一 : 初中数学总复习

初中数学总复习

初中数学总复习的参考答案

初中数学知识点总结

一、基本知识

一、数与代数A、数与式：1、有理数有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数

数轴：①画一条水平直线,在直线上取一点表示0（原点）,选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴.②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.③如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数,也称这两个数互为相反数.在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且与原点距离相等.④数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大.正数大于0,负数小于0,正数大于负数.

绝对值：①在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0.两个负数比较大小,绝对值大的反而小.

有理数的运算：加法：①同号相加,取相同的符号,把绝对值相加.②异号相加,绝对值相等时和为0；绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数与0相加不变.

减法：减去一个数,等于加上这个数的相反数.

乘法：①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘.②任何数与0相乘得0.③乘积为1的两个有理数互为倒数.

除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数.②0不能作除数.

乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂,A叫底数,N叫次数.

混合顺序：先算乘法,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里的.

2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数

平方根：①如果一个正数X的平方等于A,那么这个正数X就叫做A的算术平方根.②如果一个数X的平方等于A,那么这个数X就叫做A的平方根.③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根.④求一个数A的平方根运算,叫做开平方,其中A叫做被开方数.

立方根：①如果一个数X的立方等于A,那么这个数X就叫做A的立方根.②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数.③求一个数A的立方根的运算叫开立方,其中A叫做被开方数.

实数：①实数分有理数和无理数.②在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义和有理数范围内的相反数,倒数,绝对值的意义完全一样.③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示.

3、代数式

代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式.

合并同类项：①所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项.②把同类项合并成一项就叫做合并同类项.③在合并同类项时,我们把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变.

4、整式与分式

整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式,几个单项式的和叫多项式,单项式和多项式统称整式.②一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.③一个多项式中,次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.

整式运算：加减运算时,如果遇到括号先去括号,再合并同类项.

幂的运算：AM+AN=A（M+N）

（AM）N=AMN

（A/B）N=AN/BN 除法一样.

整式的乘法：①单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母的幂分别相乘,其余字母连同他的指数不变,作为积的因式.②单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.③多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项,再把所得的积相加.

公式两条：平方差公式/完全平方公式

整式的除法：①单项式相除,把系数,同底数幂分别相除后,作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母,则连同他的指数一起作为商的一个因式.②多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加.

分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变化叫做把这个多项式分解因式.

方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.

分式：①整式A除以整式B,如果除式B中含有分母,那么这个就是分式,对于任何一个分式,分母不为0.②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式,分式的值不变.

分式的运算：

乘法：把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.

除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数.

加减法：①同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减.②异分母的分式先通分,化为同分母的分式,再加减.

分式方程：①分母中含有未知数的方程叫分式方程.②使方程的分母为0的解称为原方程的增根.

B、方程与不等式

1、方程与方程组

一元一次方程：①在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,这样的方程叫一元一次方程.②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式,所得结果仍是等式.

解一元一次方程的步骤：去分母,移项,合并同类项,未知数系数化为1.

二元一次方程：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.

二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组.

适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.

二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程的解.

解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法.

一元二次方程：只有一个未知数,并且未知数的项的最高系数为2的方程

1）一元二次方程的二次函数的关系

大家已经学过二次函数（即抛物线）了,对他也有很深的了解,好像解法,在图象中表示等等,其实一元二次方程也可以用二次函数来表示,其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况,就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了.那如果在平面直角坐标系中表示出来,一元二次方程就是二次函数中,图象与X轴的交点.也就是该方程的解了

2）一元二次方程的解法

大家知道,二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a）,这大家要记住,很重要,因为在上面已经说过了,一元二次方程也是二次函数的一部分,所以他也有自己的一个解法,利用他可以求出所有的一元一次方程的解

(1）配方法

利用配方,使方程变为完全平方公式,在用直接开平方法去求出解

(2)分解因式法

提取公因式,套用公式法,和十字相乘法.在解一元二次方程的时候也一样,利用这点,把方程化为几个乘积的形式去解

(3)公式法

这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了,方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a,X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a

3）解一元二次方程的步骤：

（1）配方法的步骤：

先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式

(2)分解因式法的步骤：

把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式,公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘,如果可以,就可以化为乘积的形式

(3)公式法

就把一元二次方程的各系数分别代入,这里二次项的系数为a,一次项的系数为b,常数项的系数为c

4）韦达定理

利用韦达定理去了解,韦达定理就是在一元二次方程中,二根之和=-b/a,二根之积=c/a

也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.利用韦达定理,可以求出一元二次方程中的各系数,在题目中很常用

5）一元一次方程根的情况

利用根的判别式去了解,根的判别式可在书面上可以写为“△”,读作“diao ta”,而△=b2-4ac,这里可以分为3种情况：

I当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根；

II当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根；

III当△<0时,一元二次方程没有实数根（在这里,学到高中就会知道,这里有2个虚数根）

2、不等式与不等式组

不等式：①用符号〉,=,〈号连接的式子叫不等式.②不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变.③不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变.④不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反.

不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.②一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集.③求不等式解集的过程叫做解不等式.

一元一次不等式：左右两边都是整式,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式.

一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一元一次不等式组.②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集.③求不等式组解集的过程,叫做解不等式组.

一元一次不等式的符号方向：

在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,他是随着你加或乘的运算改变.

在不等式中,如果加上同一个数（或加上一个正数）,不等式符号不改向；例如：A>B,A+C>B+C

在不等式中,如果减去同一个数（或加上一个负数）,不等式符号不改向；例如：A>B,A-C>B-C

在不等式中,如果乘以同一个正数,不等号不改向；例如：A>B,A*C>B*C（C>0）

在不等式中,如果乘以同一个负数,不等号改向；例如：A>B,A*C

如果不等式乘以0,那么不等号改为等号

所以在题目中,要求出乘以的数,那么就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了,那么不等式乘以的数就不等为0,否则不等式不成立；

3、函数

变量：因变量,自变量.

在用图象表示变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴上的点自变量,用竖直方向的数轴上的点表示因变量.

一次函数：①若两个变量X,Y间的关系式可以表示成Y=KX+B（B为常数,K不等于0）的形式,则称Y是X的一次函数.②当B=0时,称Y是X的正比例函数.

一次函数的图象：①把一个函数的自变量X与对应的因变量Y的值分别作为点的横坐标与纵坐标,在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.②正比例函数Y=KX的图象是经过原点的一条直线.③在一次函数中,当K〈0,B〈O,则经234象限；当K〈0,B〉0时,则经124象限；当K〉0,B〈0时,则经134象限；当K〉0,B〉0时,则经123象限.④当K〉0时,Y的值随X值的增大而增大,当X〈0时,Y的值随X值的增大而减少.

二空间与图形

A、图形的认识

1、点,线,面

点,线,面：①图形是由点,线,面构成的.②面与面相交得线,线与线相交得点.③点动成线,线动成面,面动成体.

展开与折叠：①在棱柱中,任何相邻的两个面的交线叫做棱,侧棱是相邻两个侧面的交线,棱柱的所有侧棱长相等,棱柱的上下底面的形状相同,侧面的形状都是长方体.②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱.

截一个几何体：用一个平面去截一个图形,截出的面叫做截面.

视图：主视图,左视图,俯视图.

多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形.

弧、扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形.②圆可以分割成若干个扇形.

2、角

线：①线段有两个端点.②将线段向一个方向无限延长就形成了射线.射线只有一个端点.③将线段的两端无限延长就形成了直线.直线没有端点.④经过两点有且只有一条直线.

比较长短：①两点之间的所有连线中,线段最短.②两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离.

角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成,两条射线的公共端点是这个角的顶点.②一度的1/60是一分,一分的1/60是一秒.

角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的.②一条射线绕着他的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所成的角叫做平角.始边继续旋转,当他又和始边重合时,所成的角叫做周角.③从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.

平行：①同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.②经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.③如果两条直线都与第3条直线平行,那么这两条直线互相平行.

垂直：①如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直.②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.③平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

垂直平分线：垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线.

垂直平分线垂直平分的一定是线段,不能是射线或直线,这根据射线和直线可以无限延长有关,再看后面的,垂直平分线是一条直线,所以在画垂直平分线的时候,确定了2点后（关于画法,后面会讲）一定要把线段穿出2点.

垂直平分线定理：

性质定理：在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等；

判定定理：到线段2端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上

角平分线：把一个角平分的射线叫该角的角平分线.

定义中有几个要点要注意一下的,就是角的角平分线是一条射线,不是线段也不是直线,很多时,在题目中会出现直线,这是角平分线的对称轴才会用直线的,这也涉及到轨迹的问题,一个角个角平分线就是到角两边距离相等的点

性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等

判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上

正方形：一组邻边相等的矩形是正方形

性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质

判定：1、对角线相等的菱形2、邻边相等的矩形

二、基本定理

1、过两点有且只有一条直线

2、两点之间线段最短

3、同角或等角的补角相等

4、同角或等角的余角相等

5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短

7、平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行

8、如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行

9、同位角相等,两直线平行

10、内错角相等,两直线平行

11、同旁内角互补,两直线平行

12、两直线平行,同位角相等

13、两直线平行,内错角相等

14、两直线平行,同旁内角互补

15、定理三角形两边的和大于第三边

16、推论三角形两边的差小于第三边

17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

18、推论1 直角三角形的两个锐角互余

19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21、全等三角形的对应边、对应角相等

22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上

29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）

31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33、推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°

34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37、在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上

41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44、定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上

45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称

46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a2+b2=c2

47、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形

48、定理四边形的内角和等于360°

49、四边形的外角和等于360°

50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°

51、推论任意多边的外角和等于360°

52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等

53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等

54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分

56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角

61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等

62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角

66、菱形面积=对角线乘积的一半,即S=（a×b）÷2

67、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等

70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角

71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的

72、定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分

73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称

74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

75、等腰梯形的两条对角线相等

76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77、对角线相等的梯形是等腰梯形

78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等

79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰

80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边

81、三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半

82、梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h

83、(1)比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果 ad=bc ,那么a:b=c:d

84、(2)合比性质：如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d

85、(3)等比性质：如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),

那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

86、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例

87、推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例

88、定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边

89、平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90、定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似

91、相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似（ASA）

92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似（SAS）

94、判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似（SSS）

95、定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似

96、性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比

98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方

99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

101、圆是定点的距离等于定长的点的集合

102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104、同圆或等圆的半径相等

105、到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆

106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线

107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线

108、到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

109、定理不在同一直线上的三点确定一个圆.

110、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111、推论1

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

112、推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114、定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等

115、推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116、定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117、推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等

118、推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

119、推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

120、定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角

121、①直线L和⊙O相交 d＜r

②直线L和⊙O相切 d=r

③直线L和⊙O相离 d＞r

122、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

124、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127、圆的外切四边形的两组对边的和相等

128、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129、推论如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等

130、相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等

131、推论如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

132、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

133、推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134、如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上

135、①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)

④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含 d＜R-r(R＞r)

136、定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137、定理把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

138、定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆

139、正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

140、定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141、正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长

142、正三角形面积√3a／4 a表示边长

143、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为360°,因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4

144、弧长计算公式：L=n兀R／180

145、扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2

146、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

二 : 初中数学学习总结

学好数学，并不是一两天的事情。我认为，最关键的是要培养起你对它的兴趣。因为热管如果你讨厌它，不感兴趣，甚至头疼、害怕，那你很难在数学上努力了。像这样，对数学没兴趣、不努力，就很难学好它了。
当然，光有兴趣还不够。还得努力去学好它。最起码得背熟书上已学过的概念、公式，有时间最好预习一下新课，使第二天上新课掌握得更快、更多、更好。上课简单记些笔记，把要点记下来，晚上回家多复习，总结一下，温故知新。对不理解的题目，要问老师，问懂为止。当有比老师更简单的解题方法，可以提出，和老师、同学一起讨论。不要担心自己可能会错而不敢提出，有问题提出，是个锻炼的好机会。老师是启发我们的人，并不是“拐杖”，关键得靠自己努力、多动脑。可以平时多做一些课外较灵活的题。有时一道难题怎么也做不出来，想了几天做出来了，就会有一种成功的喜悦。

［www.61k.com）仔细、认真也不可缺少。解答每一题都要认真仔细，思想集中。一张数学试卷，大部分题都需计算。计算就要仔细，有些题有陷阱，必须得仔细。卷子做完了得仔细检查。

做题时得根据最后问题找出关键条件，认真理解。一般来说，每句话、每个条件都有作用，应好好利用来解答题目。

第一部分：什么样的人数学容易学好

一、智力背景广阔的人

教育家苏霍姆林斯基说过，“必须识记的材料越复杂，必须保持在记忆里的概括、结论、规则越多，学习过程的‘智力背景’就应当越广阔。”换句话说，学生要能牢固地识记、理解并灵活运用公式、规则、结论等，他就必须阅读和思考过许多并不需要识记的材料。

调查过程中我们发现，数学成绩优秀的大学生往往拥有广阔的智力背景，喜欢阅读一些文学名著、传记历史，也喜欢阅读一些数学方面的书，比如《速算秘诀》《中学生数理化》以及图书馆、书店里的趣味智力书籍。此外推荐和数学相关的书目：《好玩的数学系列》《训练思考能力的数学书》《故事中的数学》。

除建立广阔智力背景外，阅读对提高审题能力和学习兴趣也大有帮助。

二、喜欢“偷懒”的人

你相信吗？喜欢“偷懒”的人数学往往学得好，他们的个性特征也往往是崇尚简单。为什么？因为这一类人遇事都会这样想：“有没有更简便的方法啊？”经常这样思考，就会逐渐具备一眼抓住重点和关键环节，一眼就看到最便捷的解题办法的能力。

三、生活经验丰富的人

学好数学需要过的一关是情景理解。数学是解决实际问题的学科，没有生活经验，往往难以将数学知识转化为解题方法。调查过程中我们发现，数学学习好的人有以下生活经验：

1.经常跟长辈一起体验、甚至帮助长辈处理一些家务事，比如卖东西、买东西、逢年过节算账目等等。

2.有实践的兴趣。休闲时间，很多人都会去打球、逛街，而我们调查的这部分大学生更愿意去做一些有实践意义的事情。有一位大学生就提到，自己上初中的时候，曾和一个好友一起用自行车和卷尺丈量过新校区的面积。

第二部分：怎样学数学

一、恰当的学习方法和学习习惯

数学是多功能学科，逻辑性、系统性都很强。学习掌握数学知识，应该有比较科学的学习方法。方法得当，可以“功夫不负有心人”事半功倍；方法不对，就会“费力不讨好”，事倍功半。学习有效果，就会越学越有兴趣；学习成绩总是提不高，就会慢慢丧失学习信心。是否掌握较为科学的学习方法，是学习成败的关键。根据整理的优秀大学生的数学学习经验精髓，我们认为，较为科学的学习方法和习惯，主要体现为下述五个基本环节。

1、做好课前预习，掌握听课主动权。凡事预则立，不预则废。

2、专心听讲，做好课堂笔记。听课要提前进入状态。课前准备的好坏，直接影响听课的效果。

3、及时复习，把知识转化为技能。复习是学习过程的重要环节。复习要有计划，既要及时复习当天功课，又要及时进行阶段复习。

4、认真完成作业，形成技能技巧，提高分析解决问题的能力。教育权威杨乐院士在回答中学生如何学好数学的问题时，就是很简短的三句话：一是在理解的基础上多实践，二是在理解的基础上多积累，三是循序渐进。这里所说的实践，就是做题，就是完成作业。

5、及时进行小结，把所学知识条理化、系统化。学完一个课题或是一个章节，就要及时进行小结。每一环节的落实程度如何，都直接关系到下一环节的进展和效果。一定要先预习后听讲，先复习后作业，经常进行阶段小结。

每天放学回家，应该先复习当天功课，次完成当天作业，后预习第二天功课。这三件事，一件也不能少，否则就不能保证第二天有高质量的听课效果。

[小贴士：巧用错题本

在平时的学习中，老师都要求学生备用一个错题本，便于学生课下复习使用，但平时教师仅仅强调学生课下复习浏览自己的错题本，却很少要求看别人的错题本。其实，经常借阅同学们的错题本很有必要。借阅时注意:

