Y ( t ) = X ( t ) + D ( t ) + R ( t )

初始值

X (0) = 1 Y (0) = 1 D(0) = 0 R(0) = 0

控后模型 控后隔离强度从控前的0变为 p.未被隔离 的病人平均每人每天感染的人数r随时间逐 渐变化,它从初始的最大值a+b逐渐减小至 最小值a.设每个未被隔离的病人每天感染 的人数 r (t

) = a + be λ ( t T ) λ 其中,用来反映r(t)的变化快慢,可以用附 件中的数据估计出它的大小. 类似于控前模型的分析,我们来考虑在t到 t+ △ t时段内各类人群的变化情况.

现有病人数
现有病人数的变化=新增病人数-(死亡人数+治 愈人数).与控前模型一样,用和表示治愈率和死 亡率.则有
新增病人数=病人数× 每人在t时间内感染人数 =(1 p) X (t ) × r (t )t = (1 p)r (t ) X (t )t 死亡人数=死亡率× 病人数 × t =L1 × X (t ) × t = L1 X (t )t 治愈人数=治愈率× 病人数 × t =L2 × X (t ) × t == L2 X (t )t

于是有
X (t + t ) X (t ) = (1 p ) r (t ) X (t ) t ( L1 + L 2 ) X (t ) t X ( t + t ) X (t ) = (1 p ) r (t ) X (t ) ( L1 + L 2 ) X (t ) t

dX (t ) 当△t→0时, dt = (1 p ) r (t ) X (t ) ( L1 + L2 ) X (t )

累计死亡人数
△ t时间内死亡累计人数的变化等于新增死亡人数.

D (t + t ) D (t ) = L1 X (t ) t

当△t→0时
dD dt (t ) = L
1

X (t )

累计治愈人数 治愈累计人数的变化=新增治愈人数.
R (t + t ) R (t ) = L 2 X (t ) t



dR dt

(t)

=

L

2

X (t)

累计病人数 累计病人数=现有病人数+累计死亡人数+累计 治愈人数 Y (t ) = X (t) + D(t ) + R(t )

SARS传播的控后模型 传播的控后模型
dX (t ) dt = (1 p)r(t ) X (t ) (L1 + L2 ) X (t ) dD(t ) = L X (t ) 1 ,t ≥ T dt dR(t ) = L2 X (t ) dt Y (t ) = X (t ) + D(t ) + R(t )
r(t) = a+be λt a ≈ 0.245 b ≈ 0.6

初始值X(T)取控前模型的最后一个值.

6.模型的求解: 模型的求解: 模型的求解
6.1 控前模型的求解 对于现有病人数,我们可以根据SARS传播的控前方程 传播的控前方程(5.8), 对于现有病人数,我们可以根据 传播的控前方程 , 求得它的解析解为

X (t ) = X ( 0 ) e ( r L1 L2 ) t , t ≤ T
其中, 其中, r = 0 . 55 L 1 = 0 . 053 L 2 = 0 . 0695 X ( 0 ) = 1

(5.19)

(5.20)

再将分别代入SARS传播的控后方程 传播的控后方程(5.17),就可以给出, 再将分别代入 传播的控后方程 ,就可以给出, 以及的数值解.再将分别代入SARS传播的控后方程 传播的控后方程(5.17),就 以及的数值解.再将分别代入 传播的控后方程 , 可以给出, 可以给出,以及的数值解 .

6.2 控后模型的求解
同理, 同理,我们求得现有病人数得解析解

X (t) = X (T)e

[(1 p)aL1 L2 ](t T )+

(1P)b(1eλ (t T ) )

λ

,t ≥ T

(5.21)

a = 0 . 245 其中, b = 0 . 6 其中, T = 47

(5.22)

我们已经分析过,为一客观参数.由于 月 日第一例 日第一例SARS 我们已经分析过,为一客观参数.由于3月5日第一例 进入我国,是我们记时的起点;4月20日即为的情况. 进入我国,是我们记时的起点; 月 日即为的情况. 日即为的情况 p 和 λ 为待估计的参数,现在来估计 p和 λ . 为待估计的参数, 根据附件中的数据, 根据附件中的数据,将各时刻累计病人数减去累

计治愈人数 再减去死亡人数,可得到现有病人数, 的值. 再减去死亡人数,可得到现有病人数,估计 p 和λ 的值.估计 时我们按均方最小误差原则,计算出其估计值分别为: 时我们按均方最小误差原则,计算出其估计值分别为: P = 65% , λ = 0.02 .

的一元确定函数. 至此即 X(t) 为关于 t 的一元确定函数. 我们根据以上求出的解,作出了现有病人数,累计死亡人数, 我们根据以上求出的解,作出了现有病人数,累计死亡人数, 累计治愈人数,累计病人数的曲线图,如图4所示 其中, 所示. 累计治愈人数,累计病人数的曲线图,如图 所示.其中,打点的 是实际公布数据. 是实际公布数据.

图4 理论值与实际值对照图 从图4中可以看出,方程的解与实际数据吻合的很好,说明我 从图 中可以看出,方程的解与实际数据吻合的很好, 中可以看出 们的参数和模型都是正确可靠的. 们的参数和模型都是正确可靠的.

