一 : 双曲线性质之渐近线

B2

. .
A2 B2
2 2 2 2

图形

. .
F1

y

y
F2

F2(0,c)
B1

A1 A2
O

F2

x

F1(-c,0)
2 2

B1 F2(c,0)

A1 O F1

x F1(0,-c)

方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线 2013-2-6

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) a b
2 2

y x ? ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) a b

x ? a 或 x ? ?a，y ? R

y ? a 或 y ? ?a，x ? R

关于x轴、y轴、原点对称
A1（－ a，0），A2（a，0）

关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，－a），A2（0，a）

c e? a
b y?? x a

(e ? 1)

c e? a

(e ? 1)

a y?? x b

椭圆与双曲线的性质比较：
椭 圆 方程 a b c关系 图象
F1 x +y 2 a2 b
2 2

双曲线
x2 a
2

? 1 a＞ b ＞0） （

?

y2 b
2

? 1 a、b ＞0） （

c 2? a 2 ? b 2 (a＞ b＞0)
y
M

c 2? a 2 + b 2 (a＞ 0 b＞0)
Y p F2 X

0

F2

X

F1

0

2013-2-6

y

图象
F1
0

Y
M

p
F2 X

F2

X

F1

0

范围 对称性 顶点

|x|?a,|y|≤b
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点

|x| ≥ a，y?R
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点 (-a,0) (a,0) 实轴：2a 虚轴：2b e=
c (e?1) a

（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴：2a 短轴：2b
c e= a
( 0＜e ＜1 )

离心率
2013-2-6

渐近线

无

y=±

b x a

能不能直接由双曲线方程推出渐近线方程？ 双曲线方程
x2 y2 ? 2 ?0 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) 中，把1改为0，得 2 a b
x y x y ( + )( ? ) ? 0 a b a b x y x y + ? 0或 ? ? 0. a b a b

y＝ ?

b x a

结论：

x2 y 2 x2 y 2 双曲线 2 ? 2 ? ? (? ? 0) ? 渐近线方程 2 ? 2 ? 0. a b a b
2013-2-6

由双曲线方程求渐近线方程的方法： (1) 定焦点位置，求出 a、b，写出方程 ______________________________________ (2) 由双曲线方程的常数项令为零即可 ______________________________________

2013-2-6

若渐近线方程为 mx ±ny = 0，则双曲线方程 m 2 x 2 －n 2 y 2 = k ( k ≠ 0 ) 整式 为 ____________________________

x2 y 2 ? 2 ? k (k ? 0) 2 n m 或 ____________________________

标准

2013-2-6

例1．已知双曲线的焦点在x轴上，中心在 原点，如果焦距为8，实轴长为6，求此双 曲线的标准方程及其渐近线的方程。 练习、求下列双曲线的渐近线方程 (1)4x2－9y2=36, (2)25x2－4y2=100. 2x±3y=0 5x±2y=0

2013-2-6

例2.求下列双曲线的渐近线方程，并画出图像： y 2 2 2 2 x y
1). 9 ? 4 ?1

x y 2). ? ? ?1 9 4

0

x

2013-2-6

y2 ， ? 1共渐近线且过点 (2 3 ? 3) 例3 求与双曲线 x ? 16 9
2

的双曲线方程及离心率．

y2 x ? ? ? ?? ? 0 ? 解： 设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为 16 9
2

∵ 点 (2 3 ? 3) 在双曲线上， ，

? ? ? 12 ? 9 ? ? 1 4 16 9

y2 x2 x ? y ??1 即 ? ?1. 故所求双曲线方程为： 9 4 16 9 4 4 ? ? a ? 3 ， ? 2， c ? 9 + 4 ? 5 . b 4 2 2
2 2

∴ 离心率 e ? 5 .
2013-2-6

3

例4．已知双曲线的渐近线是x±2y=0 ，并 且双曲线过点 M (4, 3 ) 求双

曲线方程。 变形：已知双曲线渐近线是x±2y=0 ，并 且双曲线过点 N (4, 5 )求双曲线方程。
x2 y 2 令双曲线为 2 ? 2 ? ?，若求得? ? 0, 则双曲线的交点在x轴; a b 若? ? 0, 则焦点在y轴上。

2013-2-6

4 例5．已知双曲线的渐近线方程为y=± x , 3 并且焦点都在圆x2+y2=100上，求双曲线的

方程。

解：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程是
x y ? 2 ?1 2 a b
2 2

因为焦点都在圆x2+y2=100上，所以c=10， 4 又双曲线的渐近线方程为y=± x 3
2013-2-6

b 4 所以 ? a 3

由

?a 2 + b 2 ? 100 ? ? b 4 ? ? a 3 ?

