实验：用单摆测定重力加速度-实验用单摆测定重力加速度

发布时间：2018-02-20 所属栏目：用单摆测定重力加速度

一 : 实验用单摆测定重力加速度

物理人教版

第十二章

机械振动与机械波光电磁波与相对论用单摆测定重力加速度

实验十三

基础回放·要点整合
基本实验要求
1．实验原理
当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为 T＝2π l g，它与偏角的大小及摆球

4π2l 的质量无关，由此得到 g＝ 2 .因此，只要测出摆长 l 和振动周期 T，就可以求出当地 T 重力加速度 g 的值．

2．实验器材
带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球，不易伸长的细线(约 1 米)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺．

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3．实验步骤
(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆． (2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处作上标记，如实验原理图．

(3)用毫米刻度尺量出摆线长度 l′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径 r，计算出摆长 l＝l′＋r. (4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过 5° )，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成 30～50 次全振动所用的时间 t，计算出金属小球完 t 成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即 T＝ (N 为全振动的次数)， N 反复测 3 次，再算出周期 T ＝ T1＋T2＋T3 . 3

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(5)根据单摆振动周期公式 T＝2π l 4π2l g计算当地重力加速度 g＝ T2 .

(6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值． (7)将测得的重力加速度值与当地重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因．

规律方法总结
1．注意事项
(1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过 5° . (2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放．

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(3)测周期的方法：①要从摆球过平衡位置时开始计时．因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大． ②要测多次全振动的时间来计算周期．如在摆球过平衡位置时开始计时，且在数“零” 的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过最低位置时计数 1 次．
(4)本实验可以采用图象法来处理数据．即用纵轴表示摆长 l，用横轴表示 T2，将实验所 g 得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率 k＝ 2.这是在众多的 4π 实验

中经常采用的科学处理数据的重要办法．

2．数据处理
t 处理数据有两种方法：(1)公式法：测出 30 次或 50 次全振动的时间 t，利用 T＝求出 N 周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值 T ，然后代入公式 4π2l g＝ 2 求重力加速度． T

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g (2)图象法：由单摆周期公式不难推出：l＝ 2T2，因此，分别测出 4π 一系列摆长 l 对应的周期 T，作 l－T2 的图象，图象应是一条通过 Δl 4π2Δl 2 原点的直线，求出图线的斜率 k＝ 2 ，即可利用 g＝4π k＝求 ΔT ΔT2 得重力加速度值，如图 1 所示．图1

3．误差分析
(1)系统误差的主要来源：悬点不固定，球、线不符合要求，振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等． (2)偶然误差主要来自时间的测量上，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计振动次数.

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考点一
【例 1】

对实验操作及误差分析的考查

(2012· 天津理综· 9(2))某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素．

①他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图 2 所示．这样做的目的是______ AC (填字母代号)． A．保证摆动过程中摆长不变 C．需要改变摆长时便于调节 B．可使周期测量得更加准确图2

D．保证摆球在同一竖直平面内摆动

②他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度 L＝0.999 0 m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图 3 所示，则该摆球的直径为图3

12.0 0.993 0 ________mm，单摆摆长为________m.

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③下列振动图象真实地描述了对摆长约为 1 m 的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C 均为 30 次全振动的图象，已知 sin 5° ＝0.087，
A sin 15° ＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是____(填字母代号)．

解析 ③单摆振动的摆角 θ≤5° θ＝5° ，当时单摆振动的振幅 A＝lsin 5° ＝0.087 m＝8.7 cm，且为了计时准确，应在摆球摆至平衡位置时开始计时，故选项 A 正确，选项 B、C、D 错误．
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考点二对实验数据处理的考查

