一 : 初中数学反比例函数知识点
初中数学反比例函数知识点
利用反比例关系,y=k/x,其中x属于自变量,y属于因变量,y与x成反比例关系,k一定,
二 : 反比例函数知识点归纳和典型例题
反比例函数知识点归纳和典型例题
知识点归纳
（一）反比例函数的概念
1．
（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，
在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数
2．
（这一限制条件； ）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解
析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
3．反比例函数的自变量
（二）反比例函数的图象 ，故函数图象与x轴、y轴无交点．
在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．
（三）反比例函数及其图象的性质
1．函数解析式：（
） 2．自变量的取值范围：
3．图象：
（1）图象的形状：双曲线．
越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．
越小，图象的弯曲度越大．
（2）图象的位置和性质：
与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
当时，图象的两支分别位于一、三象限；
在每个象限内，y随x的增大而减小；
当时，图象的两支分别位于二、四象限；
在每个象限内，y随x的增大而增大．
（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，
则（
，）在双曲线的另一支上． 1
图象关于直线
则（，）和（
4．k的几何意义 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， ，）在双曲线的另一支上．
如图1，设点P（a，b）是双曲线
PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是上任意一点，作PA⊥x轴于A点，（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称
点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三
角形PQC的面积为．
图1 图2
5．说明：
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．
（2）直线
系：
时，两图象没有
当
必有两个交点，
原点成中心对称．
与双曲线 当交点； 时，两图象且这两个交点关于的关
2
（四）充分利用数形结合的思想解决问题．
例题分析
1．反比例函数的概念
（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．
A．y=3x B． C．3xy=1 D．
（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．
A．
B． C． D． 2．图象和性质
（1）已知函数是反比例函数，
①若它的图象在第二、四象限内，那么k=_________ ②若y随x的增大而减小，那么k=___________．
（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数
象位于第________象限． 的图
（3）若反比例函数经过点（
经过第_____象限． ，2），则一次函数的图象一定不
（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，
则直线不经过的象限是（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点， 则一次函数y=kx+m的图象经过（ ）．
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
（6）已知函数
（ ）． 和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是
3
A． B．
C．
D．
3．函数的增减性
（1）在反比例函数的图象上有两点
，，且
，则的值为（ ）．
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
（2）在函数
，则函数值
A．
C．＜＜＜＜（a为常数）的图象上有三个点、、的大小关系是（ ）． ＜＜＜＜ ，， B． D．
（3）下列四个函数中：①；②；③；④． y随x的增大而减小的函数有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而______ （填“增大”或“减小”）．
4．解析式的确定
（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（ ）．
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．不能确定
（2）若正比例函数y=2x与反比例函数
4
的图象有一个交点为 （2，m），则
m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．
（3）已知反比例函数的图象经过点
第二、四象限，求的值． ，反比例函数的图象在
（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x0，3）．
①求x0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．
5．面积计算
（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、
、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为
、，则（ ）．
B． C． D． A．
第（1）题图 第（2）题图
（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则（ ）．
A．S=1 B．1＜S＜2 C．S=2 D．S＞2
（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值． 5
第（3）题图 第（4）题图
（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．
（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________． 第（5）题图 第（6）题图
（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．
①求这两个函数的解析式；
②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．
6
（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数
（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．
① 求B点坐标和k的值；
② 当时，求点P的坐标；
③ 写出S关于m的函数关系式．
7
6
．综合应用
（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2
≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1
k2（ ）．
A．互为倒数 B．符号相同 C．绝对值相等
D．符号相反
（2）如图，一次函数的图象与反比例和 数
的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．
① 求反比例函数和一次函数的解析式；
② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象
与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．
① 求点A、B、D的坐标；
② 求一次函数和反比例函数的解析式．
8
（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．
① 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
② 双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（5）不解方程，判断下列方程解的个数．
①
； ②．
9
三 : 反比例函数知识点及复习题
反比例函数精讲精练
一、反比例函数的概念：
知识要点：
1、一般地，形如 y = k ( k是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 x
注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；
（2）解析式有三种常见的表达形式：
（A）y = k-1（k ≠ 0） （B）xy = k（k ≠ 0） （C）y=kx（k≠0） x
x1111③y?2 ④.y??⑤y??⑥y? ；其中xx?12x3x2例题讲解：有关反比例函数的解析式 例1、（1）下列函数，① x(y?2)?1②. y?