7

模型检验与结果分析

7.1 灵敏度分析 根据我们所建的模型, 根据我们所建的模型,卫生部门通常可以采取两种方案对疫情 进行有效控制.一是改变控制时间点;二是改变控制强度. 进行有效控制.一是改变控制时间点;二是改变控制强度.现在我 们分别考察他们对模型的影响 . 隔离强度对的模型影响

图5 隔离强度对的模型影响

表1

隔离强度 55% 55% 65% 65% 75% 75%

p

累计病人数 6996 2827 1339

由图5和表 可以看出 由图 和表1可以看出: 和表 可以看出: 隔离强度75%与隔离强度 与隔离强度65%相比,可使发病总人数减小 相比, 隔离强度 与隔离强度 相比 1500人左右. 人左右. 人左右 隔离强度65%与隔离强度 与隔离强度55%相比,可使发病总人数减小 相比, 隔离强度 与隔离强度 相比 4000人左右. 人左右. 人左右 说明隔离强度,对疫情的传播具有极大的敏感度和相关性. 说明隔离强度,对疫情的传播具有极大的敏感度和相关性.

控制时间对的模型影响

图6 控制时间对的模型影响

表2 控制时间 T 累计病人数 延后5天 延后5 延后4天 延后4 延后2天 4月20日 提前2天 提前4天 提前4 提前5天 提前5 5382 4729 3733 2879 2764 1576 1621

由图6和表 可以看出 控制时间的提前或延后, 由图 和表2可以看出:控制时间的提前或延后,对累计病人 和表 可以看出: 影响显著. 影响显著. 说明控制时间T,对疫情的传播具有极大的敏感度和相关性. 说明控制时间 ,对疫情的传播具有极大的敏感度和相关性.

7.2 收敛性讨论

各类人群数是否收敛. 收敛的判别标准为当 t →∞ 时,各类人群数是否收敛.针对 该模型,我们要判别控后模型方程组解的收敛性, 该模型,我们要判别控后模型方程组解的收敛性,X(t)的取值 的取值 至关重要,D(t),R(t)以及 至关重要 , 以及

Y(t)的收敛性都直接依赖于 的收敛性都直接依赖于X(t)是否 是否 以及 的收敛性都直接依赖于 收敛到0. 收敛到 . 将控后模型中X(t)的解析解取极限得 : 将控后模型中 的解析解取极限得

lim X (t ) = X (T ) lime t
t →∞ t →∞

[(1 p ) a L1 L2 ](t T )+

(1 P )b

λ

(5.23)

该试为t的指数函数,其收敛性取决于自变量的系数. 该试为t的指数函数,其收敛性取决于自变量的系数. 模型收敛, 当时 (1 p)a L1 L2 <, lim X (t ) = 0 ,模型收敛,疫情能够得 0 t →∞ 到控制. 到控制. 模型发散, 当 , lim X (t ) ≠ 0 ,模型发散,疫情难以控 (1 p)a L1 L2 ≥ 0 t →∞ 制. 分析发现, 分析发现,模型收敛得条件为 :

L1 + L 2 p >1 a

(5.24)

L1 = 0.053 L2 = 0.0695 其中, 其中, a = 0.245 所以,要使疫情得到控制, 所以,要使疫情得到控制,必须使隔离强度 p > 50% .

7.3 计算机模拟检验
为了检验模型求解结果的正确性,我们进行了仿真模拟.模 为了检验模型求解结果的正确性,我们进行了仿真模拟. 拟结果如图7所示 所示. 拟结果如图 所示.

图7 计算机模拟图 从以上曲线可以看出:计算机模拟结果与模型计算结果有着良 从以上曲线可以看出: 好的一致性.本模型是可以信赖的SARS传播模型. 传播模型. 好的一致性.本模型是可以信赖的 传播模型

8

模型的评价

8.1 模型的优点 本文中所建立的是一个连续的微分方程模型,它从机理上 本文中所建立的是一个连续的微分方程模型, 准确地描述了每一时刻的现有病人,治愈者, 准确地描述了每一时刻的现有病人,治愈者,死亡者的变化规 消除了离散模型在处理非整数天数时的困难,机理合理, 律,消除了离散模型在处理非整数天数时的困难,机理合理, 方法直观,实用,结果与实际数据拟合的很好. 方法直观,实用,结果与实际数据拟合的很好. 该模型根据附录给出的数据设置变量, 该模型根据附录给出的数据设置变量,各变量之间相互影 关系明确;同时设定的参数合情合理,意义明确, 响,关系明确;同时设定的参数合情合理,意义明确,消除了 人为因素对模型结果的影响. 人为因素对模型结果的影响. 建立的微分方程稳定性较好,给出了模型的收敛性条件, 建立的微分方程稳定性较好,给出了模型的收敛性条件, 即隔离强度达到多少才能控制疫情,对政府的决策有指导意义. 即隔离强度达到多少才能控制疫情,对政府的决策有指导意义. 该模型针对不同隔离强度进行分段研究, 该模型针对不同隔离强度进行分段研究,能够方便有效的 预测疫情趋势.欲对某疫区进行预测,只需对参数进行估计, 预测疫情趋势.欲对某疫区进行预测,只需对参数进行估计, 给出初值带入方程即可. 给出初值带入方程即可.