第一借阅比自己水平高的同学的错题本，这样便于丰富、拓宽自己的知识领域。第二，看比自己水平较低的同学的错题本，便于经常给自己敲响警钟。借阅同时,要做好自己的读书笔记,便于自己平时参阅。在开始阶段至少一周要有两次重现阅读，过两周后可一周，这样循序渐进。此方法可运用于其他各个学科。]

二、良好的学习动机和学习兴趣

学习动机是推动学生学习的直接动力，能使学生积极主动地进行学习。影响学生的学习动机和学习兴趣是多方面的，本次调查中提到的有：老师和家长鼓励性的话语，通过一些小技巧从小培养数学学习兴趣，如数学顺口溜、趣味数学问题、数学讲故事。自己用数学知识解决实际问题后或取得成绩后，获得的成就感和荣誉感，如计算出了书本的面积、轮胎的周长、获得竞赛奖项。

华罗庚说：“有了兴趣就会乐此不疲，好之不倦，因之也就会挤时间来学习了。”

三、坚强的意志

有了正确的学习动机，并不意味着学生就能顺利完成整个学习过程，在学习数学的过程中，他们还会遇到许多大大小小的困难。而使学生树立坚定的信心，勇敢地面对困难，继而战胜困难，获得知识和技能，则需要坚强的意志。不少学生学习成绩不佳并不是智力或其它方面有问题，而是他们缺乏克服困难的坚强意志，遇到困难就“打退堂鼓”，所以学习成绩总上不去。培养学生顽强的意志和坚强的毅力应从提高学生学习的自觉性和坚韧性两方面着手。自觉性是指学生对学习数学的目的和意义有深刻的认识，从而能自觉地进行刻苦学习。当学生认识到当前学习与祖国未来和自己的未来的关系，明确自己所担负的责任时，才能排除外界干扰与诱惑，使学习成为自觉的行动。学习目的越明确，对学习意义认识越清楚，学习的自觉性也就越强。坚韧性是指在完成学习任务时，坚持不懈地克服困难的品质。学生在学习的过程中，总会遇到一些困难，而满怀信心地迎接困难，奋力拼搏战胜困难，就是意志的坚韧性的表现。这是一种十分可贵的品质。有了这种品质，在学习遇到困难或挫折时，才不会灰心丧气；在取得好成绩时，也不会骄傲自满，而是善于总结经验教训，探索学习的规律和方法，奋勇前进。这种意志的品质，对培养创造型人才是非常必要的。

四、自信心与勤奋

自信心与勤奋也是对数学学习有着重要影响的两种非智力因素。树立自信心，相信自己通过努力能够学好数学，这对于后进学生更为重要。因为如果学生对学习丧失了信心，那么它就失去了战胜困难的精神力量。数学知识、技能的获得，数学能力的提高，离不开学生的勤奋与努力。所以培养学生勤奋好学、刻苦钻研精神是非常重要的。数学家张广厚说：“在学习数学的道路上没有任何捷径可走，更不能投机取巧，只有勤奋地学习，持之以恒，才会得到优秀的成绩。”可见勤奋能弥补学生某些智力的不足，促进学生数学能力的发展。

五、积极向上的心态

情感是人类对客观事物的一种态度与心理体验。在我们的研究中发现，凡是数学成绩始终保持良好的大学生，在小学和中学时代，都经常与老师进行感情交流，建立良好的师生关系，并且能和同学不断的交流学习中遇到的问题，不断切磋，分享经验，共同进步。

这里我举一个例子：李铭数学成绩相对较好，同学们有数学问题请教他的时候，他总是耐心帮助帮助同学，通过这个过程，他不但帮助了同学，而且自己对数学知识的理解也更深刻了。“你有一个苹果，我有一个苹果，交换一下，仍是一个苹果；我有一种思想，你有一种思想，交换一下，将成为两种思想。”而李铭的同桌，自认为自己的学习非常好，怕别人学习到自己的某方面知识和能力，记笔记都要用手挡着，怕被别人看到，所以他的知识只能是自己的和老师传递到他这里的，很快就落后了李铭很多。

通过上面的分析我们发现，数学学习好，其实并不难。这与孩子成长的家庭、社会、学校有着密不可分的关系。建议家长多给孩子看一些有益的书籍和视频，多让孩子参加一些有益的活动，给孩子提供一个良好的生长环境。

三 : 初中数学总复习教案

初中数学总复习教案

第1课时 实数的有关概念

知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值

教学目标：

1． 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念．

2． 了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。［www.61k.com］

3． 会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小

4． 画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。 教学重难点：

1． 有理数、无理数、实数、非负数概念；

2．相反数、倒数、数的绝对值概念；

23．在已知中，以非负数a、|a|a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。

教学过程：

1、实数的有关概念

(1)实数的组成

???正整数???整数?零??????负整数有理数??有尽小数或无尽循环小数????正分数? 实数? 分数???负分数???

?无理数?正无理数无尽不循环小数 ???负无理数???

(2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，

实数与数轴上的点是一一对应的。

数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数，

(3)相反数

实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反效是零)． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称．

(4)绝对值

?a(a?0)

? |a|??0(a?0) ??a(a?0)?

从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离

(5)倒数

1 实数a(a≠0)的倒数是(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数． a

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第2课 实数的运算

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知识点：有理数的运算种类、各种运算法则、运算律、运算顺序、科学计数法、近似数与有效数字、计算器功能鍵及应用。（www.61k.com）

教学目标：

1．了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幂的有关概念、掌握有理数运算法则、运算委和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算。

2．了解有理数的运算率和运算法则在实数运算中同样适用，复习巩固有理数的运算法则，灵活运用运算律简化运算能正确进行实数的加、减、乘、除、乘方运算。

3．了解近似数和准确数的概念，会根据指定的正确度或有效数字的个数，用四舍五入法求有理数的近似值（在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值），会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。

4 了解电子计算器使用基本过程。会用电子计算器进行四则运算。

教学重难点：

1．考查近似数、有效数字、科学计算法；

2．考查实数的运算；

3．计算器的使用。

教学过程：

1、知识回顾：

实数的运算

(1)加法

同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；

异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

任何数与零相加等于原数。

(2)减法 a-b=a+(-b)

(3)乘法

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即

?|a|?|b|(a,b同号)

? ab???|a|?|b|(a,b异号)

?0(a或b为零)?

(4)除法 a

b?a?

n1b(b?0) ?a (5)乘方 a?aa???

n个

(6)开方 如果x2＝a且x≥0，那么a＝x； 如果x3=a，那么3a?x

在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面．

(7)实数的运算律

(1)加法交换律 a+b＝b+a

(2)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)

(3)乘法交换律 ab＝ba．

(4)乘法结合律 (ab)c=a(bc)

(5)分配律 a(b+c)=ab+ac

其中a、b、c表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便．

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

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第3课 整式

知识点

代数式、代数式的值、整式、同类项、合并同类项、去括号与去括号法则、幂的运算法则、整式的加减乘除乘方运算法则、乘法公式、正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂。［www.61k.com]

教学目标：

1、 了解代数式的概念，会列简单的代数式。理解代数式的值的概念，能正确地求出代数式的值；

2、 理解整式、单项式、多项式的概念，会把多项式按字母的降幂（或升幂）排列，理解同类项的概念，会合并同类项；

3、 掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方和积的乘方运算法则，并能熟练地进行数字指数幂的运算；

24、 能熟练地运用乘法公式（平方差公式，完全平方公式及（x+a）(x+b)=x+(a+b)x+ab）进行运算；

5、 掌握整式的加减乘除乘方运算，会进行整式的加减乘除乘方的简单混合运算。

考查重难点

1．代数式的有关概念．

(1)代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．

(2)代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果p叫做代数式的值． 求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．

(3)代数式的分类

2．整式的有关概念

(1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．

对于给出的单项式，要注意分析它的系数是什么，含有哪些字母，各个字母的指数分别是什么。

(2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式

对于给出的多项式，要注意分析它是几次几项式，各项是什么，对各项再像分析单项式那样来分析

(3)多项式的降幂排列与升幂排列

把一个多项式技某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列 把—个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺斤排列起来，叫做把这个多项式技这个字母升幂排列， 给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列．

(4)同类项

所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷．

要会判断给出的项是否同类项，知道同类项可以合并．即ax?bx?(a?b)x 其中的X可以代表单项式中的字母部分，代表其他式子。

3．整式的运算

(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接．整式加减的一般步骤是：

(i)如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。括号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉．括号里各项都改变符号． (ii)合并同类项： 同类项的系数相加，所得的结果作为系数．字母和字母的指数不变．

(2)整式的乘除：单项式相乘(除)，把它们的系数、相同字母分别相乘(除)，对于只在一个单项式(被除式)里含有的字母，则连同它的指数作为积(商)的一个因式相同字母相乘(除)要用到同底数幂的运算性质： a

amm?ann?am?n(m,n是整数)(a?0,m,n是整数)?a?am?n

多项式乘(除)以单项式，先把这个多项式的每一项乘(除)以这个单项式，再把所得的积(商)相加． 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 遇到特殊形式的多项式乘法，还可以直接算：

(x?a)(x?b)?x?(a?b)x?ab,2

(a?b)(a?b)?a?b,

(a?b)?a?2ab?b,

(a?b)(a?ab?b)?a?b.22332222

(3)整式的乘方

单项式乘方，把系数乘方，作为结果的系数，再把乘方的次数与字母的指数分别相乘所得的幂作为结果

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的因式。［www.61k.com)

单项式的乘方要用到幂的乘方性质与积的乘方性质：

(a)?a

nmnmnn(m,n是整数),n (ab)?ab(n是整数)

多项式的乘方只涉及

(a?b)?a?2ab?b,

(a?b?c)?a?b?c?2ab?2bc?2ca.2222222

1、 考查重难点与常见题型

（1）考查列代数式的能力。题型多为选择题，如：

下列各题中，所列代数错误的是（ ）

（A） 表示“比a与b的积的2倍小5的数”的代数式是2ab－5

1（B） 表示“a与b的平方差的倒数”的代数式是 a－b2

（C） 表示“被5除商是a，余数是2的数”的代数式是5a+2

a（D） 表示“数的一半与数的3 －3b 2

（2）考查整数指数幂的运算、零指数。题型多为选择题，在实数运算中也有出现，如： 下列各式中，正确的是（ ）

（A）a3+a3=a6 (B)(3a3)2=6a6 (C)a3?a3=a6 (D)(a3)2=a6

整式的运算，题型多样，常见的填空、选择、化简等都有。

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

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第4课 因式分解

知识点：

因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。（www.61k.com］ 教学目标：

理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。 考查重难点与常见题型：

考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。 教学过程：

因式分解知识点

多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有： (1)提公因式法

如多项式am?bm?cm?m(a?b?c),

其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． (2)运用公式法，即用

a?b

2

2

?(a?b)(a?b),

2

a2

3

?2ab?b

3

?(a?b),

2

2

2

写出结果．

a?b?(a?b)(a?ab?b)

(3)十字相乘法

对于二次项系数为l的二次三项式x2?px?q, 寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则

x?px?q?(x?a)(x?b);对于一般的二次三项式ax

2

2

?bx?c(a?0),寻找满足

a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则ax2?bx?c?(a1x?c1)(a2x?c2). (4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．

(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．

分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.

(5)求根公式法：如果ax?bx?c?0(a?0),有两个根X1，X2，那么 ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2). 2、教学实例：全品示例 3、课堂练习：全品作业 4、课堂小结： 5、板书：

6、课堂作业：全品作业 7、教学反思：

2

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第5课 分式

知识点:

分式，分式的基本性质，最简分式，分式的运算，零指数，负整数，整数，整数指数幂的运算 教学目标:

了解分式的概念，会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围。（www.61k.com）掌握分式的基本性质，会约分，通分。会进行简单的分式的加减乘除乘方的运算。掌握指数指数幂的运算。

考查重难点与常见题型:

（1）考查整数指数幂的运算，零运算，有关习题经常出现在选择题中，如：下列运算正确的是（ ）

10 -1m-n2m-n -1-1-1 （A）-4=1 (B) (-2)= )=9(D)(a+b)=a+b2

（2）考查分式的化简求值。在中考题中，经常出现分式的计算就或化简求值，有关习题多为中档的解答题。注意解答有关习题时，要按照试题的要求，先化简后求值，化简要认真仔细，如：

化简并求值：

xx3-y32x+2° –2),其中x=cos30°,y=sin90222(x-y)x+xy+yx-y

教学过程：

1、知识要点

（1）分式的有关概念

设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子A

B就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式

没有意义

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简

（2）分式的基本性质

A

B?A?M

B?M, A

B?A?M

B?M（M为不等于零的整式）

（3）分式的运算

(分式的运算法则与分数的运算法则类似)． a

b?c

d?ad?bc

bd

0aab (异分母相加，先通分)；bd?cd?c??acbd;ad??;bcbc ()?n. bbadanan（4）零指数 a?1(a?0)

（5）负整数指数 a?p?1

ap(a?0,p为正整数).

ma?an

n?am?n,(a?0),注意正整数幂的运算性质 am

m?an?amn

nm?n (a)(ab)?a,nn?ab

可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、 n可以是O或负整数．

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

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第6课 数的开方与二次根式

知识点：

平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、

同类二次根式、二次根式运算、分母有理化

教学目标：

1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。（www.61k.com］会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；

2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；

3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。

考查重难点：

1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。

2.考查最简二次根式、同类二次根式概念。有关习题经常出现在选择题中。

3.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。

教学过程：

1、内容分析

（1）二次根式的有关概念

(a)二次根式

式子a(a?0)叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．

(b)最简二次根式

被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． (c)同类二次根式

化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．

(a)?a(a?0);2

(2)二次根式的性质 a2?a(a?0),?|a|????a(a?0);

a?

a

bb(a?0;b?0); ab?ab?(a?0;b?0).

(3)二次根式的运算

(a)二次根式的加减

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．

(b)三次根式的乘法

二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 a?b?ab(a?0,b?0).

二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． (c)二次根式的除法

二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．

2、教学实例：全品示例

第7页

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3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第7课 整式方程

知识点：

等式及基本性质、方程、方程的解、解方程、一元一次方程、一元二次方程、简单的高次方程 教学目标：

1. 理解方程和一元一次方程、一元二次方程概念；

2. 理解等式的基本性质，能利用等式的基本性质进行方程的变形，掌握解一元一次方程的一般步骤，能熟练地解一元一次方程；

3. 会推导一元二次方程的求根公式，理解公式法与用直接开平方法、配方法解一元二次方程的关系，会选用适当的方法熟练地解一元二次方程；

4. 了解高次方程的概念，会用因式分解法或换元法解可化为一元一次方程和一元二次方程的简单的高次方程；

5. 体验“未知”与“已知”的对立统一关系。[www.61k.com)

考查重难点：

考查一元一次方程、一元二次方程及高次方程的解法，有关习题常出现在填空题和选择题中。

教学过程：

1、内容分析

（1）方程的有关概念

含有未知数的等式叫做方程．使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解(只含有—个未知数的方程的解，也叫做根)．

（2）一次方程(组)的解法和应用

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为零的方程，叫做一元一次方程．

解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化成1．

（3）一元二次方程的解法

(a)直接开平方法

形如(mx+n)2=r(r≥o)的方程，两边开平方，即可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做直接开平方法．

（b）把一元二次方程通过配方化成

(mx+n)2=r(r≥o)

第8页

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的形式，再用直接开平方法解，这种方法叫做配方法．

(c)公式法

通过配方法可以求得一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：x? 2a

用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

(d)因式分解法

2 如果一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的左边可以分解为两个一次因式的积，那么根据两个因式的积等于

O，这两个因式至少有一个为O，原方程可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做因式分解法．

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

?b?b?4ac2

第8课 方程组

知识点：

方程组、方程组的解、解方程组、二元一次方程（组）、三元一次方程（组）、二元二次方程（组）、解方程组的基本思想、解方程组的常见方法。[www.61k.com）

教学目标：

了解方程组和它的解、解方程组等概念，灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组，并会解简单的三元一次方程组。掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的二元二次方程组成的方程组的解法。

考查重难点：

考查二元一次方程组、二元二次方程组的能力，有关试题多为解答题，也出现在选择题、填空题中，近年的中考试题中出现了有关的阅读理解题。

1、教学过程：

（1）方程组的有关概念

含有两个未知数并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程．两个二元—次方程合在一起就组成了一个—。元一次方程组．二元一次方程组可化为

??ax?by?c,

?mx?ny?r (a，b，m、n不全为零)的形式.

