一 : 抽样定理

抽样定理 抽样定理

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二 : 抽样定理

第五讲 抽样定理

抽样定理的由来和意义
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实际的宏观物理过程都是连续变化的，物理量的空间分布也是 连续变化的。 在今天的数字时代，连续变化的物理量要用它的一些离散分布 的采样值来表示，而且这些采样值的表达方式也是离散的 这些离散的数字表示的物理量的含义或者说包含的信息量与原 先的连续变化的物理量是否相同？ 是否可以由这些抽样值准确恢复一个连续的原函数？ 本书用的是惠特克—香农（Whittaker-Shannon）抽样定理的 二维形式

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函数的抽样
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最简单的抽样方法是用二维梳状函数与被抽样的函数相乘 如果被抽样的函数为g ?x, y ? ，抽样函数可表示为 g s ? x, y ? ? x? ? y? g s ?x, y ? ? comb? ?comb? ? g ?x, y ? ?X? ?Y ? 梳状函数是? 函数的集合，它与任何函数的乘积就是无数分布在平 面 x, y 上在 x ， y 两方向上间距为 X 和 Y 的 ? 函数 与该函数 的乘积 任何函数与 ? 函数相乘的结果仍然是 ? 函数，只是 ? 函数的“大 ? ? 小”要被该函数在 函数位置上的函数值所调制。换句话说，每 个 函数下的体积正比于该点函数的数值

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抽样函数

抽样函数的频谱
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利用卷积定理和梳状函数的傅里叶变换，可计算抽样函数的频谱
? ? x? ? y ?? G s ?f x , f y ? ? F ?comb? ?comb? ?? ? G ?f x , f y ? ?X? ? Y ?? ? ? XYcomb? Xf x ?comb?Yf y ? ? G ?f x , f y ? n m? , f y ? ? ? G ?f x , f y ? ?? X Y? n ? ?? m ? ?? ? ? n m? ? ? ? ? G? f x ? , f y ? ? X Y? ? n ? ?? m ? ?? ?
? ?

? ? fx ?

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抽样函数的原函数的复原图

奈奎斯特（Nyquist）抽样间隔
? ? ?

假如函数 g ( x, y) 是限带函数，即它的频谱仅在频率平面上一个 有限区域内不为零 若包围该区域的最小矩形在 f x 和 f y 方向上的宽度分别为 ? Bx 和 ?B y 欲使图中周期性复现的函数频谱不会相互混叠，必须使 1 1 ? 2By ?2Bx Y X 或者说抽样间隔必须满足
X ? ? 2Bx
Y? ? 2By

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式中表示的两方向上的最大抽样间距和通常称作奈奎斯特 （Nyquist）抽样间隔

原函数频谱的复原
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要原函数的复原首先要恢复其频谱
在满足奈奎斯特抽样间隔的情况下，只要用宽度 ?Bx 和 ? B y ,位 于原点的矩形函数去乘抽样函数的频谱就可得到原来函数的频谱。 在频率域进行的这种操作去掉了部分频谱成份，常常称作“滤波” 用频域中宽度 和 的位于原点的矩形函数为
? f ? ?rect? y ? ? 2B ? ? y ? ? ? ?

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?

? Bx

?B y

? f H ?f x , f y ? ? rect? x ? 2B ? x ? 滤波过程可写作

?

f G s ?f x , f y ?rect? x ? 2B ? x

? f ? ?rect? y ? ? 2B ? ? y

? ? ? G ?f x , f y ? ? ?

原函数的复原(1)
? ?

做反变换就可直接得到原函数 根据卷积定理，在空间域得到 g s ?x, y ? ? h?x, y ? ? g ?x, y ?

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对上式左边两个因子分别进行化简有
? x g s ?x, y ? ? comb? ?X ? XY
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? ? y? ?comb? ? g ? x, y ? ? ?Y ?
?

n ? ?? m ? ??

? ? g ?nX , mY ?? ?x ? nX , y ? mY ?
? fy ? ?rect? ? ? 2B ? ? y ?? ?? ? 4Bx B y sin c?2 Bx x ?sin c?2 B y y ? ?? ?? ?

? ? f ? h?x, y ? ? F ?rect? x ? 2B ? ? x ?
?