【例 2】

下表是用单摆测定重力加速度实验中获得的有关数据：摆长 l(m) 周期 T2(s2) 0.5 2.0 0.6 2.4 0.8 3.2 1.1 4.4

(1)利用上述数据．在图 4 的坐标系中描绘出 l－T2 图象． (2)利用图象，取 T2＝4.2 s2 时，l＝________m．

重力加速 1.05
9.86 度 g＝________m/s2.
l g

T＝2π

图4

l g g＝4π2· 2 或 l＝ 2· 2 T T 4π

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【例 3】在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图 5 所示．光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻

2t0 值 R 随时间 t 的变化图线如图 6 所示，则该单摆的振动周期为________．

图5

若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径 2 倍的另一小球进行实验，

变大变大则该单摆的周期将_______(填“变大”、“不变”或“变小”)，图中的 Δt 将________
(填“变大”、“不变”或“变小”)．

图6
解析小球摆动到最低点时，挡光使得光敏电阻阻值增大，从 t1 时刻开始，再经两次挡光完成一个周期，故 T＝2t0；摆长为摆线长加小球半径，若小球直径变大，则摆长增加，由周期公式 T＝2π 即 Δt 变大． l g可知，周期变大；当小球直径变大时，挡光时间增加，

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1．在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建议： A．适当加长摆线 B．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的 C．单摆偏离平衡位置的角度不能太大 D．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期其中对提高测量结果精确度有利的是________．

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解析单摆实验的精确度取决于实验装置的理想化程度及相关物理量的测量精度．在摆角小于 5° 的条件下，适当加长摆线长度，有利于把摆球看成质点，摆球的空间位置变化较大，便于观察，选项 A 对．
摆球体积越大，所受空气阻力越大，对质量相同的摆球其影响越大，选项 B 错．摆角应小于 5° ，选项 C 对．

本实验采用累积法测量周期，若仅测量一次全振动，由于球过平衡位置时速度较大，难以准确记录，且一次全振动的时间太短，偶然误差较大，选项 D 错．
答案 AC
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2．某同学做“用单摆测定重力加速度”的实验时，测得的重力加速度数值明显大于当地的重力加速度的实际值．造成这一情况的可能原因是 A．测量摆长时，把悬挂状态的摆线

长当成了摆长 B．测量周期时，当摆球通过平衡位置时启动秒表，记为第 0 次，此后摆球第 30 次通 t 过平衡位置时制动秒表，读出经历的时间为 t，并由计算式 T＝求得周期 30 C．开始摆动时振幅过小 D．所用摆球的质量过大 ( )

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解析由 T＝2π

l 4π2 g得 g＝ T2 l，g 值偏大说明 l 偏大或 T 偏小．把悬挂状态的摆线长当成

摆长，会使 l 偏小，g 值偏小，A 错； t 摆球第 30 次通过平衡位置时，实际上共完成了 15 次全振动，周期 T＝，误认为 30 次全 15 振动，会使 T 变小，引起 g 值明显偏大，B 对；
单摆周期与振幅和摆球质量无关，C、D 错误．

答案 B

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3. 几名学生进行野外考察，登上一山峰后，他们想粗略测出山顶处的重力加速度．于是他们用细线拴好石块 P 系在树枝上做成一个简易单摆，如图 7 所示．然后用随身携带的钢卷尺、电子手表进行了测量．同学们首先测出摆长 L，然后将石块拉开一个小角度，由静止释放，使石块在竖直平面内摆动，用电子手表测出单摆完成 n 次全振动所用的时间 t. ①利用测量数据计算山顶处重力加速度的表达式 g＝______； ②若振动周期测量正确，但由于难以确定石块重心，测量摆长时从悬点一直量到石块下端，所以用这次测量数据计算出来的山顶处重力加速度值比真实值______(选填“偏大”、 “偏小”或“相等”)．图7

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3. 几名学生进行野外考察，登上一山峰后，他们想粗略测出山顶处的重力加速度．于是他们用细线拴好石块 P 系在树枝上做成一个简易单摆，如图 7 所示．然后用随身携带的钢卷尺、电子手表进行了测量．同学们首先测出摆长 L，然后将石块拉开一个小角度，由静止释放，使石块在竖直平面内摆动，用电子手表测出单摆完成 n 次全振动所用的时间 t.
4π2n2L t2 ①利用测量数据计算山顶处重力加速度的表达式 g＝______；