使方程组中的各个方程的左、右两边都相等的未知数的值，叫做方程组的解．

（2）一次方程组的解法和应用

解二元(三元)一次方程组的一般方法是代入消元法和加减消元法．

（3）简单的二元二次方程组的解法

(a)可用代入法解一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组．

（b)对于两个二元三次方程组成的方程组，如果其中一个可以分解因式，那么原方程组可以转化为两个由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组来解．

第9页

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2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第9课 判别式与韦达定理

知识点：

一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 教学目标：

1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。(www.61k.com）对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；

2.掌握韦达定理及其简单的应用；

3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；

4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。 内容分析

1.一元二次方程的根的判别式

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， 当△＜0时，方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系

(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1?x2??b，x1x2?c

a

a

(2)如果方程x+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q

x1x2=q

(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x-(x1+x2)x+x1x2=0．

x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三项式的因式分解(公式法)

22

在分解二次三项式ax+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax+bx+c=0的两个根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)． 考查重难点：

1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x的方程2

ax－2x＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情况是（ ）

第10页

2

2

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（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根

（C）没有实数根 （D）不能确定

2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：

设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（ ）

（A）15 （B）12 （C）6 （D）3

3．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。[www.61k.com］在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。

1、教学过程：以全品为线索讲解

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第10课 应用题

知识点：

列方程（组）解应用题的一般步骤、列方程（组）解应用题的核心、应用问题的主要类型

教学目标：能够列方程（组）解应用题

内容分析

列出方程(组)解应用题的一般步骤是：

(i)弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个(或几个)未知数;

(ii)找出能够表示应用题全部含义的一个(或几个)相等关系;

(iii)根据找出的相等关系列出需要的代数式，从而列出方程(或方程组);

(iv)解这个方程(或方程组)，求出未知数的值;

(v)写出答案(包括单位名称)．

考查重难点与常见题型：

考查列方程（组）解应用题的能力，其中重点是列一元二次方程或列分式方程解应用题，习题以工程问题、行程问题为主，近几年出现了一些经济问题，应引起注意

1、教学过程：以全品为线索讲解

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

第11页

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7、教学反思：

第11课 不等式

知识点：

不等式概念，不等式基本性质，不等式的解集，解不等式，不等式组，不等式组的解集，解不等式组，一元一次不等式，一元一次不等式组。(www.61k.com]

教学目标

1.理解不等式，不等式的解等概念，会在数轴上表示不等式的解；

2.理解不等式的基本性质，会应用不等式的基本性质进行简单的不等式变形，会解一元一次不等式；

3.理解一元一次不等式组和它的解的概念，会解一元一次不等式组；

4.能应用一元一次不等式（组）的知识分析和解决简单的数学问题和实际问题。

内容分析：

一元一次不等式、一元一次不等式组的解法

(1)只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为零的不等式，叫做一元一次不等式．

解一元一次不等式的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化成1．要特别注意，不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，要改变不等号的方向．

(2)解一元一次不等式组的一般步骤是：

(i)先求出这个不等式组中各个一元一次不等式的解集；

(ii)再利用数轴确定各个解集的公共部分，即求出了这个一元一次不等式组的解集．

考查重难点：

考查解一元一次不等式（组）的能力，有关试题多为解答题，也出现在选择题，填空题中。

教学过程：

1、以全品为线索讲解

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

第12页

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6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第12课 坐标系与函数

知识点：

平面直角坐标系、常量与变量、函数与自变量、函数表示方法

教学目标：

1.了解平面直角坐标系的有关概念，会画直角坐标系，能由点的坐标系确定点的位置，由点的位置确定点的坐标；

2.理解常量和变量的意义，了解函数的一般概念，会用解析法表示简单函数；

3.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会用描点法画出函数的图像。(www.61k.com)

内容分析

1．平面直角坐标系的初步知识

在平面内画两条互相垂直的数轴，就组成平面直角坐标系，水平的数轴叫做x轴或横轴 (正方向向右)，铅直的数轴叫做y轴或纵轴(正方向向上)，两轴交点O是原点．这个平面叫做坐标平面．

x轴和y把坐标平面分成四个象限(每个象限都不包括坐标轴上的点)，要注意象限的编号顺序及各象限内点的坐标的符号：

由坐标平面内一点向x轴作垂线，垂足在x轴上的坐标叫做这个点的横坐标，由这个点向y轴作垂线，垂足在y轴上的坐标叫做这个点的纵坐标，这个点的横坐标、纵坐标合在一起叫做这个点的坐标（横坐标在前，纵坐标在后)．一个点的坐标是一对有序实数，对于坐标平面内任意一点，都有唯一一对有序实数和它对应，对于任意一对有序实数，在坐标平面都有一点和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．

2．函数

设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量， y是x的函数．

用数学式子表示函数的方法叫做解析法．在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值范围必须使解析式有意义．遇到实际问题，还必须使实际问题有意义．

当自变量在取值范围内取一个值时，函数的对应值叫做自变量取这个值时的函数值．

3．函数的图象

把自变量的一个值和自变量取这个值时的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在坐标平面内描出一个点，所有这些点组成的图形，就是这个函数的图象．也就是说函数图象上的点的坐标都满足函数的解析式，以满足函数解析式的自变量值和与它对应的函数值为坐标的点都在函数图象上．

知道函数的解析式，一般用描点法按下列步骤画出函数的图象：

(i)列表．在自变量的取值范围内取一些值，算出对应的函数值，列成表．

(ii)描点．把表中自变量的值和与它相应的函数值分别作为横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点．

(iii)连线．按照自变量由小到大的顺序、用平滑的曲线把所描各点连结起来．

教学过程：

1、以全品为线索讲解

2、教学实例：全品示例

第13页

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3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第13课 正比例、反比例、一次函数

知识点：

正比例函数及其图像、一次函数及其图像、反比例函数及其图像

教学目标：

1．理解正比例函数、一次函数、反比例函数的概念；

2．理解正比例函数、一次函数、反比例函数的性质；

3．会画出它们的图像；

4．会用待定系数法求正比例、反比例函数、一次函数的解析式

内容分析

1、一次函数

（1）一次函数及其图象

如果y=kx+b（K，b是常数，K≠0），那么，Y叫做X的一次函数。[www.61k.com］

特别地，如果y=kx（k是常数，K≠0），那么，y叫做x的正比例函数

一次函数的图象是直线，画一次函数的图象，只要先描出两点，再连成直线

（2）一次函数的性质

当k>0时y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小。

2、反比例函数

(1) 反比例函数及其图象

如果y?k

x(k是常数,k?0),那么，y是x的反比例函数。

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象

（2）反比例函数的性质

当K>0时，图象的两个分支分别在一、二、三象限内，在每个象限内， y随x的增大而减小； 当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。

3.待定系数法

先设出式子中的未知数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法叫做待定系数法可用待定系数法求一次函数、二次函数和反比例函数的解析式

考查重难点与常见题型：

1． 考查正比例函数、反比例函数、一次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中

2． 综合考查正比例、反比例、一次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图

像，试题类型为选择题

3． 考查用待定系数法求正比例、反比例、一次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有

中档解答题和选拔性的综合题

第14页

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4． 利用函数解决实际问题，并求最值，这是近三年中考应用题的新特点。（www.61k.com］

教学过程：

1、以全品为线索讲解

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第14课 二次函数

知识点：二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向

教学目标：

1． 理解二次函数的概念；

2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次

函数的图象；

3． 会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(ax＋m)2＋k的图象，了解特殊与一般相互

联系和转化的思想；

4． 会用待定系数法求二次函数的解析式；

5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最

大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

内容

（1）二次函数及其图象

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0),那么，y叫做x的二次函数。

二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。

（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向

抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点是(?2b

2a,4ac?b

4a2)，对称轴是x??b

2a，当a>0时，抛物线开口向

上，当a<0时，抛物线开口向下。

抛物线y=a（x+h）2+k(a≠0)的顶点是（-h，k），对称轴是x=-h.

考查重难点与常见题型：

1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

第15页

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已知以x为自变量的二次函数y＝(m－2)x2＋m2－m－2额图像经过原点，

则m的值是

2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两

个函数的图像，试题类型为选择题，如：

如图，如果函数y＝kx＋b的图像在第一、二、三象限内，那么函数

y＝kx2＋bx－1的图像大致是（ ）

3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔

性的综合题，如：

5已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x＝，求这条抛物线的解析式。[www.61k.com] 3

4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：

3已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－ （1）2

确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

教学过程：

1、以全品为线索讲解

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第16页

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第15课 线段与角、相交线与平行线

知识点：

两点确定一条直线、相交线、线段、射线、线段的大小比较、线段的和与差、线段的中点、角、角的度量、角的平分线、锐角、直角、钝角、平角、周角、对顶角、邻角、余角、补角、点到直线的距离、同位角、内错角、同旁内角、平行线、平行线的性质及判定、命题、定义、公理、定理

教学目标：

1． 了解直线、线段和射线等概概念的区别，两条相交直线确定一个交点，

解线段和与差及线段的中点、两点间的距离、角、周角、平角、直角、锐角、钝角等概念，掌握两点确定一条直线的性质，角平分线的概念，度、分、秒的换算，几何图形的符号表示法，会根据几何语句准确、整洁地画出相应的图形；

2． 了解斜线、斜线段、命题、定义、公理、定理及平行线等概念，了解垂线段最短的性质，平行线的

基本性质，理解对顶角、补角、邻补角的概念，理解对顶角的性质，同角或等角的补角相等的性质，掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，会识辨别同位角、内错角和同旁内角，会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算，会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互补判定两条直线平行

教学重难点：

1、了解垂线段最短的性质，平行线的基本性质，理解对顶角、补角、邻补角的概念，理解对顶角的性质，同角或等角的补角相等的性质，掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念。（www.61k.com］

2、会识辨别同位角、内错角和同旁内角，会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算，会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互补判定两条直线平行

教学过程：

1、以全品为线索讲解

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第17页

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第16课 三角形与全等三角形

知识点:

三角形，三角形的角平分线，中线，高线，三角形三边间的不等关系，三角形的内角和，三角形的分类，全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定

教学目标

1． 了解全等形，全等三角形的概念和性质，逆命题和逆定理的概念，理解三角形，三角形的顶点，边，内

角，外角，角平分线，中线和高线，线段中垂线等概念。（www.61k.com）

2． 理解三角形的任意两边之和大于第三边的性质，掌握三角形的内角和定理，三角形的外角等于不相邻的

两内角的和；三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角的性质；

3． 理解全等三角形的概念和性质。掌握全等三角形的判定公理及其推论，并能应用他们进行简单的证明和

计算。

4． 学会演绎推理的方法，提高逻辑推理能力和逻辑表达能力，掌握寓丁几何证明中的分析，综合，转化等

数学思想。

考查重难点：

1.三角形三边关系，三角形内外角性质，多为选择题，填空题；

2.论证三角形全等，线段的倍分，常见的多为解答题

教学过程：

1、以全品为线索讲解

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第17课 等腰三角形

知识点：

等腰三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形、等边三角形的性质

和判定、轴对称、轴对称图形

教学目标：

第18页

初中数学总复习 初中数学总复习教案

1． 理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的两底角相等、等腰三角形三线合一等性质，掌握两个角

相等的三角形是等腰三角形等判定定理，并能运用它们进行简单的证明和计算；

2． 理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的各角都是60°等性质，掌握三个角都相等的三角形或一

个角是60°的等腰三角形都是等边三角形等判定，能运用它们进行简单的证明和计算；

3． 了解轴对称及轴对称图形的概念，会判断轴对称图形。[www.61k.com)

考查重难点

等腰三角形和等边三角形的性质和判定的应用，证明线段、角相等，求线

段的长度、角的度数，中考题中多以选择题、填空题为主，有时也考中档

解答题，如：

（1）如果，等腰三角形的一个外角是125°，则底角为 度；

（2）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（ ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

预习练习：

1．一个正三角形的边长为a，它的高是（ ）

31（A） （B） （C） （D 2242．如果等腰三角形一腰长为8，底边长为10，那么连结这个三角形各边的

中点所成的三角形各边的中点形成的三角形的周长为（ ）

（A）26 （B）14 （C）13 （D）9

3．等腰直角三角形的一条直角边为1cm，则斜边上的高为

4． 若等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则腰上的高为

5． 已知等腰三角形的一边等于4cm，一边等于9cm，那么它的周长等于6． 等腰三角形的底边长为3，周长为11，则一腰长为7． 等腰三角形的周长为2＋3 ，腰长为1，底角等于 度

8． 已知如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC， BD＝CE，

M是AC

的中点，求证：△DEM是等腰三角形

教学过程：

1、以全品为线索讲解

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第19页

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第18课 直角三角形

知识点：

直角三角形的性质和判定、逆命题和逆定理、勾股定理及逆定理、角平分线的性质、线段的中垂线及其性质

教学目标：

了解逆命题和逆定理的概念；掌握直角三角形中两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半及30°角所对的直角边等于斜边的一半等性质，掌握勾股定理及其逆定理，并能运用它们进行简单的论证和计算；掌握角平分线的性质定理及其逆定理，线段中垂线性质定理及其逆定理。［www.61k.com)

考查重难点：

直角三角形性质及其判定的应用，角平分线性质定理及其逆定理，线段中垂线的性质定理及其逆定理的应用，逆命题的概念，中考题中多为选择题或填空题，有时也考查中档的解答题，如：

（1） 在直角三角形中，已知一条直角边的长为6，斜边上的中线长为5，则另一条直角边的长为

（2） 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是

（3） 在△ABC中，如果∠A－∠B＝90°，那么△ABC是（ ）

(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)锐角三角形或钝角三角形

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第19课 比例线段

知识点：

比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割

教学目标：

1．理解比与比例及比例中项等概念，掌握比例的基本性质、合比定理和更比定理，会用它们进行简单的比例变形；

2．理解比例线段及黄金分割的概念，理解平行线分线段成比例定理，会作第四比例项

考查重难点与常见题型：

1．考查比例的性质，常以选择题或填空题出现，如：

(1) 已知a＝4，b＝9，则a、b的比例中项是

(2) 已知线段a＝4cm，b＝9cm，线段c是a、b的比例中项，则线段c的长为2．求线段的比、面积的比，在中考题中常以选择题、填空题或求解题型出现，如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，

S△DOE：S△COB ＝4：9，则AE：EC为（ ）

第20页

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教学过程：

1、以全品为线索讲解

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第20课 相似三角形

知识点：

相似三角形、相似三角形的判定、直角三角形相似的判定

教学目标：

1． 了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定及直角三角形相似的判定；

2． 会用相似三角形证明角相等或线段成比例，或进行角的度数和线段长度的计算等

考查重难点与常见题型：

1． 论证三角形相似，线段的倍分以及等积式，等比式，常以论证题型

或计算题型出现；

3． 寻找构成三角形相似的条件，在中考题中常以 选择题或填空题形式出现，如：下列所述的四组图

形中，是相似三角形的个数是（ ）

① 有一个角是45°的两个等腰三角形；②两个全等三角形；③有一个角是100°的两个等腰三角形；④两个等边三角形。（www.61k.com］

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

教学过程：

1、以全品为线索讲解

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

第21页

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5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第21课 中位线与面积

知识点：

平行线等分线段、三角形、梯形的中位线、三角形、平行四边形、矩形、矩形、正方形、梯形的面积、等积变形、几何变换（平移、旋转、翻折）

考查要求：

1． 掌握平行线等分线段定理，三角形、梯形中位线定理，三角形一边中点 且平行另一边的直线平分

第三边，过梯形一腰的中点且平行底的直线平分另一腰的定理；

2． 使学生了解面积的概念，掌握三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的面积公式，等底

等高的三角形面积相等的性质，会用面积公式解决一些几何中的简单问题；

3． 使学生掌握几何证题中的平移、旋转、翻折三种变换。（www.61k.com）

考查重难点与常见题型：

1． 考查中位线、等分线段的性质，常见的以选择题或填空题形式，也作为基础知识应用，如： 一个等腰梯形的周长是100cm，已知它的中位线与腰长相等，则这个题型的中位线是