8.2 模型的缺点
为了简

化模型的复杂性,我们设定隔离强度, 为了简化模型的复杂性,我们设定隔离强度,治愈 率,死亡率等参数在一定阶段不发生变化,而实际情况 死亡率等参数在一定阶段不发生变化, 随着感染人数的减少,其会发生变化, 下,随着感染人数的减少,其会发生变化,还需要针对 具体情况做具体分析. 具体情况做具体分析. 模型给出的把人群的每一个个体, 模型给出的把人群的每一个个体,每一个地区视为 相同的,忽略了性别, 相同的,忽略了性别,年龄结构以及地区差异对隔离措 施强度,控制时间等参数的影响等,而事实上,个体免 施强度,控制时间等参数的影响等,而事实上, 疫力与个体年龄因素有关的, 疫力与个体年龄因素有关的,同时不同地域对疫情的趋 势也有影响,有待改进. 势也有影响,有待改进. 我们忽略了人口流动给该地区传染病带来的影响, 我们忽略了人口流动给该地区传染病带来的影响, 而实际上SARS的传染源多为输入性病人.如果考虑人 的传染源多为输入性病人. 而实际上 的传染源多为输入性病人 口流动,模型要加以改进. 口流动,模型要加以改进.

9 问题的推广与应用
传染病对人类的威胁与祸害由来已久, 传染病对人类的威胁与祸害由来已久,自从人类 开始向文明社会迈进,病毒就已不断的袭击人类. 开始向文明社会迈进,病毒就已不断的袭击人类.当 某种传染传染病病菌首次侵入缺乏患病经验的种群时, 某种传染传染病病菌首次侵入缺乏患病经验的种群时, 往往会爆发大规模的传入病,造成严重后果. 往往会爆发大规模的传入病,造成严重后果.虽然随 着人类的医学研究的发展与突破, 着人类的医学研究的发展与突破,已经能够有效的防 治和控制许多传染病,但是由于病毒的遗传与变异, 治和控制许多传染病,但是由于病毒的遗传与变异, 可能会出现新的突发性传染病. 可能会出现新的突发性传染病.

这一突发疫情袭击了世界上20多 如2003年SARS这一突发疫情袭击了世界上 多 年 这一突发疫情袭击了世界上 个国家和地区,我国首当其冲. 个国家和地区,我国首当其冲.虽然早期的临床经验 对之有初步的认识,但对它的危害, 对之有初步的认识,但对它的危害,传染性都没有完 全认清,它的传播途径,传染性等都需要进一步研究. 全认清,它的传播途径,传染性等都需要进一步研究. 同时突发疾病的不确定性严重影响了使我国经济的发 展和人们生活,学习和工作各方面,更重要得是 展和人们生活,学习和工作各方面, SARS带来的恐慌和政府为了预防传播扩散采取的措 带来的恐慌和政府为了预防传播扩散采取的措 施改变了原有社会的消费,投资,生产等行为模式, 施改变了原有社会的消费,投

资,生产等行为模式, 对国民经济各方面如旅游,社会总需求, 对国民经济各方面如旅游,社会总需求,进出口贸易 等造成的直接损失总额达到2100亿元,加上间接影 亿元, 等造成的直接损失总额达到 亿元 响远远不止2100亿元. 亿元. 响远远不止 亿元

大面积,大规模突发性传染病具有蔓延迅速,来势凶猛, 大面积,大规模突发性传染病具有蔓延迅速,来势凶猛, 难以预防与治疗的特点. 难以预防与治疗的特点. 传染病流行过程的研究与其它学科 有所不同, 有所不同,不能通过在人群中进行科学试验的方式获得科学准 确的数据.在人群中作传染病试验, 确的数据.在人群中作传染病试验,来取得传染病流行的数据 的作法是极不人道也是不可行的. 的作法是极不人道也是不可行的.数学模型是研究传染病的重 要工具它有助于研究影响疾病传播的社会和生物机理的相互作 能使我们判断流行病传播过程各种因素的相互作用; 用,能使我们判断流行病传播过程各种因素的相互作用;能够 帮助政府,医学界和科学界提供治疗和控制措施由于上述原因, 帮助政府,医学界和科学界提供治疗和控制措施由于上述原因, 我们通常主要依据机理的方法来建力数学模型. 我们通常主要依据机理的方法来建力数学模型. 我们可以通过收集分析从已有的传染病观测资料中获取 的相关数据,资料,找出其变化和传播的规律,建立数学模型. 的相关数据,资料,找出其变化和传播的规律,建立数学模型. 由公布的历史数据,确定模型中的固定参数, 由公布的历史数据,确定模型中的固定参数,再通过改变可控 参数:隔离措施强度和控制时间来改变患者的增长趋势, 参数:隔离措施强度和控制时间来改变患者的增长趋势,从而 为有效的控制疫情具有指导作用. 为有效的控制疫情具有指导作用.

本文建立的SARS模型根据现有的数据资料设 模型根据现有的数据资料设 本文建立的 置变量,通过分析各类人群在传播过程中的流量平衡, 置变量,通过分析各类人群在传播过程中的流量平衡, 建立各类人群的微分方程. 建立各类人群的微分方程.并通过数据拟合得到影响 传染病传播的固定参数, 传染病传播的固定参数,使得患病人数的计算值与实 际的统计值基本吻合.同时调整可控参数, 际的统计值基本吻合.同时调整可控参数,使之达到 一定水平就能使疫情得到控制.并用此可控参数未来 一定水平就能使疫情得到控制. 的疫情态势作预测, 的疫情态势作预测,从而指导实践对政府对疫情的控 制有知指导意义. 制有知指导意义. 社会,季节, 社会,季节,风俗习惯等因素都会影响传染病 的传播,传染率,病人患病后入院时间, 的传播,传染率,病人患病后

入院时间,传染时间也 是疫情的重要控制参数,但最直接的因素是隔离措施 是疫情的重要控制参数, 强度与政府严格采取隔离措施的时间, 强度与政府严格采取隔离措施的时间,对疫情的发展 态势控制有很大的影响. 态势控制有很大的影响.

