一 : VerilogHDL的建模方法
Verilog模型可以是实际电路不同级别的抽象，因此有多种不同的建模方法。其中最常用的建模方法有以下三种：
1)门级结构建模
2) 行为描述建模
3) 数据流建模
1.门级结构建模
一个逻辑网络是由许多逻辑门和开关所组成，因此用逻辑门的模型来描述逻辑网络是最直观的。VerilogHDL提供了一些门类型的关键字，可以用于门级结构建模。其中最常用的有8个。
and 与门
nand 与非门
nor 或非门
or 或门
xor 异或门
xnor 异或非门
buf 缓冲器
not 非门
一个模块能在其他模块中被引用，如果已经编制了一个模块,我们可以在另外的模块中引用这个模块，引用的方法与门类型的实例引用非常类似，这样就建立了描述的层次。信号的端口可以通过位置或名称关联，但是不能和混合使用。
例：nand #10nd1(a,data,clock,clear);
实例：
1位全加器（结构描述方式）
1位全加器的逻辑图
module FA_Str(A,B,Cin,Sum,Cout)
input A,B,Cin;
output Cout,Sum;
wire S1,T1,T2,T3;
xor
X1(S1,A,B),
X2(Sum,S1,Cin),
A1(T3,A,B),
A2(T2,B,Cin),
A3(T1,A,Cin);
or
O1(Cout,T1,T2,T3);
endmodule
用两块半加器构成全加器(在一个模块中引用其他模块)：
module HA(A,B,S,C) //定义一个半加器
input A,B;
output S,C;
parameter AND_DELAY = 1,XOR_DELAY =2;
assign #XOR_DELAY S = A^B;
assign #AND_DELAY C =A&B;
endmodule
moduleFA(P,Q,Cin,Sum,Cout);
input P,Q,Cin;
Cout Sum,Out;
parameter OR_DELAY = 1;
wire S1,C1,C2;
//两个模块实例语句
HA h1(P,Q,S,C1);//通过位置关联
HA h2(.A(Cin),.S(Sum),.B(S1),.C(C2));//通过端口与信号的名字关联
or # OR_DELAY O1(Cout,C1,C2);
endmodule
门级结构描述如下图所示的D触发器；
moduleflop(data,clock,clear,q,qb);
input data,clock,clear;
output q,qb;
nand #10nd1(a,data,clock,clear),
nd2(b,ndata,clock),
nd4(d,c,b,clear),
nd5(e,c,nclock),
nd6(f,d,nclock),
nd8(qb,q,f,clear);
nand #9 nd3(c,a,d),
nd7(q,e,qb);
not #10 iv1(ndata,data),
iv2(nclock,clock);
endmodule
D触发器
用上述的D触发器构成下图的四位寄存器：
modulehardreg(d,clk,clrb,q);
input clk,clrb;
input[3:0] d;
output[3:0] q;
flopf1(d[0（www.61k.com）],clk,clrb,q[0],),
f2(d[1],clk,clrb,q[1],),
f3(d[2],clk,clrb,q[2],),
f4(d[3],clk,clrb,q[3],);
endmodule
四位寄存器
2.Verilog HDL的行为描述建模
行为建模主要用initial和always语句，这些语句相互并行执行，，都在0时刻开始执行，与语句出现的顺序无关。
行为建模的时序控制：（1）时延控制，（2）事件控制。
时延控制：#delayprocedural_statement;其中delay可以是任意表达式而不必是常量。
事件控制：1边沿触发事件控制 2电平敏感事件控制。
边沿触发事件控制：@event procedural_statement;
例如：@（posedgeClock）Count =0;
电平敏感事件控制:wait(condition)
procedural_statement;
例如：wait(Sum > 22)
Sum = 0;
语句块：begin….end;fork…..join;
过程性赋值：阻塞性赋值，非阻塞性赋值。
条件语句：if….else;case;
循环语句：forever，while，repeat，for。
1forever
procedural_statement;//永远执行下去
2repeat（Count）
procedural_statement;//循环Count次
3while（condition）
procedural_statement;
4for（；；）
procedural_statement;
实例：
1位全加器(行为描述方式)：
module FA_Seq(A,B,Cin,Cout,Sum);l
input Cin,A,B;
output Cout,Sum;
reg Cout,Sum;
reg T1,T2,T3;
always
@(A or B or Cin)begin
Sum=(A^B)^Cin;
T1=A&Cin;
T2=B&Cin;
T3=A&B;
Cout=(T1 | T2) | T3;
end
endmodule
带异步预置的负边沿触发的D触发器(行为描述方式):
module DFF(Clk,D,Set,Q,Qbar);
input Clk,D,Dset;
outptut Q,Qbar;
reg Q,Qbar;
always
wait(Set == 1)
begin
#3 Q = 1;
#2 Qbar = 0;
wait(Set ==0)
end
always
@(negedge Clk)
begin
if(Set != 1)
begin
#5 Q = D;
#1 = Qbar = ~Q;
end
end
endmodule
3.Verilog HDL的数据流建模
数据流描述的特征：连续赋值，那么连续赋值什么时候执行呢？只要表达式右端的操作数上有事件发生，表达式即被计算。
下面是一些例子：
--------------------------------
wireCout,Cin;
wire[3:0] Sum,A,B;
assign (cout,Sum) = A+B+Cin;
-------------------------------
assign Mux = (S == 0)? A : ‘bz,
Mux= (S == 1)? B : ‘bz,
Mux= (S == 2)? C : ‘bz,
Mux= (S == 3)? D : ‘bz；：
建模实例：
1位全加器（数据流描述）
moduleFA_Df(A<B<Cin,Sum,Cout)
input A,B,Cin;
output Sum,Cout;
assign Sum = A^B^Cin;
assign Cout =(A&Cin)|(B&Cin)|(A&B);
endmodule
主从触发器（数据流描述）
主从触发器逻辑连接图
module MSDFF_DF(D,C,Q,Qbar)
input D,C;
output Q,Qbar;
wire NotC,NotD,NotY,Y,D1,D2,Ybar,Y1,Y2;
assign NotD = ~D;
assign NotC = ~C;
assign NotY = ~Y;
assign D1 =~(D&C);
assign D2 =~(C&NotD);
assign Y =~(D1&Ybar);
assign Ybar =~(Y&D2);
assign Y1 =~(Y&NotC);
assign Y2 =~(NotY&NotC);
assign Q =~(Qbar&Y1);
assign Qbar =~(Y2&NotQ);
endmodule
2-4解码器（数据流描述方式）
2-4解码器的逻辑图
timescale 1ns/1ns
module Decoder2x4(A,B,EN,Z)
input A,B,EN;
output [0:3] Z;
wire Abar,Bbar;
assign #1 Abar=~A;
assign #1 Bbar=~B;
assign #2Z[0]=~(Abar&Bbar&EN);
assign #2Z[1]=~(Abar&B&EN);
assign #2Z[2]=~(A&Bbar&EN);
assign #2Z[3]=~(A&B&EN);
endmodule
二 : 两种建模方法
2 过程控制系统建模方法
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过程控制系统建模方法
2.1 2.2 2.3
过程控制系统建模概念
机理建模方法 测试建模方法
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过程控制系统建模方法
内容
?建立被控对象的数学模型 ?可分为机理法和测试法两大类
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过程控制系统建模方法 ?第一节介绍建模的概念、条件 机理法建模、测试法建模两种方法的基本 思路。
?第二节推导了建模的过程，机理建模的方法。 掌握测试法建模的原理和推导步骤。 ?第三节四种测试建模的方法、特点 测试动态特性的时域法、频域法 统计相关法和最小二乘法。
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过程控制系统建模方法
? 控制系统的设计任务是依据被控对象的数学模 型，按照控制要求来设计控制器。 ? 建立被控对象的数学模型，可分为机理法和测 试法两类。
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过程控制系统建模方法
2.1
过程控制系统建模概念
2.2
2.3
机理建模方法
测试建模方法
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过程控制系统建模方法
2.1.1
2.1.2
