一 : 数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过
[一个又一个]数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩，那么他有两个女儿的概率是多少？网友匿名用户对[一个又一个]数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩，那么他有两个女儿的概率是多少？给出的答复：
以上支持1/3的都犯了明显的计算错误，而支持1/2的也的确没有说服力。
这是一个已经解决的悖论，维基上有詳細的介绍[1]，非常推荐大家仔细阅读一下。
維基的意思我就不说了，下面着重说1/3的计算错在哪里，以及1/2为何没有说服力。
一种1/3的典型代表是＠魏清玥
自以为列出所有可能，数出1/3。
但是可能的情况不是｛男男，男女，女男，女女｝4个，而是8个，分别是；
老大女，老二女，老大接电话（女）
老大女，老二女，老二接电话（女）
老大男，老二女，老大接电话（男）
老大男，老二女，老二接电话（女）
老大女，老二男，老大接电话（女）
老大女，老二男，老二接电话（男）
老大男，老二男，老大接电话（男）
老大男，老二男，老二接电话（男）
排除男孩接电话的情况，现在您再数数，是不是2/4=1/2？
另一种1/3的典型代表是 ＠茉茉。
＠茉茉 认为，接电话的是女孩这个条件，等同于 至少一个是女孩。这是非常错误的。
一般情况下，接电话的是女孩可以推出 至少一个是女孩；
但是请注意，至少一个是女孩不能推出 接电话的是女孩。
也就是说 至少一个是女孩是一个更弱的条件，范围更大。
擅自代替，导致扩大条件的范围，进而导致计算条件概率时，得到1/3这样一个更小的結果。
我想这里，条件等价的重要性大家都很清楚，但是我仍以一个例子说明：
接电话的是女孩可以推出至少一个是人，但是后者不能反推前者。
按＠茉茉 的意思，不强调等价，就可以以至少一个是人为条件，得到1/4这样一个更小的結果，岂不荒谬？
维基[1]认为，需要明确该家庭接电话的方式，才能得到答案。
两个极端情况是：如果俩孩子随机接电话，则答案是1/2；如果女孩优先接，则答案是1/3。
这是因为，不同的接电话的方式，决定了接电话的是女孩这一条件的强弱。
接电话的是女孩，等价于 至少一个是女孩并且 女孩优先接电话。
因此没有 女孩优先接电话或其他类似假设，＠茉茉 就在扩大条件，其答案就是不能成立的。
而这个假设，又是非常不正常的……
＠茉茉认为维基[1]的做法多此一举，认为题目不明确也不能自己加条件，而且照样可回答。
我目前没有理解她是什么意思，难道题目不明确了，就可以随便扩大或缩小条件的范围了么？
题目条件不明确，好像“一只狗是黑的，问它是什么种类”，不知不做其他假设如何回答？
况且无论如何，直接用不等价的条件代替题设的条件，都不是“认真扎实”的做法啊。
我要求她严格证明，使用 至少一个是女孩这一条件，如何能因题设的不明确而变得合法，目前为止她都在回避。
1/2的典型代表是 ＠吴健。
＠吴健 使用独立事件的思路，快速得到1/2的結果。
但是要得到 独立事件 这一结论，你们也必须假设：俩孩子随机接的电话。
当然这是一个很自然的假设……但是数学不是想当然。
说服对方的过程中，所有1/2的支持者都在排斥贝叶斯方法，这是非常错误的。
对这个问题，贝叶斯永远是最严谨的解法。如果你认为自己是对的，就要敢于用其他方法去检验。
本题中，应该用贝叶斯得到1/2的結果，然后你就会看到需要假设随机接电话，才能做出独立事件的结论。
1/3的同学都娴熟使用着贝叶斯方法，只是把条件概率中的条件搞错了。你一味排斥其方法，不自己算一遍，怎么可能有说服力……
有了这次独立事件的经验后，做其他题目你可以直接按独立事件来做，但是独立事件永远是一个trick，而不是严谨地解题。
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox
附，接电话的是女孩的条件下，两个都是女孩的概率：
P（两个都是女孩 ｜ 接电话的是女孩）
＝P（接电话的是女孩 ｜ 两个都是女孩）* P（两个都是女孩）/ P（接电话的是女孩）
＝1 * 1/4 / P（接电话的是女孩）
假设两个孩子中随机选出一个接电话，则
P（接电话的是女孩）
＝ P（接电话的是女孩｜女女）* P（女女）＋P（接电话的是女孩｜男女）* P（男女）
＋P（接电话的是女孩｜女男）* P（女男）＋P（接电话的是女孩｜男男）* P（男男）
＋P（接电话的是女孩｜孩子数不为二）* P（孩子数不为二）
＝1 * 1/4 + 1/2 * 1/4 + 1/2 * 1/4 + 0 * 1/4
＝1/2
（以上第一个等号后第三行专为＠茉茉 所加，此项为零，她若承认我便删去这行）
所以
P（两个都是女孩 ｜ 接电话的是女孩）
＝0.25 / 0.5
＝1/2
网友天蓝小灰对[一个又一个]数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩，那么他有两个女儿的概率是多少？给出的答复：
庄家命题：
庄家有两个硬币盖住不让你看，如果两个硬币都是向上，你就赢。