? a 2 ? 36 解得 ? 2 ? b ? 64

x y ? ?1 所以双曲线的方程是 36 64

2

2

2013-2-6

当焦点在y轴上时，设双曲线的方程是
y x 因为焦点都在圆x2+y2=100上， a 2 ? b2 ? 1
2 2

所以c=10，
4 又双曲线的渐近线方程为y=± x 3
a 4 所以 ? b 3

由

2013-2-6

y x ? ?1 所以双曲线的方程是 64 36

?a 2 + b 2 ? 100 ? ? a 4 ? ? b 3 2 ?

? a ? 64 解得 ? 2 ? b ? 36
2

2

y??4x 例5.已知双曲线的方程渐近线为 3 并且焦点都在圆 x 2 + y 2 ? 100 上，求双曲线方程. x? y ?0 解： ∵ 双曲线的方程渐近线为 3 4 2 2 y ∴ 可双曲线方程为： x2 ? 2 ? ? (? ? 0) 3 4
∵焦点都在圆 x 2 + y 2 ? 100 上， ? c 2 ? 100 .

? (3 | ? |)2 + (4 | ? |)2 ? 100 ? ? ? ?4 .

y2 y x ? ? ?1 . ∴所求双曲线方程： x ? ? ?4 即 36 64 32 42
2 2
2
2013-2-6

小结：
知识要点：

x2 y2 b 1. 2 ? 2 ? 1的渐近线是y＝ ? x. a b a y 2 x2 a 2. 2 ? 2 ? 1的渐近线是y＝ ? x. a b b
技法要点：

x2 y 2 x2 y 2 双曲线 2 ? 2 ? ? (? ? 0) ? 渐近线方程 2 ? 2 ? 0. a b a b

2013-2-6

Thank You!

二 : 双曲线性质之渐近线

双曲线的渐近线 双曲线性质之渐近线

双曲线的渐近线 双曲线性质之渐近线

双曲线的渐近线 双曲线性质之渐近线

双曲线的渐近线 双曲线性质之渐近线

双曲线的渐近线 双曲线性质之渐近线

双曲线的渐近线 双曲线性质之渐近线

双曲线的渐近线 双曲线性质之渐近线

双曲线的渐近线 双曲线性质之渐近线

双曲线的渐近线 双曲线性质之渐近线

双曲线的渐近线 双曲线性质之渐近线

双曲线的渐近线 双曲线性质之渐近线

双曲线的渐近线 双曲线性质之渐近线

双曲线的渐近线 双曲线性质之渐近线

双曲线的渐近线 双曲线性质之渐近线

双曲线的渐近线 双曲线性质之渐近线

双曲线的渐近线 双曲线性质之渐近线

三 : 男生签名 我没带关系就像双曲线与渐近线

　　真心对你，你不理，有心玩你，你却陪 ./*

　　那些年的作业 我一个人错了全班都错 这也是我最牛逼的时光

　　单身多美好没有情敌没烦恼.

　　友情这东西，玩好了就是小时代，玩掰了就是甄嬛传。

　　我愿用整条生命丶换得你的一个微笑。

　　愛情裏的“欲擒故縱”不是誰都可以做到的 !