建模概念
过程控制系统建模的两个基本方法
4
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过程控制系统建模方法
2.1.1 2.1.2
建模概念
过程控制系统建模的两个基本方法
4
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过程控制系统建模方法
? 三类主要的信息源： 1、要确定明确的输入量与输出量。 ? 通常选一个可控性良好，对输出量影响最大的 一个输入信号作为输入量，其余的输入信号则 为干扰量。
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过程控制系统建模方法
2、要有先验知识 ?在建模中，被控对象内部所进行的物理、化学 过程符合已经发现的许多定理、原理及模型。 ?在建模中必须掌握建模对象所要用到的先验知 识。
3、试验数据 ?过程的信息能通过对对象的试验与测量而获得。
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过程控制系统建模方法
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过程控制系统建模方法
?被控对象数学模型的要求:要求它准确可靠。 在线运用的数学模型要求实时性。 ?在建立数学模型时，要抓住主要因素，忽略次要 因素，需要做很多近似处理 ?如：线性化、分布参数系统和模型降阶处理等。 ?用于控制的数学模型并不要求非常准确。 ?闭环控制本身具有一定的鲁棒性，模型的误差 可以视为干扰，闭环控制在某种程度上具有自动 消除干扰影响的能力。
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过程控制系统建模方法
2.1.1 2.1.2
建模概念 过程控制系统建模的两个基本方法
4
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过程控制系统建模
方法 1、机理法建模
?根据生产过程中实际发生的变化机理，写出各种 有关的平衡方程
?如:物质平衡方程；能量平衡方程；动量平衡方程 以及反映流体流动、传热、传质、化学反应等基本 规律的运动方程，物性参数方程和某些设备的特性 方程等，从中获得所需的数学模型。
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过程控制系统建模方法 ? 用机理法建模的首要条件是生产过程的机理必 须为人们充分掌握，可以比较确切的加以数学 描述。 ? 模型应该尽量简单，保证达到合理的精度。 ? 用机理法建模时，出现模型中某些参数难以确 定的情况或用机理法建模太烦琐。 ? 可以用测试的方法来建模。
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过程控制系统建模方法
2、测试法建模
?根据工业过程的输入和输出的实测数据进行数学 处理后得到的模型。
?特点是把被研究的工业过程视为一个黑匣子，完 全从外特性上测试和描述它的动态性质，不需要深 入掌握其内部机理。
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过程控制系统建模方法 ? 为了获得动态特性，必须使被研究的过程处于 被激励的状态，施加一个阶跃扰动或脉冲扰动 等。 ? 用测试法建模一般比用机理法建模要简单和省 力， ? 如果两者都能达到同样的目的，一般都采用测 试法建模。
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过程控制系统建模方法
?测试法建模又可分为经典辨识法和现代辨识法 两大类。 ?经典辨识法只需对少量的测试数据进行简单的 数学处理， ?现代辨识法可以消除测试数据中的偶然性误差 即噪声的影响，需要处理大量的测试数据。
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过程控制系统建模方法
2.1
过程控制系统建模概念
2.2 机理建模方法
2.3 测试建模方法
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过程控制系统建模方法
1、单容水槽 ?水流入量Q1由调节阀开度μ加以控制，流出量 Q0则由用户根据需要通过负载阀来改变。 ?被调量为水位h，它反映水的流入与流出之间 的平衡关系。 ?分析水位在调节阀开度扰动下的动态特性。
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过程控制系统建模方法
1—控制阀门 2—水槽 3—负载阀(液阻R)
单容水槽
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过程控制系统建模方法
?各量定义如下： ? Qi——输入水流量的稳态值( m3／s)； ?ΔQi ——输入水流量的增量(m3 ／s)； ?Qo ——输出水流量的稳态值(m3 ／s)； ?ΔQo ——输出水流量的增量(m3 ／s)； ?h——液位的高度(m)； ?ho ——液位的稳态值(m)； ?Δh——液位的增量(m)； ?μ——调节阀的开度( m2)；
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过程控制系统建模方法
? 设A为液槽横截面积(m2)，R为流出侧负载阀 门的液阻(s／m2 )。根据物料平衡关系，在正 常工作状态下，初始时刻处于平衡状态Qi=Qo， h＝ho，当进水阀开度发生阶跃变化Δμ时，液 位发生变化。在流出侧负载阀开度不变的情况 下，液位的变化将使流出量改变。 ? 流入量与流出量之差等于液槽液体贮存量的变 化率,即:
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过程控制系统建模方法
dV Q ? Δ Δ Qi-Δ -Δ =0 = =A dt
d?h =A dt
?Δ Qi 是由控制阀开度变化Δμ引起的，当阀前 后压差不变时，ΔQi与Δμ成正比关系，即 ΔQi= K ? Δμ
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过程控制系统建模方法
?K ? 为阀门流量系数(m／s)。
? 流出量与液位高度的关系为
Q = A0
2gh =
K
h
?(2—3)
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过程控制系统建模方法
?式(2—3)是一个非线性关系，如图 2.3所示，在平衡点( h0、Q0)附近进 行线性化，得 ?h R = ?Q (2—4)
0
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过程控制系统建模方法
液位与流出量的关系
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过程控制系统建模方法
?将式(2—4)、(2—2)代入式(2—1)，可得 ? d?h RA + Δh = K ? RΔμ (2-5) dt ?
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过程控制系统建模方法 ? 令 T ＝ RA (s)， K ＝ K ? R (1／m), 则上式可写为
d ?h T dt + Δh = KΔμ
(2-6)
? 可得液位变化时控制阀开度改变量的传递函数 为 K ?H ( s ) G(s) = = (2-7) ?U ( s ) TS ? 1
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过程控制系统建模方法
2、电加热炉
?被控参数为炉内温度T,控制量为电热丝两端电压u ?加热丝质量为M，比热为C，传热系数为H，传热 面积为A,未加温前炉内温度为T0,加温后的温度为T
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过程控制系统建模方法
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过程控制系统建模方法
?根据热力学知识，有 ? d (T ? T0 ) MC + HA(T-T0)=Qi dt ?
(2-8)
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过程控制系统建模方法
?式中: Qi 为单位时间内电热丝产生的热 量。 ?Qi 与外加电压u的平方成比例，故 Qi 与u是非线性关系。 ?在平衡点( Qo 、U0 )附近进行线性 化，得 ? ?Qi ?K u ＝ ?u ?
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过程控制系统建模方法
?于是可得式(2-8)对应的增量微分方程 d?T MC + HAΔT = K uΔu (2-9) dt ? Ku MC 令 τ= K= 则上式可写为 HA HA ?
?
d?T Τ dt
+ ΔT = KΔu
(2-10)
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过程控制系统建模方法 可得炉内温度变化量对控制电压变化量之间的传 递函数为
G(s) =
?T ( s ) = ?u ( s )
K ?s ? 1
(2-11)
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过程控制系统建模方法 3、压力对象
压力对象如图所示.
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过程控制系统建模方法
? ? d?p0 RC +Δ dt ? ? ?
p0
=Δ
pi
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? ?可得容器压力变化量与进气压力变化量 之间的传递函数如下： ? 1 ?p0 (s) G(s)= = ?pi (s) RCS ? 1 ? ?