情况1：庄家告诉你一个事实：至少有一枚向上，这时胜利概率为1/3，因为根据该条件会有3种情况：上下、下上、上上，3种情况概率相同，所以是1/3。[典型观点1]
情况2：庄家露出一枚硬币，是向上的，另一枚仍然盖住，这时胜利概率为1/2，因为盖住的那枚有1/2机会向上。[典型观点2]
命题分析：
原题的"有且只有两个孩子"表述了一个事实：
有两个孩子，男女未知。
原题的"是他一个孩子接的，而且是个女孩"这句表述了两个事实：
1.有一个是女孩
2.女孩接电话
结合起来，现在就存在3个事实：
1.有两个孩子
2.有一个是女孩
3.女孩接电话
这3个事实出现了两种相互正交（独立）的随机性：
Rdm1：生育出女孩的随机性——性别的随机性，选项有：男、女
Rdm2：谁接电话的随机性——不带性别的人物随机性，选项有：人物①、人物②
用庄家命题来描述：
Rdm1的随机性是必然存在的，由抛硬币时决定。
Rdm2是否出现随机性是不确定的，因为庄家可以采用存在随机性的规则，也可以采用不存在随机性的规则：
规则1：存在随机性的规则，庄家随机露出手上的任意一枚硬币
规则2：具有确定性的规则，庄家优先露出向上的硬币，不存在随机性
题目中没有明确Rdm2中采用哪种规则，这是第4个事实。这个事实告诉答题者：不要理会庄家露出硬币时采用什么规则，你应该把"不知道庄家的选择规则"作为已知条件进行解题，任何一种对这个未知条件的猜测都是离题了。
把"不知道庄家的选择规则"作为一个已知条件明确到题目中，庄家命题就可以等效成：
当我们去到庄家面前的时候，只看到庄家面前有1枚向上的硬币，庄家手中盖着一枚硬币，这时庄家问你：两枚硬币都向上的概率是多少？
这时我会说：答案是1/2
分析典型观点1：
在庄家命题的情况1中，得出1/3结论的依据是从"至少一枚硬币向上"推导出上下、下上、上上这3种可能出现的情况。然而，上下和下上之所以被区分是因为考虑到排列的顺序，如果我们明确这两枚硬币的编号：硬币①和硬币②，那么确切的表达方式应为上①下②、下①上②；问题是，列举"上上"时并没有遵循和上下、下上一样的列举原则，因为列举上上时没有考虑排列的顺序，这是矛盾的地方。如果列举是按照统一的原则来进行，那么列举出来的情况应该是：上①下②、下①上②、上①上②、上②上①，4种情况出现概率相同，有一半机会出现上上的情况。:-)
分析典型观点2：
持有典型观点2的分两种类型：
typ1.承认庄家是用随机规则选择硬币的，并用利用了这个条件帮助解题
typ2.忽略庄家用什么规则进行选择，解题时不考虑该因素
无论哪种typ，答案都是1/2，但typ1的思路我并非完全赞同，主要分歧在于是否"离题"。 :-)
赞同typ2的观点，只是很多tpy2的支持者没有挑明"为什么应该忽略庄家选择规则"的理由。:-)
网友周永生对[一个又一个]数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩，那么他有两个女儿的概率是多少？给出的答复：
非常赞同陈浩同学的分析。
这里有点补充。
这个问题确实缺乏前提条件的假设。实际上大家都自觉不自觉的应用了如下假设。
1）假设人的性别只有男和女两种。在生物学中实际上存在双性人和性别不明者等等特殊情况（不过数量非常稀少）。
2）假设生男生女的概率各占50%。实际上，在某些国家和地区，由于性别歧视等原因导致杀女婴以及针对女性胎儿的选择性堕胎等现象，从而导致男多女少。
3）假设一个孩子的性别和其它孩子的性别没有任何相关性。这一点貌似和现实情况一致。
对于不了解贝叶斯方法的非数学专业人士来说，有没有更好理解的计算方法呢？尝试如下。
首先，根据上述三条假设条件我们可以计算得知，下述四种情况的概率各占1/4。
A)老大女，老二女。
B)老大女，老二男。
C)老大男，老二女。
D)老大男，老二男。
其次，既然该家庭有女孩接电话了，那么我们可以排除D的可能。
然后，我们依旧要假设前提条件：不考虑孩子不在家的情况。
如果男孩女孩随机接电话。我们可以看到A类家庭和B、C类家庭女孩接电话的概率是不相同的。A是1，而B和C都是1/2。由此不难推导出有两个女儿的家庭占女孩接电话的家庭数的1/2（=1/（1+0.5+0.5））。
如果女孩优先接电话。我们看到A、B、C类家庭女孩接电话的概率是相等的。由此不难推导出有两个女儿的家庭占女孩接电话的家庭数的1/3。
如果男孩优先接电话。我们可以类似的推导出该家庭有两个女孩的概率是100%。
为什么会有多种概率的可能呢？接电话的方式为什么会影响概率呢？这个问题曾经困扰了我一段时间——也许它也曾经困扰过你。
最后我的结论是：实际上该家庭两个孩子的性别在我们做出猜测之前已经是确定的了，所谓的概率其实指的是我们猜中的概率， 而我们了解到的关于该家庭的信息的程度决定了我们猜中的概率。
网友蒙面大侠对[一个又一个]数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩，那么他有两个女儿的概率是多少？给出的答复：
先讲个故事：陈浩 与 @茉茉 打赌朋友两个孩子是同性还是异性，两人一算同性（女女、男男）异性（男女、女男）的概率都是1/2.（这点应该都认同）
两人打电话去朋友家，接电话的是个女孩。
陈浩一算，同性、异性概率仍然都是1/2；茉茉一算，男男已经被排除了，只有女女、女男、男女，因此同性概率是1/3.