因此我们通过建立传染病数学模型, 因此我们通过建立传染病数学模型,可以对不 同疫区的未来情况进行预测, 同疫区的未来情况进行预测,从而对政府的决策行 为进行指导.我们建议: 为进行指导.我们建议: 控制传染病源,加大隔离力度. 控制传染病源,加大隔离力度. 构筑医疗卫生体系,建立传染病预警机置. 构筑医疗卫生体系,建立传染病预警机置. 加强零散病人的及时隔离和医治. 加强零散病人的及时隔离和医治. 强化确诊病例和疑似病人的医治和隔离. 强化确诊病例和疑似病人的医治和隔离.

面对突发性传染并的袭击, 面对突发性传染并的袭击,根据对隔离参数和 采取强制控制时间的要求, 采取强制控制时间的要求,我们认为面对突发性传染 并的袭击, 并的袭击,根据传染病模型中对采取强制控制时间的 要求,我们认为预防为主,防止结合, 要求,我们认为预防为主,防止结合,对患者和疑似 病人做到"早发现,早报告,早隔离,早治疗" 病人做到"早发现,早报告,早隔离,早治疗",防 患于未然,应是我国卫生工作的重要方针. 患于未然,应是我国卫生工作的重要方针.我国政府 应加大力度构筑医疗卫生体系, 应加大力度构筑医疗卫生体系,以数学模型为理论指 建立传染病预警机置, 导,建立传染病预警机置,这对于各种传染性的疾病 的控制具有十分重要的意义. 的控制具有十分重要的意义.

二 : IDM的传播模型

IDM -传播模型

影响力传播模型(Influence Difusion Model)

2002年，日本东京大学的Naohiro Matsumura，Yukio Osama和Mitsuru Ishizuka提出影响力传播模型IDM(Influence Difusion Model)，用于对BBS上有影响力的人物和话题的发现。IDM假定：

1.帖子的传递链反映了用户之间影响的传递。比如，如果帖子Cy回复的是帖子Cx，那么Cy被认为受到了Cx的影响。类似的，如果人物Y回复了人物X的帖子，那么认为人物Y受到了X的影响。因此，影响力是通过帖子链传播的。

(www.61k.com)

2.帖子中的关键词反映了人物的观点。在帖子链中关键词传递的多少反映了影响的程度。

基于上述两个假设，影响力模型被定义为：关键词在帖子传递链中传递的程度即为影响力传递的程度。

其中，Wx和Wy是帖子Cx和帖子Cy中所使用的关键词集合。ix，y是帖子X对帖子Y的影响力。影响力的传递计算：

在此模型基础之上，Naohiro Matsumura等人研究了挖掘和分析BBS上观点领袖(Opinion Leader)及其角色的方法。IDM模型的着眼点是用户间的交互模式，通过分析帖子或者用户间的影响力传递来发现焦点人物或者热点话题。

三 : SARS传播的数学模型

1 问题描述
SARS(Severe Acute Respiratory Syndrome,严重急性 Syndrome, 呼吸道综合症, 俗称:SARS型肺炎 型肺炎) 21世纪第一个在世 呼吸道综合症, 俗称:SARS型肺炎)是21世纪第一个在世 SARS的爆发和蔓延给我国的经 界范围内传播的传染病 .SARS的爆发和蔓延给我国的经 济发展和人民生活带来了很大影响, 济发展和人民生活带来了很大影响,我们从中得到了许多 重要的经验和教训,认识到定量地研究传染病的传播规律, 重要的经验和教训,认识到定量地研究传染病的传播规律, 为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性. 为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性. 1, 对早期模型,评价其合理性和实用性. 对早期模型,评价其合理性和实用性. 2,建立自己的模型,特别要说明怎样才能建立一个真正 建立自己的模型, 能够预测以及能为预防和控制提供可靠, 能够预测以及能为预防和控制提供可靠,足够的信息的模 这样做的困难在哪里? 型,这样做的困难在哪里? 3,收集SARS对经济某个方面影响的数据,建立相应的数 收集SARS对经济某个方面影响的数据, SARS对经济某个方面影响的数据 学模型并进行预测. 学模型并进行预测.

2 基本假设
1) 假设所考查人群的总数恒定,且无病源的输入和输出. 假设所考查人群的总数恒定,且无病源的输入和输出. 2) 将所考查人群分为现有病人,治愈者,死亡者,正常 将所考查人群分为现有病人,治愈者,死亡者, 人四类. 人四类. 3) 假设已治愈的患者二度感染的概率为 ,即患者具有 假设已治愈的患者二度感染的概率为0, 免疫能力,不考虑其再感染. 免疫能力,不考虑其再感染. 4) 假设所有患者均为"他人输入型"患者,即不考虑人 假设所有患者均为"他人输入型"患者, 群个体自身发病. 群个体自身发病. 5) 假设各类人群在人群总体中分布均匀. 假设各类人群在人群总体中分布均匀. 6) 假设已被隔离的人群之间不会发生交叉感染. 假设已被隔离的人群之间不会发生交叉感染. 7) 不考虑隐性 不考虑隐性SARS患者,即只要感染上 患者, 患者 即只要感染上SARS病毒的患 病毒的患 者最终都会表现出症状. 者最终都会表现出症状