2． 考查几何图形面积的计算能力，多种题型出现，如：

三角形三条中位线的长分别为5厘米，12厘米，13厘米，则原三角形的面积是 厘米2

3． 考查形式几何变换能力，多以 中档解答题形式出现

教学过程：

1、以全品为线索讲解

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第22课 相似三角形性质及其应用

知识点

相似三角形性质，直角三角形中成比例线段

第22页

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教学目标

1.掌握相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方等性质，能应用他们进行简单的证明和计算。（www.61k.com］

2.掌握直角三角形中成比例的线段：斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是则条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项，会用他们解决线段成比例的简单问题。

考查重难点与常见题型

1． 相似三角形性质的应用能力，常以选择题或填空形式出现，如：

若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比

是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形

的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------，

2． 考查直角三角形的性质,常以选择题或填空题形式出现，如：

如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°,

CD⊥AB与D，AC=6，BC=8， 则AB=--------，CD=---------，

AD=---------- ，BD=-----------。，

3． 综合考查三角形中有关论证或计算能力，常以中档解答题形式出现。

教学过程：

1、以全品为线索讲解

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第23课 锐角三角函数

知识点：

锐角三角函数、锐角三角函数值的符号、锐角三角函数值的变化规律、特殊角三角函数值、互为余角的三角函数间的关系、同角三角函数间的关系（平方关系、商数关系、倒数关系）

教学目标：

1． 理解正弦、余弦、正切、余切的概念，并能运用；

2． 掌握正弦和余弦表、正切和余切表的查法，掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值

进行计算和化简；

第23页

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3． 掌握互为余角和同角三角函数间关系，并能运用它们进行计算或化简。[www.61k.com］

考查重难点与常见题型：

1． 求三角函数值，常以填空题或选择题形式出现，如：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，3a，则∠A＝ ，sinA＝

2． 考查互余或同角三角函数间关系，常以填空题或选择题形式出现，如：

(1) sin53°?cos37°＋cos53°?sin37°＝

(2) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列各式中正确的是（ ）

(A)sinA＝sinB (B)sinA＝cosB (C)tanA＝tanB (D)c0tA＝cotB

3． 求特殊角三角函数值的混合运算，常以中档解答题或填空题出现，如：

1－2sin30°?cos30°＝

教学过程：

1、以全品为线索讲解

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第24课 解直角三角形

知识点：锥度、坡度、仰角、俯角、方位角、方向角、解直角三角形、解直角三角形应用

教学目标：

1.理解直角三角形的概念及锥度、仰角和俯角、坡度和坡角、方向角和方位角的概念，灵活运用直角三角形中边与角的关系和勾股定理解直角三角形，提高把实际问题转化为解直角三角形问题的能力；

12.掌握三角形的面积公式S＝ absinа； 2

3.理解正多边形的概念和性质，会画简单的正多边形，能将正多边形的边长、半径、边心距和中心角的有关计算转化为解直角三角形；

4.利用锐角三角函数和直角三角形，把“数”和“形”互相转化解决某些问题，用数形结合的重要数学思想指导本章解各类习题，通过添加适当的辅助线构造直角三角形把非直角三角形问题转化为解直角三角形的问题，使之得以解决，这些转化的思想值解数学题的重要数学思想，掌握综合性较强的题型融会贯通地运用数学的各部分知识，提高分析解决问题的能力。

考查重难点与常见题型： 近三年的中考题中多见解直角三角形的应用

第24页

初中数学总复习 初中数学总复习教案

教学过程：

1、以全品为线索讲解

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第25课 平行四边形及特殊平行四边形

知识点：四边形、四边形的内角和与外角和、多边形、多边形的内角和与外角和、平行四边形、平行四边形的性质和判定、两条平行线间的距离、矩形、菱形、正方形的性质和判定。(www.61k.com]

教学目标：

1． 理解多边形，多边形的顶点、边、内角、外角及对角线等概念，理解多边形的理解

和定理，掌握四边形的理解和和外角和都是360°的性质；

2． 了解两点间的距离。点到直线的距离与两条平行线之间的距离及三者之间的联系，

了解平行四边形不稳定性的应用，理解两条平行线间的距离概念；

3． 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形等概念，掌握平行四边形、矩形、菱形、正

方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法，进一步提高分析问题，解决问题的能力。

考查重难点与常见题型：

1． 考查特殊四边形的判定、性质及从属关系，此类问题在中考中常以填空题或选择题出现，也常以证

明题的形式出现。如：

下列命题正确的是（ ）

（A） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形

（B） 对角线相等的四边形一定是矩形

（C） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形

（D） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形

2． 求菱形、矩形等的面积，线段的长，线段的比及面积的比等，此类问题以不同种题型常以如选择题,

填空题出现，也常以论证题型和求解题型出现。如： 若菱形的周长为16cm，两相邻角的度数之比是1：2，则菱形的面积是（ ）

（A） 4（B）83 cm （C）163 cm （D）203 cm

3． 三角形和四边形与代数中的函数综合在一起

4． 求多边形的边数、内角和、外角和及正多边形的角、边长及半径、边心距，以正五边形、正六边形

为常见，多见于填空题和选择题，如：

(1)正五边形的每一个内角都等于 度

(2)若正多边形的边心距与边长的比是1：2，则这个正多边形的边数是

第25页

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(3)已知正六边形的边长是2，那么它的边心距是

教学过程：

1、以全品为线索讲解

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第26课时 梯 形

知识点：梯形、等腰梯形、直角梯形、等腰梯形的性质和判定、四边形的分类

教学目标：

1． 掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的概念，等腰梯形的性质和判定；

2． 四边形的分类和从属关系。（www.61k.com)

考查重难点与常见梯形

1． 考查梯形的判定、性质及从属关系，在中考题中常以选择题或填空题出现，也常以证明题的形式出现。

如：

（A） 圆内接平行四边形是矩形；

（B） 一组对边平行另一组对边不平行的四边形一定是梯形；

（C） 顺次连结等腰梯形各边中点构成的四边形是菱形；

（D） 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。

2． 求梯形的面积、线段的长，线段的比及面积的比等，在中考题中常以选择题或填空题出现，也常以证明

题的形式出现。 如：如图梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S⊿AOD：S⊿COB＝1：9，则S⊿DOC：S⊿BOC＝

3． 梯形与代数中的方程、函数综合在一起， 如在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝10，AD、

BC 的长是x2-20x+75=0方程的两根，那么以点D为圆心、AD长为半径的圆与以C圆心，BC为半径的圆的位置关系是 。

教学过程：

1、以全品为线索讲解

2、教学实例：全品示例

第26页

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3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第27课 圆的有关性质

知识点：

圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质

教学目标：

1． 正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系；

2． 熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。（www.61k.com］一个

圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一；

3． 熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半

径的2倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系；

4． 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的

圆周角的2倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

5． 掌握圆内接四边形的性质定理：它沟通了圆内外图形的关系，并能应用它解决有关

问题；

6． 注意：（1）垂径定理及其推论是指：一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”

③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；（2）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角，想垂径定理；想到过它的端点若有切线，则与它垂直，反之，若有垂线则是切线，想到它被圆心所平分；（3）见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角，要想到应用圆内接四边形的性质。

考查重难点与常见题型：

1． 判断基本概念、基本定理等的正误，在中考题中常以选择题、填空题的形式考查学

生对基本概念和基本定理的正确理解，如：下列语句中，正确的有（ ）

(A)相等的圆心角所对的弧相等 (B)平分弦的直径垂直于弦

(C)长度相等的两条弧是等弧 (D)弦过圆心的每一条直线都是圆的对称轴

2． 论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。此种结论的证明重

点考查了全等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识，常以解答题形式出现。

第27页

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教学过程：

1、以全品为线索讲解

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第28课 直线和圆的位置关系

知识点：

直线和圆的位置关系、切线的判定和性质、三角形的内切圆、切线长定理、弦切角的定理、相交弦、切割线定理

教学目标：

1．掌握直线和圆的位置关系的性质和判定；

2．掌握判定直线和圆相切的三种方法并能应用它们解决有关问题：（1）直线和圆有唯一公共点；(2)d=R；

(3)切线的判定定理 (应用判定定理是满足一是过半径外端，二是与这半径垂直的二个条件才可判定是圆的切线）

3．掌握圆的切线性质并能综合运用切线判定定理和性质定理解决有关问题：（1）切线与圆只有一个公共点；

（2）圆心到切线距离等于半径；（3)圆的切线垂直于过切点的半径；(4) 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心；(6)切线长定理；(7) 弦切角定理及其推论。（www.61k.com)

4，掌握三角形外切圆及圆外切四边形的性质及应用；

4． 注意：(1)当已知圆的切线时，切点的位置一般是确定的，在写条件时应说明直线和圆相切于哪一点，辅

助线是作出过确定的半径；当证明直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上某一点则可作出这一点的半径证明直线垂直于该半径；即为“连半径证垂直得切线”；若已知条件中未明确给出直线和圆有公共点时，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即为:“作垂直证半径得切线”。(2) 见到切线要想到它垂直于过切点的半径；若过切点有垂线则必过圆心；过切点有弦，则想到弦切角定理，想到圆心角、圆周角性质，可再联想同圆或等圆弧弦弦心距等的性质应用。（3）任意三角形有且只有一个内切圆，圆心为这个三角形内角平分线的交点。

考查重难点与常用题型：

1．判断基求概念，基本定理等的证误。在中考题中常以选择填空的形式考查形式对基本概念基求定理的正确理解，如：已知命题：(1)三点确定一个圆；(2)垂直于半径的直线是圆的切线；(3)对角线垂直且相等的四边形是正万形；(4)正多边形都是中心对称图形；(5)对角线相等的梯形是等腰梯形，其中错误的命题有

( )

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个

2．证明直线是圆的切线。证明直线是圆的切线在各省市中考题中多见，重点考查切线的判断定理及其它圆的一些知识。证明直线是圆的切线可通过两种途径证明。

3．论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。此种结论的证明重点考查了金等三角

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形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识。（www.61k.com]

教学过程：

1、以全品为线索讲解

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第29课 与圆有关的比例线段

知识点：

相交弦定理、切割线定理及其推论

教学目标：

1． 正误相交弦定理、切割线定理及其推论；

2． 了解圆幂定理的内在联系；

3． 熟练地应用定理解决有关问题；

4． 注意（1）相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幂定理，圆幂定理是圆和相似

三角形结合的产物。这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于切线可看作是两条交点重合的割线）。使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点；

（2）见圆中有两条相交想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形。

考查重难点与常见题型：

证明等积式、等比式及混合等式等。此种结论的证明重点考查了相似三角形，切割线定

理及其推论，相交弦定理及圆的一些知识。常见题型以中档解答题为主，也有一些出现在选择题或填空题中。

教学过程：

1、以全品为线索讲解

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2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第30课 圆与圆的位置关系

知识点：

圆和圆的位置关系、两圆的连心线的性质、两圆的公切线

教学目标：

1．了解两圆公切线的求法，掌握圆和圆的位置关系;

2．了解两圆位置关系与公共点个数、外公切线条数、内公切线条数以及d、R、r之间的关系;

3．掌握相交两圆的性质和相切两圆的性质;

4．注意 (1)圆与圆的五种位置关系相交和相切是重点；(2)在解题中把两个圆中有关问题利用圆的性质和直线圆的位置关系的定理和性质转化为一般圆的问题；(3)涉及相交两圆的问题常可作出公共弦，利用圆周角定理及其推论或连心线垂直乎分公共弦。（www.61k.com)公共弦可沟通两个圆的角之间关系，有了连心线，公共弦不仅可取应用相交两圆的性质定理且还能沟通两圆半径、公切线等之间的关系；(4)涉及相切两圆问题主要可从以下几个方面考虑；①过切点作两圆的公切线，利用弦切角定理或切线长定理；②作出连心线，利用连心线过切点的性质；③利用两圆的圆心距等于两圆半径之和或之差；④当两圆外切时，利用连心线、外公切线及过公切线切点的两条毕径组成的直角梯形，将有关圆的间题转化为直线形间题，把梯形问题转化为直角三角形问题，通过解直角三角形来解决有关两圆公切线等问题。

考查重难点与常甩题型：

1．判断基本概念、基本定理等的正误。在中考题申常以选择题或填空题的

形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解，如：已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于3，则两圆位置关系是 ( )

(A)外离 (B)外切 (C)相交 (D) 内切

2．考查两圆位置关系中的相交及相切的性质，可以以各种题型形式出现， 多见于选择题或填空题，有时在证明、计算及综合题申也常有出现。

教学过程：

1、以全品为线索讲解

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

第30页

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4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第31 课 和圆有关的计算

知识点：正多边形和圆、正多边形的有关计算、等分圆周、圆周长、弧长、圆的面积、扇形的面积、弓形的面积、面积变换

教学目标：

1．了解用量角器等分圆周的方法，会用直尺和圆规画圆内接正方形和正多边形；

2． 掌握正多边形的定义和有关概念、判定和性质；

3． 熟练地将正多边形的边长、半径、边心距和中心角有关计算转变为解直角三角形问题来解诀；

4．熟练地运用圆周长、弧长公式、圆的扇形弓形面积公式进行有关计算；

5．明确图形构成，灵活运用、转化思想，提高解决综合图形面积的计算能力；

6．注意（1)任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，反之也成立；(2) 证多边形是轴对称图形，且正n边形有n条对称轴；(3)正多边形不一起是中心对称图形，有奇数条边的正多边形没有对称中心，有偶数条边的正多边形有对称中心就是它的中心；(4)解诀正多边形问题经常需要作出它的外接圆，可转化成解直角三角形问题。(www.61k.com］

考查重难点与常见题型

求解线段的长及线段的比，角的大小，三角函数的值及阴影部分的面积等。此类问题问题在近三年的中考题中也是多见，求线段的长及比，角的大小等多数是利用恰当地设未知数、列方程的思想方法来加以解决。求阴影部分的面积除考查了扇形等图形面积的求法，还重点考查学生灵活应用知识的能力，求阴影部分的面积多半用两种方法解决:一种是将所求阴影部分的面积转化为所学过的易求图形的面积的和或差；一种是恰当地引辅助线，将所求阴影部分的面积转化为所学过的易求图形的面积。

预习练习

1.填写下表：

3．已知扇形的圆心角为140°，弧长为20πcm，则扇形的面积为 ；

4．圆的半径为4cm，弓形弧的度数为60°，则弓形的面积为 ；

5．两个同心圆，小圆的切线被大圆截得的部分为6，则两圆围成的环形面积为 。

教学过程：

第31页

初中数学总复习 初中数学总复习教案

1、以全品为线索讲解

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第32讲 轨迹与作图

一．考纲要求

1．了解轨迹概念及五种基本轨迹。（www.61k.com］

2．能利用轨迹进行简单的作图，计算动点所经过的路程的长。

本节内容的知识点：五种基本轨迹和基本作图。

二．教学重难点：

1．了解轨迹概念及五种基本轨迹。

2．能利用轨迹进行简单的作图，计算动点所经过的路程的长。

三．基础回顾

1．到点O的距离等于3cm的点的轨迹是 。

2．和线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是

3．到已知角的两边距离相等的点的轨迹是。

4．半径为2cm，且与已知直线l相切的圆的圆心的轨迹是。

5．和两条已知直线l1和l2 相切的圆的圆心轨迹是 。

四．典型例题

例1．如图，在直角坐标系平面内，线段AB的两端点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，AB=8cm，求线段AB中点M的轨迹。

例2．如图，A、B、C三点表示三个村庄，要建一个电视转播站，使它到三个村庄的距离相等，求作电视转播站的位置（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

第32页

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例3．如图，已知：线段r和∠ACB求作一圆O，使它与∠ACB的两边相切，且圆的半径等于r。(www.61k.com]要求用直尺和圆规作图）

例4．如图，已知线段a、b、∠α，求作：平行四边形ABCD，使BD=a，AC= b，BD、AC的夹角为α。（要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）

例5．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB 两侧的村庄。（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近。请在图中的公路AB上分别画出点P，Q的位置。（保留作图痕迹）。（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M，N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远？（分别用文字表述你的结论，不必证明）。（3）在公路AB上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M，N的距离相等？如果存在，请在图中的AB上画出这一点（保留作图痕迹，不必证明）；如果不存在，请简要说明理由。

四．反馈练习

1.斜边为AB的直角三角形ABC的顶点C的轨迹是

2.AB是半径为R的⊙O中的一条弦，若AB 沿点A旋转30°角，那么，AB中点P随之运动所经过路程为（ ）

1111A πR B R C πR D πR 12263

3.如图,已知△ABC,求作 △ABC的外接圆.