乍一看都有道理，但反证：假设接电话的是男孩，茉茉的方法得出同性概率也是1/3.总结起来，与两人在之前得出的1/2矛盾。
关键在于“对两个孩子同时观察，两个孩子是对称的。”换句话说，“观察到一个孩子是女孩”不等于“知道至少有一个女孩”。
误会的地方在：观察到一个女孩不但排除了男男，还排除了一部分 男女、女男。详细推导：
女女中女孩接电话概率 1 ，所以女女且女孩接的概率 1/4.为A
男女中女孩接电话概率1/2，所以男女且女孩接的概率 1/8.为B
女男中女孩接电话概率1/2，所以女男且女孩接的概率 1/8.为C
男男中女孩接电话概率 1 ，所以男男且女孩接的概率 0.
两个孩子且女孩接电话由ABC构成，其中女女占（1/4）/（1/2）=1/2.
直观也很好理解，都观察到一个女孩了，赌男女或者女男的胜率肯定减小嘛。
这道题的物理意义，是玻色子的全同效应。“同时观察两个孩子”的作用很重要，不能忽略（不再是独立事件，以独立事件得出1/2的都是撞对了）。
网友梁展瑞对[一个又一个]数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩，那么他有两个女儿的概率是多少？给出的答复：
这个可以用多次重复实验验证的. 对于每次实验, 首先随机生成两个孩子的性别 然后随机让一个孩子接电话. 如果观察到接电话的孩子是女的, 就进行统计. 最后在统计到的性别对中, 两个都是女孩的性别对的数目所占的比例就是近似的概率.
以下程序的执行结果是: 0.501501777369
import randomt = 1000000cnt = 0tot = 0for i in xrange(t): d1, d2 = random.randint(0, 1), random.randint(0, 1) response = random.choice((d1, d2)) if response == 1: tot += 1 cnt += (d1 == 1 and d2 == 1)print cnt / float(tot)网友蒙面大侠对[一个又一个]数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩，那么他有两个女儿的概率是多少？给出的答复：
这个题目与“我一个老朋友有且只有两个孩子，其中一个是女孩，那么他有两个女儿的概率是多少”的区别在于描述人所知道的信息。
问题地址：求概率帝解答：一个人有两个小孩，其中有一个是生于星期二的男孩儿，问另一个是男孩儿的概率是多少？
做出“一个人有两个小孩，其中一个是女孩”这个描述的人，他已经知道所有孩子的性别，他在做出这个描述的时候，事实上已经删除了一些可能性（即两个孩子都是男孩）所以我们此时面对的已不是所有可能性，而是所有可能性的一部分，所以概率不是50%，而是三分之一。
老大女，老二女（符合）
老大男，老二女（不符合）
老大女，老二男（不符合）
老大男，老二男（排除）
回过头来看这个题目，做出“有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩”的描述，说明他不清楚朋友家孩子的性别情况，列举一下
老大女，老二女，老大接电话（女）
老大女，老二女，老二接电话（女）
老大男，老二女，老大接电话（男）
老大男，老二女，老二接电话（女）
老大女，老二男，老大接电话（女）
老大女，老二男，老二接电话（男）
老大男，老二男，老大接电话（男）
老大男，老二男，老二接电话（男）
答案应该很明显了。
网友张琪对[一个又一个]数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩，那么他有两个女儿的概率是多少？给出的答复：
说1/3的人，无非是用了古典概型，古典概型的要求每个基本事件发生的概率相等。而这个题中(如果认为自然状态下男女都是1/2的概率) 两个孩子的性别分别可以是(按出生先后排序)
男男 女女 男女 女男 每种是1/4概率
已知一个女孩接电话了
女孩接电话这个事件，排除了男男这种情况
但是注意接电话这个事件对 男女 女男 这两个事件是有影响的，因为在这两种情况下，女孩接电话的概率都为1/2，而女女的情况下女孩接电话的概率为1 所以到这，不能运用古典概型的算法了，应该是1/(1/2+1/2+1)=1/2
而不是1/(1+1+1)=1/3
网友程海波对[一个又一个]数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩，那么他有两个女儿的概率是多少？给出的答复：
观点好多，基本上大家都是对先验概率的假定有分歧。
我想多数人都同意在不知道更多信息下，选用一种概率分布。因为如果像 陳浩 纠结于孩子接电话的概率，这样就没完了，还得考察生男生女的概率，男女的存活率。我承认做这种更详尽的考察，会使概率的估计更准，很多使用贝叶斯方法的案例（垃圾邮件、找失踪核潜艇），都会尽可能细分情况。
各种观点：
1/2的观点，假定不接电话孩子的男女概率各半1/2的观点，假设 1.老大男女概率各半 2.老二男女各半 3老大老二接电话的概率相等。
老大女，老二女，老大接电话（女）
老大女，老二女，老二接电话（女）
老大男，老二女，老大接电话（男）
老大男，老二女，老二接电话（女）