过程控制系统建模方法
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过程控制系统建模方法 ? 单容被控对象动态特性都是一阶惯性环节
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过程控制系统建模方法
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过程控制系统建模方法 具有纯延迟的单容对象特性 ? 有一储水槽调节阀1距水槽有一段较长的距离。调 节阀1开度变化所引起的流入量变化 ΔQi，需要经 过一段传输时间 T0，才能对水槽液位产生影响， T0 是纯延迟时间。
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过程控制系统建模方法 ?纯延迟现象产生的原因是由于扰动发生的地点与 测定被控参数位臵有一定距离。 ?
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过程控制系统建模方法
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过程控制系统建模方法
d ?h T + Δh = KΔμ dt
?有纯延迟的单容对象的微分方程为
d?h T dt
+Δh = KΔu(t -
?0)
(2-17)
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过程控制系统建模方法
对应的传递函数为 G(s)=
?H ( s ) K ?? e = Ts ? 1 ?U ( s )
0s
(2-18)
?? 0 s
与式（2-7）相比多了延迟因子 e
。
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过程控制系统建模方法 无自平衡能力的单容对象特性 ?用惯性环节描述的单容对象，在被控量受到扰 动后，原来的平衡关系遭到破坏，但随着被调量 的变化不平衡越来越小，被调量能够自动地稳定 在新的平衡点上，这种特性称为自平衡。 ?具有自平衡特性的被控对象称为自平衡过程。 ?这是一种稳定的过程。
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过程控制系统建模方法 ? 另有一些被控对象，其流出端是用容积式的计 量泵排出恒定的流量Q，其值与液位的高低无 关。 ? 当流入端的流量发生阶跃扰动时，原来平衡关 系被破坏，液位发生变化。 ? 由于流出端流量保持不变，则液位或者上升， 直至水溢出液槽；或者下降，直到液槽里的水 被抽完为止。
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过程控制系统建模方法
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过程控制系统建模方法
?当这种被调量的平衡关系破坏后，不平 衡不因被调量的变化而改变，被调量而 以固定的速度一直变化下去而不会自动 地在新的水平上恢复平衡。这种现象不 具有自平衡特性，称为无自平衡过程。 这种过程是临界稳定的，它需要很长时 间，被调量才会有很大的变化。
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过程控制系统建模方法
?还有一类不稳定的过程，原来的平衡一旦被破坏 后，被调量在很短的时间内就发生很大的变化。
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过程控制系统建模方法
?对于无自平衡能力的单容对象其动态方 程为
d?h A =Δ dt
Qi
=
K u? u
(2—19)
A——液槽截面积。
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过程控制系统建模方法
?对于无自平衡能力的单容对象其动态方 程为
d?h A =Δ dt
Qi
=
K u? u
(2—19)
A——液槽截面积。
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过程控制系统建模方法 ? 对式(2-20)求解可得
?h =
??u
·
t=
= ? 对应的传递函数为
Ta
A = Ku
1 为响应时间。其 ?
?u t Ta
1 1 ?H ( s ) G（S）= ?U ( s ) = T (2-22) s a 这是一个积分环节，响应曲线如图所示。
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过程控制系统建模方法
?无自平衡能力单容对象阶跃响应曲线
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过程控制系统建模方法 多容对象的动态特性 ? 具有两个水槽，有两个可以储水的容器，为双容 对象。
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过程控制系统建模方法
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过程控制系统建模方法 1、具有自平衡能力的双容对象
? 两个串联对象的模型，在流入端，阀门开度有 微小扰动的情况下，被控参数 ?h2 的动态方程可由几个关系式导出。
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过程控制系统建模方法
?Q1 -
?Q2 =
C2
d?h2 dt
?Q2
?h2 = R2
?h1 R1
?Q1 =
?Qi -
?Q1
d ? h 1 C = 1 dt
?Qi = K u ? u
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过程控制系统建模方法
? 消去中间变量可得
T1 T
+
d ? h2 2 dt 2
2
+ ( T1 +T
2
?h2
=K
?u
d?h2 ) dt
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过程控制系统建模方法
C1、C2——两液槽的容量系数； R1、R2——两液槽的出水端的阻力； T1= R1C1——第一个容器的时间常数； T2=R2C2——第二个容器的时间常数； K= KuR2——双容对象的放大系数。
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过程控制系统建模方法
其传递函数为
?H 2 ( s ) G(s) = ?U ( s )
=
K T1T2 s 2 ? (T1 ? T2 ) s ? 1
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过程控制系统建模方法
?若双容对象调节阀 1 开度变化所引起的流入量 还存在纯延迟，则其传递函数可推导为
G(s)=
?H 2 ( s ) ?U ( s )
=
K ?? 0 s e T1T2 s 2 ? (T1 ? T2 ) s ? 1
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过程控制系统建模方法
?h1
?h1
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过程控制系统建模方法
2、具有自平衡能力的多容对象
有 n 个相互独立的多容对象的时间常数为 T1 、 T2….Tn,总放大系数为K，则传递函数为 G(s)=
K (T1 s ? 1)(T2 s ? 1) ?(Tn s ? 1)
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过程
控制系统建模方法
? 若T1=T2=……=Tn=T
则
K G(s)= (Ts ? 1) n
? 若还有纯延迟，则
K ?? 0 s G(s)= n e (Ts ? 1)
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过程控制系统建模方法
3.无自平衡能力的双容对象
?图示的无自平衡能力的双容对象是一个有自平 衡能力的单容对象和一个无自平衡能力的单容对 象的串联。
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过程控制系统建模方法
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过程控制系统建模方法
? u 阶跃扰动 ?当流入端阀门在t0时刻发生 时，由于多了一个中间液糟,作为 ?h被控 2 参数，并不能立即以最大速度变化， 对 ? h2 ，可 扰动的响应有一定的惯性， =0 ?Q2 得其对象的动态方程为
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过程控制系统建模方法
R 1C 1
d ? h2 2 dt
2
d?h2 + dt
Ku = ?u C2
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过程控制系统建模方法 令 T= R1C1 则得 ，
, Ta = C2 / Ku
T
d 2 ? h2 dt 2
d?h2 + dt
1 ?u = Ta
其对应的传递函数为
1 1 ? G(s)= Ts ? 1 Ta s
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过程控制系统建模方法 有纯延迟的情况则
G(s)=
1 1 ? Ts ? 1 Ta s
e
?? 0 s
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过程控制系统建模方法
?无自平衡能力双容对象的阶跃响应曲线
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过程控制系统建模方法 4、相互作用的双容对象 ? 前述双容对象，后一容器液位变化对前一容器 液位无影响。 ? 有一种双容水槽，两个水槽中，一水槽液位的 高低会影响另一水槽液位变化，两者之间有相 互作用，结果会改变水槽的等效时间常数。
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过程控制系统建模方法
?具有相互作用的双容模型 ?
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过程控制系统建模方法
?Qi 原来平衡时， ? 设被控参数为 ?Q0 输入扰动为 Q0=Q1=Qi,H10=h20 ； ? 当输入有扰动 ?Qi 后,会产生?h1 , ?h2 , ?Q0 ? 其之间关系为 ?