第33页

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4.如图,已知∠AOB和边OB上一点E,求作:一点P,使P到∠AOB两边的距离相等.且OP=EP

5.如图,已知:线段m和角α.求作:等腰三角形ABC,使底角∠B=α,腰AB=m.

五．作业

1）底边为已知线段BC的等腰三角形ABC的顶点A的轨迹是

2）以⊙O上一点A为端点的弦的中点的轨迹是

3）设⊙O1、⊙O、2的半径都是r，且O1 O、2＞2r，则与⊙O1、⊙O、2都外切的圆的圆心的轨迹是

4）如图，扇形AOB，OA⊥OB，点P是弧AB上任一点，过B作OP的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹是

5）已知线段AO（如图），（1）以定点O为圆心，定长OA为半径作⊙O；（2）作⊙O的圆内接六边形ABCDEF；

（3）作正六边形ABCDEF的内切圆。(www.61k.com）

6）已知△ABC（如图），作△ABC的内切圆。

7）已知△ABC，BC=a，高线AD=h（如图），求作正方形，使其面积等于△ABC面积的2倍。

8）用直尺和圆规作一个∠AOB，使∠AOB=30°。

9）已知直线L上一点P以及直线外一点Q（如图），求作：经过

点Q且与直线L相切于点P的⊙O。

第34页

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10）已知：线段a、b和∠α（如图），求作：?ABCD，使AB=a，

AD=b，∠A=∠α。（www.61k.com]

11）已知一直角边及与它不相邻的锐角（如图），限用直尺和圆规

作Rt△。（不写作法，但须保留作图痕迹）

12）如图，两个相同的正方形ABCD和A1B1C1D1 ，A1与ABCD的中心重合，且A1B1C1D1绕A1转动，试说出它们重

叠部分的面积与正方形面积的比。

13）已知等腰三角形的底角和底边（如图），用直尺和圆规作此三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）

14）如图，在一块矩形的铁皮上有一点P，现要在这块铁皮上剪去一个等腰直角三角形，把它加工成零件，请你在已知矩形ABCD上求作这个等腰直角三角形，使它的直角顶点为P，斜边落在AD上。

六、课堂小结：

七、板书：

八、教学反思：

第35页

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第33讲 空间图形的基本知识

(分两课时)

一．考纲要求

1.了解平面的概念、画法及表示法，平面的基本性质，直线 和平面、平面和平面的垂直及其应用．

2．会画长方形的直观图；会画立方体、长方体的直观图．

3．了解圆柱、圆锥、圆台的底面、高线、母线、轴截面等概念．

通过画长方体等的直观图，以此为基本模型，来研究直线与平面，平面与平面的垂直与否，逐步培养学生空间想象能力。（www.61k.com]圆柱、圆锥、圆台的轴截面及其在生产生活中的实际应用不可忽视。

二．教学重难点：

通过画长方体等的直观图，以此为基本模型，来研究直线与平面，平面与平面的垂直与否，逐步培养学生空间想象能力。圆柱、圆锥、圆台的轴截面及其在生产生活中的实际应用不可忽视。

三．基础回顾

1．下面说法中，正确的是( )

(A)一点能确定的一个平面 (B)两点能确定的一个平面

(C)任意三点能确定一个平面 (D)任意三点不一定能确定一个平面

2．如图，长方体中，和平面AD1垂直的棱是_______,和棱的BB1垂直的平面是________.

3．如图，长方体中，过点A1和平面A1C1垂直的平面有( )

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

4．画一个水平放置的边长为3cm的正方形的直观图．

(要求正确画出图形，画图工具不限)

5．等腰三角形以底边上的高线为轴旋转，其余各边旋转所围成的几何体是( )

(A)一个圆锥 (B)二个圆锥 (C)三个圆锥 (D)四个圆锥

四．典型例题

例1．要画立方体(即正方体)的直观图，甲、乙两位同学分别画出了以下两个表示立方体上底面A1B1C1D1的直观图，请你选择其中画得正确的一个，将它画成立方体的直观图，并标上顶点字母．(画图工具

不限，不要求写画法)

第36页

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例2．在半径为30m的圆形广场的中心上空，设置一个照明光源，射向地面的光束呈圆锥形，它的轴截面顶角为120°，要使光源照到整个广场，求光源的高度至少要多少m．(精确到0．1m)

例3．如图，圆锥的底面半径为R，用一个平行于底面的平面去截这个圆锥，把圆锥分成一个小圆锥和一个圆台，设小圆锥的底面半径为r，母线长为x，圆台的母线长为l．

xr (1)求证； lR-r

x1 (2)若 = ，R=8，l=13，求圆台的高线长h. l3

例4．如图，平面ABC与平面BCD是空间两个相交平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是平面ABC外的一点，CD⊥AC，试判断平面ABC与平面BCD是否垂直，并说明理由

例5．某纸晶加工厂为了制作甲、乙两种无盖的长方体小盒(如图)，利用边角废料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等(如图)，现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全都用于制作两种小盒，可以各做多少个?

四．反馈练习

1．画出长、宽、高分别为4cm，3cm，2cm的长方体的直观图．

2．巳知圆锥的轴截面周长32cm，底面积为36πcm2，求轴截面的面积．

第37页

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3．在长方体ABCD--A1B1C1Dl中，如果AA1=1，AB=BC=2，求A1C的长．

五．作业

1．若圆台的上、下底面面积分别为16π，36π经过高线的中点画平行于底面的截面，求这个截面的面积。（www.61k.com）

2．圆锥的母线长是3cm，轴截面的顶角是45°，用于平行于圆锥底面的截面截圆锥，截面过高线的三等分点，求截面圆的面积．

3．下列各图是由全等的正方形组成的图形，能围成一个立方体的图形是( )

4.．一个正方体的六个面上分别标有2、3、4、5、6、7中的一个数字；如图所示，表示这个正方体的三种不同的放置方法，则这三种放置方法中，三个正方体下底面上所标数字之和是( )

5．观察图中的正方体，AC为上底的对角线，A'C'、B'D'，为下底的对角线．AC与A'C'相互______;且C与B'D'相互_________.(填人下面的标即可)

(1) 平行；(2)相交但不垂直；

(3)垂直但不相交；(4)垂直相交．

六、课堂小结：

七、板书：

八、课堂作业：全品作业

九、教学反思：

第38页

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第34讲 圆柱圆锥圆台侧面积计算

一．教学目标：

会计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积．

二．教学重难点：

会计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积．

三．基础回顾

1．用一张边长为3лcm和4лcm的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的母线长是________.

22．若圆柱的母线长为10cm，侧面积为60cm，则圆柱的底面半径为( )．

(A)3cm (B)6cm (C)9cm (D)12cm

3．圆锥的母线与底面直径都等于8cm，则圆锥的侧面积是_______.

4．已知圆锥底面半径为r，若它的侧面积是底面积的1，5倍，则母线长_______.，展开后扇形的圆心角=_______.

5．巳知圆台的轴截面梯形的腰与下底的夹角为60°，高线长为4，中位线长为5，则圆台的侧面积是_______

四．教学过程：

1、以全品为主线教学

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第35课 统计初步

知识点：

总体、个体、样本、样本容量、平均数、方差、标准差、方差的简化公式、

频率分布、频率分布直方图

教学目标：

1． 了解总体、个体、样本、样本容量等概念；

2． 了解样本方差、总体方差、样本标准差的意义，理解加权平均数的概念，掌握它的计算公式，会计

算样本方差和样本标准差，理解频数、频率的概念，掌握整理数据的步骤和方法，会列出样本频率分布表，画出频率分布直方图。[www.61k.com）

考查重难点：

1． 通过具体问题考查总体、个体、样本、样本容量的概念，有关试题常出现在选择题中，如：

为了了解某地区初一年级7000名学生的体重情况，从中抽取了500名学生的体重，就这个问题来说，下面说法中正确的是（ ）

（A）7000名学生是总体 （B）每个学生是个体

（C）500名学生是所抽取的一个样本 （D）样本容量是500

第39页

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2． 考查平均数的求法，有关习题常出现在填空题或选择题中，如： （1） 已知一组数据为3，12，4，x，9，5，6，7，8的平均数为7，则x＝ （2）某校篮球代表队中，5名队员的身高如下（单位：厘米）：185，178，

184，183，180，则这些队员的平均身高为（ ）

（A）183 （B）182 （C）181 （D）180

3． 考查样本方差、标准差的计算，有关试题常出现在选择题或填空题中，如：

（1）数据90，91，92，93的标准差是（ ）

55（A2 （B） （C）（D） 442

2（2）甲、乙两人各射靶5次，已知甲所中环数是8、7、9、7、9，乙所中的环数的平均数x＝8，方差

S2

乙＝0.4 ）

（A）甲的射击成绩较稳定 （B）乙的射击成绩较稳定

（C）甲、乙的射击成绩同样稳定 （D）甲、乙的射击成绩无法比较

4． 考查频率、频数的求法，有关试题常出现在选择题中，如：

第十中学教研组有25名教师，将他的年龄分成3组，在38～45岁组内有8名教师，那么这个小组的频数是（ ）

（A）0.12 （B）0.38 （C）0.32 （D）3.12

预习练习：

1． 一各样本中，数据15和13各有4个，数据14有2个，求这个样本的

平均数、方差和标准差（标准差保留两个有效数据）

教学过程：

1、以全品为主线教学

2、教学实例：全品示例

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

第36课 概率

知识点：

必然事件、不可能事件、随机事件、概率、等可能性事件、树图、生命表

意义、期望值

教学目标：

了解学习概率的意义，理解随机事件、不可能事件、必然事件，理解并学

会概率的定义及其统计算法和等可能性事件的概率及其计算方法，了解并

初步学会概率的简单应用。（www.61k.com]

第40页

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考查重难点：

考查必然事件、不可能事件的概率，等可能性事件的概率及其计算，概率

的简单应用（生命表、中奖率、期望值），如：

（1） 有左、右两个抽屉，左边抽屉有2个红球，右边抽屉有1个红球和2个白球，从中任取一球是红

球的概率是

（2） 连续二次抛掷一枚硬币，二次正面朝上的概率是（ ）

113 （A）1 （B）（C）（D）244

预习练习：

1． 指出下列事件是必然事件，还是随机事件，还是不可能事件？

（1） 5张卡片上各写2，4，6，8，10中的一个数，从中任取一张是偶数；

（2） 从（1）题的5张中任取一张是奇数；

（3） 从（1）题的5张卡片中任取一张是3的倍数.

2． 下列事件中哪些是等可能性事件，哪些不是？

（1） 某运动员射击一次中靶心与不中靶心；

（2） 随意抛掷一枚硬币背面向上与正面向上；

（3） 随意抛掷一只纸可乐杯杯口朝上，或杯底朝上，或横卧；

（4） 从分别写有1，3，5，7，9中的一个数的五张卡片中任抽1张结果是1，或3，或5，或7，或9.

3． 从装有5个红球和3个白球的袋中任取4个，那么取道的“至少有1个

是红球”与“没有红球”的概率分别为 与

4． 某产品出现次品的概率0.05，任意抽取这种产品800件，那么大约有 件是次品

5． 设有甲、乙两把不相同的锁，甲锁配有2把钥匙，乙锁配有1把钥匙，设事件A为“从这3把钥匙

中任选2把，打开甲、乙两把锁”，则P（A）＝

6．甲、乙、丙三人随意排成一列拍照，甲恰好排在中间的概率（ ）

214（A）（B） （C） （D）以上都不对 939

7．从1,2,3,4,5的5个数中任取2个，它们的和是偶数的概率是（ ）

112（A）（B）（C）（D）以上都不对 1055

2、教学实例：全品示例

3、课堂练习：全品作业

4、课堂小结：

5、板书：

6、课堂作业：全品作业

7、教学反思：

华东师大初中数学

第41页

初中数学总复习 初中数学总复习教案

总 复 习 教 案 2010年3月用

第42页

四 : 初中数学中考总复习教案

2008年中考总复习

（初中数学）

衢江区峡川镇中心学校 胡荣进

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目 录

第一章 实数与代数式

1.1 有理数 ???????????????????????????????? 4

1.2 实数 ????????????????????????????????? 6

1.3 整式 ????????????????????????????????? 8

1.4 因式分解??????????????????????????????? 10

1.5 分式????????????????????????????????? 12

1.6 二次根式??????????????????????????????? 14 ● 单元综合评价 ????????????????????????????? 16

第二章 方程与不等式

2.1 一次方程（组）?????????????????????????????20

2.2 分式方程 ???????????????????????????????23

2.3 一元二次方程 ?????????????????????????????25

2.4 一元一次不等式（组） ?????????????????????????28

2.5 方程与不等式的应用 ??????????????????????????30 ● 单元综合评价??????????????????????????????33

第三章 函数

3.1 平面直角坐标系与函数 ?????????????????????????37

3.2 一次函数 ???????????????????????????????39

3.3 反比例函数 ??????????????????????????????

3.4 二次函数 ???????????????????????????????

3.5 函数的综合应用 ???????????????????????????? ● 单元综合评价??????????????????????????????

第四章 图形的认识

4.1 简单空间图形的认识 ??????????????????????????

4.2 线段、角、相交线与平行线 ???????????????????????

4.3 三角形及全等三角形 ??????????????????????????

4.4 等腰三角形与直角三角形 ????????????????????????

4.5 平行四边形 ??????????????????????????????

4.6 矩形、菱形、正方形 ??????????????????????????

2008年初中数学中考总复习教案 第 2 页

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4.7 梯形 ????????????????????????????????? ● 单元综合评价??????????????????????????????

第五章 圆

5.1 圆的有关性质 ?????????????????????????????

5.2 与圆有关的位置关系 ??????????????????????????

5.3 圆中的有关计算 ????????????????????????????

5.4 几何作图 ??????????????????????????????? ● 单元综合评价??????????????????????????????

第六章 图形的变换

6.1 图形的轴对称 ?????????????????????????????

6.2 图形的平移与旋转 ???????????????????????????

6.3 图形的相似 ??????????????????????????????

6.4 图形与坐标 ??????????????????????????????

6.5 锐角三角函数 ?????????????????????????????

6.6 锐角三角函数的应用 ?????????????????????????? ● 单元综合评价??????????????????????????????

第七章 统计与概率

7.1 数据的收集、整理与描述 ????????????????????????

7.2 数据的分析 ??????????????????????????????

7.3 概率 ????????????????????????????????? ● 单元综合评价??????????????????????????????

第八章 拓展性专题

8.1 数感与符号感 ?????????????????????????????

8.2 空间观念 ???????????????????????????????

8.3 统计观念 ???????????????????????????????

8.4 应用性问题 ??????????????????????????????

8.5 推理与说理 ??????????????????????????????

8.6 分类讨论问题 ?????????????????????????????

8.7 方案设计问题 ?????????????????????????????

8.8 探索性问题 ??????????????????????????????

8.9 阅读理解问题 ?????????????????????????????

2008年初中数学中考总复习教案 第 3 页

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1.1 有理数

【教学目标】

1.理解有理数的有关概念，能用数轴上的点表示有理数，会求倒数、相反数、绝对值.

2.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算，会比较两个有理数的大小.

3.理解近似数和有效数字的概念，会将一个数表示成科学记数法的形式.

4.能运用有理数的运算解决简单的实际问题，会探索有规律性的计算问题.

【重点难点】

重点：有理数的加、减、乘、除、乘方运算及简单的混合运算.

难点：对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断.