老大女，老二男，老大接电话（女）
老大女，老二男，老二接电话（男）
老大男，老二男，老大接电话（男）
老大男，老二男，老二接电话（男）1/3的观点，1.老大男女概率各半 2.老二男女各半 3.女孩接电话等价于至少有一个女孩。
老大女，老二女
老大男，老二女
老大女，老二男
老大男，老二男
我认为第一种观点最好，也最简洁明快。
第二种观点对这个题目还是可以的，但是如果把题目改为，在女澡堂碰到一个女孩子，或者有一个女孩考了全级第一，这种方法就很难用了，总不能考察在女澡堂碰到男孩子的概率或在女澡堂碰到两个女孩子的概率。我觉得还是使用第一种观点的概率空间更合适。
第三种观点，是把概率空间划分的不合理，结果一个女孩接电话找不到合适的事件对应，结果找了个太大的事件，至少一个女孩，对应上了。类似的一个错误：5个白球，5个红球，从中取4个，前3次都取到白球的概率？错误方法，不计顺序，将前3次取到白球等价于至少有3个白球。
这个问题我也纠结了很久，看历史修改就知道了。
网友魏清玥对[一个又一个]数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩，那么他有两个女儿的概率是多少？给出的答复：
公式：
朋友有两个孩子，都是女儿的概率为1/4（事件A）
朋友有两个孩子，至少有一个是女孩的概率为3/4（事件B）
此时两个孩子都是女孩必满足至少有一个是女孩，即事件A,B同时发生的概率为事件A的概率，即P(AB)=P(A)
根据条件概率公式：P(A/B)=P(AB)/P(B)，
P(A/B)=P(A)/P(B)=(1/4)/(3/4)=1/3
推导：
两个孩子可能出现：{男+男，男+女，女+男，女+女}
现在已知有一个女的，即男+男被否定，女+女在整体中的比例为1/3
不保证答案的正确性……
网友周子涵对[一个又一个]数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩，那么他有两个女儿的概率是多少？给出的答复：
我只想说 我做了程序模拟 是1/2 程序是基于这样一个思维情境：假设有4n（n非常大）家 那么我们基本可以说这4n家里 男男 女女 各有 有n家 剩下的一男一女有2n家 如果接电话是完全随机的话 那么可以说 n个男男家没有女人接 n个女女家有n个女女接 一男一女家有n家是女女 n家是男男接 没有问题么 由此我们看到 女生接电话的只有2n家 而女女只有n家 所以 n/2n得到1/2 你的简单解法 即四样本 男女 女男 男男 女女 去掉男男 得1/3的问题在于 默认了 男女 女男家 一定会是女生接电话 其实 男女女男家也有可能是男生接电话 所以 男女 女男和 女女的可能性在这里 并不相同 这里边不需要扯进大小关系
网友罗茜对[一个又一个]数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩，那么他有两个女儿的概率是多少？给出的答复：
也许鄙人天生愚钝，但是这个问题难道不是说两个孩子，一个是女孩，另外一个是女孩的概率是多少？这样不就是50%么？新人发言，有误请指出！！
网友茉茉对[一个又一个]数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩，那么他有两个女儿的概率是多少？给出的答复：
广告1：陈浩挖坑，茉茉跳进去了。
广告2：老虎打盹，也不可以放过，不然就是承认自己是纸老虎。
广告3：跳出火坑，是多么不简单的一件事啊。
写在前面的前面
Wow！茉茉首先要佩服 陈浩 先森的震慑力，竟然让茉茉跳进了火坑差点超过12小时。这还不是关键，关键在，茉茉在找他的破绽的时候又说了一大堆的荒诞言论，荒诞程度离扼腕已经不远了。对不起了，广大的友们。如果你们有意想嘲笑茉茉，可以去看看编辑历史。真的真的，很抱歉，很惭愧。
好了，言归正传，让我们来研究下 陈浩 先森的答案。
附，接电话的是女孩的条件下，两个都是女孩的概率：
P（两个都是女孩 ｜ 接电话的是女孩）
＝P（接电话的是女孩 ｜ 两个都是女孩）* P（两个都是女孩）/ P（接电话的是女孩）
＝1 * 1/4 / P（接电话的是女孩）
假设两个孩子中随机选出一个接电话，则
P（接电话的是女孩）
＝ P（接电话的是女孩｜女女）* P（女女）＋P（接电话的是女孩｜男女）* P（男女）
＋P（接电话的是女孩｜女男）* P（女男）＋P（接电话的是女孩｜男男）* P（男男）
＝1 * 1/4 + 1/2 * 1/4 + 1/2 * 1/4 + 0 * 1/4
＝1/2
所以
P（两个都是女孩 ｜ 接电话的是女孩）
＝0.25 / 0.5
＝1/2
这三段里，如果中间那段无懈可击，这将会是多么完美的回答啊！
然而，事情总不会像我们大家希望的那样存在，这又是多么的令人遗憾！
为什么呢？请仔细看这段：
P（接电话的是女孩）
＝ P（接电话的是女孩｜女女）* P（女女）＋P（接电话的是女孩｜男女）* P（男女）
＋P（接电话的是女孩｜女男）* P（女男）＋P（接电话的是女孩｜男男）* P（男男）
＝1 * 1/4 + 1/2 * 1/4 + 1/2 * 1/4 + 0 * 1/4
＝1/2
第一个等号左边与后边是否真的等价呢，或者说，第一个等号是否成立呢？
答案是，NO!