图7

②若振动周期测量正确，但由于难以确定石块重心，测量摆长时从悬点一直量到石块下端，

偏大所以用这次测量数据计算出来的山顶处重力加速度值比真实值______(选填“偏大”、
“偏小”或“相等”)．

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4. 某同学在正确操作和测量的情况下，测得多组摆长 L 和对应的周期 T，画出 L－T2 图线，如图 8 所示．出现这一结果最可能的原因是：摆球重心不在球心处，而是在球

心的正____方(选填 “上”或“下”)．为了使得到的实验结果不受摆球重心位置无法准确确定的影响，他采用恰当的数据处理方法：在图线上选图8

取 A、B 两个点，找出两点相应的横纵坐标，如图所示．用表达式 g＝________计算重力加速度，此结果即与摆球重心就在球心处的情况一样．

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解析作一条过原点的与 AB 线平行的直线，所作的直线就是准确测量摆长时所对应的图线．过横轴上某一点作一条平行纵轴的直线，则和两条图线的交点不同，与准确测量摆长时的图线的交点对应的摆长是准确的，与 AB 线的交点对应的摆长要小些，同样的周期，摆长应一样，但 AB 线所对应的却小些，其原因是在测量摆长时少测了，所以其重心应在球心的下方．
设重心与球心的距离为 r，则对 A、B 两点数据，由单摆周期公式有：TA＝2π TB＝2π LA＋r 和 g

LB＋r 4π2?LA－LB? ，解得：g＝，按这样计算，测量结果将与摆球重心就在球心 g TA 2－TB 2

处的值相同．
4π2?LA－LB? TA 2－TB 2

答案

下

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5．某实验小组在进行“用单摆测定重力加速度”的实验中，已知单摆在摆动过程中的摆角小于 5° ；在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且记数为 1，到第 n 次经过最低点所用的时间为 t；在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长图9 (从悬点到摆球的最上端)为 L，再用螺旋测微器测得摆球的直径为 d(读数如图 9 所示)． (1)该单摆在摆动过程中的周期为________． (2)用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达式 g＝________. (3)从上图可知，摆球的直径为________ mm. (4)实验结束后，某同学发现他测得的重力加速度的值总是偏大，其原因可能是下述原因中的 A．单摆的悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了 B．把 n 次摆动的时间误记为(n＋1)次摆动的时间 C．以摆线长作为摆长来计算 D．以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算 ( )

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n－1 解析 (1)根据记数的方式可知全振动的次数 N＝ 2 t 2t 所以周期 T＝N＝ n－1 d 4π2l (2)摆长 l＝L＋，将 T 和 l 代入 g＝ 2 2 T d π2?n－1?2?L＋ ? 2 得 g＝ 2 t (3)直径 d＝5.5 mm＋0.01×48.0 mm＝5.980 mm.
4π2l (4)根据 g＝ 2 知，当悬点松动后，摆线增长，则代入公式中的 l 将偏小，故所测 g 值 T 偏小，A 错误；对 B 选项，T 变小，g 变大，B 正确；对 C 选项，l 变小，g 应偏小，C 错误；

对 D 选项，l 变大，g 应偏大，D 正确．

d π2?n－1?2?L＋ ? 2 2t 答案 (1) (2) (3)5.980 2 t n－1

(4)BD

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6．有两个同学利用假期分别去参观北京大学和南京大学的物理实验室，各自在那里利用先进的 DIS 系统较准确地探究了“单摆的周期 T 与摆长 L 的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了 T2－L 图象，如图 10 甲所示．去北大的同学所测实验结果对应的图线是________(填“A”或“B”)．另外，在南大做探究的同学还利用 La 计算机绘制了 a、b 两个摆球的振动图象(如图乙)，由图可知，两单摆摆长之比L ＝ b ________.在 t＝1 s 时，b 球振动方向是________．