是y关于x的反比例函数的有：_________________。
（2）函数y?(a?2)xa2?2是反比例函数，则a的值是（ ）
A．－1 B．－2 C．2 D．2或－2
（3）如果y是m的反比例函数，m是x的反比例函数，那么y是x的（ ）
A．反比例函数 B．正比例函数 C．一次函数 D．反比例或正比例函数
练习：（1）如果y是m的正比例函数，m是x的反比例函数，那么y是x的（ ）
（2）如果y是m的正比例函数，m是x的正比例函数，那么y是x的（ ）
（4）反比例函数y?k的图象经过（—2，5
， n）， (k?0）x
求（1）n的值； （2）判断点B（4
2，
（5）已知函数y?y1?y2，其中y1与x成正比例, y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝1；x＝3时，y＝5． 求：（1）求y关于x的函数解析式； （2）当x＝2时，y的值．
二、反比例函数的图象和性质：
知识要点：
1、形状：图象是双曲线。
2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。
3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y随x的增大而________；
（2）当k<0时,_________________,y随x的增大而______。
4、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交
5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；
（2）对于k取互为相反数的两个反比例函数（如：y = 例题讲解：
6?6
和y = ）来说，它们是关于x轴，y轴___________。 xx
（一）反比例函数的图象和性质：
例2、（1）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 ．
m
y?(2m?1)x（2）若反比例函数
2
?2
的图象在第二、四象限，则m的值是（ ）
1
的任意实数; C、－1; Ｄ、不能确定 2
k
（3）已知k?0，函数y?kx?k和函数y?在同一坐标系内的图象大致是（ ）
x
A、 －1或1; B、小于
x
x
x
x
x2
（4）正比例函数y
?和反比例函数y?的图象有
个交点．
2x
k
（5）正比例函数y??
5x的图象与反比例函数y?(k?0)的图象相交于点A（1，a），
x
则a＝ ．
例3、（1）下列函数中，当x?0时，y随x的增大而增大的是（ ） A．y??3x?4 B．y??x?2 C．y??（2）已知反比例函数y?
1
314
D．y?．
2xx
?2
的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1?x2， x
则y1?y2的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定 （3）若点（x1，y1）、（x2，y2）和（x3，y3）分别在反比例函数y??则下列判断中正确的是（ ）
A．y1?y2?y3 B．y3?y1?y2 C．y2?y3?y1 D．y3?y2?y1 （4）在反比例函数y?
2
的图象上，且x1?x2?0?x3，x
k?1
的图象上有两点(x1，y1)和(x2，y2)，若x时，y0?x1?21?y2，则k的取x
值范围是 ．
k2
(k2≠0)的一个交点为(m,n),则另一个交点为_________. x
（6）老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质:
甲:函数的图象经过第二象限; 乙:函数的图象经过第四象限; 丙:在每个象限内,y随x的增大而增大. 请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数: . （二）反比例函数与三角形面积结合题型。
2
例4、（1）矩形的面积为6cm，那么它的长y（cm）与宽x（cm）之间的函数关系用图象表示为（ ）
（5）正比例函数y=k1x(k1≠0)和反比例函数y=
A
B
C
D
k(k>0)在第一象限内的图象如图,点M(x,y)是图象上一点,MP垂直x轴于点P, x
MQ垂直y轴于点Q；① 如果矩形OPMQ的面积为2，则k=_________;
② 如果△MOP的面积=____________.
（2）反比例函数y=
总结：(1) 点 M(x,y) 是双曲线上任意一点,则矩形OPMQ的面积是
M P *M Q = ︳x︱︳y︱= ︳xy︱
111 (2) M P= ︳x︱, O P= ︳y︱ ；S△MPO=MP* OP=︳x︱︳y︱ =︳xy︱ 222
k （3）老师在同一个直角坐标系中画了一个反比例函数y?(k?0)的图象以及正比例函数x
y??2x的图象，请同学观察有什么特点。甲同学说：双曲线与直线y??2x有两个交点；乙同学说：双曲线上任意一点到两坐标轴的距离的积都是5．请你根据甲、乙两位同学的说法，写出这个反比例函数的解析式 ． (4) 如图，正比例函数y?kx(k?0)与反比例函数y?2的图象相交于A、C
x过点A作AB
⊥x轴于点B，连结BC．则ΔABC的面积等于（ ）
A．1 B．2 C．
4 D．随k的取值改变而改变． k与直线y??x?m x
3?在第二象限的交点，AB垂直x轴于B，且S△ABO＝， 2 (5) 如图，RtΔABO的顶点A是双曲线y?
则反比例函数的解析式 ．
(6) 如图,在平面直角坐标系中，直线y?x?kk与双曲线y?在第一象限交于点A， x2
（第（5）题） 与x轴交于点C，AB⊥x轴，垂足为B，且S?AOB＝1．求：
（1）求两个函数解析式； （2）求△ABC的面积．
三、反比例函数的应用：
1、用反比例函数来解决实际问题的步骤：
例题讲解：
例5、一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则6小时可到达乙地．
（1）写出时间t （时）关于速度v（千米／时）的函数关系式，说明比例系数的实际意义．
（2）因故这辆汽车需在5小时内从甲地到乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少？
例6、你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：拉面师傅在一定体积的面团的条件下制做拉面，通过一次又一次地拉长面条，测出每一次拉长面条后面条的总长度与面条的粗细(橫截面积)
（1）请根据右表中的数据求出面条的总长度y（m）与面条的粗细(橫截面积) s(mm)函数关系式； 2
(2)求当面条粗1.6mm时，面条的总长度是多少？
2
本文标题：反比例函数知识点-初中数学反比例函数知识点61阅读| 精彩专题| 最新文章| 热门文章| 苏ICP备13036349号-1