3 符号说明
X(t):现有病人数 现有病人数 Y(t):累计病人数 累计病人数 R(t):累计治愈人数 累计治愈人数 D(t):累计死亡人数 D(t):累计死亡人数 T:采取强制措施的时间 采取强制措施的时间 L1:病人的死亡率 病人的死亡率 L2:病人的治愈率 病人的治愈率 P:采取控制措施后的隔离强度 采取控制措施后的隔离强度 R(t):未被隔离的病人平均每人每天感染的人数 未被隔离的病人平均每人每天感染的人数

4 问题的分析
把人群分为四类:正常人群,患病人群,治愈人类和

死亡 把人群分为四类:正常人群,患病人群, 人群,分别用H(t),X(t),R(t)和D(t)表示. 表示. 人群,分别用 , , 和 表示 在SARS爆发初期,由于整个社会对 爆发初期, 爆发初期 由于整个社会对SARS病毒传播的速 病毒传播的速 度和危害程度认识不够,政府和公众对之不予重视, 度和危害程度认识不够,政府和公众对之不予重视,没有 采取任何有效的隔离控制措施.当疫情蔓延到4月 号 采取任何有效的隔离控制措施.当疫情蔓延到 月20号, 政府与社会开始采取强制措施, 进行预防和控制. 政府与社会开始采取强制措施,对SARS进行预防和控制. 进行预防和控制 因此 因此SARS的传播规律可分为"控前"和"控后"两个阶 的传播规律可分为" 控后" 的传播规律可分为 控前" 段
控制前 近乎自然的传播模式 控制后 政府控制后的传播模式

各类人的转化关系
控前模型为近似于自然传播时的S-I-R模型,控后 模型为介入隔离强度后的微分方程模型,两个模 型中各类人的转化关系如图

5 模型的建立 控前
现有病人数 假设某地区产生第一例SARS病人的时间为T0,在 (T0,T)时段,是近乎于自由传播的时段,隔离 强度为0,每个病人每天感染人数为一常数. 考察(t, △t)时段内现有病人数的变化,应该等于 △t时间段新增的病人数减去死亡和治愈的人数.
新增病人 现有病人 死亡和治愈病人

现有病人数的变化=新增病人数-(死亡人数+治 愈人数).我们设r为每个未被隔离的病人每天感 染的人数,L1和L2分别为治愈率和死亡率.则有

新增病人数=病人数 每人在t时间内感染人数 × =X (t ) × rt = rX (t )t 死亡人数=死亡率 病人数× t × =L1 × X (t ) × t = L1 X (t )t 治愈人数=治愈率 病人数× t × =L2 × X (t ) × t == L2 X (t )t

于是有
X ( t + t ) X ( t ) = rX ( t ) t ( L 1 + L 2 ) X ( t ) t X (t + t ) X (t ) = rX ( t ) ( L 1 + L 2 ) X ( t ) t

当△t→0时, dX ( t ) = rX ( t ) ( L 1 + L 2 ) X ( t ) dt 累计死亡人数 死亡累计人数的变化=新增死亡人数

D (t + t ) D (t ) = L1 X (t ) t 当△t→0时 dD ( t ) = L1 X (t ) dt

累计治愈人数 治愈累计人数的变化=新增治愈人数.
R (t + t ) R (t ) = L 2 X (t ) t



dR dt

(t)

=

L

2

X (t)

累计病人数 累计病人数=现有病人数+累计死亡人数+累计 治愈人数 Y (t ) = X (t) + D(t ) + R(t )

SARS传播的控前模型 传播的控前模型
dX ( t ) dt = rX ( t ) ( L1 + L 2 ) X ( t ) dD ( t ) = L X ( t ) 1 dt dR ( t ) = L 2 X (t ) dt Y ( t ) = X ( t ) + D ( t ) + R ( t )

初始值

X (0) = 1 Y (0) = 1 D(0) = 0 R(0) = 0

控后模型 控后隔离强度从控前的0变为 p.未被隔离 的病人平均每人每天感染的人数r随时间逐 渐变化,它从初始的最大值a+b逐渐减小至 最小值a.设每个未被隔离的病人每天感染 的人数 r (t

) = a + be λ ( t T ) λ 其中,用来反映r(t)的变化快慢,可以用附 件中的数据估计出它的大小. 类似于控前模型的分析,我们来考虑在t到 t+ △ t时段内各类人群的变化情况.

现有病人数
现有病人数的变化=新增病人数-(死亡人数+治 愈人数).与控前模型一样,用和表示治愈率和死 亡率.则有
新增病人数=病人数× 每人在t时间内感染人数 =(1 p) X (t ) × r (t )t = (1 p)r (t ) X (t )t 死亡人数=死亡率× 病人数 × t =L1 × X (t ) × t = L1 X (t )t 治愈人数=治愈率× 病人数 × t =L2 × X (t ) × t == L2 X (t )t

于是有
X (t + t ) X (t ) = (1 p ) r (t ) X (t ) t ( L1 + L 2 ) X (t ) t X ( t + t ) X (t ) = (1 p ) r (t ) X (t ) ( L1 + L 2 ) X (t ) t

dX (t ) 当△t→0时, dt = (1 p ) r (t ) X (t ) ( L1 + L2 ) X (t )

累计死亡人数
△ t时间内死亡累计人数的变化等于新增死亡人数.