图 10

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由单摆的周期公式得：T＝2π

L 4π2 4π2 2 ，解得：T ＝ L，即图象的斜率 k＝，重力 g g g

加速度大，斜率小，我们知道北京的重力加速度比南京的大，所以去北大的同学所测实验结果对应的图线是 B；

从题图乙可以得出：Tb＝1.5Ta，由单摆的周期公式得：Ta＝2π La 4 解得：＝； Lb 9

La ，Tb＝2π g

Lb ，联立 g

从题图乙可以看出，t＝1 s 时 b 球正在向负最大位移运动，所以在 t＝1 s 时 b 球的振动方向沿 y 轴负方向．

答案

B

4 9

沿 y 轴负方向

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7．某同学想在家里做“用单摆测定重力加速度”的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块大小约为 3 cm、外形不规则的大理石代替小球．他设计的实验步骤是 A．将石块和细尼龙线系好，结点为 M，将尼龙线的上端固定于 O 点； B．用刻度尺测量 OM 间尼龙线的长度 L 作为摆长； C．将石块拉开一个大约 α＝5° 的角度，然后由静止释放； t D．从摆球摆到最高点时开始计时，测出 30 次全振动的总时间 t，由 T＝得出周期； 30 E．改变 OM 间尼龙线的长度再做几次实验，记下每次相应的 l 和 T； 2π F．求出多次实验中测得的 l 和 T 的平均值，作为计算时用的数据，代入公式 g＝( T )2l，求出重力加速度 g. (1)该同学以上实验步骤中有重大错误的是________． (2)该同学用 OM 的长作为摆长，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值比真实值偏大还是偏小？你认为用什么方法可以解决摆长无法准确测量的困难？

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(1)摆长应为石块重心到悬点的距离，故 B 步骤错误；

计时开始的位置应为摆球振动的平衡位置，故 D 步骤错误； 2π 在用公式 g

＝( )2l 计算 g 时，应先将各项的 l 和 T 单独代入求解 g 值，不能先求 l、T T
的平均值再代入求解．故 F 步骤也错误．

(2)因为用 OM 作为摆长，比摆的实际摆长偏小，因此计算出的重力加速度的值比实际值偏小．可采用图象法，以 T2 为纵轴，以 l 为横轴，做出多次测量得到的 T2－l 图线， 4π2 4π2 求出图线斜率 k.再由 k＝ g 得 g＝ k .k 值不受悬点不确定因素的影响，因此可以解决摆长无法准确测量的困难．
答案 (1)BDF (2)见解析
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二 : 单摆测定重力加速度实验实验时需要多次测量取平均值。但是为什么不能

单摆测定重力加速度实验

实验时需要多次测量取平均值。但是为什么不能改变摆球的质量或者振幅的大小重复实验呢？（不是对T和g没有影响的么…）

从实验公式的推导过程就可以看到，里面用了二个近似：

1）单摆振动可以看做谐振，这里要求摆动幅度足够小；

2）考虑单摆摆长时，摆线质量可以忽略，这要求球的质量远大于摆线。

换句话说，随着线、球、初振幅的不同，这个近似就会不成立，结果会偏离公式预测的值。

而实际测的数据，因为各种因素，天生便带有随机的成分。于是如果要通过测量数据来确定，实验里是否存在近似不恰当的情况，或者实验里在哪些条件近似便不恰当了，就必须把数据里面的随机性的成分去掉。所谓“多次测量取平均值”做的是这个事情。