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过程控制系统建模方法
?h1 ? ?h2 ? ?Q1 R1
d?h1 ?Qi ? ?Q1 ? C1 dt
?h2 ?Q2 ? R2
d?h2 ?Q1 ? ?Q0 ? C 2 dt
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过程控制系统建模方法
可得对应的传递函数为
?Q0 (s) 1 ? 2 ?Qi (s) R1C1 R2 C2 s ? ( R1C1 ? R2 C2 ? R2 C1 )s ? 1
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过程控制系统建模方法 若以Δh2为被控参数，则
?H 2 (s) R2 ? ?Qi (s) R1C1 R2 C2 s 2 ? ( R1C1 ? R2 C2 ? R2 C1 )s ? 1
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过程控制系统建模方法
2.1
过程控制系统建模概念
2.2 机理建模方法
2.3 测试建模方法
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过程控制系统建模方法
?对于某些生产过程的机理，人们往往还未充分 掌握，有
时也会出现模型中有些参数难以确定的 情况。这时就需要用过程辩识方法把数学模型估 计出来。
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过程控制系统建模方法
对象特性的实验测定方法
? 工业对象通常是由高阶非线性微分方程描述的 复杂对象，对这些方程式较难求解。
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过程控制系统建模方法 ?采用机理法在推导和估算时，常用一些假设和近 似。数学模型希望通过实验测定来验证。 ?在无法采用机理法得到数学模型的情况下，只有 依靠实验和测试方法来取得。
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过程控制系统建模方法 ? 过程的动态特性，当它处于变动状态下才会表 现出来，在稳定状态下是表现不出来的。为了 获得动态特性，必须使被研究的过程处于被激 励的状态 ? 根据加入的激励信号和结果的分析方法不同， 测试对象动态特性的实验方法也不同，主要以 下几种：
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过程控制系统建模方法
（1）测定动态特性的时域方法 ?对被控对象施加阶跃输入，测绘出对象输出量 随时间变化的响应曲线，或施加脉冲输入测绘出 输出的脉冲响应曲线。 ?由响应曲线的结果分析，确定出被控对象的传 递函数。 ?该方法测试设备简单，测试工作量小、应用广 泛，缺点是测试精度不高。
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过程控制系统建模方法
（2）测定动态特性的频域方法 ? 对被控对象施加不同频率的正弦波，测出输入 量与输出量的幅值比和相位差，获得对象的频 率特性，来确定被控对象的传递函数。
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过程控制系统建模方法 （3）测定动态特性的统计相关法 ?对被控对象施加某种随机信号或直接利用对象 输入端本身存在的随机噪音进行观察和记录， ?可以在生产过程正常运行状态下进行，在线辨 识，精度也较高。 ?统计相关法要求积累大量数据，并要用相关仪 和计算机对这些数据进行计算和处理。 ?
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过程控制系统建模方法
? 三种方法测试的动态特性，表现形式是以时间 或频率为自变量的实验曲线，是非参数模型。 ? 建立数学模型的方法称为非参数模型辨识方法 或称经典的辨识方法。
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过程控制系统建模方法 非参数模型：阶跃响应R(t)频率响应G(jw)经过适当 的数学处理可转变成参数模型：传递函数的形式。
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过程控制系统建模方法 ?根据不同的基本原理又可分为 ?最小二乘法； ?梯度校正法； ?极大似然法三种类型。
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过程控制系统建
模方法 ? 最小二乘法是利用最小二乘原理，通过极小化广 义误差的平方和函数来确定模型的参数。
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过程控制系统建模方法 测定动态特性的时域法 ?在被控对象上，人为地加非周期信号后，测定 被控对象的响应曲线，然后再根据响应曲线，求 出被控对象的传递函数。
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?测试响应曲线的框图
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过程控制系统建模方法 ?1—被测对象 ?2—变换器 ?3—记录仪
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过程控制系统建模方法 1、输入信号选择及实验注意事项 ? 对象的阶跃响应曲线比较直观地反映对象的动 态特性，它是直接来自原始的记录曲线，无需 转换，实验也比较简单，从响应曲线中也易于 直接求出其对应的传递函数。 ? 阶跃输入信号是时域法首选的输入信号。
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?有时生产现场运行条件受到限制，不允许被控 对象的被控参数有较大幅度变化，无法测出一条 完整的阶跃响应曲线，可改用矩形脉冲作为输入 信号，得到脉冲响应后， 再将其换成一条阶跃 响应曲线。
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过程控制系统建模方法 ? 测试办法及曲线转换方法： ? 首先在对象上加一阶跃扰动，待被控参数继续 上升（或下降）到将要超过允许变化范围时， 立即去掉扰动，即将调节阀恢复到原来的位臵 上，变成了矩形脉冲扰动形式。
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过程控制系统建模方法
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过程控制系统建模方法 在图中可看出：
u(t ) ? u1 (t ) ? u 2 (t ) u 2 (t ) ? ?u1 (t ? ?t )
设：U1(t). U2(t) 和y2(t) 。
作用下的阶跃响应曲线为y1(t)
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过程控制系统建模方法 ?则脉冲响应曲线为
y(t ) ? y1 (t ) ? y2 (t ) ? y1 (t ) ? y1 (t ? ?t )
即
y1 (t ) ? y(t ) ? y1 (t ? ?t )
(2—35)
式(2—35)就是由矩形脉冲响应曲线y(t),转换 为阶跃响应曲线的根据。
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具体作法如下： 将时间轴按 ? t 分成 n 等份，在 0~t0+ ?t 区间，阶跃响应曲线与矩形脉冲响应 曲线重合。 即 y1(t)=y(t) 0 < t ? t 0 ? ?t (2—36)
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过程控制系统建模方法 在
t 0 ? ?t ? t ? t 0 ? 2?t
区间内
y1 (t ) ? y(t ) ? y1 (t ? ?t 0 )
(2—37)
依此类推，最后得到完整的阶跃响应曲线。
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过程控制系统建模方法 实验过程中应注意一些问题 (1)采取一切措施防止其它干扰的发生，否则将影 响实验结果
。 ? 为防止其它干扰影响，同一阶跃响应曲线应重复 测试两三次，以便进行比较，从中剔除某些明显 的偶然误差，并求出其中合理部分的平均值。
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(2)在对象的同一平衡工况下，加上一个反向的阶 跃信号，测出对象的响应特性，与正方向的响应 特性进行比较，以检验对象的非线性特性。
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过程控制系统建模方法 (3)测试应进行到被控参数接近它的稳态值或至少 也要测试到被控参数的变化速度达到最大值之 后。 (4)一般应在被控对象最小、最大及平均负荷下重 复测试n条响应曲线进行对比。 (5)要注意被测量起始状态测量的精度和加阶跃信 号的计时起点，这对计算对象延迟的大小和传 递函数确定的准确性有关。
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过程控制系统建模方法 2、实验结果的数据处理 ?如何将实验所获得的各种不同响应曲线进行处 理，以便用一些简单的典型微分方程或传递函数 来近似表达，既适合工程应用，又有足够的精度， 这就是数据处理要解决的问题。
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? 用测试法建立被控对象的数学模型，首要的问 题就是选定模型的结构。 ? 典型的工业过程的传递函数可以取为各种形式， 常见形式如下：
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一阶惯性环节加纯延迟 G(s)=
??s
Ke Ts ? 1
??s
二阶惯性环节加纯延迟
Ke G(s)= (T1 s ? 1)(T2 s ? 1)
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n个相同极点的n阶惯性环节加纯延迟
G(s)=
Ke n (Ts ? 1)
??s
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上述几个公式只适用于自平衡过程，对于无自平 衡过程，其传递函数中应含有一个积分环节，形 式如下：
G(s)=
1 ??s e T as
1 ??s e G(s)= Ta s(Ts ? 1)
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? 根据阶跃响应曲线，如何来选择上面哪一种传 递函数与其对应，这与测试者对被控对象的验 前知识掌握的多少和本人的经验有关。 ? 一般来说，可将测试的阶跃响应曲线与标准的 一阶、二阶阶跃响应曲线比较，来确定其相近 曲线对应的传递函数形式作为其数据处理的模 型。
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?对同一条响应曲线，用低阶传递函数拟合，数 据处理简单，计算量也小，但准确程度较低。 ?用高阶传递函数来拟合，则数据处理麻烦，计 算量大，但拟合精度也较高。
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闭环控制尤其是最常用
的PID控制并不要求非常 准确的被控对象。在满足精度要求的情况下， 尽量使用低阶传递函数来拟合，一些工业过程 对象采用一、二阶传递函数拟合为多。 用作图法确定参数T、τ
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设阶跃输入幅值为Δu，则K可按下式求取 K=
y ( ? ) ? y ( 0) ?u
(2-43)
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?T、τ可用作图法确定，即在拐点p处作切 线，它与时间轴交于 A 点，与曲线的稳态 值渐近线交于 B 点。如图 2.17 所示，图中 的τ、T即式（2-38）中的τ、T值。
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作图法十分简单，而且实践表明它可以成功地应 用于PID调节器的参数整定，故应用的也较广 泛。
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过程控制系统建模方法 用两点法求式（2-38）的K、T、τ参数。 上述中用作图法求取参数不够准确，这里所用两 点法，即利用阶跃响应曲线 y（ t）上的两点数据去计算 T和 τ值。而 K值仍按 式（2-43）计算。 首先需要把y（t）转换成它的无量纲形 式 y ? (t ) , 即
y (t ) y (t ) ? y (? )
?