【考点例解】

例1 （1）-5的绝对值是（ ） A. -5 B. 5 C. 1

5 D. ?1

5

（2）2007年3月5日，温总理在《政府工作报告》中，讲述了六大民生新亮点，其

中之一就是全部免除了西部地区和部分中部地区农村义务教育阶段约52000000

名学生的学杂费. 这个数据保留两个有效数字用科学记数法表示为（ ）

A. 52?107 B. 5.2?107 C. 5.2?108 D. 52?108

（3）2008年2月4日，我国遭受特大雪灾，部分城市的平均气温情况如下表（记温

度零上为正，单位：℃），则其中当天平均气温最低的城市是（ ）

A. 广州 B. 福州 C. 北京 D. 哈尔滨 分析：本题主要是考查学生对有理数相关概念的理解. 第（1）小题考查绝对值的意义；第

（2）小题考查科学记数法；第（3）小题考查有理数的大小比较.

解答：（1）B； （2）B； （3）D.

例2 计算：1?(?1)?3?(?). 33212

分析：本题主要是考查有理数的乘方运算及有理数混合运算的顺序.

解答：原式?1?(?1)?9?1

9?1?1

81?80

81.

例3 观察表①，寻找规律，表②、表③、表④分别是从表①中截取的一部分，其中a、b、

c的值分别是（ ）

2008年初中数学中考总复习教案 第 4 页

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表③ 表① 表② 表④

A. 20，29，30 B. 18，30，26 C. 18，20，26 D. 18，30，28 分析：本题主要考查有理数运算的简单应用. 表①中第一行中的数均为连续的自然数，而下

面各行依次是第一行的2倍、3倍、4倍、…；表①中第一列中的数均为连续的自然数，依次从左往右各列的最大公约数分别是2、3、4、….

解答：D.

【考题选粹】

1.（2007·宜宾）数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2?b?1.如把（3，-2）放入其中，会得到32?(?2)?1?8. 现将实数对（-2，3）放入其中得到实数m，再将实数对（m，1）放入其中得到的数是 .

2.（2007·玉溪）小颖中午回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜3分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜3分钟. 以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序，则小颖要将面条煮好，最少用 分钟.

【自我检测】

见《数学中考复习一课一练》.

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1.2 实数

【教学目标】

1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会求非负数的算术平方根和实数的立方根.

2.了解无理数与实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系，能用有理数估计一个无理数的大致范围.

3.会用算术平方根的性质进行实数的简单四则运算，会用计算器进行近似计算.

【重点难点】

重点：用算术平方根的性质进行实数的简单四则运算.

难点：实数的分类及无理数的值的近似估计.

【考点例解】

例1 （1）下列实数：22

7，sin60?，?

3，0，3.14159

，

(

?2中，

无理数有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

（2）下列语句：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有

理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数. 其中正确的是（ ）

A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.②④ 分析：本题主要是考查学生对无理数与实数概念的理解.

解答：（1）C； （2）C.

例2

计算：?1????1???1??sin30????2008???2?0?2?分析：本题主要是考查零指数幂、负指数幂及算术平方根的化简与运算.

解答：

原式?

1?1??1

2?4???1?1?2???.

例3 我国《劳动法》对劳动者的加班工资作出了明确规定：春节长假期间，前3天是法定

休假日，用人单位应按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的300%支付加班工资;后4天是休息日，用人单位应首先安排劳动者补休，不能安排补休的，按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的200%支付加班工资. 小王由于工作需要，今年春节的初一、初二、初三共加班三天（春节长假从十二月卅日开始）. 如果小王的月平均工资为2800元，那么小王加班三天的加班工资应不低于 元.

2008年初中数学中考总复习教案 第 6 页

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数学教师之家（浙教版） http://blog.cersp.com/userlog24/168151 分析：本题主要考查学生灵活应用实数运算的相关知识解决实际问题的能力.要注意的是今

年的法定假期共有11天，因此日工资标准的计算方法是：2800?21.75.

解答：2800?21.75??2?300%?1?200%??1030（元）.

【考题选粹】

1.（2007·内江）若a，b均为整数，

且当x?1时，代数式x2?ax?b的值为0，则ab的算术平方根为 .

2.（2007

?

?1?3?2?2?tan45?.

3.（2007·重庆）将正整数按如右图所示的规律排列

下去. 若用有序实数对（n，m）表示第n排、

从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则

（7，2）表示的实数是 .

【自我检测】

见《数学中考复习一课一练》.

2008年初中数学中考总复习教案 1 ??????? 第一排 2 3 ?????? 第二排 4 5 6 ????? 第三排 7 8 9 10 ??? 第四排 ?????????????? 第 7 页

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1.3 整式

【教学目标】

1.了解整式的有关概念，理解去括号法则，能熟练进行整式的加减运算.

2.掌握正整数指数幂的运算性质，能在运算中灵活运用各种性质.

3.会进行简单的整式乘法运算和简单的多项式除法运算，了解两个乘法公式及其几何背景，能运用乘法公式进行简便.

4.会通过对问题的分析列出代数式，能熟练进行整式的化简与求值.

【重点难点】

重点：列代数式表示数量关系，整式的化简与求值.

难点：乘法公式的灵活运用.

【考点例解】

例1 （1）已知整式1

2xa?1y与?3x3?by2a?b是同类项，那么a，b的值分别是（ ）

A. 2，-1 B. 2，1 C. -2，-1 D. -2，1

（2）下列运算中正确的是（ ）

A.x3?x5?x8 B.?x3??x9 C.x4?x3?x7 D.?x?3??x2?9 22

（3）如果xm?5，xn?25，那么代数式x5m?2n的值是 .

分析：本题主要是考查同类项的概念和整式的加法、乘法和正整数指数幂的运算. 解答：（1）A； （2）C； （3）5.

例2 （1）王老板以每枝a元的单价买进玫瑰花100枝. 现以每枝比进价多两成的价格卖

出70枝后，再以每枝比进价低b元的价格将余下的30枝玫瑰花全部卖出，则

王老板的全部玫瑰花共卖了 元（用含a，b的代数式表示）.

（2）如图3-1所示，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律

拼成一列图案：

①第4个图案中有白色纸片 张；②第n个图案中有白色纸片 张.

2008年初中数学中考总复习教案 第 8 页

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数学教师之家（浙教版） http://blog.cersp.com/userlog24/168151 分析：本题主要考查列代数式表示数量关系，第（1）题的关键是弄清前70枝玫瑰花的单价

和后30枝的单价分别是多少；第（2）题的关键是要发现图案中的规律：第一个图形有4张白色纸片，以后每个图形都比前一个图形多3张白色纸片.

解答：（1）70?1?20%?a?30?a?b??114a?30b.

（2）①13； ②3n?1.

例3 先化简，再求值：?3x?2??3x?2??5x?x?1???2x?1?，其中x??21

3.

分析：本题主要考查乘法公式的灵活应用及整式的化简求值.解答这一类题目时，一般应先

将整式化简，然后再将字母的值代入计算.

解答：原式?9x2?4?5x2?5x?4x2?4x?1?9x?5.

1

3 当x??【考题选粹】 时，原式?9?????1???5??8. 3?

1.（2006·济宁）??8?2006???8?2005能被下列数整除的是( )

A. 3 B. 5 C. 7 D. 9

2.（2007·淄博）根据以下10个乘积，回答问题：11?29；12?28；13?27；14?26；

15?25；16?24；17?23；18?22；19?21；20?20.

（1）试将以上各乘积分别写成一个“□－○”（两数平方差）的形式，并写出其中一个

的思考过程；

（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；

（3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论（不要求证明）.

【自我检测】

见《数学中考复习一课一练》.

22

2008年初中数学中考总复习教案 第 9 页

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1.4 因式分解

【教学目标】

1.理解因式分解的概念，了解因式分解与整式乘法之间的关系.

2.掌握因式分解的一般思考顺序，会运用提公因式法和公式法进行因式分解，会利用因式分解解决一些简单的实际问题.

【重点难点】

重点：运用提公因式法和公式法进行因式分解.

难点：利用因式分解解决一些简单的实际问题.

【考点例解】

例1 （1）在一次数学课堂练习中，小聪做了以下4道因式分解题，你认为小聪做得不够完

整的一道题是（ ）

A.x3?x?x?x2?1? B.x?2xy?y??x?y? 222

C.xy?xy?xy?x?y? D.x?y??x?y??x?y?. 2222

（2）因式分解?x?1??9的结果是（ ）

A.?x?8??x?1? B.?x?2??x?4?

C.?x?2??x?4? D.?x?10??x?8?.

分析：本题主要是考查因式分解的概念和因式分解一般思考顺序，强调因式分解一定要分解

到结果中的每个因式都不能再分解为止.

解答：（1）A； （2）B.

例2 利用因式分解说明：25?5能被120整除.

分析：要说明25?5能被120整除，关键是通过因式分解得到25?5含有因数120，可

将25?5化为同底数形式，然后利用提公因式法分解因数.

解答：∵ 257?512?514?512?512?52?1??512?24?511?120，

∴ 25?5能被120整除.

例3 在日常生活中经常需要密码，如到银行取款、上网等. 有种用“因式分解”法产生的7127127127127122

2008年初中数学中考总复习教案 第 10 页

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密码方便记忆，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是?x?y??x?y??x2?y2?，若取x?9，y?9，则各因式的值分别是：x?y?0，x?y?18，x2?y2?162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码. 同理，对于多项式4a3?ab2，若取a?10，b?10，则产生的密码是： （写出一个即可）.

分析：本题是因式分解的知识在实际生活中的简单应用. 解答时只需要先对多项式进行因式

分解，再求各因式的值就可以了.

解答：4a3?ab2?a?4a2?b2??a?2a?b??2a?b?，当a?10，b?10时，各因式的值

分别是：a?10，2a?b?10，2a?b?30，所以密码可以为101030（也可以为103010或301010）.

【考题选粹】

1.（2006·南通）已知A?a?2，B?a2?a?5，C?a2?5a?19，其中a?2.

（1）求证：B?A?0，并指出A与B的大小关系；

（2）指出A与C的大小关系，并说明理由.

2.（2007·临安）已知a、b、c是?ABC的三边，且满足a4?b2c2?b4?a2c2，判断?ABC的形状. 阅读下面的解题过程：

解：由 a4?b2c2?b4?a2c2 得 a4?b4?a2c2?b2c2， ①

即 ?a2?b2??a2?b2??c2?a2?b2?， ②

∴ a?b?c， ③

∴ ?ABC是直角三角形. ④

试问：以上解题过程是否正确？ . 若不正确，请指出错在哪一步？（填代

号） ；错误原因是 ；本题的正确结论应该是 .

【自我检测】

见《数学中考复习一课一练》.

2008年初中数学中考总复习教案 第 11 页 222

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1.5 分式

【教学目标】

1.了解分式概念，会求分式有意义、无意义和分式值为0时，分式中所含字母的条件.

2.掌握分式的基本性质和分式的变号法则，能熟练地进行分式的通分和约分.

3.掌握分式的加、减、乘、除四则运算，能灵活地运用分式的四则运算法则进行分式的化简和求值.

【重点难点】

重点：分式的基本性质和分式的化简.

难点：分式的化简和通过分式的运算解决简单的实际问题.

【考点例解】

例1 （1）在函数y?x

2x?3中，自变量x的取值范围是（ ）

3

2 A.x?0 B.x??2 C.x?32 且x?0 D.x?0且x?32. （2

的值为零，则x的值为 .

（3）下列分式的变形中，正确的是（ ） a?1

b?1a?1b?1 A.? B.?x?y

?x?y?x?y

x?y C.?x?y?

x?y222?x?yx?y D.2x?y

2x?y?x?y

x?y

分析：本题主要考查分式的概念与分式的基本性质. 在分式中，要使分式有意义，分式的分

母要不为零；要使分式值为0，则要求分子的值为0且分式有意义.

解答：（1）B； （2

）x?

例2 先化简：?1???1 （3）C. x?，再选择一个恰当的x的值代入求值. ??2x?1?x?1

分析：本题主要考查分式的化简和分式有意义的条件. 在分式化简中，经常可以把分式的除

法改为乘法，再利用“分解约分”法进行化简. 在本题中的x不能取0和±1.

解答：原式?x

x?1??x?1??x?1?

x

n

m?x?1，当x?2时，原式＝3. ?n?0?，如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大例3 （1）已知一个正分数?m

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n

m减小？请证明你的结论；（2）若正分数?m3，?，?n?0?中分子和分母同时增加2，

k（整数k＞0），情况如何？（3）请你用上面的结论解释下面的问题：建筑学规定，民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好. 问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由.

分析：本题考查了分式的大小比较，并要求利用有关知识解决实际问题. 解题的关键是理解

题意，得到正确的结论.

解答：（1）正分数n

m?m ?n?0?中，若分子、分母同时增加1，分数的值增大，证明如下：

∵ m?n?0， ∴ m?n?0，m?m?1??0

n?1

m?1nmm?nm?m?1?n?1m?1nm∴ ???0， 即 ?.

（2）正分数n

m?m?n?0?中分子和分母同时增加2，3，…，k（整数k＞0）时，

分式的值也增大. （3）住宅的采光条件变好，理由略.

【考题选粹】

1.（2007·东营）小明在考试时看到一道这样的题目：“先化简??a?1????1????，2a?1??a?1?2?a?1

再求值.”小明代入某个数后求得值为3. 你能确定小明代入的是哪一个数吗?你认为他代入的这个数合适吗?为什么?

2.（2007·嘉兴）解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题. 例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”等等.

（1）设A?3x

x?2?x

x?2，B?x?4

x2，求A与B的值；

（2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题.

【自我检测】

见《数学中考复习一课一练》.

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1.6 二次根式

【教学目标】

1.了解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件.

2.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会对简单的二次根式进行化简，会用二次根式的运算法则进行实数的简单四则运算.

【重点难点】

重点：二次根式的化简和用二次根式的运算法则进行实数的简单四则运算.

难点：二次根式的化简.

【考点例解】

例1 （1）若代数式x?2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）

A.x?2 B.x?2 C.x?2 D.x?2.

（2）若x为实数，则下列各式中一定有意义的是（ ） 2 A.2?x B.x?1 C.1

x2 D.x?2 2

分析：本题主要考查二次根式的概念，即在二次根式中，被开方数必须是非负数. 解答：（1）B； （2）B.

?例2 （1）计算：???75?313??48?. ??

（2）比较大小：

?2.

分析：本题主要考查二次根式性质的灵活应用和二次根式的混合运算. 第（1）题中，可先

利用二次根式的性质进行化简，然后利用实数的运算法则进行计算；第（2）题要先逆用性质：a2?a?a?0?，再进行两个数的大小比较.

解答：（1）原式?2353??3?43?23?23?12. ?

（2）∵ ?37??63，?2??60，且63?

∴ ?37??2.

例3 已知?ABC的三边a，b，c满足a?b?260， c?1?2?10a?2b?4?22，则

2008年初中数学中考总复习教案 第 14 页

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?ABC为（ ）.

A. 等腰三角形 B. 正三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 分析：本题考查了二次根式的非负性，即：在二次根式a中，a?0且a?0. 解答：将原式变形，得 ?a2?10a?25???

即 ?a?5??2???b?4?2?2b?4?1????c?1?2?0. b?4?1?2?c?1?2?0.

∴ a?5?0，b?4?1?0，c?1?2?0.

∴ a?b?c?5. ∴ ?ABC为等边三角形，故选B.

【考题选粹】

1.（2006·南充）已知a?0，那么化简a2?2a的正确结果是（ ）

A.?a B.a C.?3a D.3a

2.（2007·烟台）观察下列各式：

1?1

3?21

3，2?1

4?31

4，3?1

5?41

5，?，请将你发现的规律用含自然

数n?n?1?的等式表示出来： .

【自我检测】

见《数学中考复习一课一练》.

2008年初中数学中考总复习教案 第 15 页

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第一单元综合测试（数与式）

班级 学号 姓名 得分 .