最简单的说。

手放开摆球使之从初振幅初开始摆动，按理说手是不该推动摆球的。但是实际操作里，手可能随便一抖便会小推一把。但是如果不是成心这么做，那么这一小推的方向、大小大致是均匀分布的。多放几次再把每次的结果平均一下，就能把这些小推的影响去掉不少。这么做，结果多半是不准确的，但是可以从平均结果和相应的方差来估计下不准确的程度有多少。比如，如果每次的结果都一样，那是最理想的；如果一次比另一次大一倍，那傻子也知道手不稳的厉害，不适合做实验了。

如果不多次测量，而直接挑一个测量结果就算数，那么这个结果是否准确还是不清楚。而且和之前的多次测量相比，单次测量还少了一个估计误差程度的部分，自然更加不可靠。

总结一下：

1）多次测量是为了在给定振幅和球质量的情况下，得到比较准确的结果。并且从各次测量结果和平均值的偏差方面，来估计一下做实验的人手是否稳当。

2）改变初振幅和球质量，也可以做实验并测量出结果。这时，如果预测结果时用到了线性近似的话，测量结果会随着初始条件的不同而稳定的偏离预测值。换句话说，改变初条件做实验，实际上是在试探所用的理论成立的范围有多大。

有条件的话，可以写个程序演示一下，这就用不着多次测量，直接就能看到实验的可能结果和理论预测结果的差别了。

三 : 在用单摆测重力加速度的实验中，如果摆球质量不均匀

在用单摆测重力加速度的实验中，如果摆球质量不均匀，按照正常的方法进行实验，会给测量结果造成误差。一个同学设计了一个巧妙的方法，可以避免上述误差。实验分两次进行，第一次测得悬线长度为L₁，测得振动周期T₁；第二次改变悬线长度为L₂，并测得此时单摆的振动周期T₂。试根据测量数据导出重力加速度的表达式。

题型：计算题难度：中档来源：同步题

解：设摆球的重心到球面悬线点的距离为r，根据单摆的周期公式可得
T₁= 2π

T₂=2π

由上式可解得g=

g的表达式中不含有r，说明用这种方法测量可以避免由于摆球质量不均匀所造成的误差

考点：

考点名称：实验：用单摆测定重力加速度

用单摆测定重力加速度：

实验原理：
单摆在摆角小于5°时的振动是简谐运动，其固有周期为T=2π，由此可得g=。据此，只要测出摆长l和周期T，即可计算出当地的重力加速度值。
实验器材：
铁架台（带铁夹），中心有孔的金属小球，约1m长的细线，米尺，游标卡尺（选用），秒表。
实验步骤：
1、在细线的一端打一个比小球上的孔径稍大些的结，将细线穿过球上的小孔，制成一个单摆；
2、将铁夹固定在铁架台的上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，把做好的单摆固定在铁夹上，使摆球自由下垂；
3、测量单摆的摆长l：用米尺测出悬点到球心间的距离；或用游标卡尺测出摆球直径2r，再用米尺测出从悬点至小球上端的悬线长l'，则摆长l=l'+r；
4、把单摆从平衡位置拉开一个小角度（不大于5°），使单摆在竖直平面内摆动，用秒表测量单摆完成全振动30至50次所用的时间，求出完成一次全振动所用的平均时间，这就是单摆的周期T；
5、将测出的摆长l和周期T代入公式g=求出重力加速度g的值；
6、变更摆长重做两次，并求出三次所得的g的平均值。
注意事项：
1、选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2cm。
2、单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。
3、注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过5°，可通过估算振幅的办法掌握。
4、摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。
5、计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低位置时开始计时，以后摆球从同一方向通过最低位置时，进行计数，且在数“零”的同时按下秒表，开始计时计数。

四 : （8分）某小组在做“用单摆测重力加速度”试验后，为

（8分）某小组在做“用单摆测重力加速度”试验后，为进一步研究，将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周期

，式中

为由该摆决定的常量，m为摆的质量，g为重力加速度，r为转轴到重心C的距离。如图（a），实验时在杆上不同位置打上多个小孔，将其中一个小孔穿在光滑水平轴O上，使杆做简谐运动，测量并记录r和相应的运动周期T；然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验，实验数据见表，并测得摆的质量m=0.05kg。