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其中y（∞）为y（t）的稳态值。 与一阶惯性环节加纯延迟相对应的阶跃响 应无量纲形式为
0 ? ? ? t ?? y (t ) ? ? 1 ? exp( ? ) ? T ?
t ?? t ??
（2-44）
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为解出上式的T、τ须选择两个时刻t1和， t 2 ? t1 ,? ? t2,其中 从测试结果中可读出 和 ? 并写出联立方程 ? y (t 2 ) y (t1 ) （2-45） t1 ? ? ? ?
? y (t1 ) ? 1 ? exp(? T ) ? t2 ? ? ? ? y (t 2 ) ? 1 ? exp(? ) T ?
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过程控制系统建模方法 由式（2-45）可解出
t 2 ? t1 ? T? ? ? ? ln[ 1 ? y ( t )] ? ln[ 1 ? y (t 2 )] ? 1 ? ? ? ?? ? t 2 ln[1 ? y (t1 )] ? t1 ln[1 ? y (t 2 )] ? ? ? ln[1 ? y (t1 )] ? ln[1 ? y (t 2 )] ?
（2-46）
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过程控制系统建模方法 为了计算方便，可取，
y ? (t1 ) ? 0.39; y ? (t 2 ) ? 0.63
则可得
?T ? 2(t 2 ? t1 ) ? ? ? ? 2t1 ? t 2
（2-47）
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过程控制系统建模方法 计算出 T 、 τ ，准确与否还可另取两个时刻进行 校验。即
?t 3 ? 0.8T ? ? ? ? t 4 ? 2T ? ?
y (t 3 ) ? 0.55 ? y (t 4 ) ? 0.87
（2-48）
?
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过程控制系统建模方法 2 ． 3 用二阶惯性环节加纯延迟拟合图 2-16 曲线， 求K、τ的方法。 增益K值仍可按式2-43
计算。时间纯延迟τ可根据 阶跃响应曲线脱离起始的毫无反应的阶段开始出 现变化的时刻来确定，见图2.18。然后截去纯延 迟部分，并化为无量纲形式的阶跃响应 。 ? y t) 图2.18 (根据阶跃响应曲线上两个点的数据确定 T1 和 T2
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过程控制系统建模方法 式（2-39）截去纯延迟并化为无量纲形式后，所 对应的传递函数形式为
G(s)=
1 (T1 s ? 1)(T2 s ? 1)
T1 ? T2
(2-49)
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与上式对应的阶跃响应为 t ? ? y (t ) = 1 ? T1 e T ? T2
T1 ? T2
1
T2 ? T1
e
?
t T2
或
1 - y (t )
?
T1 = T ?T e 1 2
?
t T1
T2 ? e T2 ? T1
?
t T2
(2-50)
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根据式（ 2-50 ）可以利用响应曲线图 2.18 上的 ? 两个数据点[ ]) t1 , y (t1 ? 和[ t 2 , y (t 2 ) ]确定参数T1 T2。 ? 一般 y (t ) 可取分别为0.4和0.8，再从曲线上定出 t1和，t2,如图2-17所示，即可得如下联立方程。
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t t1 ? 1 ? ? T T2 T1 T2 1 e ? e ? 0.6 ? ?T1 ? T2 T1 ? T2 ? t2 t2 ? ? ? T1 e T1 ? T2 e T2 ? 0.2 ?T ? T T1 ? T2 2 ? 1
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将 y (t )所取两点查得t1和t2代入式（2-51） 便可得到所需的T1 T2。 为求解方便，式（2-51）也可以近似表示 如下： 1 (2-52) T ?T ? (t ? t )
1 2
?
2.16
1
2
T1T2 t1 ? (1.74 ? 0.55) 2 t2 (T1 ? T2 )
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在固定选取y (t )分别为0.4和0.8后,其对应的 t1和t2能够反映出其应该对应于式（2-40） 的传递函数的阶次，其关系见表2.1。 表2.1 高阶惯性对象1/ 中阶数n与 t1 / t 2比值的关系
(Ts ? 1)
n
?
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n 1 2 3 4 5 6 7
t1/ t2 0.32 0.46 0.53 0.58 0.62 0.65 0.67
n 8 9 10 11 12 13 14
t1/ t2 0.658
0.71
0.735
0.75
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表中t1和t2应是 y (t ) 取0.4和0.8所对应的 t1 、 t2 ；式（ 2-40 ）中的时间常数 T 可由 下式求得
?
t1 ? t 2 nT ? 2.16
（2-54）
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过程控制系统建模方法 ?综上所述，用式（2-39）或式（2-40）拟合测 试响应曲线，确定其参数的步骤如下：
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（1） 将响应曲线化为无延迟无量纲的 ? y (t ) 标准形式， （2） 求取 t1 / t 2 分别为0.4和0.8所对应 的T1和t2,根据 的值确定选择n。 t1 0 . 32 ? ? 0.46 若 ，则可选用式（2t2 39），其中T1 T2可按式（2-51）或
式 （2-52）、（2-53）求得。
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t1 t2
（4）若 不在（3）的范围，则根据表21 找其相近的数据对应的 n 值选用式（ 240），式中T的值按式（2-54）求得。
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t1 不在（3）的范围，则根据表2t2
（4）若 1 找其相近的数据对应的 n 值选用式（ 240），式中T的值按式（2-54）求得。
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（ 1 ） 用式（ 2-41 ）来近似图 2.19 的响应 曲线，公式重写如下： G(s)=
1 ??s e Ta s
作响应曲线稳态上升部分过拐点 A 的切线 交于时间轴于t2,切线与时间轴夹角为θ， 如图2.19所示。
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过程控制系统建模方法 从图2.19看曲线稳态上升部分可看作一条过原点 的直线，向右平移 t2距离，即图中曲线稳态部分 可看作是经过纯延迟 t2后的一条积分曲线。因此 式（2-41）中
?u Ta ? tg?