D (t + t ) D (t ) = L1 X (t ) t

当△t→0时
dD dt (t ) = L
1

X (t )

累计治愈人数 治愈累计人数的变化=新增治愈人数.
R (t + t ) R (t ) = L 2 X (t ) t



dR dt

(t)

=

L

2

X (t)

累计病人数 累计病人数=现有病人数+累计死亡人数+累计 治愈人数 Y (t ) = X (t) + D(t ) + R(t )

SARS传播的控后模型 传播的控后模型
dX (t ) dt = (1 p)r(t ) X (t ) (L1 + L2 ) X (t ) dD(t ) = L X (t ) 1 ,t ≥ T dt dR(t ) = L2 X (t ) dt Y (t ) = X (t ) + D(t ) + R(t )
r(t) = a+be λt a ≈ 0.245 b ≈ 0.6

初始值X(T)取控前模型的最后一个值.

6.模型的求解: 模型的求解: 模型的求解
6.1 控前模型的求解 对于现有病人数,我们可以根据SARS传播的控前方程 传播的控前方程(5.8), 对于现有病人数,我们可以根据 传播的控前方程 , 求得它的解析解为

X (t ) = X ( 0 ) e ( r L1 L2 ) t , t ≤ T
其中, 其中, r = 0 . 55 L 1 = 0 . 053 L 2 = 0 . 0695 X ( 0 ) = 1

(5.19)

(5.20)

再将分别代入SARS传播的控后方程 传播的控后方程(5.17),就可以给出, 再将分别代入 传播的控后方程 ,就可以给出, 以及的数值解.再将分别代入SARS传播的控后方程 传播的控后方程(5.17),就 以及的数值解.再将分别代入 传播的控后方程 , 可以给出, 可以给出,以及的数值解 .

6.2 控后模型的求解
同理, 同理,我们求得现有病人数得解析解

X (t) = X (T)e

[(1 p)aL1 L2 ](t T )+

(1P)b(1eλ (t T ) )

λ

,t ≥ T

(5.21)

a = 0 . 245 其中, b = 0 . 6 其中, T = 47

(5.22)

我们已经分析过,为一客观参数.由于 月 日第一例 日第一例SARS 我们已经分析过,为一客观参数.由于3月5日第一例 进入我国,是我们记时的起点;4月20日即为的情况. 进入我国,是我们记时的起点; 月 日即为的情况. 日即为的情况 p 和 λ 为待估计的参数,现在来估计 p和 λ . 为待估计的参数, 根据附件中的数据, 根据附件中的数据,将各时刻累计病人数减去累

计治愈人数 再减去死亡人数,可得到现有病人数, 的值. 再减去死亡人数,可得到现有病人数,估计 p 和λ 的值.估计 时我们按均方最小误差原则,计算出其估计值分别为: 时我们按均方最小误差原则,计算出其估计值分别为: P = 65% , λ = 0.02 .

的一元确定函数. 至此即 X(t) 为关于 t 的一元确定函数. 我们根据以上求出的解,作出了现有病人数,累计死亡人数, 我们根据以上求出的解,作出了现有病人数,累计死亡人数, 累计治愈人数,累计病人数的曲线图,如图4所示 其中, 所示. 累计治愈人数,累计病人数的曲线图,如图 所示.其中,打点的 是实际公布数据. 是实际公布数据.

图4 理论值与实际值对照图 从图4中可以看出,方程的解与实际数据吻合的很好,说明我 从图 中可以看出,方程的解与实际数据吻合的很好, 中可以看出 们的参数和模型都是正确可靠的. 们的参数和模型都是正确可靠的.

7

模型检验与结果分析

7.1 灵敏度分析 根据我们所建的模型, 根据我们所建的模型,卫生部门通常可以采取两种方案对疫情 进行有效控制.一是改变控制时间点;二是改变控制强度. 进行有效控制.一是改变控制时间点;二是改变控制强度.现在我 们分别考察他们对模型的影响 . 隔离强度对的模型影响

图5 隔离强度对的模型影响

表1

隔离强度 55% 55% 65% 65% 75% 75%

p

累计病人数 6996 2827 1339

由图5和表 可以看出 由图 和表1可以看出: 和表 可以看出: 隔离强度75%与隔离强度 与隔离强度65%相比,可使发病总人数减小 相比, 隔离强度 与隔离强度 相比 1500人左右. 人左右. 人左右 隔离强度65%与隔离强度 与隔离强度55%相比,可使发病总人数减小 相比, 隔离强度 与隔离强度 相比 4000人左右. 人左右. 人左右 说明隔离强度,对疫情的传播具有极大的敏感度和相关性. 说明隔离强度,对疫情的传播具有极大的敏感度和相关性.

控制时间对的模型影响

图6 控制时间对的模型影响

表2 控制时间 T 累计病人数 延后5天 延后5 延后4天 延后4 延后2天 4月20日 提前2天 提前4天 提前4 提前5天 提前5 5382 4729 3733 2879 2764 1576 1621

由图6和表 可以看出 控制时间的提前或延后, 由图 和表2可以看出:控制时间的提前或延后,对累计病人 和表 可以看出: 影响显著. 影响显著. 说明控制时间T,对疫情的传播具有极大的敏感度和相关性. 说明控制时间 ,对疫情的传播具有极大的敏感度和相关性.