（1）由实验数据得出图（b）所示的拟合直线，图中纵轴表示。
（2）

的国际单位为，由拟合直线得到

的值为（保留到小数点后二位）；
（3）若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值（选填：“偏大”、“偏小”或“不变”）

题型：实验题难度：中档来源：不详

（1）

（2）

（3）不变

试题分析：（1）根据周期公式

，整理可得

，观察图像发现为倾斜的直线，即纵轴的物理量与

成一次函数关系，根据

，判断纵轴为

。（2）根据周期公式

，整理可得

代入各个物理量的单位，可判断

的单位为

。根据

可得图像的截距即

，根据图像斜率

，代入可得

，代入质量即可得

。（3）根据图像斜率

计算重力加速度，所以大小与质量的测量无关，即质量测量值即使偏大，重力加速度的测量值也不会变化。

考点：

考点名称：单摆的周期单摆：

1.定义：用一根不可伸长且没有质量的细线悬挂一质点所组成的装置，叫做单摆，它是实际摆的理想化模型
2.模型条件：
(1)摆线的形变量与摆线长度相比小得多，摆线的质量与摆球质量相比小得多，这时可把摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线。
(2)摆球的大小与摆线长度相比小得多，这时可把摆球看成是没有大小只有质量的质点。
(3)忽略空气对它的阻力。某一物理量是否可以略去不计，是相对而言的。为了满足上述条件及尽量减小空气阻力对它的影响，我们组成单摆的摆球应选择质量大而体积小的球，摆线应尽量选择细而轻目弹性小的线
3.平衡位置：摆球静止时所处的位置即最低点
4.简谐运动条件：

5.单摆的周期公式：

（可由

，

推导）。
①在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅无关；
②单摆的振动周期跟摆球的质量无关，只与摆长L和当地的重力加速度g有关；
③摆长L是指悬点到摆球重心间的距离，在某些变形单摆中，摆长L应理解为等效摆长，重力加速度应理解为等效重力加速度（一般情况下，等效重力加速度g'等于摆球静止在平衡位置时摆线的张力与摆球质量的比值）。

单摆问题中的等效处理方法：

单摆的周期公式是惠更斯从实验中总结出来的。单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大回复力越大，加速度 ()越大。由于摆球的轨迹是圆弧，所以除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力。在有些振动系统中l不一定是绳长，g也不一定为9．8m／s²，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。
1．等效摆长
摆长是指摆动圆弧的圆心到撰球重心的距离，而不一定为摆绳的长。如图中，摆球可视为质点，各段绳长均为Z，甲、乙摆球做垂直纸面的小角度摆动，丙摆球在纸面内做小角度摆动，O'为垂直纸面的钉子，而且

甲：等效摆长
乙：等效摆长
丙：摆绳摆到竖直位置时，圆弧圆心就由O变为O'，摆球振动时，半个周期摆长为l，另半个周期摆长为，则单摆丙的周期为
2．等效重力加速度不一定等于9．8
(1)g由单摆所在的空间位置决定。g随所在地球表面的位置和高度的变化而变化，纬度越低，高度越高，g的值就越小，另外，在不同星球上管也不同。
(2)g还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为a，则摆球处于超重状态，沿圆弧的切向分力变大，则重力加速度的等效值若升降机加速下降，则单摆若在沿轨道运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，等效值，摆球不摆动，周期无穷大。
(3)一般情况下，值等于摆球相对于加速系统静止在平衡位置时(平衡位置是指回复力为零的位置，而不是合力为零的位置，也可以说成是让摆球不摆时的位置)重力加速度的等效值，等于摆绳所受的张力与摆球质量的比值即
但需注意如果在不引起回复力变化的情况，上述方法并不适用，如摆球带电，再在悬点处固定一带电小球，两球之间的静电力不引起回复力的变化，单摆振动周期并不变。