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）

1. 如果水库的水位高于标准水位3m时，记作+3m，那么低于标准水位2m时，应记作（ ）

A. -2m B. -1m C. +1m D. +2m

2. 2007年我国某省国税系统完成税收收入为3.45065×1011元，也就是收入了（ ）

A. 345.065亿元 B. 3450.65亿元 C. 34506.5亿元 D. 345065亿元

3. 若整式x2?2?m?3?x?16是一个完全平方式，那么m的值是（ ）

A. -5 B. 7 C. -1 D. 7或 -1

4. 估计的大小应在( )

A. 9.1～9.2之间 B. 9.2～9.3之间 C. 9.3～9.4之间 D. 9.4～9.5

5. 如图1，点A，B在数轴上对应的实数分别是m，n，那么A，B两点间的距离是（ ）

A.m?n B.m?n

C.n?m D.?n?m

6. 下列运算中，错误的是（ ） A.a

b?ac

bcm

0 n ?c?0? B.?a?b

a?b??1 C.0.5a?b

0.2a?0.3b?5a?10b

2a?3b D.x?y

x?y?y?x

y?x

7. 某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，?，按此规律，5小时后细胞存活的个数是（ ）

A. 31个 B. 33个 C.35个 D.37个

28. 如果代数式3x?4x?6的值为9，则代数式x?24

3x?6的值为（ ）

A. 7 B. 9 C. 12 D. 18

9. 如图2，图中阴影部分的面积是（ ）

A.5xy B.9xy C.8.5xy D.7.5xy

10.已知m，n是两个连续自然数（m＜n），且q?mn，设

p?p的值是（ ） y A.奇数 B.偶数 C.奇数或偶数 D.有理数或无理数

2008年初中数学中考总复习教案 第 16 页

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二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11.写出一个小于2的无理数： .

12.列代数式表示：“数a的2倍与10的和的二分之一”应为 .

13.已知x?y?7，且xy?12，则当x?y时，代数式1

x?1

y的值为14.一个矩形的面积是?x2?9?米2，它的一条边为?x?3?米，那么它的另一边为 米.

215.数学家发现一个魔术盒，当任意实数对进入时，会得到一个新的实数：a,ba?b?1.??．．．

例如把（3，-2）放入其中后，就会得到32+（-2）+1=8. 现将实数对（-2，3）放入其中．．．

得到实数m，再将实数对．．．?m,1?放入其中后，得到的实数是 .

16.如果2007个整数a1,a2,?,a2007满足下列条件：a1?0,a2??a1?2，

a3??a2?2，?，a2007??a2006?2，则a1?a2?a3???a2007?三、解答题（本题有7小题，共80分）

17.（10

?2sin45?2

18.（10分）然后选择一个使原式有意义的a，?2?1，2a?2ba?4ab?4b

b值代入求值. ??1??3.14???. 0a?ba?b22

19.（10分）观察下面一列数，探求其中的规律：

?1，1

2，?1

3，1

4，?1

5，1

6， ， ， ，?

（1）请在上面的横线上填出第7，8，9个数；

（2）第2008个数是什么？第n个数是什么？如果这一列数无限地排列下去，那么与哪

个数越来越接近？

2008年初中数学中考总复习教案 第 17 页

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20.（10分）分解因式：

（1）x4?y4 （2）4xy2?8xy?4x

21.（12分）2007年4月18日是全国铁路第六次大提速的第一天. 这一天，小明爸爸因要出差，于是他到火车站查询列车的开行时间，下表是他从火车站带回家的最新时刻表：

2007年4月18日起××次列车时刻表

小明爸爸找出了以前同一车次的时刻表如下：

2006年3月20日××次列车时刻表

比较了两张时刻表后，小明爸爸提出了下面两个问题，请你帮小明解答：

（1）现在该次列车的运行时间比以前缩短了多少小时？

（2）如果该次列车提速后的平均时速为200千米/小时，那么该次列车原来的平均时速

为多少？（结果精确到个位）

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22.（14分）下面的图(1)是由边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形.把图(1)剪开后,再拼成一个四边形,可以用来验证公式：a2?b2?(a?b)(a?b).

（1）请你通过对图(1)的剪拼,画出三种不同拼法的示意图.

要求：①拼成的图形是四边形；

②在图(1)上画出剪裁线(用虚线表示)；

③在拼出的图形上标出已知的边长.

（2）选择其中的一种拼法写出验证上述公式的过程.

222223.（14分）设a1?3?1，a2?5?3,?,an??2n?1???2n?1?（n≥ 0的自然数）. a b 图(1) b 22

（1）探究：an是8的倍数吗？请说明理由，并用文字语言表述你所获得的结论；

（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出a1，

a2，?，an，?，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并求：当n满

足什么条件时，an为完全平方数？

2008年初中数学中考总复习教案 第 19 页

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2.1 一次方程（组）

【教学目标】

1.理解方程、方程组，以及方程和方程组的解的概念.

2.掌握解一元一次方程和二元一次方程组的一般步骤与方法，体会“消元”的数学思想，会求二元一次方程的正整数解.

3.能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次方程或二元一次方程组来解决简单的实际问题，并能检验解的合理性.

【重点难点】

重点：解一元一次方程和二元一次方程组的一般步骤与方法.

难点：根据实际问题中的数量关系，列出一元一次方程或二元一次方程组.

【考点例解】

例1 （1）若关于x的一元一次方程

A. 272x?k3?x?3k2?1的解是x??1，则k的值是（ ） 1317 B. 1 C.?

?x?ay?3

?3x?by?4 D. 0. （2）若二元一次方程组?的解为??x?2

?y?1，则a?b的值为（ ）

A. 1 B. 3 C. -1 D. -3

分析：本题主要考查方程和方程组的概念，以及一元一次方程和二元一次方程组的解法. 解答：（1）B； （2）C.

例2 已知方程组??2a?3b?13

?3a?5b?30.9的解是??a?8.3

?b?1.2，则方程组??2?x?2??3?y?1??13

?3?x?2??5?y?1??30.9的

解是 .

分析：本题主要考查一元一次方程或二元一次方程组的解法和整体代换的思想. 在解答时，

既可以直接求方程组的解，也可以利用整体思想，分别把x?2和y?1“看作”a和b，通过解一元一次方程来解决.

解答：??x?6.3

?y?2.2.

例3 陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向总务处王老师交帐时说：“我买了两种

书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还剩余418元.?”

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王老师算了一下说：“你肯定搞错了”.

（1）王老师为什么说陈老师搞错了呢？请你用方程的知识给予解释.

（2）陈老师连忙拿出购物发票进行核对，发现自己的确是弄错了，因为他还买了一个

笔记本. 但笔记本的单价已经模糊不清了，只能辨认出应该是小于10元的整数. 问：笔记本的单价可能是多少元？

分析：本题考查了列一元一次方程解应用题. 列方程（组）解应用题的一般步骤是：审题、

设元、列方程、解方程、检验和作答. 在检验时，不仅要检验所求得的结果是否是所列方程的解，而且还要检验方程的解是否符合实际问题.

解答：（1）设单价为8元的书买了x本，则单价为12元的书买了?105?x?本.由题意得 8x?12?105?x??1500?418.

解这个方程，得 x?44.5.

因为书的本数一定是正整数，所以x?44.5（本）不合题意，因此陈老师错了.

（2）设笔记本的单价为y元，则由题意得

8x?12?105?x??1500?418?y.

解这个关于y的方程，得 y?4x?178.

∵ 0?y?10， ∴ 0?4x?178?10， 解得

又∵ x为正整数， ∴x可以取45、46.

当x?45时，y?4x?178?4?45?178?2（元）；

当x?46时，y?4x?178?4?46?178?6（元）.

答：笔记本的单价可能是2元或6元.

例4 新星学校的一间阶梯教室内，第1排的座位数为a，从第2排开始，每一排都比前一

排增加b个座位.

（1）请你在下表的空格内填写一个适当的代数式：

1784?x?1884.

（2）已知第4排有18个座位，第15排的座位数是第5排的座位数的2倍，则第21

排有多少个座位？

2008年初中数学中考总复习教案 第 21 页

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数学教师之家（浙教版） http://blog.cersp.com/userlog24/168151 分析：本题考查了列二元一次方程组解应用题. 解答本题的关键是会从表中数据的变化中寻

找出一定的规律，再利用规律求出a和b的值.

解答：（1）a?3b.

??a?12?a?3b?18 （2）根据题意，得 ?，解得 ?. b?2a?14b?2a?4b?????

∴ 12?20?2?52.

答：第21排有52个座位.

【考题选粹】

1.（2007·济宁）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后立即下山，在山脚和山顶之间不断往返运动，已知山坡长为360m，甲、乙两人上山的速度比是6:4，并且甲、乙两人下山的速度都是各自上山速度的1.5倍，当甲第三次到达山顶时，则此时乙所在的位置是 .

2.（2007·北京）某地区为了改善生态环境，增加农民收入，自2004年起就鼓励农民在荒山上广泛种植某种果树，并且出台了一项激励措施：即在开荒种树的过程中，每一年新增果树达到100棵的农户，当年都可得到生活补贴1200元，且每超出一棵，政府还给予每棵a元的奖励. 另外，种植的果树，从下一年起，每年每棵平均将有b元的果实收入. 下表是某农户在头两年通过开荒种树每年获得的总收入情况：

（注：年总收入＝生活补贴费＋政府奖励费＋果实收入）

【自我检测】

见《数学中考复习一课一练》.

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2.2 分式方程

【教学目标】

1.了解分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示出来.

2.会解可化为一元一次方程（或一元二次方程）的分式方程，体验转化的数学思想；了解增根的概念，会进行分式方程的验根.

3.能根据实际问题中的数量关系，列出分式方程来解决简单的实际问题，并能检验解的合理性.

【重点难点】

重点：解可化为一元一次方程（或一元二次方程）的分式方程的一般步骤与方法. 难点：根据实际问题中的数量关系，列出分式方程，并检验解的合理性.

【考点例解】

例1 如果关于x的分式方程1

x?3?1?a

x?3无解，那么a的值是（ ）

A. 1 B. -1 C. 3 D. -3.

分析：本题主要考查分式方程的增根概念. 需要注意的是：分式方程的增根应该满足变形后

的整式方程，但不满足原分式方程.

解答：A.

例2 解分式方程：x

x?2?1?1

x?42.

分析：本题主要考查分式方程的解法. 在解答时，应按照解分式方程的一般步骤进行，并注

意验根.

解答：去分母，得 x?x?2???x?2??x?2??1

去括号，得 x?2x?x?4?1

移项，合并同类项，得 2x??3

方程两边同时除以2，得 x??

经检验，x??3

23222 是原方程的解.

例3 某公司投资某个项目，现有甲、乙两个工程队有能力承包这个项目. 公司经调查发现：

乙工程队单独完成工程所需的时间是甲工程队单独完成工程所需时间的2倍，；甲、乙两队合作完成工程需要20天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费

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用为550元. 根据以上信息，从节约资金的角度考虑，该公司应选择哪个工程队来承包这个项目？公司应付出的费用为多少元？

分析：本题考查了列分式方程解应用题. 解答本题的关键是根据题意求出甲、乙两队单独完

成工程所需的时间，进而求出各自的总费用.

解答：设甲队单独完成工程需要x天，则乙队单独完成工程需要2x天. 根据题意，得 20??1

?x?1???1 解得 x?30 2x?

经检验，x?30是原方程的解，且x?30和2x?60都符合题意.

∴ 应付甲工程队的费用为：30?1000?30000（元），

应付乙工程队的费用为：30?2?550?33000（元）.

∵ 30000?33000， ∴ 该公司应选择甲工程队，需付出的总费用为30000元. 答：该公司应选择甲工程队，需付出的总费用为30000元.

【考题选粹】

1.（2007·青岛）某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400米的道路. 为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务. 若设原计划每小时修路x米，则根据题意可得方程 .

2.（2007·怀化）解方程：

【自我检测】

见《数学中考复习一课一练》.

5x?2x?x2?3x?1.

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2.3 一元二次方程

【教学目标】

1.理解一元二次方程的概念和一般形式，能把一个一元二次方程化为一般形式.

2.理解配方法，会用因式分解法、直接开平方法和公式法解简单的一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式.

3.能用一元二次方程解决实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.

【重点难点】

重点：用因式分解法、直接开平方法和公式法解简单的一元二次方程.

难点：配方法，列一元二次方程解决实际问题，并检验解的合理性.

【考点例解】

例1 （1）下列方程中，肯定是一元二次方程的是（ ）

A.?ax2?bx?c?0 B.3x2?2x?1?mx2 C.x?1

x?1 D.a?1x?2x?3?0 ?2?2

（2）已知x?1是一元二次方程x2?2mx?1?0的一个解，则m的值是（ ）

A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或-1.

（3）一元二次方程x2?2x?1?0的根的情况是（ ）

A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根 D.没有实数根

分析：本题主要考查一元二次方程的有关概念和性质，其中第（1）小题考查一元二次方程

的概念，第（2）小题考查一元二次方程的解的意义，第（3）小题考查一元二次方程的根的判别式. 在一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?中，当b?4ac?0时，方22

程有两个不相等的实数根；当b?4ac?0时，方程有两个相等的实数根；当b?4ac?0时，方程没有实数根. 22

解答：（1）D； （2）A； （3）A.

例2 解下列方程：

（1）x?3?3?x?1?； （2）2x?2x?1?0. 22

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数学教师之家（浙教版） http://blog.cersp.com/userlog24/168151 分析：本题主要考查一元二次方程的解法，其中第（1）小题可选用因式分解法，第（2）小

题应该选用公式法.

解答：（1）原方程可化为： x2?3x?0

将方程左边因式分解，得 x?x?3??0

∴ x?0 或 x?3?0

由 x?3?0得 x?3

∴ 原方程的解是x1?0，x2?3.

（2）这里 a?2，b?2，c??1

∴ b2?4ac?22?4?2???1??12?0

?b?b?4ac

2a

?2?23

42∴ x???2?2?2??2?234 ∴ x1??3?12，x2??2?234??3?1

2.

例3 某商场将进价为30元的台灯以40元的价格出售，平均每月能销售600个. 调查表明：

这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10台. 如果该商场想实现每月10000元的销售利润，那么这种台灯的售价应定为多少元？这时商场应进台灯多少台？ 分析：本题考查了列一元二次方程解应用题. 在降价销售问题中，利润＝（现售价－进价）

×[原销量＋（原售价－现售价）/单位涨价×变化销量].

解答：设这种台灯的售价为x元，则现在的销量为（

?

?40?x140?x1?10）台. 根据题意，得 ?x?30??600???10??10000

?

2 整理，得 x?130x?400?0 解得 x1?50，x2?80.

答：这种台灯的售价应定为50元或80元. 当售价定为50元时，应进500台；当售

价定为80元时，应进200台.

【考题选粹】

1.（2007·巴中）三角形的一边长为10，另两边长是方程x?14x?48?0的两个实数根，那么这个三角形是 三角形. 2

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2.（2007·绵阳）已知x1，x2是关于x的方程?x?2??x?m???p?2??p?m?的两实根.

（1）试求x1，x2的值（用含m，p的代数式表示）；

（2）若x1，x2是某直角三角形的两直角边的长，问：当实数m，p满足什么条件时，

这个直角三角形的面积最大？并求出其最大值.

【自我检测】

见《数学中考复习一课一练》.

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2.4 一元一次不等式（组）

【教学目标】

1.了解不等式和一元一次不等式（组）的概念，掌握不等式的基本性质.

2.了解一元一次不等式（组）的解和解集的概念，理解它们与方程的解的区别，会在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集.

3.掌握解一元一次不等式（组）的一般方法和步骤，能熟练地解一元一次不等式（组），会用口诀或数轴确定一元一次不等式组的解集.

4.能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式或一元一次不等式组解决简单的实际问题，能确定一元一次不等式（组）的整数解.

【重点难点】

重点：一元一次不等式（组）的解法，列一元一次不等式（组）解应用题.

难点：列一元一次不等式（组）解应用题，确定一元一次不等式（组）的整数解.

【考点例解】

例1 解下列不等式（组），并将其解集表示在数轴上：

x?3

2 （1）?5x?2?3?x?1???3?x?1； （2）?13

?x?1?7?x?22

分析：本题主要考查一元一次不等式（组）的解法及解集在数轴上的表示. 一元一次不等式

的解法类似于一元一次方程的解法；解一元一次不等式组时，应先求出不等式组中每个不等式的解，再利用口诀或数轴来确定不等式组的解集. 口诀为“大大取大，小小取小，大小小大连起写，大大小小题无解”.

解答：（1）略解：x?1，其解集在数轴上表示如下图①所示.