7.2 收敛性讨论

各类人群数是否收敛. 收敛的判别标准为当 t →∞ 时,各类人群数是否收敛.针对 该模型,我们要判别控后模型方程组解的收敛性, 该模型,我们要判别控后模型方程组解的收敛性,X(t)的取值 的取值 至关重要,D(t),R(t)以及 至关重要 , 以及

Y(t)的收敛性都直接依赖于 的收敛性都直接依赖于X(t)是否 是否 以及 的收敛性都直接依赖于 收敛到0. 收敛到 . 将控后模型中X(t)的解析解取极限得 : 将控后模型中 的解析解取极限得

lim X (t ) = X (T ) lime t
t →∞ t →∞

[(1 p ) a L1 L2 ](t T )+

(1 P )b

λ

(5.23)

该试为t的指数函数,其收敛性取决于自变量的系数. 该试为t的指数函数,其收敛性取决于自变量的系数. 模型收敛, 当时 (1 p)a L1 L2 <, lim X (t ) = 0 ,模型收敛,疫情能够得 0 t →∞ 到控制. 到控制. 模型发散, 当 , lim X (t ) ≠ 0 ,模型发散,疫情难以控 (1 p)a L1 L2 ≥ 0 t →∞ 制. 分析发现, 分析发现,模型收敛得条件为 :

L1 + L 2 p >1 a

(5.24)

L1 = 0.053 L2 = 0.0695 其中, 其中, a = 0.245 所以,要使疫情得到控制, 所以,要使疫情得到控制,必须使隔离强度 p > 50% .

7.3 计算机模拟检验
为了检验模型求解结果的正确性,我们进行了仿真模拟.模 为了检验模型求解结果的正确性,我们进行了仿真模拟. 拟结果如图7所示 所示. 拟结果如图 所示.

图7 计算机模拟图 从以上曲线可以看出:计算机模拟结果与模型计算结果有着良 从以上曲线可以看出: 好的一致性.本模型是可以信赖的SARS传播模型. 传播模型. 好的一致性.本模型是可以信赖的 传播模型

8

模型的评价

8.1 模型的优点 本文中所建立的是一个连续的微分方程模型,它从机理上 本文中所建立的是一个连续的微分方程模型, 准确地描述了每一时刻的现有病人,治愈者, 准确地描述了每一时刻的现有病人,治愈者,死亡者的变化规 消除了离散模型在处理非整数天数时的困难,机理合理, 律,消除了离散模型在处理非整数天数时的困难,机理合理, 方法直观,实用,结果与实际数据拟合的很好. 方法直观,实用,结果与实际数据拟合的很好. 该模型根据附录给出的数据设置变量, 该模型根据附录给出的数据设置变量,各变量之间相互影 关系明确;同时设定的参数合情合理,意义明确, 响,关系明确;同时设定的参数合情合理,意义明确,消除了 人为因素对模型结果的影响. 人为因素对模型结果的影响. 建立的微分方程稳定性较好,给出了模型的收敛性条件, 建立的微分方程稳定性较好,给出了模型的收敛性条件, 即隔离强度达到多少才能控制疫情,对政府的决策有指导意义. 即隔离强度达到多少才能控制疫情,对政府的决策有指导意义. 该模型针对不同隔离强度进行分段研究, 该模型针对不同隔离强度进行分段研究,能够方便有效的 预测疫情趋势.欲对某疫区进行预测,只需对参数进行估计, 预测疫情趋势.欲对某疫区进行预测,只需对参数进行估计, 给出初值带入方程即可. 给出初值带入方程即可.

8.2 模型的缺点
为了简

化模型的复杂性,我们设定隔离强度, 为了简化模型的复杂性,我们设定隔离强度,治愈 率,死亡率等参数在一定阶段不发生变化,而实际情况 死亡率等参数在一定阶段不发生变化, 随着感染人数的减少,其会发生变化, 下,随着感染人数的减少,其会发生变化,还需要针对 具体情况做具体分析. 具体情况做具体分析. 模型给出的把人群的每一个个体, 模型给出的把人群的每一个个体,每一个地区视为 相同的,忽略了性别, 相同的,忽略了性别,年龄结构以及地区差异对隔离措 施强度,控制时间等参数的影响等,而事实上,个体免 施强度,控制时间等参数的影响等,而事实上, 疫力与个体年龄因素有关的, 疫力与个体年龄因素有关的,同时不同地域对疫情的趋 势也有影响,有待改进. 势也有影响,有待改进. 我们忽略了人口流动给该地区传染病带来的影响, 我们忽略了人口流动给该地区传染病带来的影响, 而实际上SARS的传染源多为输入性病人.如果考虑人 的传染源多为输入性病人. 而实际上 的传染源多为输入性病人 口流动,模型要加以改进. 口流动,模型要加以改进.

9 问题的推广与应用
传染病对人类的威胁与祸害由来已久, 传染病对人类的威胁与祸害由来已久,自从人类 开始向文明社会迈进,病毒就已不断的袭击人类. 开始向文明社会迈进,病毒就已不断的袭击人类.当 某种传染传染病病菌首次侵入缺乏患病经验的种群时, 某种传染传染病病菌首次侵入缺乏患病经验的种群时, 往往会爆发大规模的传入病,造成严重后果. 往往会爆发大规模的传入病,造成严重后果.虽然随 着人类的医学研究的发展与突破, 着人类的医学研究的发展与突破,已经能够有效的防 治和控制许多传染病,但是由于病毒的遗传与变异, 治和控制许多传染病,但是由于病毒的遗传与变异, 可能会出现新的突发性传染病. 可能会出现新的突发性传染病.