结果得到无数 ? 函数与SINC函数的卷积和

原函数的复原(2)
最后卷积的结果,愿函数为
g ?x, y ? ? ? Bx B y XY

n ? ?? m ? ??

? ? g ?nX , mY ?sin c??B ?x - nX ??sin c??B ? y ? mY ??
? ? x y

若取最大允许的抽样间隔，即
? ?

? X ? ，并且 2Bx

Y?

? ，则 2By

? n ? ? m ? ? ?sinc?2Bx ? x - n g?x, y ? ? ? ? g , ? 2B ? 2B 2B ? n ? ?? m ? ?? ? x y ? x ? ?

? ? ?? m ?? ?? ??sinc?2By ? y ? ? ? 2 B y ?? ? ?? ? ?? ?

可见用SINC函数做为插值函数可以准确恢复原函数(当然要满足必要的条 件)

抽样定理的意义
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抽样定理公式就是由抽样点函数值计算在抽样点之间所不知道的非抽 样点函数值，在数学上就是插值公式 抽样定理的重要意义在于它表明，准确的插值是存在的。也就是说， 由插值准确恢复原函数可以在一定条件下实现 一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不丢失任何信 息 ——因此抽样定理是数字化社会的基础，其重要意义怎么讲也不过分

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抽样定理证明图解（1）

抽样定理证明图解（2）

空间带宽积
若限带函数 g ( x, y) 在频域中 f x ? B x , f y ? B y 以外恒为零， 根据抽样定理，函数在空域中的范围内抽样数至少为
? ? ?? ? ? X ?? ?Y ? ? ? ?? XY ??? B x B y ? ? ?? XYBx B y ? ? ?? ? ? ? B ?? ? B ? x ?? y ? ?

? 式中 ? XY 表示函数在空域覆盖的面积, B x B y 表示函数在频域中覆 盖的面积。在该区域的函数可由数目为 ?? XYBx B的抽样值来近 y 似表示。
问题：为什么是近似？抽样定理不是准确的吗？
空间带宽积 SW 就定义为函数在空域和频域中所占有的面积之积：

SW ? ?? XYBx B y

空间带宽积的意义
空间带宽积描述空间信号（如图象，场分布）的信息量，也可用来 描述成象系统、光信息处理系统的信息容量，即传递与处理信息 的能力。 空间带宽积决定了图象

最低必须分辨的象素数，如数码相机的技术 指标 空间带宽积表达图象的自由度或自由参数数 图象是实函数，每一个抽样值为一个实数，自由度为

N ? SW ? ?? XYBx B y
当图象是复函数，每一个抽样值为一个复数，要由两个实数表示。 自由度增大一倍，

N ? SW ? ?? XYBx B y

抽样定理例题（1）
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f 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲” ?x, y ? ? ? ?x ? ， 系统对线脉冲的输出响应称为线响应 L? x ? 。如果系统 的传递函数为 H ? f x , f y ? ，求证：线响应的一维傅里叶 变换等于系统传递函数沿 f x 轴的截面分布 H ? f x ,?? 。

抽样定理例题（1）解
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证明： 线脉冲实质上也是二维的函数，只是沿 y 方向函数值不变，是常 数1。

f ?x, y ? ? ? ?x ? ? 1

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系统对线脉冲的输出响应，即线响应也是二维的函数，可表示为

L?x ? ? L?? ?x ?? ? δ?x ? ? h?x, y ?
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线响应的一维傅里叶变换则为

F ?L? x ? ??F ? ? x ??h? x,y ???δ ? f y ?H ? f x , f y ??H ? f x ,?? δ

? ?

这就是系统传递函数沿 f x 轴的截面分布 证毕。

抽样定理例题（1）解续
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这里要注意的一点是

F?? ?x ?? ? ? ? f y ?

这是二维傅里叶变换的特点，另一个变量是隐含着的。
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从这一题中我们还要引伸出一个重要的概念，即二维传递函数测 量可以通过一维线响应，即线扩散函数来测量和计算。因为两维 的测量在过去没有图像传感器时是相当困难的，而转换成一维信 号就可以用全部光能积分随时间变化的线响应来实现了。

线响应函数和传递函数的关系

习题
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教科书P22习题1.2，1.5，1.6

本文标题：抽样定理-抽样定理
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