τ=t2
式中Δu——阶跃输入幅值。
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（2）用式（2-42）来近似图2.19响应曲线、 公式重写如下：
e G(s)= Ta s(Ts ? 1)
从图2.19可见在0到t1时间y（t）= 0是纯延 迟，故取τ= t1。
??s
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在曲线稳态之后是积分环节作用为主，故
?u Ta ? tg? 而曲线由 t1 至 A 之间其惯性环节作用为 主，故T= t2 -t1
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过程控制系统建模方法 2.3.3 测定动态特性的频域法 2.3.4 最小二乘法 被控对象的动态特性可用频率特性来描述
y ( j? ) G ( jw) ? ? G ( j? ) ?G ( j? ) u ( j? )
与传递函数及微分方程一样，也表征系统的运动 规律。
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过程控制系统建模方法 频率特性表达式可以通过频率特性测试的 方法来得到。 在所研究对象的输入端加入某个频率 的正弦波信号，同时记录输入和输出的稳定振荡 波形，可测得该被控对象的频率特性。
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信号发生器
x
调节阀
对象
测量仪
y
变换器 记 录 仪
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用正弦波的输入信号测定对象频率特性的 优点在于，能直接从记录曲线上求得频率特性
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测量装臵应能滤出与激励频率一致的有用 信号，并显示其响应幅值，相对于激励信号的 相角，给出其同相分量及正交分量，画出在该 测量点上系统响应的奈氏图。
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模方法
原理：激励输入信号经波形变换可得 到幅值恒定的正余弦参考信号。 把参考信号与被测信号进行相关处理（即相乘 和平均）；所得常值（直流）部分保存了被测信 号同频分量（基波）的幅值和相角信息。
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图中： A——被测对象响应 G( j? ) 的同相分量； B——被测对象响应 G( j? ) 的正交分量； R——输出的基波幅值； θ——对象输入与输出的相位差； 1gR——输出基波幅值的对数值。
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过程控制系统建模方法 2.3.4 测定动态特性的统计相关法 在被测对象上加随机信号x（t），测量被控参 数y（t），计算出自相关函数 Rxx (? ) 和x（t） 与y（t）的互相关函数 Rxy (? ) ，求出脉冲响应 g （ t ），然后转换成阶跃响应，最后得到 G(s) 。
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抗干扰性强，在获得同样的信息量时， 对系统正常运行的干扰程度比其它的方法低。对 反应慢、过渡时间长的系统更为有效。
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过程控制系统建模方法 1、平稳随机过程的概念
（1）随机信号：设信号都是随时间随机变化的， 称为随机信号. 它们的集合称为随机过程。
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过程控制系统建模方法 （2）平均值、均方值
1 k x1 (T1 ) ? ? xi (T1 ) k i ?1
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均方值
k 1 2 x1 (T1 ) ? ? x 2 i (T1 ) k i ?1
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过程控制系统建模方法 （ 3 ）平稳随机过程：随机过程是一个时间函 数，它的每一个时刻的数值都可看作为一个随 机变量。一个随机过程，它的统计特性在各个 时刻都不变，称之为平稳随机过程。
? x (T1 ) ? x (T2 ) ? x (T3 ) ? ? ? 2 2 2 x ( T ) ? x ( T ) ? x (T3 ) ? ? 1 2 ?
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（4）自相关函数： （5）互相关函数： （6）功率谱密度； （7） 白噪声：
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S xx (? ) 在所考虑的频率范围内其谱密度 的幅值是恒定的，就可以认为其是一个白噪声。 白噪声只是理论上的抽象，实际上是不存在的。
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过程控制系统建模方法 2、统计相关法的基本原理 一个线性对象的输入函数x(t)是平稳的随机 过程，相应的输出y（t）也是平稳的随机过程。 设g（t）为对象的脉冲响应函数,相关法的思想 就是：从输入x（t）与输出y（t）的互相关函 数，来确定脉冲响应函数。
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X(t)
线性对象脉冲 响应函数g(t)
Y(t)
对象输入—输出关系示意图
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过程控制系统建模方法
相关分析法求对象脉冲响应函数的方框图
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该方法有两个困难： 一是要获得精确的互相关函数，就必 须在较长一段时间内进行积分。这样会产生信号 漂移等其它问题。 二是白噪声是一种数学上的描述，在 物理上无法实现。为解决这两个困难，常用的办 法是采用伪随机信号作为输入探测信号。
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4 、用 M 序列作为测试信号来辨识对象的脉冲响 应函数的步骤, 步骤大致如下:
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（1）通过预备实验粗估对象的特性 （2）选择M序列的参数 （3）选择测试信号的幅值a （4）用伪随机信号发生器或计算机产生M序 列伪随机信号，施加于被测系统。 （5）输入信号的同时记录输入、输出的数据。 （6）计算互相关函数,并采用前述实验结果的 数据处理办法求传递函数。
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过程控制系统建模方法 用M序列辩识对象的实例 某常压加热炉,炉膛温度受所加燃料的影响， 燃料量又与燃料调节阀的压力有关，现在要求 测定燃料压力与炉膛温度之间的动态关系。
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过程控制系统建模方法
可求得过程的传递函数如下：
87 ?3.32 S G(S ) ? e 44.09 S 2 ? 13.28 S ? 1
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互相关函数
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过程的阶跃响应曲线
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2.3.4 最小二乘法
最小二乘的基本思想“未知量的最可能的 值，它使各次实际观测值和计算值之间的差值 和为最小”。
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过程控制系统建模方法
设y是一根金属轴的长度，T是金属轴 的温度，求轴长y和温度T之间的关系。 第一步 : 确定 y 和 T 之间关系的数学模 型的类型和结构。 第二步:确定变量之间函数关系中的未 知参数。
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过程控制系统建模方法 y和T之间是线性关系。 y = y0(1 + αT) = a + bT y0——0℃时金属轴的长度； α----膨胀系数。
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在加噪声干扰下，写成 Zi= Yi（真值）+ ni(随机误差) 即Zi= a + bTi+ ni i = 1，2，…,N
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过程控制系统建模方法
根据N次（＞ 2）观测数据（Ti Zi）来估计 出未知参数a和b的值。
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过程控制系统建模方法 a 和 b 的值确定能使观测值和模型的 计算值之间误差为最小。每次观测误差为 ni= zi - yi= zi- (a + b) 相加起来的误差为
?n
i ?1
N
i
? n1 ? n2 ? ? ? n N
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常用误差平方和作为总误差。即
J ? ? ni ? ?[ z i ? (a ? bTi )]
2 i ?1 i ?1
N
N
2
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按照求极值的原理，要使J最小，只 要将J分别对a和b 求偏导数，令其等于零，a和b ? ? 的估计值 a 和 b 满足下面的条件:
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N ? ?J ? ?2? ( z i ? a ? bTi ) ? 0 ? ? ?a i ?1 ? ?J N ? ? ?2? ( z i ? a ? bTi )Ti ? 0 ? i ?1 ? ?b
? 即a
? 和 b 由下列方程组所确定
N ? N ? ? b ? Ti ? aN ? ? z i ? ? i ?1 i ?1 ?? N N N ? 2 ?b ? Ti ? a ? Ti ? ? z i Ti ? i ?1 i ?1 ? i ?1
（2-78）
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过程控制系统建模方法 由式（2-78）可解出
N N N N ? 2 T ? ? ? i ? z i ? ? Ti ? Ti z i i ?1 i ?1 i ?1 ?a ? i ?1 N N 2 ? 2 N T ? ( T ) ? ? i i ? ? i ?1 i ?1 ? N N N ? N ? Ti z i ?? Ti ? z i ? ? i ?1 i ?1 i ?1 b ? N N ? 2 ? N ? Ti ? (? Ti ) 2 ? i ?1 i ?1 ?