这一突发疫情袭击了世界上20多 如2003年SARS这一突发疫情袭击了世界上 多 年 这一突发疫情袭击了世界上 个国家和地区,我国首当其冲. 个国家和地区,我国首当其冲.虽然早期的临床经验 对之有初步的认识,但对它的危害, 对之有初步的认识,但对它的危害,传染性都没有完 全认清,它的传播途径,传染性等都需要进一步研究. 全认清,它的传播途径,传染性等都需要进一步研究. 同时突发疾病的不确定性严重影响了使我国经济的发 展和人们生活,学习和工作各方面,更重要得是 展和人们生活,学习和工作各方面, SARS带来的恐慌和政府为了预防传播扩散采取的措 带来的恐慌和政府为了预防传播扩散采取的措 施改变了原有社会的消费,投资,生产等行为模式, 施改变了原有社会的消费,投

资,生产等行为模式, 对国民经济各方面如旅游,社会总需求, 对国民经济各方面如旅游,社会总需求,进出口贸易 等造成的直接损失总额达到2100亿元,加上间接影 亿元, 等造成的直接损失总额达到 亿元 响远远不止2100亿元. 亿元. 响远远不止 亿元

大面积,大规模突发性传染病具有蔓延迅速,来势凶猛, 大面积,大规模突发性传染病具有蔓延迅速,来势凶猛, 难以预防与治疗的特点. 难以预防与治疗的特点. 传染病流行过程的研究与其它学科 有所不同, 有所不同,不能通过在人群中进行科学试验的方式获得科学准 确的数据.在人群中作传染病试验, 确的数据.在人群中作传染病试验,来取得传染病流行的数据 的作法是极不人道也是不可行的. 的作法是极不人道也是不可行的.数学模型是研究传染病的重 要工具它有助于研究影响疾病传播的社会和生物机理的相互作 能使我们判断流行病传播过程各种因素的相互作用; 用,能使我们判断流行病传播过程各种因素的相互作用;能够 帮助政府,医学界和科学界提供治疗和控制措施由于上述原因, 帮助政府,医学界和科学界提供治疗和控制措施由于上述原因, 我们通常主要依据机理的方法来建力数学模型. 我们通常主要依据机理的方法来建力数学模型. 我们可以通过收集分析从已有的传染病观测资料中获取 的相关数据,资料,找出其变化和传播的规律,建立数学模型. 的相关数据,资料,找出其变化和传播的规律,建立数学模型. 由公布的历史数据,确定模型中的固定参数, 由公布的历史数据,确定模型中的固定参数,再通过改变可控 参数:隔离措施强度和控制时间来改变患者的增长趋势, 参数:隔离措施强度和控制时间来改变患者的增长趋势,从而 为有效的控制疫情具有指导作用. 为有效的控制疫情具有指导作用.

本文建立的SARS模型根据现有的数据资料设 模型根据现有的数据资料设 本文建立的 置变量,通过分析各类人群在传播过程中的流量平衡, 置变量,通过分析各类人群在传播过程中的流量平衡, 建立各类人群的微分方程. 建立各类人群的微分方程.并通过数据拟合得到影响 传染病传播的固定参数, 传染病传播的固定参数,使得患病人数的计算值与实 际的统计值基本吻合.同时调整可控参数, 际的统计值基本吻合.同时调整可控参数,使之达到 一定水平就能使疫情得到控制.并用此可控参数未来 一定水平就能使疫情得到控制. 的疫情态势作预测, 的疫情态势作预测,从而指导实践对政府对疫情的控 制有知指导意义. 制有知指导意义. 社会,季节, 社会,季节,风俗习惯等因素都会影响传染病 的传播,传染率,病人患病后入院时间, 的传播,传染率,病人患病后

入院时间,传染时间也 是疫情的重要控制参数,但最直接的因素是隔离措施 是疫情的重要控制参数, 强度与政府严格采取隔离措施的时间, 强度与政府严格采取隔离措施的时间,对疫情的发展 态势控制有很大的影响. 态势控制有很大的影响.

因此我们通过建立传染病数学模型, 因此我们通过建立传染病数学模型,可以对不 同疫区的未来情况进行预测, 同疫区的未来情况进行预测,从而对政府的决策行 为进行指导.我们建议: 为进行指导.我们建议: 控制传染病源,加大隔离力度. 控制传染病源,加大隔离力度. 构筑医疗卫生体系,建立传染病预警机置. 构筑医疗卫生体系,建立传染病预警机置. 加强零散病人的及时隔离和医治. 加强零散病人的及时隔离和医治. 强化确诊病例和疑似病人的医治和隔离. 强化确诊病例和疑似病人的医治和隔离.

面对突发性传染并的袭击, 面对突发性传染并的袭击,根据对隔离参数和 采取强制控制时间的要求, 采取强制控制时间的要求,我们认为面对突发性传染 并的袭击, 并的袭击,根据传染病模型中对采取强制控制时间的 要求,我们认为预防为主,防止结合, 要求,我们认为预防为主,防止结合,对患者和疑似 病人做到"早发现,早报告,早隔离,早治疗" 病人做到"早发现,早报告,早隔离,早治疗",防 患于未然,应是我国卫生工作的重要方针. 患于未然,应是我国卫生工作的重要方针.我国政府 应加大力度构筑医疗卫生体系, 应加大力度构筑医疗卫生体系,以数学模型为理论指 建立传染病预警机置, 导,建立传染病预警机置,这对于各种传染性的疾病 的控制具有十分重要的意义. 的控制具有十分重要的意义.

本文标题：传播模型-SARS传播的数学模型
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