先说这个等号后边：P（接电话的是女孩｜女女）* P（女女）＋P（接电话的是女孩｜男女）* P（男女）+ P（接电话的是女孩｜女男）* P（女男）＋P（接电话的是女孩｜男男）* P（男男）这两行计算的实质是什么？是 P（接电话的是女孩｜家里有两个孩子）。
而 陈浩 需要的那个子项是什么？是 P（接电话的是女孩）。
再说这个等号的左边， P（接电话的是女孩），这个概率到底是多少呢？对不起，在缺少其他条件的时候，你说多少都可以，因为没人知道它到底是多少。
有人说，我们这题里的大前提就是两个孩子啊，难道有什么不对吗？
茉茉：亲爱的们，我们在把实际问题变换到数学语言里，自然是不能放过任何一条信息，比如「家里有两个孩子」。但是，一旦我们完成了这项工作以后，我们就要一是一、二是二，严格按照我们运用的理论去诠释了，比如这里，以 陈浩 的思路，他一定要把这个问题这样用数学语言来诠释，他一定坚持他要计算P（接电话的是女孩）。但么，就请真的去计算P（接电话的是女孩）吧，而不要用P（接电话的是女孩｜家里有两个孩子）来滥竽充数了。因为这是两个完全不一样的东西。
所以，当问题这样被他遮盖了本来的面目以后，他就人为缩小了「接电话的是女孩」这个事件空间，当他把这项带入公式里的分母时，当然得到的最终结果就比正确结果大了，这就是为什么他的答案1/2要比茉茉的答案1/3大。
那么 陈浩 算了半天算的是什么呢？对不起，茉茉不知道。对这种张冠李戴后产生的结果，茉茉一时还解释不了。
亲爱的友们，陈浩真的会继续抓着我的「小辫子」不放，会继续质问我为什么没有说清楚我在进行计算的时候怎么可以把P（接电话的是女孩）直接用 P（两个孩子里至少有一个女孩）来代替哦！茉茉到底有没有「小辫子」被陈浩抓住了呢？
严格意义上说，是有的。就是因为茉茉没有严正说明，其实几乎在所有问题里，在题目涉及了的事件没有被准确定义其发生情况时，我们都会「默认」，这个「不明事件」的发生是随机的。有关这点共识，至今我还没有发现提出异议者。所以当 陈浩 这样在这个问题上做文章的时候，我的第一反应就是回避。因为我不认为这是一个需要花费大量时间去探讨的问题。
那么，可怜的茉茉到底有没有像陈浩所说，「擅自代替，导致扩大条件的范围」呢？另外，陈浩算的也是「接电话」这个事件为随机选择时候的概率，为什么他会有张冠李戴的错误，茉茉却没有呢？下面这段话同时回答了这两个问题。
这就又回到这个问题最初的状态了：怎样把实际问题尽可能转化为数学语言。茉茉的思路是，「家里有女孩接电话」与「家里有女孩」在传达信息这点上是quasi等价的。这个quasi之所以只是quasi，是因为我们默认，我们对这句话的分析，重点不在「接电话」上，所以，「接电话」这个信息不在我们考虑范畴里；但我们又不能说这两个说法毫无差别，所以不能说是完全等价的。对实际问题进行统计分析时，我们要做的第一步，永远都是甄选我们需要的可以加以利用的信息或者数据，比如这里，根据题目要求的概率，家里另外那个孩子也是女孩的概率，那么「家里有女孩接电话」这句话的可利用信息就是「家里有女孩」，至于是「接电话」，还是「开门」，还是别的什么，这些都对求家里另外那个孩子也是女孩的概率没有任何可以影响到的地方，所以，茉茉选择的思路是：把「家里有女孩接电话」简化成「家里有女孩」。
但是，只有「家里有女孩」这句话，我们还是没法继续求解，所以，必须找到与之对应的数学语言：「家里至少有一个女孩」。而这两个命题，是完全等价的。于是，茉茉下面的答案是这样说的：
现定义事件X为：孩子中女孩的个数。
我们要求的概率便是：P( X = 2 | X > = 1 ) 。
至此，茉茉找到了 陈浩 的问题所在，并且在过程中让自己的思路更加清晰了。所以，谢谢陈浩和其拥护者对我提出的所有质疑。
写在前面
本以为这道题目回答到此已经没什么好再说的了。但我承认，当我看见不负责任的答案和各种毫无意义的评论，还是忍不住要写下这个必须置顶的总结语。