(2-79)
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假定一个变量y与一组n维变量X=（x1,x2--xn）有线性关系。即 y = ? x ? ? x ? ?? ? x （2-80）
1 1 2 2 n n
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N个参数的线性系统
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假设用 y(i)和x1(i)、x2(i)---xn(i),i =1,2,..,m 表示 实测数据。可以通过m个线性方程的方程组表示数 据之间的关系。
y(i) ? ?1 x1 (i) ? ? 2 x2 (i) ? ? ? ? n xn (i)
i =1,2,..,m 回归函数，? i 是回归系数。
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可以用矩阵形式表示如下
Y ? X?
（2-82）
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? y (1) ? ? y ( 2) ? ? Y ?? ? ? ? ? ? ? y ( m) ?
? x1 (1) ? x n (1) ? ? x (2) ? x (2) ? 1 n ? ? X ? ???????? ? ? ? x1 (m) ? x n (m)?
?? 1 ? ?? ? 2? ? ? ? ??? ? ? ?? n ?
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过程控制系统建模方法 若m=n,根据方程通过下式求解
（2-83） ?1 X 只要 即方阵 X 的逆存在，则能够唯一地 ? ? ? 的估计值。 ? 求解 ? ，
表示
? ?X Y
?1
?
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T ? ( ? , ? ? ? ) 定义误差矢量 且令 1 2 m ? ? Y ? X?
现在以下列性能指标J
? 趋于最小，来选择 ?
J ? ?? i ? ? ?
2 T i ?1
m
。
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可将式表示成 J ? (Y ? X? )T (Y ? X? ) ? Y T Y ? ? T X T Y ? Y T X? ? ? T X T X? 求J对于 ? 的导数并令结果为零，作为确定 ? 使J为最小的估计值 的条件。 ? 于是 ?
?J ??
? ??
?
? ?2 X T Y ? 2 X T X? ? 0 （2-85）
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过程控制系统建模方法
由此可得
T ? X X? ? X Y T
? T ?1 T ( X X ) X Y ? = ? 称为 ? 的最小二乘估计量（LSE）。
? ? 能按下式求解
方程叫做正规方程，而
? 称为残差。
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过程控制系统建模方法 令W为期望的加权矩阵，则加权误差性能指标 成为
JW ? ? W? ? (Y ? X? ) W (Y ? X? )
T T
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W被限制为对称正定矩阵。求Jw对? 的 ? 极小值，可得到加权最小二乘估计量 ? W ? =( X T WX ) ?1 X T WY ? W 容易看出，当W选择为一个单位矩阵I时， ? ? ?W 就简化为 ? 。
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过程控制系统建模方法
本章小结
建模的原理一般可分为机理法和测试法。 1、机理法建模就是根据所研究系统各部件的生产 过程中实际发生的变化机理，写出多种有关的平衡 方程，分析过程的内在联系，消去中间变量，写出 输入与输出变量之间的关系。
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2、单容对象指只有一个储能部件的对象， 是由一阶传递函数所描述。该单容对象 有、无平衡能力可分别用一阶惯性环节 或积分环节来描述。对于有些对象中某 些变量不能瞬时跟踪变化，需要一定的 ?0 延时 ，因而在数学模型中以纯延时环 ?? s e 节 来表示。
0
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过程控制系统建模方法 3 、多容对象是指有多个储能部件的对象，它对 应的数学模型是高阶传递函数。 4 、测试法建模，它是根据过程的输入和输出的 实测数据进行某种数学处理后得到的模型。 它完全从外特性上测试和描述它的动态性质，可 以不要求掌握其内部机理。采用测试法时注意输入 信号的选择和测试数据的准确性。
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过程控制系统建模方法 5、测定动态特性的时域方法。 根据对被控对象施加阶跃输入，测绘出对象 输出量随时间变化的响应曲线， 或施加脉冲输入测绘出输出的脉冲响应曲线。 由响应曲线的结
果分析，确定出被控对象的传递 函数。
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使用这种方法可首先确定被测系统的模 型阶次，选择合适的标准模型类型，然后采取一种 方法确定出参数。
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6、测定动态特性的频域方法，根据BOD图的原 理，对被控对象施加不同频率的正弦波，测出输 入量与输出量的幅值比和相位差，从而获得对象 的频率特性，来确定被控对象的传递函数。
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7、测定动态特性的统计相关法。 对被控对象施加某种随机信号或直接利用 对象输入端本身存在的随机噪音进行观察和记录， 可以在生产过程正常运行状态下进行在线辨识， 精度较高。
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8、测定动态特性的辨识方法。 必须假定一种模型结构，通过极小化模型与 过程之间的误差准则函数来确定模型的参数。 这类辨识方法根据不同的基本原理又可分为最小 二乘法；梯度校正法；极大似然法三种类型。
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三 : 建模方法
数学建模方法
第一届研究生数学建模竞赛赛题 方法总结
A 发现黄球并定位 —图论（着色问题）、 调度问题 B 实用下料问题 —多目标整数规划、整数 线性规划 C 售后服务数据的运用 —最小二乘拟合、 时间序列、滤波方法 D 研究生录取问题 —（模糊）层次分析、 0-1整数规划、对策论、图的匹配问题
数学建模需要的知识
? 运筹学 ? 多元统计分析
? 微分方程
数学建模常用的方法
类比法 ? 量纲分析法 ? 差分法 ? 变分法 ? 图论法 ? 层次分析法 ? 数据拟合法 ? 回归分析法 ? 数学规划（线性规划，非线性规划，整数规 划，动态规划，目标规划）
?
数学建模常用的方法
机理分析法 ? 排队方法 ? 对策方法 ? 决策方法 ? 模糊评判方法 ? 时间序列方法 ? 灰色理论方法 ? 现代优化算法（禁忌搜索算法，模拟退火 算法，遗传算法，神经网络）
?
数学模型分类
? 优化模型 ? 微分方程模型
? 统计模型
? 概率模型 ? 图论模型 ? 决策模型
拟合与插值方法
? 问题—给定一批数据点（输入变量与输
出变量的数据），需确定满足特定要求 的曲线或曲面 ? 插值问题—要求所求曲线（面）通过所 给所有数据点 ? 数据拟合—不要求曲线（面）通过所有 数据点，而是要求它反映对象整体的变 化趋势
数据拟合
? 一元函数拟合
? 多项式拟合
? 非线性函数拟合
? 多元函数拟合（回归分析） ? MATLAB实现 ? 函数的确定
插值方法
? 一维插值的定义—已知n个节点，求任意
点处的函数值。
? 分段线性插值 ? 多项式插值 ? 样条插值
? y=interp1(x0,y0,x,'method')
? 二维插值—节点为网格节点
? z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method') ? pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds)
? 二维插值—节点为散点
? z1=griddata(x,y,z,x1,y1)
优化方法
? 优化模型四要素
? 决策变量
? 目标函数（尽量简单、光滑） ? 约束条件（建模的关键）
? 求解方法 （MATLAB,LINDO）
优化模型分类
? ? ?
?
?
?
线性规划模型（目标函数和约束条件都是线性 函数的优化问题） 非线性规划模型（目标函数或者约束条件是非 线性的函数） 整数规划（决策变量是整数值得规划问题） 多目标规划（具有多个目标函数的规划问题） 目标规划（具有不同优先级的目标和偏差的规 划问题） 动态规划（求解多阶段决策问题的最优化方法）
优化模型求解
?
无约束规划
? fminsearch ? fminbnd
?
线性规划
? linprog
?
? ?
非线性规划
? fmincon
多目标规划（计算有效解）
? 目标加权、效用函数
动态规划（倒向、正向） ? 整数规划（分支定界法、枚举法、LINDO）
统计方法（
回归分析）
?
?
回归分析—对具有相关关系的现象，根据其关系形态， 选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的 平均变化关系的一种统计方法 （一元线性回归、多 元线性回归、非线性回归） 回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：
? ? ? ? ?