（2）解不等式5x?2?3?x?1?，得x?

解不等式1

2?1?7?3

252； x，得x?4.

5

2?x?4，其在数轴上表示如下图②所示. ∴ 原不等式的解集是

图 ① 图 ②

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数学教师之家（浙教版） http://blog.cersp.com/userlog24/168151 例2 “全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨. 现计划租用甲、乙

两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装运4吨枇杷和1吨桃子，一辆乙种货车可装运枇杷和桃子各2吨.

（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地将全部水果运往销售地？有几种方案？

（2）若甲种货车每辆要付运费300元，乙种货车每辆要付运费240元，则王灿应选择

哪种运输方案，才能使运费最省？最少运费是多少？

分析：本题主要考查根据题中的数量关系列不等式组和不等式组的整数解，解答的关键是确

定甲种货车的数量，然后进行分类讨论，最后可利用函数性质求最值.

解答：（1）设王灿安排甲种货车x辆，则安排了乙种货车（8－x）辆，根据题意，得 ???4x?2?8?x??20

??x?2?8?x??12 解这个不等式组，得 2?x?4.

∵ x是整数， ∴ x可以取2，3，4.

∴ 王灿有以下三种安排货车的方案：①甲种货车2辆，乙种货车6辆；②甲种

货车3辆，乙种货车5辆；③甲种货车4辆，乙种货车4辆.

（2）设安排x辆甲种货车时，需运费y元，根据题意，得

y?300x?240?8?x? 即 y?60x?1920.

因为y是x的一次函数，且y随着x的增大而增大，所以当x?2（辆）时，y

取到最小值，且y最小值?60?2?1920?2040（元）.

【考题选粹】

?2x?7?5?2x?1.（2007·德州）不等式组?的整数解是 . 3?x

?x?1??2

2.（2006·青岛）“五一”期间，某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金为每辆320元，60座客车的租金为每辆460元.

（1）若学校单独租用这两种车辆，各需要多少租金？

（2）若学校同时租用这两种客车共8辆，且租金比单独租用一种车辆要省，请你帮助设

计一种最节省租金的租车方案.

【自我检测】

见《数学中考复习一课一练》.

2008年初中数学中考总复习教案 第 29 页

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2.5 方程与不等式的应用

【教学目标】

1.掌握一些基本问题中的数量关系和等量关系，能借助图表寻找数量关系和等量关系.

2.了解列不等式解应用师的特征，能准确列出不等式，会用不等式的整数解解决简单的实际问题.

3.能解决与方程（组）、不等式（组）和一次函数有关的实际问题.

【重点难点】

重点：列方程（组）或不等式（组）解决实际问题.

难点：综合运用方程、不等式和一次函数的有关知识解决实际问题.

【考点例解】

例1 某地区原有可退耕还林面积63.68万亩，从2000年开始执行国家退耕还林政策，当

年就退耕还林8万亩，此后退耕还林的面积逐年增加，到2002年底共退耕还林29.12万亩.

（1）求2001年、2002年退耕还林面积的平均增长率；

（2）该地区从2003年起加大退耕还林的力度. 设2003年退耕还林的面积为y万亩，

退耕还林面积的增长率为x，试写出y与x的函数关系式，并求出当y不小于

14.4万亩时x的取值范围.

分析：本题主要考查列一元二次方程解应用题、根据数量关系写函数关系式及一元一次不等

式组的解法. 解答的结果一定要符合问题的实际意义.

解答：（1）设平均增长率为x，根据题意，得

8?1?x??8?1?x??8?29.12 2

整理，得 x?3x?0.64?0

解得 x1?0.2，x2??3.2（不合题意，舍去）

∴ x?0.2?20%

答：2001年、2002年退耕还林面积的平均增长率为20%.

（2）根据题意，得 y?8?1?0.2???1?x?，即 y?11.52x?11.52.

当y?14.4（万亩）时，有 22

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?11.52x?11.52?14.4， ??11.52x?11.52?63.68?29.12

解这个不等式组，得 0.25?x?2.

例2 2007年某县筹备20周年庆典，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆

乙种花卉搭配A，B两种园艺造型共50个. 已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆；搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆.

（1）某校九年级（1）班的课外数学兴趣小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计工作，

问：符合题意的搭配方案有哪几种？请你帮助设计出来；

（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说

明第（1）小题中哪种方案的成本最低？最低成本是多少元？

分析：本题综合考查了不等式（组）和一次函数的有关知识. 解题时要先利用不等式组的整

数解确定两种造型的数量，再利用一次函数的增减性得出最佳方案.

解答：（1）设搭配A种造型x个，则搭配了B种造型（50－x）个，根据题意，得

??80x?50?50?x??3490 ? 解这个不等式组，得 31?x?33. 40x?9050?x?2950????

∵ x是整数， ∴ x可以取31，32，33.

∴ 可设计三种搭配方案：①A种造型31个，B种造型19个；②A种造型32个，

B种造型18个；③A种造型33个，B种造型17个.

（2）设搭配A种造型x个时，需成本y元，根据题意，得

y?800x?960?50?x? 即 y??160x?48000.

因为y是x的一次函数，且y随着x的增大而减小，所以当x?33（个）时，

造型的总成本最低，且y最小值??160?33?48000?42720（元）.

【考题选粹】

1.（2007·福州）李晖到“宇泉牌”服装专卖店做社会调查. 了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息：

假设月销售件数为x件，月总收入为y元，销售每件奖励a元，营业员月基本工资为b元.

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（1）求a，b的值；

（2）若营业员小俐的月总收入不低于1800元，那么小俐当月至少要卖服装多少件？

2.（2007·重庆）某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售. 按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满. 根据下表提供的信息，解答以下问题：

（1）设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x间的函数关

系式；

（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？请写出每

种安排方案；

（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值.

【自我检测】

见《数学中考复习一课一练》.

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第二单元综合测试（方程与不等式）

班级 学号 姓名 得分 .

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）

1. 已知a?b，那么下列各式中，不成立的是（ ）

A.a?3?b?3 B.a?b?0 C.?a??b D. 5?a?5?b

2. 方程组??x?y?5① 中，由②－①，得正确的方程是（ ）

?2x?y?10②

A.3x?10 B.3x??5 C.x?5 D.x??5

3. 下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）

A.x2?1?0 B.x2?2x?1?0 C.x2?2x?3?0 D.x2?2x?3?0

4. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量都

是1克，则天平左盘中的每个小立方体

的质量m的取值范围是( )

A. m＜2 B. m＞ 3 3 3 m＜2或m＞ D. ＜m＜2 2 2 2

日 一 二 三 四 五 六

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30 5. 如图是2008年4月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的 三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不 可能是（ ）

A.27 B.36 C.40 D.54

3??2a?3b?13?a?8.3?2?x?2??6. 若方程组?的解是?，则?3a?5b?30.9b?1.25????3?x?2????13??y1??3?09.?y1的解是（ ）

?x?8.3?x?10.3?x?6.3?x?10.3 A.? B.? C.? D.? y?2.2y?2.2y?0.2y?1.2????

7. 三角形的两边长分别是3和6，第三边的长是方程x?6x?8?0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）

A. 9 B. 11 C. 13 D. 11或13

8. 如果2m，m，1?m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，那么m的取值范围是（ ） 2

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1

212 A.m?0 B.m? C.m?0 D.0?m?

?x?15?x?3??29. 关于x的不等式组?只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）

?2x?2?x?a??3

A.?5?a??14

3 B.?5?a??14

3 C. ?5?a??14

3 D. ?5?a??14

3

10.“某市为处理污水，需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工是*******. 设原计划每天铺设管道x米，则可得方程4000

x?10?4000

x根据这个情境，题中用“*******”表示的缺失条件应补为（ ） ?20.”

A. 每天比原计划多铺设10米，结果延期20天才完成任务

B. 每天比原计划少铺设10米，结果延期20天才完成任务

C. 每天比原计划多铺设10米，结果提前20天才完成任务

D. 每天比原计划少铺设10米，结果提前20天才完成任务

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11.如果x?5是关于x的方程ax?7?x?3的解，那么a的值等于 .

12.若关于x的分式方程1

x?3?1?a

x?3无解，那么a的值等于 .

13.一次知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得

4分，答错或不答一道题得-1分. 在这次竞赛中，小明获得了优秀（90分或90分以上），则小明至少答对了 道题.

14.对正实数a，b作定义：a?b?

2?a?b，若4?x?44，则x的值是 . 15.已知二次函数y??x?2x?m的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），则关于x的方

程x?2x?m?0的解是 .

输出结果 216.按上面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的值为 .

三、解答题（本题有7小题，共80分）

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3

x?12xx?117.（10分）解方程：

??2.

?x?3?3?x?1?18.（10分）解不等式组：?2，把它的解集在数轴上表示出来，并写出这

?1?3?x?1??8?x?

个不等式组的整数解.

19.（10分）已知关于x的方程kx?2?k?1?x?k?1?0有两个不相等的实数根. 2

（1）求k的取值范围；

（2）若方程有一个根为-1，求方程的另一个根及k的值.

20.（10分）某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次降价后调整为每件32.4元.

（1）若该商场两次调价的降价率相同，这个降价率；

（2）经调查，该商品每降价0.2元，就可多销售10件. 若该商品原来每月可销售500

件，那么经两次降价后，每月可销售该商品多少件？

21.（12分）某公园门票每张10元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引

游客，该公园除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持有者使用一年）. 年票分A、B、C三类：A类年票每张120元，持票者进入公园时无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入公园时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入公园时，需再购买门票，每次3元.

（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该公园的门

票上，试通过计算，找出可使你进入该公园次数最多的购票方式；

（2）求一年中进入该公园至少超过多少次时，购买A类票比较合算？

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22.（14分）某超市在春节期间对顾客衽优惠，规定如下：

（1）王老师一次性购物600元，他实际付款 元；

（2）如果顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200元时，他实际付

款 元；当x大于或等于500元时，他实际付款 元（用含x的代数式表示）；

（3）如果王老师两次购物合计820元，实际付款共728元，且第一次购物的货款少于第

二次购物的货款，求王老师两次购物各多少元？

23.（14分）机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克. 为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关.

（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油

的重复利用率仍为60%，问：甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？

（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了重复利用率，并且

发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加

1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克. 问：乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？

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3.1 平面直角坐标系与函数

【教学目标】

1.了解平面直角坐标系，掌握坐标平面内特殊点的坐标特征，能用点的坐标表示位置.

2.了解常量和变量的意义，理解函数概念，会通过公式变形写出两个变量间的函数关系.

3.掌握函数的三种表示方式，能从函数图象中获取相关信息.

【重点难点】

重点：用点的坐标表示位置，从函数图象中获取相关信息.

难点：坐标变化与图形变换间的关系，根据图象获取信息.

【考点例解】

例1 （1）点P在第二象限内，并且它到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的

坐标为（ ）

A.（-4，3） B.（-3，-4） C.（-3，4） D.（3，-4）

（2）点（-2，1）关于x轴的对称点的坐标为（ ）

A.（2，1） B.（-2，-1） C.（2，-1） D.（1，-2）

（3）若?ABC的顶点坐标分别为A（3，6），B（1，3），C（4，2）. 如果将?ABC绕

C点按顺时针旋转90?，得到?A'B'C，那么点A的对应点A'的坐标是分析：本题主要考查坐标系的相关知识. 在解答时，关键要利用“数形结合”的数学思想，

把图形的变换与坐标的改变联系起来.

解答：（1）C； （2）B； （3）（8，3）.

例2 向高为h0的水瓶中注水，一直到将水瓶注满为止. 如果注水量v与水深h的函数图象

如图所示，那么水瓶的形状可能是（ ）

A. B. C. D. h0 h v

分析：本题主要考查学生对函数图象的理解. 在解答时，首先要搞清楚各种容器的结构，其

次要分清横、纵坐标轴所表示的实际意义.

解答：A.

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14

例3 一名考生步行前往考场参加学业考试，前10分钟走了总路程的，估计步行不能准

时赶到考场，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示，则他到达考场所花的时间比一直步行提前了 分钟. 分析：本题考查学生根据图象获取信息的能力. 在解题时，首

先要理解函数的概念，然后再结合图形特征和问题的现 实意义，来获取正确的信息.

解答：24. 【考题选粹】

1.（2006· 烟台）先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴上，再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30?，若AB＝4，BC＝3，则旋转后点B的坐标为 ，点C的坐标为 .

2.（2007·绍兴）绍兴黄酒是中国名酒之一. 某黄酒厂的瓶酒车间先将散装黄酒灌装成瓶装黄酒，再将瓶装黄酒装箱出车间.该车间有灌装、装箱生产线共26条，每条灌装、装箱生产线的生产流量分别如图①、②所示. 某日8∶00～11∶00，车间内的生产线全部投入生产，图③表示该时段内未装箱的瓶装黄酒存量的变化情况，则灌装生产线有 条.

图①

图②

图③

【自我检测】

见《数学中考复习一课一练》.

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3.2 一次函数

【教学目标】

1.理解正比例函数和一次函数的概念，能根据实际问题的条件或图象上的点的坐标确定正比例函数和一次函数的解析式.

2.理解一次函数和正比例函数的图象与性质，理解它们的性质在实际应用中的意义.

3.会用图象法解二元一次方程组，能利用一次函数的图象与性质解决简单的实际问题.

【重点难点】

重点：一次函数的图象与性质.

难点：用图象法解二元一次方程组，及利用一次函数的增减性解决实际问题中的最值.

【考点例解】

例1 已知一次函数的图象经过点（2，5）和（-1，-1）两点.

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）设该一次函数的图象向上平移2个单位后，与x轴、y轴的交点分别是点A、点

B，试求?AOB的面积.

分析：本题主要考查用待定系数法求一次函数的解析式和函数图象的平移.

解答：（1）设一次函数的解析式为y?kx?b.

把点（2，5）和（-1，-1）的坐标分别代入y?kx?b，得

?2k?b?5?k??2 ?， 解这个方程组，得 ?. ?k?b??1b?1??

∴ 一次函数的解析式为y??2x?1.

（2）将直线y??2x?1向上平移2个单位后，可得 y??2x?3.

在函数y??2x?3中，令x?0，得y?3；令y?0，得?2x?3?0，即x? ∴ OA?3

232. ，OB?3. ∴ S?AOB?12OA?OB?1

2?3

2?3?9

4.

例2 如图，某地区一种商品的需求量y1（万件）、供应量y2（万件）与价格x（元/件）

分别近似满足下列函数关系式：y1??x?60，y2?2x?36. 需求量为0时，即停

止供应. 当y1?y2时，该商品的价格称为稳定价格，此时的需求量称为稳定需求量.

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数学教师之家（浙教版） http://blog.cersp.com/userlog24/168151 （1）求该商品的稳定价格与稳定需求量；

（2）价格在什么范围内，该商品的需求量低于供应量？ （3）当需求量高于供应量时，政府常通过对供应方提供价格补

贴来提高供货价格，以提高供应量. 现若要使稳定需求量

增加4万件，政府应对每件商品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量？

分析：本题主要考查一次函数与一次方程及一元一次不等式间的联系. 在解答时要弄清在具

体的实际问题中，比例系数k的实际意义.

解答：（1）由y1?y

2，得 ?x?60?2x?36，解得 x?32（元/件）. 当x?32（元/件）时，y1??x?60??32?60?28（万元）. （2）由y1?y2，得 ?x?60?2x?36，解得 x?32（元/件）. 由y1??x?60?0，得 x?60. ∴ 当32?x?60时，需求量低于供应量.

（3）当y1?28?4?32（万件）时，?x?60?32，解得 x?28（元/件）. 当y2?y1?32（万件）时，2x?36?32，解得 x?34（元/件）. ∴ 应补贴34?28?6（元）. 【考题选粹】

1.（2006· 济宁）已知一次函数y?3x?b与y?ax?3的图象交于点P（-2，-5），那么

不等式3x?b?ax?3的解是 .

2.（2007·晋江）小东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度

向A地而行，如图所示，图中的线段y1、y2分别表示小东、小明离B地的距离（千米） 与所用时间（小时）间的关系.

（1）试用文字说明交点P所表示的实际意义； （2）试求出A、B两地之间的距离. 【自我检测】

见《数学中考复习一课一练》.

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