答案到底是1/2 还是1/3 从来都不该是被纠结所在，关键是，针对什么样的问题，就该找什么样的方法去解决。研究自然科学最最关键的是要有扎实的求真过程，无论是演绎证明还是计算，你的每一步都应该做到无懈可击，只要有任何一丝你觉得不很确定的地方，就该再回过头去重新考虑。自然科学更加讲求精准。到目前为止，我接触过的无论是书本上还是现实中的问题，还没有一例存在不同的结果，哪怕求解过程不同。所以，如果谁坚信这道题设没有任何问题的问题是个「悖论」题，那我也只能摊手了。让最虔诚的基督徒去承认达尔文，是在做无用功。因为从昨天到现在看到了很多莫名其妙的现象，我想有必要还是要提一下跟这道题毫无关系的，有关对各种title的态度。在我看来，title从来都只是一个身份符号，而不是戴这个title的人言论正确无误的保证书。每个人都有不懂的时候、错误的时候、包括一些在各种学术论坛上被发表的论文或post上，也还是常常能找到一些并不很准确的东西。这些都不是问题，若发现这些，反而是对当事人诺大的帮助。我遇见过的好教授，课堂上最喜欢的事情，都是学生提出他们板书里或计算错误、或不准确的小漏洞，难道我们在这个时候该想：他是教授，肯定不会错的？再回到这题。其实这题有一个很简单的解释，现写下来：一个家庭有两个孩子的全部事件有4个，分别是：男男、男女、女男、女女。其中有效事件3个，分别是：男女、女男、女女。在这三个有效事件里，符合题设问题的只有女女这一个，所以，女女这个事件发生的概率便是3个有效事件里面的1个，即：1/3。我之所以特别强调这题跟「兄弟姐妹」无关，是因为这个先后顺序与题目要求的概率毫无联系，非要扯上什么联系，那也只有，「男女」、「女男」是两个不同的事件。就像袋子里有足够多的黑球和白球，每次取出两个，「黑白」与「白黑」这两个取法也是两个互不影响而独立存在的事件；但如果我说每次我都同时取一对球出来，那这个时候显然「黑白」与「白黑」就是等同的事件了，这个可以理解为取有双球形状的物体，这物体因两球颜色不同有三种形态：「全黑」、「全白」、「半黑半白」，这样取物体的全部事件也就只有三个。这个简单的例子是写给那些质疑「双胞胎」的友们的，先不提就算真的是双胞胎也还可以区分前后，如果那么喜欢用「双胞胎」来考虑问题，这题目完全可以特意为你们改成：「双胞胎之家有两对双胞胎，已知其中一对都是女孩，问另外一对也都是女孩的概率是多少」，答案与本题显然一样；再复杂一些：「双胞胎之家有两对双胞胎，已知其中一对里有一个是女孩，问另外一对里也有一个是女孩的概率是多少」，这个概率明显要大多了，有兴趣可以自己算下。再回到我提供的答案。之所以没有用上面的三言两语去回答这个问题，是因为，在不清楚看客们有何种程度的基础时，我喜欢把最为基本的解决方法呈现出来，尽管有时会显得冗繁与笨重。比如这里，上面那个「有效事件」的提法，其实说的就是贝叶斯统计里的条件概率，因为某条件的存在，导致可发生的事件里有「有效」与「无效」两种；失去了条件约束，所有可能发生的事件就都是「有效」事件，比如这题很多友们一直在坚持的1/2，就是这种情况下的结果。如果大家喜欢1/2，可以把题目改成：「已知朋友育有二童，此次接电话者为一女童，问下次来电时接电话者依旧是女童的概率。」，这个概率就跟「抛硬币」、跟「生男生女」一样是无可厚非的1/2了。最后写给一些质疑我「外行」、「抄课本」的人：无论你们是以何种心态对我有此般「敌意」（在我看来不分青红皂白就给人乱扣帽子的行为就是充满敌意），也无论你们是多么热爱你们的1/2，在此我不得不大声说一句，一直支撑着你们坚持自己观点的无非就是出于：1.不喜欢我这个人，这个我可以理解；2.只支持你们圈里的人，这个我也可以理解；3.看见公式就反感，觉得这样解决问题就是为了炫耀自己会，这个我也可以理解；4.因为所属领域不一样，导致混淆了概念，一听到与「生男生女」或「抛硬币」相关的问题，就立刻条件反射出来一个1/2，这个我更能理解了。因为：1.我没想让你们都喜欢我；2.友情超过承认科学事实不是我的态度，但不能阻止那是你们的态度；3.且不说这有什么可炫耀的，就算是在炫耀，那也得有资格才行。而这个资格就是：能做到无懈可击；4.这更不是你们的问题了，我一直以为我们大学之前的数学根本就不叫数学，充其量就是个算术，所以才会有这样概念不清的现象。然而，对不起各位了，我对各位言语上的敌意的回应，就是：我要让你们自己亲眼看见、让你们亲自打破对1/2的盲目崇拜！——http://www.61k.comquestion/19647377 这个问题我也参与回答了，因为这两个问题本质是一样的，所以答题过程也大同小异。不同的是，在那里，我受到了一位友的启发，用R把这个问题写了几句编码，为了把实际生活中的情况展示出来给大家看。那段编码做的只是，随机抽取有十个孩子的家庭，记录下十个孩子里有九个是男孩的次数，并记录下另外那个孩子也是男孩的次数，全过程自动重复进行多遍（至少以万为数量级），并在最后计算十个孩子全是男孩的情况所占比例，程序最后一行给出的是这个比例应该有的理论值1/（n+1）。请在按照我的提示运行之前，先在这里选择适合自己操作系统的版本下载R这个统计软件：