建立因变量与自变量之间的回归模型（经验公式） 对回归模型的可信度进行检验 判断每个自变量对因变量的影响是否显著 判断回归模型是否适合这组数据 利用回归模型对进行预报或控制
? ? ?
[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) （线性回归） rstool（x，y，’model’, alpha）（多元二项式回归） [beta,r,J]=nlinfit（x，y，’model’, beta0）（非线性回 归）
统计方法（逐步回归分析）
?
逐步回归分析—从一个自变量开始，视自变量 作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归 方程
? 当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著
时，要将其剔除掉 ? 引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量， 为逐步回归的一步 ? 对于每一步都要进行值检验，以确保每次引入新的 显著性变量前回归方程中只包含对作用显著的变量 ? 这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归 方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止
?
stepwise(x,y,inmodel,alpha) ? SPSS,SAS
统计方法（聚类分析）
? 聚类分析—所研究的样本或者变量之间存
在程度不同的相似性，要求设法找出一些 能够度量它们之间相似程度的统计量作为 分类的依据，再利用这些量将样本或者变 量进行分类 ? 系统聚类分析—将n个样本或者n个指标看 成n类，一类包括一个样本或者指标，然 后将性质最接近的两类合并成为一个新类， 依此类推。最终可以按照需要来决定分多 少类，每类有多少样本（指标）
统计方法（系统聚类分析步骤）
系统聚类方法步骤： 1. 计算n个样本两两之间的距离 2. 构成n个类，每类只包含一个样品 3. 合并距离最近的两类为一个新类 4. 计算新类与当前各类的距离（新类与当 前类的距离等于当前类与组合类中包含 的类的距离最小值），若类的个数等于 1，转5，否则转3 5. 画聚类图 6. 决定类的个数和类。
统计方法（判别分析）
判别分析—在已知研究对象分成若干类型，并已取 得各种类型的一批已知样品的观测数据，在此基础 上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样 品进行判别分类。 ? 距离判别法—首先根据已知分类的数据，分别计算 各类的重心，计算新个体到每类的距离，确定最短 的距离（欧氏距离、马氏距离） ? Fisher判别法—利用已知类别个体的指标构造判别 式
（同类差别较小、不同类差别较大），按照判别 式的值判断新个体的类别 ? Bayes判别法—计算新给样品属于各总体的条件概率， 比较概率的大小，然后将新样品判归为来自概率最 大的总体
?
与模糊数学相关的问题（一）
? 模糊数学—研究和处理模糊性现象的数
学 （概念与其对立面之间没有一条明确 的分界线） ? 与模糊数学相关的问题（一）
? 模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明
的模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一 个模糊概念来反映更合理准确 ? 模糊相似选择 —按某种性质对一组事物或对 象排序是一类常见的问题，但是用来比较的 性质具有边界不分明的模糊性
与模糊数学相关的问题（二）
? 模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构
造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度 来确定其分类关系 ? 模糊层次分析法—两两比较指标的确定 ? 模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因 素制约的事物或对象作出一个总的评价，如 产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种 植适应性的评价等，都属于综合评判问题。 由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊 性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合 评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际 效果
时间序列分析建模
时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且 相互关联的数据序列—通过对预测目标自身时 间序列的处理，来研究其变化趋势（长期趋势 变动、季节变动、循环变动、不规则变动） ? 自回归模型
?
? 一般自回归模型AR(n)—系统在时刻t的响应X(t)仅与
其以前时刻的响应X(t-1),…， X(t-n)有关，而与其以 前时刻进入系统的扰动无关 ? 移动平均模型MA(m)—系统在时刻t的响应X(t) ，与 其以前任何时刻的响应无关，而与其以前时刻进入 系统的扰动a(t-1),…,a(t-m)存在着一定的相关关系 ? 自回归移动平均模型 ARMA(n,m)—系统在时刻t的响 应X(t)，不仅与其前n个时刻的自身值有关，而且还 与其前m个时刻进入系统的扰动存在一定的依存关 系
时间序列建模的基本步骤 （1）
1. 数据的预处理：数据的剔取及提取趋势项 2. 取n=1，拟合ARMA(2n,2n-1)（即ARMA(2,1)）
模型
3. n=n+1，拟合ARMA(2n,2n-1)模型
4. 用F准则检验模型的适用性。若检验显著，则
转入第2步。若检验不显著，转入第5步。 5. 检查远端时刻的系数值的值是否很小，其置 信区间是否包含零。若不是，则适用的模型 就是ARMA(2n,2n-1) 。若很小，且其置信区 间包含零，则拟合ARMA(2n-1,2n-2) 。
时间序列建模的基本步骤 （2）
6.
7.
8.
利用F准则检验模型ARMA(2n,2n-1)和 ARMA(2n-1,2n-2) ，若F值不显著，转 入第7步；若F
值显著，转入第8步。 舍弃小的MA参数，拟合m<2n-2的模型 ARMA(2n-1,m) ，并用F准则进行检验。 重复这一过程，直到得出具有最小参数 的适用模型为止 舍弃小的MA参数，拟合m<2n-1的模型 ARMA(2n,m) ，并用F准则进行检验。重 复这一过程，直到得出具有最小参数的 适用模型为止。
图论方法（一）
?
最短路问题
? 两个指定顶点之间的最短路径—给出了一个连接若干
个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间， 找一条最短铁路线 （Dijkstra算法 ） ? 每对顶点之间的最短路径 （Dijkstra算法、Floyd算法 ）
?
最小生成树问题
? 连线问题—欲修筑连接多个城市的铁路设计一个线路
图，使总造价最低（prim算法、Kruskal算法 ）
?
图的匹配问题
? 人员分派问题：n个工作人员去做件n份工作，每人适
合做其中一件或几件，问能否每人都有一份适合的工 作？如果不能，最多几人可以有适合的工作？(匈牙利 算法)
图论方法（二）
? 遍历性问题
? 中国邮递员问题—邮递员发送邮件时，要从
邮局出发，经过他投递范围内的每条街道至 少一次，然后返回邮局，但邮递员希望选择 一条行程最短的路线
? 最大流问题
? 运输问题
? 最小费用最大流问题
? 在运输问题中，人们总是希望在完成运输任
务的同时，寻求一个使总的运输费用最小的 运输方案
竞赛中的群体思维方法
? 平等地位、相互尊重、充分交流 ? 杜绝武断评价
? 不要回避责任
? 不要对交流失去信心
竞赛中的发散性思维方法
?
借助于一系列问题来展开思路
? 这个问题与什么问题相似？ ? 如果将问题分解成两个或几个部分会怎样？ ? 极限情形（或理想状态）如何？ ? 综合问题的条件可得到什么结果？ ? 要实现问题的目标需要什么条件？
?
借助于下意识的联想（灵感）来展开思路
? 抓住问题的个别条件或关键词展开联想或猜想 ? 综合所得到的联想和猜想，得到一些结论 ? 进一步思考找出新思路和方法
对赛题的把握和理解问题
? 认真仔细地识题 ? 明确条件和任务
? 通过关键词捕捉关键信息
? 分清是非，勿入陷井
祝大家在竞赛中取 得好成绩！
四 : 建模方法
就常用的建模方法而言，基本上可以分为基于运筹学的建模方法（ORbased Modeling Methods）、基于控制论的方法（Control theorists basedModeling Methods）、基于系统仿真的建模方法（Simulation basedModeling Methods），基于企业建模方法的研究方法（Enterprise modelbased Modeling Methods）。61阅读| 精彩专题| 最新文章| 热门文章| 苏ICP备13036349号-1