　　我爱你，纯属虚构，如有雷同，纯属巧合

　　我想和你 玩捉迷藏 你一定要快快找到我 因为我会在橱子里睡着 ~

　　待到血若流成河之时，定是你原谅我之日？

　　尘世间的遇见，寂如烟花，凄美而又短暂。

　　前路坎坷就放弃吗 布满荆棘就畏惧吗 少年你是废物吗？

　　我没带关系就像双曲线与渐近线，虽然很近却终不能相交。

　　初恋就是 大人们眼中的早恋。我们以为的真爱。

　　我年轻。需要你们指点。但不需要你们指指点点。

　　你是我最爱的人，用甜甜的冰淇淋和巧克力也不换

　　我知道。我不可以去强求任何人。

　　女人不拽，就被甩。是女汉子就点起来

　　只有在困难的时候你才能知道谁是关心你的笨蛋谁是对你形同陌路的混蛋

　　据说所有女汉子长大以后都是大美女

　　老子的世界，谁都无权干涉。

　　英 语 的 一 页，就 能 看 一 夜。

　　有些事不是我不在意，而是我在意了又能怎样。

　　尓偠疼莪,寵莪,囙為莪昰

　　思想有多远，我就让你飞多远，滚。

　　开不得玩笑的姐妹算什么姐妹？？

　　一闪一闪亮晶晶，没有一颗是真心，全都是一堆垃圾。

　　在别人嘴里，永远不会是原本的自己。

　　将自己置身所有事外淡笑着去观望就好

　　年轻就别整的自己一副未老先衰的模样

　　不要以为老娘还在原地等你，我已经不傻了。

　　你给不了，你做不到，才会说现实!

　　我不蛇蝎不做作怎配得上你放荡不羁天下无双

　　再冷的石头都会被捂热 何况人心

　　时间在变，人在变， 唯一不变的是永远都回不到过去。

　　时间可以看清一个人，金钱可以考验一个人。

　　兄弟和爱情之间，永远只有错误的选择。

　　我本单纯，无奈社会逼良为娼!!!

　　不要在分手后再对我说祝我幸福，你没那资格。

　　多读书多看报少吃零食多睡觉

　　相貌决定在不在一起，性格决定在一起多久。

　　一个梦想一个目标一条走错的路还是白搭

　　不是所有惊艳了你时光的少年都能温暖你的岁月

　　因为你不在，连回忆都懒散，所以淡忘。

　　世界上只有想不通的人，没有走不通的路

　　一切都会过去，但在放手之前，能抓多紧，就抓多紧。

　　你委屈什么, 这世界又不是你一人爱而不得 　

　　生命很快就过去了，一个机会从不会出现两次。

　　我不努力拿什么整死想要整我的贱人

　　怪我懦弱不懂情深沉滞孤独伴你左右　

　　我只是害怕热闹过后的凄凉

　　我不喜欢自以为是我人，包括你

　　把别人老婆当自己老婆照顾了那么多年，真可笑。

　　突然发现你好美你的脸跟我巴掌好配

　　老娘心里全是你，你怎么舍得我难过。

　　看我不爽的你可以选择自尽也可以选择装瞎啊!

　　你路子再野,圈子再大,好好和我说话

　　别说你爱我,有本事你给我婚礼啊~

　　夺我所爱，我凭什么拱手相让，抢我所爱，我凭什么成人之美

　　你多社会我不管但你在我这里装逼我指定卷你脸

　　我未来的相公今天不太要对你的女朋友太好 好不好都是要分

　　如果男生没有六块以上的腹肌，凭什么去嘲笑别的女生身材不好。

　　我只知道我不努力玩不死贱人!

　　别在我背后捅刀子否则我没死你就该死。

　　往往自己容易得到的总是自己不想要的

　　求一思无邪，求一念静韵。

　　如果你放不下那个错的人，那么你永远也找不到那个对的人。

　　生命需要有裂缝，阳光才能照进来。

　　人心无底洞，填不满，掏不空。

　　人生总会有雨天和晴天，但总会雨过天晴的。

　　一定是特别的缘分，才可以一路走来变成了一家人

　　有人说 幸福就是 e了就吃 渴了就喝 困了就睡 *

　　只希望有一天,我在做饭 你在捣乱.

　　个性签名：我最期待也是最幸福的事,就是穿着最美的婚纱,成为你最美的新娘.