http://cran.r-project.org/本题是我来知乎这么久第一次最认真也最完整地回答问题，感谢所有对我提出过任何质疑的友们，你们的存在、你们的质疑的存在，让此刻的我为自己骄傲，起码是这一刻。所以，请恕我不再回答任何评论。如果认真读完我每一个字后、看见程序演示后依然坚持自己，那就不是我能做的了，因为我花这么多时间围绕这个问题写下这么多东西，无非就是想说出真相是什么，至于看见真相后你们作何反应，我无法左右，也不想左右。
下面是最早给出的回答：
为了减少对题目理解上的分歧，请先让我举个简单的例子说明一下这个问题涉及到的两个不同概念。
假设一个餐馆只提供包子和饺子。请考虑以下两个问题：
问题1：已知来吃饭的客人里，有9个客人都点了包子，那么，第10个客人也点包子的概率是多少？
问题2：已知来餐馆吃饭的10位客人里有9个客人点了包子，那么，剩下那个客人也点包子的概率是多少？
请先考虑下这两个问题的不同在哪里，再看下面的答案，会有帮助。
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这是一个典型的可以用贝叶斯定理解释的例子。有关贝叶斯定理请参考[1]。
很多时候，我们想知道在某一事件确定发生的前提下，我们关心的事件发生的概率是多少。比如这里，在接电话的是女儿这个前提下，好友两个孩子同为女孩的概率。
现定义事件X为：孩子中女孩的个数。
我们要求的概率便是：P( X = 2 | X > = 1 ) 。
根据贝叶斯定理，计算如下：
P( X = 2 | X > = 1 )
= P( X > = 1 | X = 2 ) * P( X = 2 ) / P( X > = 1 )
= 1* (1/4) / (3/4)
= 1/3
其中，
P( X = 2 ) 为两个孩子同为女孩的概率：1/4，符合二项分布[2]；
P( X > = 1 ) 为其中至少有一个孩子是女孩的概率：3/4 [3]；
P( X > = 1 | X = 2 ) 为两个孩子都是女孩的前提下至少有一个孩子是女孩的概率：1。
附上贝叶斯定理：
P( A | B) = [ P( B | A ) * P( A ) ] / P( B )
[1] http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E5%AE%9A%E7%90%86
[2] http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E4%BD%88
[3] P( X > = 1 ) = P( X = 1 ) + P( X = 2 ) = 2! / 1! * 0.5^2 + 0.5^2 = 1/2 + 1/4 = 3/4
[4] 题目解完最后多罗嗦一句。我们在对数据用统计的方法进行分析时，有时会遗失本可以加以利用的数据呈现出的信息，所以心细、考虑周全相当重要。但更加忌讳的是，在数据没有呈现出任何表征时主观添加额外信息。就拿这题来说，「接电话的是个女孩」和「朋友有两个孩子」这两条信息提供的只是：孩子总数为2、其中至少有一个是女孩。如果题目里提到诸如「电话铃一响，女孩就跑去接电话」这样的条件，那么我们最后得到的又会是另外的结果。可是，本题没有这么说，不是因为本题题设不完整，而是这道题目他本身就是这样的。
网友蒙面大侠对[一个又一个]数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩，那么他有两个女儿的概率是多少？给出的答复：
概括原题：“两个孩子，其中一个接电话，是个女孩，问女女的概率”
我的观点：
若俩孩子随机接电话，这个问题可以简化成：
“两个孩子，其中，先出生的是女孩，问女女的概率”
这种情况下，答案显然是 1/2.
可以简化的原因：
首先看 @陳浩 总结的8种情况：（故意重新排版）
老大接电话 老二接电话
老大女，老二女，老大接电话（女） | 老大女，老二女，老二接电话（女）
老大男，老二女，老大接电话（男） | 老大女，老二男，老二接电话（男）
老大女，老二男，老大接电话（女） | 老大男，老二女，老二接电话（女）
老大男，老二男，老大接电话（男） | 老大男，老二男，老二接电话（男）
因为 老大 与 老二 接电话的情况是 对称的，对于男女比例无影响。
所以,可以规约成总是老大接电话，而不影响答案。
总是老大接电话+是个女孩 ==> 先出生的是女孩。
简化该问题的企图是受 @葛寅 回答的启发
补充 答案1/3 "错在哪里" ：
这类答案初期的4种等价情况是：女女、女男、男女、男男 (正确)
根据 "接电话的是女孩" 删去 男男 这一情况， (正确)
并认为 余下的三种情况 仍然是等概率的，得出1/3. (错在这一步！！)
其实：不等概率，女女这种情况明显有优势。
“接电话的是女孩”，这一信息没有被充分的利用，从而产生这一错误。
网友无奇对[一个又一个]数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩，那么他有两个女儿的概率是多少？给出的答复：
所有的这种引发大讨论的“概率论”问题都是“语义”问题。
网友蒙面大侠对[一个又一个]数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩，那么他有两个女儿的概率是多少？给出的答复：
既然已经确定一个是女儿，其实这道题就是问另一个孩子是男还是女啊！管他老大老二…一个孩子不是男的就是女的，所以1/2…
好吧！文科生就是这么理解的！
网友马越对[一个又一个]数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩，那么他有两个女儿的概率是多少？给出的答复：
我觉得@陳浩的回答已经很完善了，这里再补充一下。
”二分之一“理论同”三分之一“理论的根本区别，我认为是对”接电话“这个事件对样本空间改变与否产生了分歧。
现在大家有一点达成了共识，就是在不考虑所有其他的情况下，家里孩子的组合{女，女}的概率为0.25，{男，女}的概率为0.5。在此基础上，我来说明一下”接电话“事件对样本空间的影响。
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现在我们假设有N个平行宇宙，每个宇宙中都有且仅有两个孩子和一部电话。N很大，可以视作无穷，认为其频率分布就是概率分布。那么应该有四分之一的宇宙中孩子组成为{男，男}，四分之一{女，女}，二分之一{男，女}。
现在我们让所有{男，男}的宇宙消失^_^
于是还剩下N/4个{女，女}宇宙，2N/4个{男，女}宇宙。
好的，现在用我们同时呼叫每个宇宙中的电话，会有什么结果产生呢？
N/4个{女，女}宇宙中，都是女孩接的电话。{男，女}宇宙的情况就不同了，其中有N/4个{男，女}宇宙是女孩接的电话，另外N/4个{男，女}宇宙中是男孩接的电话。
现在我们得到的反馈是，女孩接的电话。所以，让N/4个男孩接电话的{男，女}宇宙消失吧^_^
我们还剩什么？N/4个{女，女}宇宙，N/4个女孩接电话的{男，女}宇宙。
所以{女，女}的概率是多少？二分之一嘛。
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我想说的是，”打电话“并得到结果这个过程，本质上是对事物的一次观察。无论返回了什么结果，都会对已有的样本空间进行修正。对于这个问题，是排除了”家里构成是{男，女}但是男孩接电话“这一可能，所以才会使得本来三分之一的概率变到了二分之一。
网友柯克己对[一个又一个]数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩，那么他有两个女儿的概率是多少？给出的答复：
不好意思，挖坟了。手痒。
其实这个题目，我觉得不必复杂化。
抓住一个既定的事实：接电话的是一个女孩，而来老朋友有且只有两个孩子。
那么另一个孩子的性别非男即女（双性人不在讨论之内。），而这个就是该概率的变量（n=2），那两个女孩的概率也就是1/2。
PS：对于那些复杂化并想歪了的朋友，希望抓住题设的信息，并注意既定的事实，这个题目并不是一个纯分析题。
网友蒙面大侠对[一个又一个]数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩，那么他有两个女儿的概率是多少？给出的答复：
我觉得@茉茉 的问题在于男女和女男是不同的。换个角度来想：假设接电话对于两个孩子来说都是50%的概率。按年龄排（大/小）就有男/男，男/女，女/男，女/女四种情况。那么先假设一种情况：大的孩子接（50%的概率）这种情况下如果先接的是女孩，那么剩下的那个是女孩的概率是50%（男/男，男/女被排除）。第二种情况：小的孩子接（另外50%的概率），这种情况下如果先接的是女孩，那么剩下那个是女孩的概率是50%（男/男，女/男被排除）。两种情况加起来还是50%。
网友董懂对[一个又一个]数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩，那么他有两个女儿的概率是多少？给出的答复：
二分之一。
因为一共两个孩子，且已知其中一个是女孩。那么另一个不是男的就是女的。所以！
网友蒙面大侠对[一个又一个]数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩，那么他有两个女儿的概率是多少？给出的答复：
唉？！既然两个孩子都已生下来了，两人的性别组合已经是既成事实了，那么“两人都是女孩”，或等价地“尚不清楚的另一人也是女孩”的可能性就已经不能再以概率而论了吧？我世界观有点崩坏了……
二 : 求MOTOz1驱动我的手机丢了后朋友给的一个手机,就是背后有姚明
求MOTOz1驱动
我的丢了后朋友给的一个手机,就是背后有姚明签名的那种,急求一个驱动,希望好心人帮帮忙,先3Q了!急需!
装这个试试~~~
三 : ＜洗头妹护手＞有专门的洗头工具吗？我的一个朋友开了一个发廊，让他
＜洗头妹护手＞有专门的洗头工具吗？
我的一个开了一个发廊，让他女朋友给客人洗头，但是他那里生意超好的，他女朋友每天都得为好几十个顾客洗头，我想请问各位有没有专门的洗头工具可以帮助她们的？最好能告诉我哪里有卖的？
目前还没有发明专门的洗头工具了，
一天洗这么多，确实对手的皮肤伤害大，
只能先戴一次性手套洗衣洗了（怕有的客人不同意）
而且戴手套也不方便洗的。
估计过几年也许会有人发明洗头工具了吧
本文标题：我有一个朋友-数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过61阅读| 精彩专题| 最新文章| 热门文章| 苏ICP备13036349号-1