　　傻瓜，我数星星，你智商差点，你数月亮?

　　在你最冷的时候 有人不顾自己寒冷抱着你 这就是幸福

　　彻夜难眠的思念 缠绕着那些回忆

　　也许,我们注定不可能在一起

　　我今天心情不好，需要一个拥抱

　　一次次的伤害。一次次的心痛。我麻痹了

　　如果全世界都抛弃我 谁会不离不弃的对我

　　说好的承诺全部忘掉 , 拥抱比不过游戏重要

　　曾经的不懂爱情，换来了好痛好痛的伤口

　　哥混到现在，能拿得起又放得下的也就只有筷子了

　　解释就是掩饰,掩饰就却有其事

　　學會用微笑去掩飾心痛。 曾經の曾經。

　　为什么仰望天空45°眼泪还是蹦了出来

　　为了一个不爱你的人回去 这样做值吗

　　我是会陪着你的人，更是会伴你到老的人.

　　海誓山盟：永远爱你;天涯海角：永远随你

　　愿我伴你到白发苍苍儿孙满堂

　　每天醒来看见你和阳光都在,这就是我想要的未来.

　　我们共同仰望天空，满满都是我们的幸福。

　　我不仰慕前世，也不期盼来生，我只求这辈子与你携手此生!

　　有些男生凭一张照片就敢说喜欢。这叫喜欢么？不，这叫买菜!

　　苹果 小米 三星什么都都弱爆了 我用的是傻妞!

　　我不牛逼我不硬，动我男人要你命!

　　只是想证明，这个世界上只有我能欺负你，别人，没门

　　闻闻味道就知道是你的衣服看看笔迹就知道是你写的字这就是我对你的喜欢.

　　你在身边,我就很暖很知足

　　是你路过我的倾城时光。。。陪你到天荒地老又何妨。。。

　　他说他要陪我一辈子 qqjay

　　让我牵着你的手，陪你一起走。

　　能抱着自己最喜欢的人睡，那才是最幸福的事!

　　其实我想让你知道，你配得上一切美好。

　　走哪都想你 这是我背着你干的最肉麻的一件事

　　幸福是一想到妳就心安，地要老天要荒的谁还想管。

　　我的生活，在每个微笑里幸福。

　　我要稳稳的幸福 能用双手去碰触 每次伸手入怀中 有你的温度

　　愿为你执手天涯，相濡以沫

　　退出就要退的干净 最好连道别都省略

　　带上你的全名备注滚回你的大众分组

　　不过一条狗闺蜜你拿走

　　在瘦小的骆驼也比驴大

　　不要和我说滚，老娘嫌你的地板脏

　　别在我面前娇滴滴，装可怜，我嫌乎恶心。

　　我可以为了你放弃我的骄傲，但是你不能得寸进尺。

　　别不拿我当回事，老子根本没把你当人看。你算个毛。

　　我想喝个稀泥烂醉在打个电话给你告诉你我爱你.

　　心事像匕首像暗箭像慢性毒药百转千回偏偏不致命

　　所谓的友谊、玩好了就是小时代、玩掰了就是甄嬛传

　　你见过我面不改色的提起他吗说到他的时候都是笑的

　　我为了一个帅比失去了一个最爱我的人,我感觉我好贱

　　你永远都不会知道深爱你的人看你爱别人那种撕心裂肺的感觉

　　#你说过要娶我,我答应要嫁你,这是我们童言无忌的约定,

　　如果你是一个姑娘，但是你有一帮铁的哥们，那你真挺幸福的。

　　很久之后我们又见面了你说我变了，我只想问你什么时候了解过我

　　你一定也试过翻看以前记下的东西然后觉得幼稚可笑却又让你心疼

　　做个坚强的女汉纸谁把你当备胎你就让他爆胎

　　够了，都给我滚，我不需要虚情假意。

　　你敢虚情假意我就敢逢场做戏

　　天塌下来也没关系，大不了我自己扛

　　贱人不贱哪来无极限

　　别躲在角落里装非主流，小心我一拖鞋拍死你。

本文标题：双曲线渐近线-双曲线性质之渐近线
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